משוואות ישרים מאונכים

לדף זה 3 חלקים:

1. הקדמה.
2. דוגמאות.
3. תרגילים.

1.הקדמה

זיהוי ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

למשל:
y = 2x + 1
y = -0.5x – 7

הם ישרים מאונכים כי מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.

2 * (-0.5) = -1

ולעומת זאת
y = 4x
y = 2x + 1

הם לא ישרים מאונכים כי מכפלת השיפועים שלהם היא לא 1-.

4 * 2 ≠ -1

יוצא דופן

ישר שמקביל לציר ה y מאונך לישר שמקביל לציר ה x.

הדבר הזה נכון למרות שמכפלת השיפועים שלהם היא לא 1-.

לדוגמה:
y = 2
x = -3
הם ישרים מאונכים.

כמו כן לכל אחד מהישרים הללו יש אינסוף ישרים מאונכים.

למשל, לישר y = -1
כל הישרים הבאים מאונכים.
x = 2
x = 0
x =10
וכן הלאה….

לכל ישר יש אינסוף ישרים מאונכים

y = – 0.25x + 1

לישר הזה (ולכל ישר אחר) ניתן לכתוב אינסוף משוואת של ישרים מאונכים.
בכל הישרים המאונכים השיפוע יהיה 4.

דוגמאות:

y = 4x
y = 4x – 1
y = 4x + 3
ועוד…

ישרים מאונכים בגרף

בגרף ישרים מאונכים נקראים כך.
שני ישרים עם זווית של 90 מעלות בניהם.

מכשולים בזיהוי השיפוע של הישר

1.כאשר נקבל ישר במשוואה לא מפורשת נעביר אותו למשוואה מפורשת.

2.נזכור את השיפועים של הישרים המקבילים:
y = 4   שיפוע 0.
x = 1  שיפוע לא מוגדר.

3.כאשר לא מופיע מספר לפני ה x זה כמו 1 לפני ה x.

y = x + 2
y = 1x + 2

y = -x – 4
y = -1x – 4

2.דוגמאות לשאלות

למשל אם שיפוע של ישר הוא 2 אז השיפוע של הישר המאונך לו יהיה 0.5-.

דוגמה 1
מצאו את שיפוע הישר המאונך לישר  y = 4x -3.

פתרון
4 הוא השיפוע של הישר שקיבלנו (זה המקדם של x)
נגדיר m השיפוע של הישר המבוקש.
אנו יודעים שהשיפוע של ישרים מאונכים הוא 1-.
לכן המשוואה שלנו היא:
m * 4 = -1
4m = -1   / :-4
m = – 0.25
תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x -3 הוא 0.25 -.

דוגמה 2

מבין הישרים הבאים זהו את הישרים המאונכים.

1.   y = x + 1
2.   y = 4x
3.   x = 2
4.   y = 4
5.   y + x = 0
6.   y = 3 – 0.25x

פתרון

ישר מספר 5 כתוב בצורה לא מפורשת.
נכתוב אותו בצורה מפורשת כדי שנזהה את השיפוע.

y = -x

עכשיו נוכל לזהות כי הישרים המאונכים הם:

y = x+1
y = -x

y = 4x
y = 3 – 0.25x

x = 2
y = 4

דוגמה 3
עבור אלו ערכי m זוגות הישרים הבאים מאונכים:

זוג 1

y = – 3x + 2
y = mx

זוג 2

y = 0.1x + 1
y = (3m + 2)x – 2

זוג 3

y = mx – 5
y + 2x – 4 = 0

זוג 4

y = 2x + 4
y = 3x + m

פתרון

עבור כל זוג ניצור משוואה בה מכפלת המקדמים של x היא 1- :

זוג 1

y = – 3x + 2
y = mx

(-3)*m = -1
m = 1/3

זוג 2

y = 0.1x + 1
y = (3m + 2)x – 2

0.1 * (3m+2) = -1
0.3m + 0.2 = -1
0.3m = -1.2
m = -4

זוג 3

y = mx – 5
y + 2x – 4 = 0

ראשית עלינו להעביר את הישר השני למשוואת ישר מפורשת, על מנת שהמקדם של x יראה את השיפוע.

y = -2x + 4

כעת ניתן להשוות את מכפלת המקדמים של x ל (1-) :

m*(-2) = -1
m = 0.5

זוג 4

y = 2x + 4
y = 3x + m

2 זה השיפוע של הישר הראשון.
3 זה השיפוע של הישר השני.

הישרים הללו לא מאונכים כי מכפלת השיפועים אינה 1-.
ערך ה m לא משנה כאן כי הוא לא משפיע על השיפוע.

3.תרגילים

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (5-, 3) ומאונך לישר y = – 0.4x  – 6

פתרון
שלב א: מציאת שיפוע הישר המבוקש
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש כ m. מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
לכן:
m * -0.4 = -1
0.4m = -1  / : -0.4-
m = 2.5

שלב ב: מציאת משוואת הישר
עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 2.5 ועובר בנקודה  (5-, 3)
(y-y₁=m(x-x₁
(y – (-5) = 2.5 (x -3
y +5 = 2.5x -7.5   / -5
y = 2.5x -12.5
תשובה: משוואת הישר המאונך לישר y = -0.4x -6 ועובר בנקודה (5-, 3) היא y = 2.5x -12.5.

תרגיל 2
האם הישר המקביל לישר y = -2x + 1
מאונך לישר y = x?

פתרון
השיפוע של הישר המקביל לישר y = -2x + 1 הוא 2-.
הישר y =x שיפועו 1.
על מנת שהישרים הללו יהיו מאונכים מכפלת השיפועים צריכה להיות 1-.

אבל זה לא כך.
1- ≠ 1 * 2-
לכן הישר המקביל לישר y = -2x + 1 לא מאונך לישר y=x.

עוד באתר:

• קורס משוואת הישר – לימוד כל הנושאים הקשורים למשוואת הישר.
• משוואת ישר – דרכים נוספות למצוא משוואת ישר.

נספח: סיכום הדרכים למציאת משוואת ישר