ישרים מקבילים לצירים

סביר להניח שאתם הגעתם לפה על מנת לדעת לפתור שאלה כזו:
"מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x / מקביל לציר ה y.

התשובה הקצרה אומרת שישר המקביל לציר לה x יש לו ערך y קבוע לכל אורכו ולכן אם ב A מתקיים y = 4 אז y = 4 לכל אורך הישר.
וישר המקביל לציר ה y יש לו ערך x קבוע לכל אורכו, לכן אם ב A מתקיים x = 3 אז x = 3 לכל אורך הישר.

זו התשובה הקצרה.
התשובה המפורטת מוסברת בהמשך הדף.

1.תקציר

תכונת הישרים המקבילים לצירים

לישר המקביל לציר ה x יש תכונה:
ערכי ה- y שלו הם אותם ערכי ה- y לכל אורכו.

כך בנקודות A,B ערך ה y הוא 3 וגם בכל נקודה הנמצאת על הישר האדום ערך ה y הוא 3.
לכן משוואה הישר הזה היא y = 3.

בנקודות C,D ערך ה y הוא 1-. 
וכך בכל נקודה על הישר השחור, לכן משוואת הישר הזה היא y = -1.

לישר המקביל לציר ה y יש תכונה:
ערכי ה- x שלו הם אותם ערכי ה- x לכל אורכו.

כך בנקודות A,B ערך ה x הוא 3 וגם בכל נקודה הנמצאת על הישר האדום ערך ה x הוא 2.
לכן משוואה הישר הזה היא x = 2.

בנקודות C,D ערך ה x הוא 4 -. 
וכך בכל נקודה על הישר השחור, לכן משוואת הישר הזה היא x = -4.

 

כיצד מוצאים משוואת ישר מקביל לצירים

בתחילת הדרך אני ממליץ לכם למצוא את משוואת הישר המקביל לצירים על ידי שרטוט הישר ואז המחשבה:
"איזה ערך נשאר קבוע בישר זה?"

אם הזמן  והניסיון תוכלו להישען פחות על על השרטוט יותר על התכונה:

  • ישר המקביל לציר ה x שומר על ערך y קבוע לכל אורכו.
  • ישר המקביל לציר ה y שומר על ערך x לכל אורכו

אם אתם מבינים את שתי התכונות הללו תוכלו לפתור שאלות גם ללא שרטוט מקדים

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x.

פתרון
1.נשרטט מערכת צירים ונוסיף את הנקודה על מערכת הצירים
(הסבר איך עושים זאת בדף שרטוט נקודה על מערכת צירים).

2.ביקשו ישר מקביל לציר ה x העובר דרך הנקודה, נוסיף ישר כזה לשרטוט.
ניתן גם להוסיף עוד נקודה על הישר.

3.נחשוב:
א)איזה ערך משותף לשתי הנקודות? ערך x או ערך y?
ב) או מה משותף לכל הנקודות הנמצאות על הישר? ערך x או ערך y?

התשובה בשני המקרים היא ערך y.
כפי שלמדנו קודם לכן לישרים מסוג זה יש ערך y קבוע.
לכן משוואת הישר היא y = 4.

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר המקביל
לציר ה y ועובר בנקודה (3-, 1-).

פתרון
1.נשרטט מערכת צירים את הנקודה (3-, 1-).

2.ביקשו ישר מקביל לציר ה y, לכן נעביר ישר מקביל לציר ה y העובר דרך נקודה.
ניתן להוסיף גם נקודה נוספת הנמצאת על הישר.

3.נחשוב:
א)איזה ערך משותף לשתי הנקודות? ערך x או ערך y?
ב) או מה משותף לכל הנקודות הנמצאות על הישר? ערך x או ערך y?

המשותף לכל הנקודות הוא שיש להם את אותו ערך x.
ומכוון שבנקודה אחת על הישר (הנקודה הנתונה) ערך ה x הוא x = -1 אז משוואת הישר היא x = -1.

בשני התרגילים הבאים הנימוק לא כולל שרטוט

תוכלו לפתור כך כאשר תצברו נסיון.

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (1,4).

פתרון
לישר המבוקש יש ערך y קבוע.
ומכוון שהוא עובר דרך נקודה שבה y=4 אז משוואתו y = 4.

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (2,1).

פתרון
לישרים המקבילים לציר ה y יש ערך x קבוע.
ומכוון שהישר עובר בנקודה שבה ערך ה x הוא 2 אז משוואתו חייבת להיות x = 2.

כיצד מוצאים ערכים חסרים של נקודה

לפעמים ניתקל בשאלה.
נתון הישר y = 2.
מה ערך ה y על הישר בנקודה שבה x = 1?

במשוואות ישר היינו מציבים ערך x במשוואת הישר ומקבלים ערך y.
הבעיה שכאן אין לנו מקום להציב את ה x = 1.

הפתרון
ניתן להבין בשתי דרכים:
1.ערך ה y על הישר הוא תמיד 2, בכל הנקודות. וזה נכון גם ל x = 1.
לכן הנקודה 1,2.

2.משוואת הישר y = 2
יכולה להיכתב גם כ:
y = 0x + 2
נציב כאן את ערך ה x ונקבל:
y = 0 *1 + 2
y = 2
לכן הנקודה היא 1,2.

2.תרגילים 

תרגיל 1-2 הם מציאת משוואת ישר המקביל לצירים על פי נקודה.
תרגיל 3 הוא מציאת משוואת ישר מקביל לצירים על פי נקודת חיתוך.
תרגיל 4 הוא התאמה בין גרף למשוואה.
תרגיל 5 הוא תרגיל חזרה על תרגילים 1-2. התרגיל מיועד למי שלא הצליח לפתור את שני התרגילים הראשונים.

תרגיל 1 (מציאת משוואת ישר מקביל לציר ה x).
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x.

פתרון
ישר המקביל לציר ה x הוא בעל ערך y יחיד לכל אורכו והוא מהצורה y = k.
ידוע לנו כי כי בנקודה A ערך ה y של הישר הוא 4.
מכוון שערך ה y של הישר לא משתנה, משוואת הישר היא y = 4.

משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר דרך הנקודה (3,4)A.
משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר דרך הנקודה (3,4)A.

תרגיל 2 (מציאת משוואת ישר מקביל לציר ה y)
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (3, 1-)A.

פתרון
ישר המקביל לציר ה y הוא בעל ערך יחיד של x לכול אורכו והוא מהצורה x = k.
ידוע לנו כי בנקודה A ערך ה x של הישר הוא 1- ולכן משוואת הישר היא x = -1.

משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (3, 1-)A
משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (3, 1-)A

תרגיל 3
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x והישר המקביל לציר ה y העוברים דרך נקודת החיתוך של הישרים y = 2x + 4 והישר y = -x + 5.5

פתרון
המכשול של השאלה הזו הוא שלא נתנו לנו נקודה.
עלינו למצוא את הנקודה באמצעות מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.
y = 2x + 4
y = -x + 5.5

נשווה את משוואות הישרים:
2x + 4 = -x + 5.5    / +x – 4
3x = 1.5   / : 3
x = 0.5

מצאנו את ערך ה x של נקודת החיתוך.
עכשיו נמצא את ערך ה y על ידי הצבה x = 0.5 במשוואת אחד מהישרים.
y = 2x + 4
y = 2 * 0.5 + 4
y = 1 + 4 = 5
נקודת החיתוך של הישרים היא (5, 0.5).

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך y קבוע, ומכוון שערך ה y בנקודה הוא 5.
אז משוואת הישר היא y = 5.

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך x קבוע. ומכוון שערך ה x בנקודה הוא 0.5.
אז משוואת הישר היא x = 0.5.

תרגיל 4
זהו בגרף את הישרים הבאים:

  1. x=3
  2. x=-1
  3. y=6
  4. y=1
  5. y=- 0.75

שרטוט הישרים

 

פתרון

פתרון התרגיל

תרגיל 5 (תרגיל החוזר על תרגילים 1-2)
(אם פתרתם היטב את תרגילים 1-2 אין צורך לפתור את תרגיל זה).
כתבו את משוואת הישר עבור התרגילים הבאים.

  1. משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (2,4).
  2. משוואת הישר המאונך לציר ה y ועובר בנקודה (5-, 10).
  3. משוואת הישר המאונך לציר ה x ועובר בנקודה (6-, 1-).

פתרון

  1. משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (2,4). x=2.
  2. משוואת הישר המאונך לציר ה y ועובר בנקודה (5-, 10). y= -5.
  3. משוואת הישר המאונך לציר ה x ועובר בנקודה (6-, 1-). x= -1.

הגרפים של הישרים מהתרגיל

סיימנו את עיקר החומר,
מכאן יש נושאים פחות חשובים

4.זיהוי ישר המקביל לצירים על פי שתי נקודות

נותנים לנו שתי נקודות (4, 2)A   ו- (3-, 2)B.
האם ניתן לדעת האם הישר העובר דרך הנקודות AB הוא מקביל לאחד הצירים?

כן, ניתן דעת.
עבור כל שתי נקודות ניתן לדעת ללא חישוב אם הישר העובר דרכן הוא ישר מקביל לצירים או לא.

אם ערכי ה x או ערכי ה y של שתי הנקודות שווים אז הישר מקביל לצירים.
אם ערכי ה x וערכי ה y שונים אז הישר לא מקביל לצירים.

עבור הנקודות (4, 2)A   ו- (3-, 2)B ערכי ה x שווים x = 2.
לכן הישר AB מקביל הצירים.
כאשר ערכי ה x קבועים זה ישר המקביל לציר ה y.
משוואתו x = 2.

תרגיל 1
זהו את משוואת הישר על פי שתי הנקודות הנתונות.
ציינו את שיפוע הישר.

  1. (5, 1-) (5, 7).
  2. (0, 2) (0, 10).
  3. (5, 4-) (8-, 4-).

פתרונות

(5, 1-) (5, 7).
ערכי ה y קבועים לכן המשוואה היא y=5.
השיפוע m=0.

(0, 2) (0, 10).
ערכי ה y קבועים לכן המשוואה היא y=0.
השיפוע m=0.

(5, 4-) (8-, 4-).
ערכי ה x קבועים לכן המשוואה היא x= -4.
השיפוע אינו מוגדר.

4. תרגיל לתלמידי 4 יחידות

למעגל שמרכזו בנקודה (4-, 3-) מעבירים משיק שמשוואתו x= 2.
מצאו את נקודת ההשקה.

פתרון

נמצא את ערך ה x של נקודת ההשקה
נקודת ההשקה נמצאת על הישר x= 2, לכן ערך ה x בנקודת ההשקה הוא 2.

נמצא את ערך ה y של נקודת ההשקה
רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
ומכוון שהמשיק הוא x = 2 הרדיוס חייב להיות מקביל לציר ה x.
כלומר ערך ה y של של הישר עליו נמצא הרדיוס הוא קבוע.
ומכוון שהרדיוס עובר דרך מרכז המעגל (4-, 3-) אז ערך ה y של הרדיוס המאונך למשיק הוא 4- לכל אורכו.
כלומר נקודת ההשקה היא (4-, 2).

משוואת הרדיוס היא y = -4 ולכן ערך ה y בנקודה A הוא 4-.

עוד באתר:

5.נספח: האם משוואת ישר מקביל לצירים היא פונקציה קווית

משוואת ישר המקביל לציר ה x.
למשל y = 2 היא פונקציה קווית.
לעומת זאת משוואת ישר המקבילה לציר ה y, למשל x = 7 היא לא פונקציה קווית.

הסיבה לכך היא שעל מנת להיות "פונקציה" צריך להיות ערך y יחיד לכל ערך x.
ועבור המשוואה x = 7 או דומות לה יש אינסוף ערכי y עבור ערך ה x שהוא 7. 

6.נספח: סיכום הדרכים למציאת משוואת ישר

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “ישרים מקבילים לצירים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.