מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

בבתי ספר שונים משתמשים בשתי נוסחאות שונות למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

• (y – y₁ = m(x – x₁
• y = mx + n

אם אתם לא לומדים בבית הספר ויש לכם אפשרות לבחור בין שתי הדרכים הדרך השנייה היא בעיניי עדיפה.

באתר ניתן ללמוד על פי שתי הגרסאות בשני דפים שונים.
בדף זה אנו נשתמש בנוסחה הראשונה:
(y – y₁ = m(x – x₁
מי שמעוניין ללמוד על פי הנוסחה  השנייה:
y = mx + n
יכל לעשות זאת בדף משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה והנוסחה y = mx + n.

לדף זה 3 חלקים:

1. הסבר כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
2. שני מכשולים שאתם יכולים להיתקל בהם.
3. תרגילים.

1.הסבר

מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע היא הדרך הפשוטה ביותר למציאת משוואת ישר.
הדבר היחידי שצריך לעשות הוא להציב בנוסחה.
אם: m – הוא השיפוע. (x₁, y₁)  – היא הנקודה.
אז הנוסחה שבה צריך להציב את הנתונים היא:
(y – y₁ = m(x – x₁

למשל:
m=4 – זה השיפוע.
(2,1)  – זאת הנקודה.
מציבים בנוסחה:
(y-y₁=m(x-x₁

ומקבלים:
(y-1=4(x-2
y-1=4x-8  / +1
y=4x-7 – זו משוואת הישר.

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0, 3-) ושיפועו 2-.

מציבים בנוסחה:
(y-y₁=m(x-x₁
ומקבלים: (y – 0 = -2(x+3
y= -2x-6  – זו משוואת הישר.

2.שני מכשולים 

בשאלות קשות יותר לא יתנו לכם את הנקודה אלא תצטרכו למצוא אותה באחת מהדרכים הבאות.

1. נקודה שהיא נקודת חיתוך של ישר אחר עם הצירים. (תרגיל 1).
2. נקודה שהיא נקודת חיתוך בין שני ישרים. (תרגיל 2).

הסבר כיצד מתגברים על המכשולים הללו ניתן לקבל גם בוידאו שלאחר התרגילים.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר הישר ששיפועו 1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 2x-4 עם ציר ה x.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – x
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הישר
y= 2x – 4.
2x-4=0 /+4
2x=4 /:2
x=2
נקודות החיתוך היא (0, 2).

שלב ב: נמצא את משוואת הישר
אנו יודעים נקודה דרכה עובר הישר (0, 2). ושיפוע m = 1.
נציב בנוסחה
(y – y₁ = m(x-x₁
ונקבל:
y – 0 = 1(x-2) = x-2
y=x-2   (זו משוואת הישר).

• מציאת נקודת חיתוך של ישר עם הצירים.

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3- ועובר דרך נקודת החיתוך של הישרים
y=3x
y = x + 4

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים.
3x = x + 4
2x = 4
x = 2

נציב x= 2 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y של החיתוך:
y=3x
y = 3*2 = 6
נקודת החיתוך היא 2,6

נציב את הנקודה 2,6 ושיפוע 3- במשוואה הישר:
(y – y₁ = m(x-x₁
(y – 6 = -3(x – 2
y – 6 = 3x + 6
y = -3x + 12
זו משוואת הישר המבוקשת.

• מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים.

3.תרגילים

מצאו את משוואות הישר עבור הנקודה והשיפוע המצורפים:

1. (m=1,  (2,-5.
2. (m=3,  (0,0.
3. (m=0, (6,4.

שימו לב למשוואה השלישית השונה משתי הראשונות.

פתרונות

תרגיל 1
(m=1,  (2,-5

פתרון
נציב במשוואה:
(y – y₁= m(x – x₁
ונקבל: (y + 5 =1(x – 2
y+5=x-2 /-5
y=x-7 – זו משוואת הישר.

תרגיל 2
(m=3,  (0,0

פתרון
נציב במשוואה:
(y – y₁=m(x – x₁
ונקבל: (y – 0 = 3(x-0
y=3x  – זו משוואת הישר.

תרגיל 3
(m=0, (6,4

פתרון
נציב במשוואה:
(y – y₁=m(x – x₁
ונקבל:
(y – 4 = 0(x – 6
y – 4 = 0 – 0  / +4
y=4  – זו משוואת הישר.

תרגיל 4 (בונוס, לא חובה)
שרטטו גרף משוואת ישר כלשהו דרך הנקודה (2-, 1).
כתבו מה היא משוואת הישר ששרטטתם.

פתרון
בשאלות מסוג זה אני ממליץ לכם קודם לקבוע את משוואת הישר ורק לאחר מיכן לשרטט את הישר.

הישר הכי קל לביצוע שתי הפעולות הללו הוא הישר ששיפועו 0.
נמצא את משוואת הישר ששיפועו 0 ועובר בנקודה (2-, 1).
(y – y₁=m(x – x₁
(y + 2 = 0 (x – 1
y + 2 = 0
y = -2

שרטוט הישר נראה כך:

כמובן שאתם יכולתם לבחור שיפוע שונה, להגיע למשוואת ישר שונה והתשובה עדיין תהיה נכונה.

עוד באתר:

• קורס משוואת הישר – לימוד כל הנושאים הקשורים למשוואת הישר.
• מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות – זה הדבר הבא שאתם צריכים ללמוד.
• מציאת משוואת ישר – לימוד של כל הדרכים למציאת משוואת ישר.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.

נספח: סיכום הדרכים למצוא את משוואת הישר