גרף פונקציה קווית

הערה: משוואת ישר ופונקציה קווית הם שני שמות של אותו דבר. בדף זה אשתמש בשני המושגים אך הכוונה היא לאותו דבר.

משוואת הישר נכתבת כך:
y = mx + n

לדף זה 3 חלקים:

  1. נלמד את המשמעות של m במשוואת הישר.
  2. נלמד את המשמעות של n במשוואת הישר.
  3. תרגילים בהם צריך להתאים בין משוואות כתובות לגרפים של ישרים.

על מנת להבין את הדף עליכם לדעת:

  1. לזהות עלייה וירידה של ישר.
  2. לזהות שיפוע גדול לעומת שיפוע קטן.

ניתן לחזור על שני הדברים הללו על ידי לחיצה על המשולש או בדף שיפוע של ישר.

חזרה על שני המושגים: עלייה וירידה ושיפוע (לחצו להרחבה)

עליה וירידה
עליכם לדעת לזהות אם גרף ישר עולה או יורד.
כיצד עושים זאת?
כאשר אתם רואים גרף של משוואת ישר הסתכלו על הגרף משמאל לימין.
אם הגרף עולה משוואת הישר עולה.
אם הגרף יורד אז משוואת הישר יורדת.

הישר השחור יורד, הישר האדום עולה
הישר השחור יורד, הישר האדום עולה

שיפוע
חוץ מלדעת אם ישר עולה או יורד מעניין אותנו לדעת האם הישר עולה מהר או לאט? יורד מהר או לאט?
בשרטוט למטה ניתן להגיד שהישר האדום עולה בשיפוע גדול (מהיר) יותר מהישר השחור.

בשרטוט למטה ניתן להגיד ששני הישרים יורדים והישר השחור יורד בשיפוע גדול (מהיר) יותר מהישר האדום.

1.משמעות של m (משמעות השיפוע)

את משוואת הישר נהוג לכתוב באחת משתי הצורות הללו.
y = mx + n
y = ax + b
בחלק זה נסביר את המשמעות של המקדם של x, שהוא השיפוע על גרף הפונקציה הקווית.

משמעות ראשונה
כאשר ה m > 0 משוואת הישר עולה (הישרים השחורים).
כאשר m < 0 משוואת הישר יורדת (הישרים האדומים).

משמעות שנייה
ככול שהערך המוחלט של m גדול יותר כך גרף הפונקציה תלול יותר.
למשל:
ישר ששיפועו m = 5 לעומת m = 2.
הישר ששיפועו 5 שיפועו גדול יותר והגרף שלו יראה תלול יותר.

ישר ששיפועו m= -1 לעומת m= -6.
הישר ששיפועו 6- שיפועו גדול יותר והגרף שלו יראה תלול יותר.

ככול שה M גדול יותר בערכו המוחלט כך הגרף יותר תלול

 

תרגיל 1
השיפועים של שלושת הישרים המשורטטים הם:
m = -2
m = 1
m = 3

קבעו איזה שיפוע מתאים לאיזה ישר.

לצפייה בפתרון

הישר השחור
הוא הישר היחיד שיורד, ויש רק שיפוע אחד שלילי לכן m = -2 עבור הישר השחור.

הישר האדום והישר הירוק שניהם עולים.
הישר הירוק עולה בקצב מהיר יותר ולכן שיפועו m = 3.
הישר האדום עולה לאט יותר ולכן שיפועו m =1

תרגיל 2
עבור שלושת הישרים הבאים השיפועים הם:
m = 2
m = -2
m = -0.5
התאימו בין הישרים לבין הגרפים המשורטטים.

 

לחצו לצפייה בפתרון

הישר השחור
הוא הישר היחיד שעולה.
m = 2 הוא השיפוע היחיד שעולה, לכן הם מתאימים.

הישר האדום והישר הירוק שניהם יורדים ולכן מתאים להם שיפוע שלילי.
הישר האדום יורד בצורה תלולה יותר ולכן השיפוע המתאים לו הוא m = -2.
הישר השחור יורד בצורה מתונה יותר ולכן השיפוע המתאים לו הוא m = – 0.5.

2.המשמעות של n

n הוא נקודת החיתוך של הפונקציה הקווית עם ציר ה y.
y = 3x -1   – נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (1-,0).
y = x + 3   – נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0,3).
y = -2x   – נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0,0) (ראשית הצירים).
(ניתן לכתוב משוואת ישר זה כ y = -2x + 0)

הדבר נובע מכך שעל מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0 במשוואת הישר.
כאשר נציב x = 0 במשוואה:
y = mx + n
נקבל:
y = m * 0 + n
y =n
כלומר הישר חותך את ציר ה y כאשר y = n.

תרגיל 1
עבור הישרים הבאים ערכי ה n הם:
n = 1
n = – 3
n = 0
התאימו בין הגרפים לערכי ה n.

לצפייה בפתרון

n = -3 הוא הערך הקטן ביותר ולכן מתאים לישר החותך את ציר ה y בנקודה הנמוכה ביותר, וזה הישר השחור.

n = 0 מתאים לישר העובר בראשית הצירים (y = 0) ולכן זה הישר האדום.

n = 1 הוא הערך הגבוה ביותר של n מבין השלושה ולכן צריך להיות מיוצג על ידי הישר החותך את ציר ה y בנקודה הגבוהה ביותר. וזה הישר הירוק.

דרך אחרת לזהות את הישר הירוק היא לראות שהוא היחידי שחותך את את ציר ה y מעל ציר ה x, ולכן הוא היחיד שמתאים לו n חיובי.

סיכום: שלושת דרכי ההתאמה בין משוואת ישר לגרף

כאשר נסתכל על משוואת הישר   y = mx + n.
יש 3 דברים שצריך לשים אליהם לב בהתאמה בין ישר לגרף:

1.הסימן של m
עליכם לדעת שעבור m > 0 הישר עולה.
(לכן הוא הישר האדום בשרטוט).

עבור  m < 0 הישר יורד.
(הישר השחור בשרטוט).

כאשר m = 0  זה ישר מקביל לציר ה x (למשל y = 2).
(הישר האפור בשרטוט).

כאשר m לא מוגדר זה ישר המקביל לציר ה y   (למשל x = -1)
(הישר הצהוב בשרטוט).

2.גודל ה m
כאשר m גדול בערכו המוחלט קצב העליה או הירידה של הפונקציה גדל.
למשל:
y = 4x + 1
y = 2x + 1
המשוואה הראשונה מתאימה לישר האדום כי הוא עולה מהר יותר מהישר השחור.

דוגמה נוספת עבור ישרים יורדים:
y = – 6x +1
y = – 2x + 1
המשוואה הראשונה מתאימה לישר השחור כי הוא יורד מהר יותר.

3.הערך של n
הערך של n הוא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.
וזה בגלל שכאשר מציבים x =0 מקבלים את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
וכאשר נציב x = 0 במשוואת הישר y = mx + n נקבל:
y = m* 0 + n
y = n

לכן נקודת החיתוך היא
(0,n)

ועבור שתי המשוואות
y = – 3x – 2
y = – 3x -1
הישר האדום הוא המשוואה הראשונה והשחור המשוואה השנייה.

כיצד מוצאים נקודת חיתוך של משוואת הישר עם ציר ה X

נציב Y=0 במשוואת הישר ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה X.

תרגיל
y=3x-6
3x-6 = 0 / +6
3x=6  /:3
x=2
נקודות החיתוך היא (2,0).

y=3x-6
y=3x-6

3.תרגילים

בחלק זה 5 תרגילים. לכל התרגילים פתרונות וידאו ופתרונות כתובים.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר היכולה להתאים לגרף.

פתרון
y = 2x  -2
זו משוואת ישר עולה ואילו הגרף יורד לכן היא לא מתאימה.
y = -3x + 1
זו משוואת ישר החותכת את ציר ה y בנקודה (0,1) ובגרף רואים שהחיתוך הוא כאשר y שלילי, לכן היא לא מתאימה.
y = 5x
זו משוואת ישר עולה ואילו הגרף יורד לכן היא לא מתאימה.
y = -3x – 4
זו משוואת ישר שהיא גם יורדת וגם חותכת את ציר ה y במקום שלילי

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר היכולה להתאים לגרף.

פתרון
בפתרון התרגיל הקודם פסלנו משוואה אחרי משוואה עד שהגענו למשוואה הנכונה.

בתרגיל זה נסתכל על הגרף ונבדוק מה המאפיינים של m,n שצריכים להיות במשוואה שלו.
m > 0 כי זו משוואה עולה.
n < 0 כי נקודת החיתוך עם ציר ה y היא כאשר y < 0.
המשוואה היחידה המתאימה לשני התנאים הללו היא המשוואה:
y = 6x – 2 (משוואה מספר 2).

תרגיל 3
|נתונות נוסחאות הישר הבאות:

  1. y = -4x+1
  2. y = 3x+4
  3. y = -2x+1
  4. y=3x+1

התאימו בין כל אחת מהמשוואות לבין הגרפים המשורטטים מטה.

גרפים של משוואות ישר

פתרון וידאו:

פתרון כתוב:

  1. גרף 1 המשוואה y=3x+1.
  2. גרף 2 המשוואה y = 3x+4.
  3. גרף 3 המשוואה y = -2x+1.
  4. גרף 4 המשוואה y = -4x+1.

פתרון התרגיל

הסבר
נוח לחלק את משוואות הישר לעולות ויורדות.

משוואות 1,2 הן עולות.
רואים בגרף שמשוואה 1 (y=3x+1) חותכת את ציר ה y בנקודה נמוכה המתאימה ל n=1 ואילו משוואה 2 (y = 3x+4) חותכת את ציר ה y בנקודה המתאימה ל n=4.

משוואות 3,4 הן יורדות.
שתיהן חותכות את ציר ה y בנקודה (0,1) לכן אין הבדל בניהן בפרמטר n.
ניתן לראות שגרף 4 יותר תלול. הוא מתחיל יותר למעלה ומסיים יותר למטה. לכן ערך ה m שלו גדול יותר בערכו המוחלט. גרף 4 מתאים למשוואה y = -4x+1, ואילו גרף 3 למשוואה y = -2x+1.

תרגיל 4
התאימו את המשוואות הבאות לגרפים.

  1. y= -x-1
  2. y=5
  3. y=3x-1
  4. x=2
  5. y= -2x-1

גרפים של משוואות ישר

פתרון וידאו

פתרון כתוב

  1. גרף 1 הוא המשוואה y=3x-1  (כי הוא היחידי שעולה).
  2. גרף 2 הוא המשוואה y= -x-1 כי הוא יורד בצורה מתונה יותר מגרף 3.
  3. גרף 3 הוא המשוואה y= -2x-1 כי הוא יורד בצורה חדה יותר מגרף 2.
  4. גרף 4 הוא y=5 כי ערך ה Y שלו תמיד 5.
  5. גרף 5 הוא x=2 כי ערך ה x שלו תמיד 2.

פתרון התרגיל

תרגיל 5
ידוע כי השיפוע של משוואת ישר הוא 4. כמו כן f (-1)=6.
מה ערכו של (f(1 ?

הערה:
(f (-1 הכוונה היא x= -1.
(f(1  הכוונה היא x=1.

פתרון
אם השיפוע הוא 4 זה אומר שכאשר x עולב ב 1 y עולה ב 4.
במקרה זה x עלה ב 2 מ 1- ל 1. לכן ה Y צריך לעלות ב 8.
14 = 6+8
תשובה: f(1) = 14.

תרגיל
מי מבין הגרפים הבאים יכול להיות הגרף שמייצג את משוואת הישר y = -3x+2?

גרפים של משוואת ישר

פתרון וידאו

פתרון
הגרף שיכול להיות מתאים למשוואת הישר y = -3x+2 הוא גרף 3.
בגלל שזה הגרף היחידי שיורד (ומתאים ל m=3) וגם חותך את ציר ה Y מעל לראשית הצירים שזה מתאים ל n=2.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

3 מחשבות על “גרף פונקציה קווית”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מנחם
      אני לא רואה טעות.
      בתרגיל 2 המשוואות של 2,3 הן
      y= -2x-3
      y=5x
      והגרפים מתאימים להן.
      ובתרגיל 1
      y= -x+2
      y=x+2
      והגרפים מתאימים להם.
      צור איתי קשר אם אתה רואה משהו אחר

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.