פונקציה קווית כיתה ח

דף זה כולל 12 תרגילים מסכמים של החומר עבור תלמידי כיתה ח, וגם תלמידים גדולים יותר.

לפני התרגילים קישורים שימושיים שהם למעשה קורב מלא בנושא פונקציה קווית.
לאחר הקישורים סיכום קצרצר של החומר.

1.הקורס

הקורס מורכב מ 4 חלקים.
החלקים הראשון והשני חשובים בהרבה מחלקים 3-4.
אם אתם קצרים בזמן ומעוניינים לקצר אז למדו את החלק השני ואת הקישור הראשון בחלק השלישי.

1.מבוא:
בחלק זה נעשה היכרות עם פונקציה קווית.

נלמד כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על הגרף, כיצד מוצאים נקודה, כיצד לשרטט גרף ועוד.
הדף הראשון הוא הדף החשוב וכולל בתוכו את התוכן של הגרף השני.

  1. היכרות עם פונקציה קווית.
  2. פונקציה קווית ונקודה – מענה על שאלות בסיסיות.
  3. שרטוט גרף פונקציה קווית.

2. 5 הדרכים למצוא את משוואת הישר, נקודות חיתוך
זה החלק החשוב בקורס. צריך לדעת אותו ב 100%.
ניתן ללמוד אותו ולהצליח לפתור את התרגילים שבו גם אם חלק המבוא לא היה ברור לכם.

  1. מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
  2. מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות.
  3. מציאת משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים.
  4. ישרים מקבילים לצירים.

עבור בתי ספר הלומדים את משוואת הישר כ
y = mx + n
שני הדפים הראשונים הם:

  1. מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
  2. מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות.

מציאת נקודות חיתוך:

  1. נקודות חיתוך עם הצירים.
  2. מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.

3.גרף פונקציה קווית:

הקישור הראשון הוא החלק הבסיסי והחשוב.
שלושת הקישורים

  1. גרף פונקציה קווית (הדף המרכזי).
  2. גרף פונקציה קווית בעיות מציאותיות (ברז ממלא בריכה, מכונית נוסעת).
  3. שני גרפים של פונקציה קווית בעיות מציאותיות.
  4. חישוב שטח משולש על מערכת צירים.

4.נושאים נוספים

  1. פונקציה קווית בעיות מילוליות.
  2. משוואת ישר מפורשת.
  3. מתי משוואות ישר חיובית ומתי שלילית.
  4. פתרון אי שוויון בדרך גרפית.

דפים חשובים פחות:

  1. הזווית שפונקציה קווית יוצרת עם הכיוון החיובי של ציר ה x.
  2. שאלות ששאלו אותי בנושא פונקציה קווית.

5.דפים שחוזרים על הנלמד בדפים אחרים

אלו דפים ממוקדים המסבירים נושאים שלמדו כבר בדפים קודמים.

  1. האם נקודה נמצאת על פונקציה קווית.
  2. מציאת משוואת ישר על פי גרף.
  3. מציאת שיפוע על פי גרף.
  4. מציאת שיפוע של פונקציה קווית. (דף המסכם דרכים שנלמדו בדפים אחרים).
  5. זיהוי השיפוע של פונקציה קווית.

2.סיכום קצרצר

נקודה על ישר, הזהות בין משוואת הישר לגרף הישר

בחלק זה הביטוי משוואת הישר חוזר על עצמו והכוונה היא למשוואה האלגברית מהצורה
y = mx + n
y = ax + b

1.נתונה נקודה. איך יודעים אם היא נמצאת על ישר?
מציבים את הנקודה במשוואת הישר ואם יוצא דבר נכון אז הנקודה נמצאת על הישר.
אם יוצא דבר לא נכון הנקודה לא על הישר.

2.נתונה משוואת ישר y = 3x – 2. איך נדע מבלי לשרטט גרף אם הישר עובר דרך ראשית הצירים?

ראשית הצירים היא הנקודה 0,0. נציב את הערכים הללו במשוואת הישר:
2 – 0*3 = 0
2- = 0
זה לא נכון, לכן הישר לא עובר דרך ראשית הצירים.

דרך נוספת
y = mx + n
במשוואת ישר העובר דרך ראשית הצירים n= 0
במשוואה y = 3x – 2 מתקיים n = -2. לכן הישר לא עובר דרך ראשית הצירים.

3.איך מוצאים נקודה כלשהי על ישר (בעזרת משוואת הישר)?
בוחרים ערך x כלשהו, למשל x = 0 ומציבים אותו במשוואת הישר. מקבלים ערך y וזו הנקודה הנמצאת על הישר.

4.הצבתי את הערך  x = 2 במשוואת הישר y = 3x – 1 ומצאתי y = 5.
כאשר נבדוק האם הנקודה 2,5 נמצאת על הגרף של הישר y = 3x + 1. האם בהכרח נמצא שהגרף עובר דרך הנקודה?

כן. יש זהות בין משוואת הישר לגרף הישר.
אם נקודה נמצאת על הישר אז חייבת להיות על הגרף.

5.זיהיתי כי הנקודה 4,1 נמצאת על גרף של ישר.
כאשר נציב את הנקודה במשוואת הישר שממנה יצרו את הגרף מה נקבל?
נקבל ביטוי שהוא תמיד נכון.
למשל:
0 = 0

6.איך משרטטים גרף של ישר?
מוצאים 3 נקודות הנמצאות על הישר לרוב על ידי הצבה של 3 ערכי x כלשהם במשוואת הישר.
משרטטים את הנקודות על מערכת הצירים ומעבירים בניהן ישר.
ניתן למצוא גם בעזרת שתי נקודות בלבד, אבל הנקודה השלישית יכולה למנוע טעות.

7.בגרף המצורף הנקודה A היא (3-, 2).
מה היא הנקודה על הגרף שערך ה y שלה גדול ב 6 מערך ה y בנקודה A?

פתרון
בנקודה A מתקיים y = -3.
ערך  ה y שגדול ב 6 הוא y = 3.
מהסתכלות בגרף ניתן לראות כי כאשר y= 3 מתקיים x = -1.
לכן הנקודה המבוקשת היא (3, 1-).

מציאת משוואת הישר

1.כאשר יש שיפוע ונקודה מוצאים בעזרת הנוסחה.
y = mx + n
או, בבתי ספר אחרים לומדים את הנוסחה:
(y – y1 = m(x – x1

2.כאשר יש שתי נקודות מוצאים בעזרת הנוסחה לשיפוע:
שיפוע ישר על פי 2 נקודות

3.לישרים מקבילים יש שיפוע שווה.
4.מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
5.משוואת ישר המקביל לאחד הצירים ניתן למצוא בעזרת נקודה בלבד.

ובנוסף:
חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבת y=0 במשוואת הישר.
חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבת x = 0 במשוואת הישר.

חיתוך בין שני ישרים מוצאים על ידי השוואה בין שתי המשוואות שלהם.
למשל:
y = 3x +1
y = x- 2
מוצאים על ידי פתרון המשוואה
3x + 1 = x – 2.

גרף פונקציה קווית

המשמעות של m (שיפוע)
במשוואה y = mx + n
m מבטא את שיפוע הישר.
כאשר:
m > 0  הישר עולה.
m < 0  הישר יורד.

גרף עולה הוא גרף שכאשר מסתכלים עליו משמאל לימין הוא עולה.
גרף יורד נראה יורד משמאל לימין.

המשמעות של n
כאשר נציב x = 0 במשוואה y = mx + n נמצא את נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר ה y.
y = m*0 + n
y = n
מצאנו כי נקודת החיתוך היא:

הדרך להבדיל בין ישרים שונים
על מנת להבדיל נסתכל על שני דברים:
נסתכל על שיפוע הישרים.
נסתכל על נקודת החיתוך שלהם עם ציר ה y.

למשל, בשרטוט הישרים הבאים:
y = 0.5x – 1
y = 3x – 1
y = 0.5 + 2

ישר מספר 3 חייב להיות
y = 0.5 + 2
כי זו המשוואה היחידה עם n = 2, נקודת חיתוך עם ציר ה y שהיא 2.
בין ישרים 1 ו 2 נבדיל על ידי השיפוע (m).
לישר 2 שיפוע חד יותר ולכן הוא:
y = 3x – 1
לישר 1 שיפוע מתון יותר לכן הוא:
y = 0.5x – 1

12 תרגילים מסכמים של החומר

תרגילים המיועדים לאלו שיודעים את החומר ורוצים לחזור עליו.
התרגילים עוברים על הרוב המוחלט של חומר הלימוד.

תרגיל 1 בנושא נקודה שעל הישר.
תרגילים 2-5 בנושא מציאת משוואת הישר. אלו התרגילים החשובים בדף.
תרגיל 6 בנושא חישוב שטח משולש.
תרגילים 7-8 בנושא טבלת ערכים ואי שוויונות.
תרגילים 9-11 בנושא הקשר בין גרף הפונקציה למשוואת הפונקציה, בעיות מציאותיות.

לחלק מהתרגילים פתרונות וידאו המופיעים לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1: מציאת נקודות על ישר, האם נקודה נמצאת על ישר

נתונה פונקציה קווית y = 3x – 3.

  1. מה קצב השינוי של הפונקציה (קצב השינוי = שיפוע).
  2. שרטטו טבלה עם 3 נקודות שעל הישר.
  3. מה ערך הפונקציה כאשר x = 0?
  4. מה הערך של x כאשר y =0 ?
  5. האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
  6. שרטטו גרף של הפונקציה (אם לא למדתם תלמדו בהמשך).

פתרון

סעיף א: קצב השינוי ושיפוע הישר
הנוסחה של משוואת הישר היא y = mx + n
המקדם של x שהוא m מייצג את קצב השינוי (שיפוע).
קצב השינוי הוא 3, m = 3.

סעיף ב: מציאת 3 נקודות על הישר
נבחר  את הנקודות x=0, x =1, x=2
כי הן קלות (ניתן לבחור כל ערך x אחר).
נציב כל אחת מהנקודות הללו במשוואת הישר.
y =3x – 3

כאשר x = 0 ערך ה y הוא:
y =3x – 3
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

כאשר x = 1
y =3x – 3
y = 3 * 1 – 3 = 3 – 3 = 0
הנקודה: 1,0

כאשר x = 2
y =3x – 3
y = 3 * 2 -3 = 6 – 6 = 3
הנקודה 3, 2

שלושת הנקודות הללו בטבלה נראות כך:

210x
303-y

סעיף ג: ערך הפונקציה ב x =0
נציב x= 0 במשוואת הישר
y =3x – 3
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

סעיף ד: ערך הפונקציה ב y =0
על מנת למצוא את ערך הפונקציה הקווית כאשר y=0 נציב y=0 במשוואת הפונקציה y = 3x – 3.
3x -3 = 0  / +3
3x = 3  /:3
x = 1
תשובה: כאשר y= 0 אז x = 1.

סעיף ה: האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
כלומר דרך הנקודה 0,0.
נציב 0,0 במשוואת הפונקציה ונראה.
0 = 3 – 3*0
0 = 3-
זה לא נכון ולכן הפונקציה אינה עוברת דרך ראשית הצירים.

סעיף ו: שרטוט גרף הפונקציה.

  1. נשים 3 נקודות מהטבלה על גרף.
  2. ואז נחבר בניהן באמצעות קו (ונמשיך את הקו גם מעבר להן). זה גרף הפונקציה.
210x
303-y

נשים את שלושת הנקודות שמצאנו בטבלה על מערכת צירים והקו העובר בניהן הוא גרף הישר
נשים את שלושת הנקודות שמצאנו בטבלה על מערכת צירים והקו העובר בניהן הוא גרף הישר

תרגילים בנושא מציאת משוואת הישר

תרגיל 2: משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, שיפוע ישרים מקבילים

  1. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (2,4-) ושיפועו 1-.
  2. מה משוואת הישר המקביל לישר שמצאתם בסעיף 1 ועובר דרך הנקודה 0,0.

פתרון
סעיף א: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה
כאשר יש לנו שיפוע ונקודה נציב אותם בנוסחה ונמצא את משוואת הישר.
זו הנוסחה
(y – y1 = m(x-x1
ואלו הנתונים:
m = -1,  והנקודה (2,4-)

((y – 4 = -1(x-(-2
(y-4 = -1(x+2
y -4 = -x -2  / +4
y = -x +2
(זו משוואת הישר)

סעיף ב: מציאת משוואת ישר מקביל
שיפוע ישרים מקבילים שווה.
שיפוע הישר  שמצאנו y = -x +2 הוא 1-.
לכן שיפוע הישר המקביל 1-.
והוא עובר דרך הנקודה 0,0.

זה למעשה עוד תרגיל של מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y – y1 = m(x-x1
(y – 0 = -1(x-0
y = -x

הגרף של שני הישרים נראה כך:

הגרפים של הישרים

תרגיל 3: משוואת ישר על פי שתי נקודות

  1. מצאו את משוואת הישר העובר
    דרך הנקודות (1,0) (3, 2-).
  2. מה השיפוע של ישר זה?
  3. מהסתכלות במשוואת הישר בלבד.
    מה היא נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר ה Y?

פתרון

שיפוע ישר על פי שתי נקודות נתון על ידי הנוסחה

נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:

השיפוע הוא 1-

עכשיו נמצא משוואת ישר על פי נקודה (0, 1) ושיפוע 1-.
(y – y1 = m(x-x1
(y – 0 = -1(x-1
y = -x +  1

חלק שני
y = -x +  1
במשוואת ישר סטנדרטית קצב ההשתנות או השיפוע הם המקדם של x.
במקרה הזה 1-.

הערה: משוואת ישר סטנדרטית היא מהצורה
y = mx + n
והשיפוע / קצב ההשתנות הוא m.
משוואת ישר לא סטנדרטית היא כאשר המבנה הוא אחר, למשל:
y + 2x = 4
2y = 5x + 1
y – 1 = 2x
ואת המשוואות הללו יש להעביר למצב סטנדרטי על מנת למצוא את השיפוע.

חלק שלישי
במשוואת ישר y = mx + n
ערך ה y בנקודת החיתוך עם ציר ה  y הוא n.
לכן עבור הישר y = -x +  1
נקודת החיתוך היא (1, 0).

תרגיל 4: מציאת נקודת החיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות

  1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם הצירים.
  2. מצאו את התחום שבו הישר חיובי והתחום שבו הישר שלילי.
  3. דרך נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם ציר ה x מעבירים ישר המקביל לציר ה y מצאו את משוואת הישר.

פתרון

סעיף א: מציאת נקודות חיתוך
חיתוך של ישר עם ציר ה y מציבים x = 0
חיתוך של ישר עם ציר ה x מציבים  y =0

חיתוך עם ציר ה y
מציבים x = 0
y = 0.5x -2
y = 0.5*0 – 2 = -2
(2- , 0) נקודת החיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x
מציבים y=0
y = 0.5x -2
0.5x – 2 = 0  / +2
0.5x = 2  / *2
x = 4
(0,  4) נקודת חיתוך עם ציר ה x.

סעיף ב: תחומי חיוביות ושליליות
y = 0.5x -2
דרך אחת למצוא את תחומי החיוביות והשליליות היא לפתור את האי שוויון:
0.5x – 2 > 0
0.5x > 2
x > 4
מצאנו שהישר חיובי כאשר x > 4 ולכן הישר שלילי כאשר x < 4.

דרך שנייה למצוא חיוביות שליליות היא באמצעות גרף
הישר חותך את ציר ה x בנקודה (0,  4).
מכוון שהמקדם של x במשוואת הישר הוא חיובי אז הפונקציה היא פונקציה עולה.
לכן הפונקציה חיובית כאשר x>4 ושלילית כאשר x<4.

ניתן לזהות את תחומי החיוביות והשליליות בגרף.

שרטוט הישר y = 0.5x -2 ונקודות החיתוך של הישר עם הצירים
שרטוט הישר y = 0.5x -2 ונקודות החיתוך של הישר עם הצירים

סעיף ג: משוואת ישר המקביל לציר ה y
דרך הנקודה (0, 4) מעבירים ישר המקביל לציר ה y.
התכונה של ישרים המקבילים לציר ה y היא שיש להם ערך x קבוע לכל אורכם.
ומכוון שבנקודת החיתוך היא x =4 אז משוואת הישר היא x = 4.

תרגיל 5

ידועה משוואת הישר y = -3x +4  ומשוואת הישר y = (a+5)x + 1 (כאשר a הוא פרמטר).

  1. עבור איזה ארך של a שני הישרים מקבילים?
  2. עבור אלו ערכים של a הישרים אינם מקבילים?

פתרון
על מנת שהישרים יהיו מקבילים המקדמים של x צריכים להיות שווים בשתי המשוואות.
לכן צריך להתקיים:
a + 5 = -3
a = -8
תשובה: עבור a = -8 הישרים מקבילים.

סעיף ב: עבור אלו ערכים של a הישרים לא מקבילים?
בכול המקרים שבהם a ≠ -8 הישרים לא מקבילים.

תרגיל 6

עבור משוואת הישרים y = x(m – 2) + 3     ו   2y + 4x  = 5

  1. עבור איזה ערך של m הישרים מאונכים?
  2. עבור איזה ערך של m הישרים מקבילים?
  3. האם יש ערך m עבורו הישרים מתלכדים?

פתרון
סעיף א: ישרים מאונכים
ישרים מאונכים הם ישרים שמכפלת השיפועים שלהם היא 1-.

אבל את השיפועים אנו מזהים רק במשוואת ישר מפורשת.
לכן נשנה את הישר הבא למשוואת ישר מפורשת.

2y + 4x  = 5
2y = – 4x + 5  / :2
y = – 2x + 2.5

על מנת שהישרים יהיו מאונכים צריך שמכפלת השיפועים היא 1-.
וזו המשוואה המתאימה:

-2 * (m – 2) = -1
-2m + 4 = -1
-2m = -5
m = -2.5

תשובה: עבור m = – 2.5 הישרים מקבילים.

סעיף ב: ישרים מקבילים
ישרים מקבילים הם ישרים עם שיפועים שווים.
ושוב פעם, את השיפועים ניתן למצוא רק במשוואת הישר המפורשת.

שני הישרים הם:
y = – 2x + 2.5
y = x(m – 2) + 3

הם מקבילים כאשר:
m – 2 = -2  / +2
m = 0

תשובה: כאשר m = 0  הישרים מקבילים.

סעיף ג: ישרים מתלכדים
ישרים מתלכדים רק כאשר יש להם את אותה משוואת ישר.

y = – 2x + 2.5
y = x(m – 2) + 3

מצאנו שאותו שיפוע מתקבל ב m = 0.
אבל המשפרים החופשיים אף פעם לא יכולים להיות שווים, לכן הישרים לא יכולים להיות מתלכדים.

תרגיל 7: ישר מקביל לצירים, שטח משולש

נתונה הפונקציה הקווית y = -2x + 3.

  1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y (מסומנת בשרטוט כנקודה A).
  2. על ציר ה y  נמצאת הנקודה (B (0, -4. חשבו את המרחק בין הנקודות A ו B.
  3. דרך הנקודה B מעבירים את הישר BC המקביל לציר ה x .
    מצאו מה ערכי הנקודה שבה הישר המקביל חותך את הפונקציה הקווית y = -2x + 3 (הנקודה C שבגרף).
  4. חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א: מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה y.
מציבים x = 0 במשוואת הפונקציה.
y = -2x + 3.
y = -2*0 +3 = 3
(A (0, 3

סעיף ב: חישוב מרחק
(A (0, 3
(B (0, -4
לכן אורכו של AB הוא
7 = (4-) – 3

סעיף ג: מציאת הנקודה C.
ישר המקביל לציר ה x הוא ישר עם ערך  y קבוע לכול אורכו.
בנקודה B מתקיים y = -4 ולכן גם בנקודה C מתקיים y = -4.

נציב y= -4 במשוואת הישר ונקבל את ערך ה x בנקודה C.
y = -2x + 3
2x + 3 = -4  / -3-
2x = -7  /:2-
x = 3.5
תשובה: הנקודה (C (3.5, -4

סעיף ד: חישוב שטח משולש
משולש ABC הוא משולש ישר זווית.
כאשר הניצבים הם AB,BC.

מצאנו בסעיף ב שאורך הניצב AB הוא 7.

נחשב את אורך הניצב BC.
המרחק בין הנקודות (B (0, -4  ו (C (3.5, -4 הוא:
3.5 = 0 – 3.5

שטח המשולש הוא:
S = (3.5 *7) / 2
S = 24.5 / 2 = 12.25
12.25 = 2 : 24.5
תשובה: שטח משולש ABC הוא 12.25 יחידות ריבועיות.

תרגיל 8: בניית פונקציה קווית על פי טבלה

נתונות שתי טבלאות של ערכי x וערכי y.
ידוע כי הטבלאות הללו מייצגות פונקציה קווית.
התאימו לכל אחת מהטבלאות משוואה של פונקציה קווית.

טבלה ראשונה

x2410
y101114

טבלה שנייה

x2-25
y010-25-

פתרון

נבנה משוואת ישר עבור הטבלה הראשונה.

x2410
y101114

בניית משוואת ישר היא בעצם מציאת m,n במשוואה:
y = mx + n
m מבטא את השיפוע או קצב השינוי.
n הוא הערך של y כאשר x = 0.

מציאת m
אנו רואים שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x גדל ב 1 ערך ה y גדל ב 0.5.
קצב השינוי הוא 0.5
m= 0.5.

מציאת n
ערך ה n הוא ערך ה y כאשר x= 0.
כאשר x =2 אז y = 10.
קודם מצאנו שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x קטן ב 2 ערך ה y קטן ב 1.
לכן כאשר x = 0 אז y = 9.
n = 9.

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = 0.5x + 9

בדיקה:
נציב את ערכי x המופיעים בטבלה ונראה אם אנו מקבלים את ערכי ה y המתאימים להם:
x =2
y = 0.5 *2 + 9
y = 1 + 9 = 10
(מתאים לטבלה)

x = 4
y = 0.5 * 4 + 9
y = 2 + 9 = 11
(מתאים לטבלה)

שתי נקודות מספיקות לבדיקה.

הטבלה השנייה.

x2-25
y010-25-

מציאת m
אנו רואים שכאשר ה x גדל ב 4 ערך ה y קטן ב 10.
לכן כאשר ערך ה x גדל ב 1 ערך ה y קטן ב 2.5.
2.5 – = 4 : 10-
לכן m = -2.5

מציאת n
עלינו למצוא את הערך של y כאשר x = 0.
כאשר x = -2 ערך ה y הוא 0.
לכן כאשר x = 0 ערך ה y הוא 5-.
n = -5

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = -2.5x – 5

תרגיל 9: אי שוויונית קווים, משמעות גרפית

נתונים הגרפים של הפונקציות
g (x)= -5x  ו   f(x) = -2x +2.

  1. מצאו את הנקודה A.
  2. עבור אלו ערכים (g(x) >f (x.
    הסבירו באמצעות גרף ולא באמצעות חישוב.

שרטוט גרפים

פתרון

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הגרפים נקודה זו  ערכי ה X וה Y שווים.
(f(x) = g (x
2x + 2 = -5x  / +2x –
3x = 2  / : -3-
x = – 0.666

מצאנו את ערך ה x בנקודה A. עכשיו עלינו למצוא את ערך ה y בנקודה:
y = -5 * -0.666 = 3.333

(A (-0.666, 3.333

חלק שני
בהתבוננות בגרף ניתן לראות שהגרף (g(x  נמצא מעל גרף (f(x משמאל לנקודת החיתוך A.
כלומר כאשר x< -0.666.

תרגילים בנושא בעיות מציאותיות, הקשר בין גרף למשוואה

תרגיל 10: בניית פונקציה קווית על פי נתונים

בפארק שעשועים מחיר הכניסה לאתר הוא 20 שקלים
ולאחר מיכן צריך לשלם 15 שקלים עבור כל מתקן עליו עולים.
כתבו פונקציה קווית המתארת את הקשר שבין מספר
המתקנים שעליהם עולים לבין הסכום לתשלום

פתרון
אם x הוא מספר המתקנים עליו עולים.
אז 15x הוא הסכום שמשלמים עבור העליה למתקנים.
למי שזה לא ברור ניתן להסתכל הטבלה הבאה:

מספר המתקנים123
הסכום לתשלום153045

15x הסכום לתשלום עבור המתקנים.
20 שקלים לתשלום בכניסה.
סך הכל לתשלום 15x+20.
y=15x+20 – זו הפונקציה הקווית.

אם היה לכם קושי במציאת הפונקציה ניתן לבנות טבלה  ובעזרתה לבנות את הפונקציה.

מספר המתקנים עליהם עולים123
הסכום לתשלום355065

דרך אחרת להבין את הפתרון
משוואת ישר נראית כך:
y = mx + n
הרכיב n הוא מספר קבוע שאינו משתנה ולכן מתאים להוצאה הקבועה של כניסה לפארק.
n = 20.
לעומת זאת mx הוא רכיב המשתנה כאשר x משתנה ולכן זה מתאים להוצאה המשתנה כאשר עולים על מספר שונה של מתקנים.
mx = 15x.
y = 15x + 20

הסבר מפורט לדרך זו בסרטון הוידאו.

תרגיל 11: הקשר שבין בעיה מציאותית לפונקציה קווית

שני פועלים מעמיסים שתי משאיות שונות.
שתי המשאיות לא היו ריקות בזמן תחילת המילוי.
שתי פונקציות קוויות מתארות את כמות הארגזים בכול משאית כפונקציה של הזמן.

המשתנה x הוא הזמן בדקות.
כלומר כאשר x =1 זה מתאר את כמות הארגזים במשאיות כעבור דקה אחת.

f (x ) = 20 + 3x  (פועל א).
g (x ) = 50 + 2x   (פועל ב).

  1. קצב המילוי של איזה פועל מהיר יותר?
  2. כמה ארגזים היו בכל אחת מהמשאיות כאשר הפועלים התחילו למלא?
  3. כעבר כמה זמן כמות הארגזים במשאיות תהיה שווה?

פתרון
קצב המילוי של פועל א מהיר יותר.
קצב המילוי נקבע על ידי המקדם של x. ואצל פועל א המקדם הוא 3 לעומת 2 אצל פועל ב.
למשל:
ב x = 5.
כמות הארגזים אצל פועל א היא:
35 = 5 * 3 + 20
ואצל פועל ב היא:
60 = 5 * 2 + 50

ב x = 6
אצל פועל א
38 = 6*3 + 20
ואצל פועל ב:
62 = 6 *2 + 50

כלומר לפועל א נוספו 3 ארגזים ולפועל ב נוספו 2 ארגזים.
קצב המילוי של פועל א גבוה יותר.

סעיף ב: מספר הארגזים לפני המילוי
x = 0 מתאר את הזמן ההתחלתי לפני שהתחילו במילוי.
נציב x = 0 בכול אחת מהמשוואות.
f (x) = 20 + 3x
f (0) = 20 + 3*0 = 20
כלומר בזמן 0 היו במשאית 20 ארגזים.

g (x) = 50 + 2x
g (0) = 50 + 2*0 = 50
כלומר בזמן 0 היו במשאית 50 ארגזים.

תשובה: מספר הארגזים לפני המילוי במשאית של פועל א היה 20.
ואצל פועל ב 50.

סעיף ג: כמות שווה
f (x ) = 20 + 3x
g (x ) = 50 + 2x

כמות שווה של הארגזים תהיה כאשר
(f (x) = g (x
נבנה משוואה:
3x + 20 = 2x + 50
3x + 20 = 2x + 50  / -2x – 20
x = 30
בזמן x=30, לאחר 30 דקות של מילוי, כמות הארגזים בשתי המשאיות תהיה שווה.

תרגיל 12: בעיה מילולית, בעיית גרף ופונקציה קווית

ברז א ממלא את בריכה א  וברז ב מרוקן את בריכה ב (בריכה אחרת).
הגרף הבא מתאר את כמות המים בליטרים שיש בכול אחת מהבריכות כפונקציה של הזמן.

  1. מה מתארות הנקודות A,B,C,D?
  2. מה הקצב שבו ברז א ממלא את הבריכה ומה הקצב שבו ברז ב מרוקן את הבריכה?
  3. *בנו משוואת ישר המתארת את כמות המים בכול אחת מהבריכות.

פתרון

סעיף א

הנקודה A.
בנקודה A הזמן הוא 0.
לכן A היא הנקודה שבה ברז א התחיל למלא את הבריכה.

הנקודה B
בנקודה B שני הגרפים נפגשים.
לכן B היא הנקודה שבה כמות המים שבשתי הבריכות הייתה שווה.

הנקודה C
הנקודה C היא הנקודה האחרונה בגרף של ברז א.
לכן C היא הנקודה שבה ברז א סיים למלא 500 ליטרים בבריכה.

הנקודה D
בנקודה D כמו המים בבריכה ב הוא 0.
לכן D היא הנקודה שבה ברז ב סיים לרוקן את בריכה ב.

סעיף ב

ברז א ממלא 500 ליטרים תוך 3 שעות
לכן הקצב שבו הוא ממלא הוא
166.66 = 3 : 500
166.66 ליטרים בשעה.

ברז ב מרוקן 500 ליטרים תוך 5 שעות
לכן הקצב שבו הוא מרוקן הוא
100 = 5 : 500
100 ליטרים בשעה.

*סעיף ג: בניית משוואת ישר
כמות המים בכול אחת מהבריכות מתוארת בגרף על יד קו ישר.
ניתן להגיד שהמשוואה של כל אחד מהגרפים היא: y = mx + n.

כאשר y זו כמות המים בבריכה בכול זמן נתון (מתואר על ידי ציר ה y)
ו- x זה הזמן שעבר מתחילת מילוי / ריקון הבריכה (מתואר על ידי ציר ה x).

מציאת n
כאשר נציב זמן 0 (כלומר x= 0) במשוואת הישר נקבל:
y = m * 0 + n
y =n
נקודת החיתוך עם ציר ה y מיוצגת על ידי x =0, ובה y = n.
זו נקודת ההתחלה מבחינת הזמן.

בנקודת ההתחלה עבור ברז א y=0 ולכן n =0.
בנקודת ההתחלה עבור ברז א y=500 ולכן n =500.

מציאת m
כמו כן השיפוע של הישר הוא קצב המילוי / ריקון של הבריכה.

בריכה א מתחילה מ 0 לכן n=0. השיפוע הוא קצב המילוי m=166.66.
לכן המשוואה המתארת את ברז א היא:
y = 116.66x.

בריכה ב מתחילה מ 500 לכן n=500.
השיפוע הוא קצב המילוי לכן m= -100. (סימן המינוס מבטא את זה שהברז מרוקן).
לכן המשוואה המתארת את ברז ב:
y = -100x+500.

עוד באתר:

נספח: סרטון מסכם וארוך של החומר

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

41 מחשבות על “פונקציה קווית כיתה ח”

  1. היי נתנו לי תרגיל בכיתה וכולם הצליחו לפתור אותו אבל אני לא ואני לא מבינה למה אני לא מצליחה אתם תוכלו להסביר לי בבקשה ???
    זה התרגיל :
    ספור: באמבטיה היו 56 ליטר מים, פתחו את הפקק כדי לרוקן את האמבטיה. האמבטיה מרוקנת 8 ליטר בכל דקה.
    התאימו לזמן שחלף את כמות המים באמבטיה.
    המשך השאלה הוסר מהאתר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      על מנת להשלים את הטבלה עלייך לחשב את כמו המים בבריכה לאחר 1,2,3 וכן הלאה דקות.
      למשל לאחר דקה יש 56 פחות 8 ליטרים.
      לאחר שתי דקות 56 פחות 8*2 ליטרים.

      בנוגע לשאר השאלות אני מציע ללמוד את הדפים:
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/different-show-of-linear-function/
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-graph-plot/

      כמו כן בעיות מילוליות דומות יש כאן
      https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-word-problems/

          1. יששש תודה רבהה לכם !!
            רגע הישר לא עובר בראשית הצירים לא ?
            כי שרטטתי בגרף את הקו ויצא שהוא לא עוברת בראשית הצירים או חותך את ה Y בנקודה כל שהיא הוא נמצא ברביע ראשון . אז לכתוב שהוא לא עובר בראשית הצירים או חותך את ה – Y בנקודה כל שהיא ? או שהוא בעצם כן עובר שם ??

              1. אבל זה לא שוהה : 0=0 זה יצא לי : 0 = 56 זה אומר שזה לא עובר בראשית הצירים ?

              2. לומדים מתמטיקה

                כן, כאשר מציבים נקודה במשוואת ישר ויוצא משהו לא נכון כמו 0 = 56 זה אומר שהנקודה לא על הישר.
                הישר לא עובר בראשית הצירים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש, השקופית הפותחת של הסרטונים מסומנת בכחול.
      בדף הזה יש בערך 10 סרטונים.
      ובכמעט כל קישור שתלחצי עליו יש גם כן לפחות סרטון אחד.

  2. אתר מצוין!
    יש לי שאלה, לא הצלחתי למצוא לה תשובה.
    ילדה טוענת שאם הפונקציה שלילית עבור x<4 אז היא (המשך השאלה הוסר).

  3. איך אוכל להוכיח ש2 ישרים מקבילים בתוך גרף (צורה משאלות של פונקיצה קווית) אני שולחת את השאלה:
    קודקודי מרובע ABCD הם : (D (1,4) C(4,1) B(7,4) A (5,6
    א) הוכח כי AB||CD
    ב) האם מרובע ABCD מקבילית? נמק.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את יכולה למצוא את השיפוע של כל אחת מצלעות המקבילית על ידי הנוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות.
      ואם יש שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות אז זו מקבילית.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    א. תודה ענקית על האתר המדהים!! אני נעזרת בו המון!!!
    ב. איך אני יודעת שמנה של ישרים שנחתכים הינה שלילית?

  5. שלום רב
    לפני כחודש שנכנסתי לאזור של הסבר על פונקציה היה סרטון של קרוב ל20 דקות ממש מצוין והוא פשוט נעלם איך אני מגיע אליו?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שלומי
      במקום הסרטון ההוא עלו סרטונים קצרים יותר בראש נדף.
      הוספתי את הסרטון ההוא בסוף הדף כנספח.
      תוכל למצוא אותו שם.

  6. האתר מצויין…
    הייתי שמח אם היית מסביר במילים קצת פחות גבוהות למי שפחות מכיר את המושגים…
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה מנחם. אני מעוניין לשפר את האתר.
      הסתכלתי בדף וראיתי מושג אחד שנראה בלשון "גבוהה" והוא קצב השינוי. האם אליו הכוונה? או שיש גם אחרים?

  7. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, רציתי לשאול למה בשאלה רביעית הN הוא 0 או 500 . למה מציבים במספר החופשי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה על השאלה.
      האם את / אתה יודעים שנקודת החיתוך של ישר עם ציר ה y היא בעצם ערך ה n במשוואה y = mx n?
      אם כן זו התשובה הקצרה לשאלה הזו. אם לא יש באתר דף "גרף פונקציה קווית" ובו יש הסבר גם על זה
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-graph/

      וזו התשובה המפורטת לשאלה:
      כמות המים בכול אחת מהבריכות מתוארת בגרף על יד קו ישר.
      ניתן להגיד שהמשוואה של כל אחד מהישרים היא: y = mx + n.
      כאשר y זו כמות המים בבריכה בכול זמן נתון (מתואר על ידי ציר ה y)
      ו- x זה הזמן שעבר מתחילת מילוי / ריקון הבריכה (מתואר על ידי ציר ה x).
      כאשר נציב זמן 0 (כלומר x= 0) במשוואת הישר נקבל:
      y = m * 0 + n
      y =n
      נקודת החיתוך עם ציר ה y מייצגת את x =0, נקודת ההתחלה מבחינת הזמן.
      לכן עבור בריכה א n =0 ועבור בריכה ב n = 500.
      מקווה שעזרתי
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ארגמן
      (f(x זה שם כללי של פונקציה וגם ערך ה Y של הפונקציה.
      למה הכוונה?
      אם יש פונקציה:
      f(x) = x + 3
      זה אומר שעבור x = 2 ערך ה y של הפונקציה הוא 5.
      עבור x = -6 ערך ה y הוא 3-.
      ובקיצור ערך ה Y גדול תמיד מ 3 מערך ה x.
      ואם יש פונקציה:
      f(x) = x^2 +9
      זה אומר שאם x = 2 אז ערך ה Y הוא:
      13 = 9 + 2^ 2
      אני מקווה שזה יותר מובן.
      ואם לא תשאיר כאן תרגיל שאתה לא מצליח לפתור וננסה להבין יחד דרך פתרון תרגילים.
      בהצלחה

  8. תודה רבה על האתר הנפלא!!!
    החלוקה לנושאים, ההסברים הבהירים, השרטוטים הברורים והתרגול מעולה, ותמיד אפשר לתרגל עוד…
    תודה ענקית!!!!
    אתם עוזרים לי מאוד!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.