מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

בבתי ספר שונים משתמשים בשתי נוסחאות שונות למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

  • (y – y1 = m(x – x1
  • y = mx + n

אם אתם לא לומדים בבית הספר ויש לכם אפשרות לבחור בין שתי הדרכים הדרך השנייה היא בעיניי עדיפה.

באתר ניתן ללמוד על פי שתי הגרסאות בשני דפים שונים.
בדף זה אנו נשתמש בנוסחה הראשונה:
(y – y1 = m(x – x1
מי שמעוניין ללמוד על פי הנוסחה  השנייה:
y = mx + n
יכל לעשות זאת בדף משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה והנוסחה y = mx + n.

לדף זה 3 חלקים:

  1. הסבר כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
  2. שני מכשולים שאתם יכולים להיתקל בהם.
  3. תרגילים.

1.הסבר

מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע היא הדרך הפשוטה ביותר למציאת משוואת ישר.
הדבר היחידי שצריך לעשות הוא להציב בנוסחה.
אם: m – הוא השיפוע. (x1, y1)  – היא הנקודה.
אז הנוסחה שבה צריך להציב את הנתונים היא:
(y – y1 = m(x – x1

למשל:
m=4 – זה השיפוע.
(2,1)  – זאת הנקודה.
מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1

ומקבלים:
(y-1=4(x-2
y-1=4x-8  / +1
y=4x-7 – זו משוואת הישר.

 y=4x-7
y=4x-7

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0, 3-) ושיפועו 2-.

מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
ומקבלים: (y – 0 = -2(x+3
y= -2x-6  – זו משוואת הישר.

y = -2x-6
y = -2x-6

 

2.שני מכשולים 

בשאלות קשות יותר לא יתנו לכם את הנקודה אלא תצטרכו למצוא אותה באחת מהדרכים הבאות.

  1. נקודה שהיא נקודת חיתוך של ישר אחר עם הצירים. (תרגיל 1).
  2. נקודה שהיא נקודת חיתוך בין שני ישרים. (תרגיל 2).

הסבר כיצד מתגברים על המכשולים הללו ניתן לקבל גם בוידאו שלאחר התרגילים.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר הישר ששיפועו 1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 2x-4 עם ציר ה x.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – x
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הישר
y= 2x – 4.
2x-4=0 /+4
2x=4 /:2
x=2
נקודות החיתוך היא (0, 2).

שלב ב: נמצא את משוואת הישר
אנו יודעים נקודה דרכה עובר הישר (0, 2). ושיפוע m = 1.
נציב בנוסחה
(y – y1 = m(x-x1
ונקבל:
y – 0 = 1(x-2) = x-2
y=x-2   (זו משוואת הישר).

y=x-2
y=x-2

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3- ועובר דרך נקודת החיתוך של הישרים
y=3x
y = x + 4

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים.
3x = x + 4
2x = 4
x = 2

נציב x= 2 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y של החיתוך:
y=3x
y = 3*2 = 6
נקודת החיתוך היא 2,6

נציב את הנקודה 2,6 ושיפוע 3- במשוואה הישר:
(y – y1 = m(x-x1
(y – 6 = -3(x – 2
y – 6 = 3x + 6
y = -3x + 12
זו משוואת הישר המבוקשת.

 

3.תרגילים

מצאו את משוואות הישר עבור הנקודה והשיפוע המצורפים:

  1. (m=1,  (2,-5.
  2. (m=3,  (0,0.
  3. (m=0, (6,4.

שימו לב למשוואה השלישית השונה משתי הראשונות.

פתרונות

תרגיל 1
(m=1,  (2,-5

פתרון
נציב במשוואה:
(y – y1= m(x – x1
ונקבל: (y + 5 =1(x – 2
y+5=x-2 /-5
y=x-7 – זו משוואת הישר.

y= x-7
y= x-7

תרגיל 2
(m=3,  (0,0

פתרון
נציב במשוואה:
(y – y1=m(x – x1
ונקבל: (y – 0 = 3(x-0
y=3x  – זו משוואת הישר.

y=3x
y=3x

תרגיל 3
(m=0, (6,4

פתרון
נציב במשוואה:
(y – y1=m(x – x1
ונקבל:
(y – 4 = 0(x – 6
y – 4 = 0 – 0  / +4
y=4  – זו משוואת הישר.

y=4
y=4

תרגיל 4 (בונוס, לא חובה)
שרטטו גרף משוואת ישר כלשהו דרך הנקודה (2-, 1).
כתבו מה היא משוואת הישר ששרטטתם.

פתרון
בשאלות מסוג זה אני ממליץ לכם קודם לקבוע את משוואת הישר ורק לאחר מיכן לשרטט את הישר.

הישר הכי קל לביצוע שתי הפעולות הללו הוא הישר ששיפועו 0.
נמצא את משוואת הישר ששיפועו 0 ועובר בנקודה (2-, 1).
(y – y1=m(x – x1
(y + 2 = 0 (x – 1
y + 2 = 0
y = -2

שרטוט הישר נראה כך:

כמובן שאתם יכולתם לבחור שיפוע שונה, להגיע למשוואת ישר שונה והתשובה עדיין תהיה נכונה.

 

עוד באתר:

נספח: סיכום הדרכים למצוא את משוואת הישר

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

25 מחשבות על “מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה”

  1. היי לגבי הסרטון האחרון, 5. משוואת ישר המקביל לצירים. מזה אומר שיפוע לא מוגדר? שכל פעם השיפוע שלו שונה משמע כל פעם זה יצא מספר אחר? ואיך אני יודעת שהשיפוע שלו לא מוגדר? איך אני יכולה לזהות זאת? תודה רבה :)

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש לי שאלה אני צריך למצוא משוואת ישר עם שיפוע -3- שעוברת דרך נקודת חיתוך של y=4x+10 איך אני עושה את זה

    נ.ב אתר מעולההה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עליך למצוא את נקודת החיתוך של הישר
      y=4x+10 עם הציר המבוקש (לא כתבת עם איזה ציר החיתוך).
      הסבר מפורט למציאת חיתוך כאן
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/intersection-with-axis/
      ולאחר שתמצא את החיתוך מוצאים את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.

      דוגמה לתרגיל דומה מאוד תמצא תחת הכותרת "כיצד ניתן לסבך את התרגילים" שזה נמצא לפני התרגילים ואחרי ההסבר הראשוני.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש הסבר. בסוף ההצבה במשוואת הישר אנו מוצאים את משוואת הישר המלאה.
      שהיא כוללת את a ו b.
      מה שיכול להיות שמבלבל הוא שבדף זה משוואות הישר מוגדרת כך
      y = mx + n
      ואת כנראה מכירה את ההגדרה:
      y = ax + b
      כאשר בדף זה מצאנו את n למעשה מצאנו את מה שאת קוראת לו b.
      כאשר מצאנו את m מצאנו את מה שאת קוראת לו a.
      בהצלחה

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      שלום רציתי לשאול למה בסרטון דוגמא 2 יש את הנקודה (3,0-) ובמשוואה כתוב 3+ במקום 3-

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום.
        את צודקת.
        ההצבה צריכה להתבצע כמו שכתבת.
        מה שצריך להיות רשום שם בהצבה מדויקת זה:
        (3-) –
        שהופך ל + וזה מה שרשום בסרטון. הוספתי הערה בגוף הסרטון לגבי השורה החסרה.
        תודה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.