מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

בבתי ספר שונים משתמשים בשתי נוסחאות שונות למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

• y = mx + n    או y = ax + b
• (y – y₁ = m(x – x₁  או  (y – y₁ = a(x – x₁

אם אתם לא לומדים בבית הספר ויש לכם אפשרות לבחור בין שתי הדרכים הדרך הראשונה היא בעיניי עדיפה.

בדף זה אנו נשתמש בנוסחה הראשונה:
y = mx + n
מי שמעוניין ללמוד על פי הנוסחה השנייה
(y – y₁ = m(x – x₁
יכל לעשות זאת בדף משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה והנוסחה (y – y₁ = m(x – x_1.

הערה:
y =mx + n
y = ax + n
y = ax + b
כל אלו הם אותה צורה של משוואת הישר.
בכול בית ספר משתמשים באותיות אחרות, אבל כל הצירופים הללו זו אותה משוואה.

דוגמאות

שלבי הפתרון הם:

1. במשוואת ישר
   y = mx + n  או   y = ax + b
   יש שני משתנים:   m, n
2. בשאלות בדף זה m יהיה נתון בשאלה.
   כך שיש לנו משתנה אחד (n) שצריך למצוא.
3. נציב את ערכי  x,y של הנקודה במשוואת הישר ונקבל משוואה עם נעלם אחד שדרכה ניתן למצוא את n.

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 ועובר בנקודה (4,1).

פתרון
משוואת הישר היא:
y = mx + n
נציב במשוואה:
m = 2
x = 4
y = 1

ונקבל
1 = 2 * 4 + n
1 = 8 + n
– 7 = n

משוואת הישר היא:
y = 2x – 7

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה (3,18).

פתרון
נציב את הנתונים במשוואת הישר
y = mx + n
18 = 4 *3 + n
18 = 12 + n
6 = n

משוואת הישר היא:
y = 4x + 6

שני שלבי מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

2.שני מכשולים 

בשאלות קשות יותר לא יתנו לכם את הנקודה אלא תצטרכו למצוא אותה באחת מהדרכים הבאות.

1. נקודה שהיא נקודת חיתוך של ישר אחר עם הצירים. (תרגיל 1).
2. נקודה שהיא נקודת חיתוך בין שני ישרים. (תרגיל 2).

הסבר כיצד מתגברים על המכשולים הללו ניתן לקבל גם בוידאו שלמעלה או בטקסט שלמטה.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר הישר ששיפועו 1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 2x-4 עם ציר ה x.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – x
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הישר
y= 2x – 4.
2x-4=0 /+4
2x=4 /:2
x=2
נקודות החיתוך היא (0, 2).

שלב ב: נמצא את משוואת הישר
אנו יודעים נקודה דרכה עובר הישר (0, 2). ושיפוע m = 1.
נציב בנוסחה

y = mx + n
0 = 1*2 + n
0 = 2 + n
– 2 = n

משוואת הישר היא:
y = x – 2

• מציאת נקודת חיתוך של ישר עם הצירים.

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3- ועובר דרך נקודת החיתוך של הישרים
y=3x
y = x + 4

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים.
3x = x + 4
2x = 4
x = 2

נציב x= 2 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y של החיתוך:
y=3x
y = 3*2 = 6
נקודת החיתוך היא 2,6

נציב את הנקודה 2,6 ושיפוע 3- במשוואה הישר:

y = mx + n
6 = -3 * 2 + n
6 = – 6 + n
12 = n

משוואת הישר היא:
y = -3x + 12

• מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (0,3) ושיפועו 6.

פתרון
שלב א: נציב במשוואת הישר
m = 6
x = 0
y = 3

y = mx + n
3 = 6 * 0 + n
3 = n

שלב ב: הצבת ערכי n,m
עכשיו אנו יודעים:
m = 6
n = 3
נציב את הערכים הללו במשוואת הישר

y = mx + n
y = 6x + 3
זו משוואת הישר

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר שבו השיפוע הוא 3- והוא עובר בנקודה (1,4).

פתרון
שלב א: נציב במשוואת הישר
m = -3
x = 1
y = 4

y = mx + n
4 = -3* 1 + n
4 = -3 + מ
7 = n

שלב ב: הצבת ערכי n,m
נציב:
m = -3
n = 7
במשוואת הישר

y = mx + n
y = -3x + 7
זו משוואת הישר

תרגיל 3
מצאו את הישר ששיפועו 2- ונקודת החיתוך שלו עם ציר x היא ב-  x=6.

פתרון
שלב א: נציב את הנתונים במשוואת הישר
ערך ה y בכל נקודות החיתוך עם ציר ה x הוא y = 0.

לכן עלינו למצוא את משוואת הישר העובר בנקודה 6,0.
הנתונים הם:
m = -2
x = 6
y = 0

y = mx + n
0 = -2*6 + n
0 = -12 + n /+12
n = 12

שלב ב: הצבת ערכי n,m במשוואת הישר
m = -2
n = 12

y = mx + n
y = -2x + 12
זו משוואת הישר

תרגיל 4
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 והוא עובר בנקודת החיתוך של שני הישרים הבאים:

y = -3x+4
y = -x

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של שני הישרים הנתונים

-3x + 4 = -x /+3x
4 = 2x /:2
x = 2

זה ערך ה x של נקודת החיתוך.
נציב x = 2 במשוואה y = -x ונמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y = -2

לכן (2,-2) היא נקודת החיתוך של הישרים.

שלב ב: נציב את הנתונים במשוואת הישר
m = 2
x = 2
y = -2

y = mx + n
-2 = 2*2 + n
-2 = 4 + n /-4
n = -6

שלב ג: הצבת ערכי n,m במשוואת הישר
m = 2
n = -6

y = mx + n
y = 2x – 6
זו משוואת הישר

עוד באתר:

• מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות – השלב הבא שאתם צריכים ללמוד.
• פונקציה קווית – מדריך מלא, נושאים נוספים.
• מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים.