מציאת משוואת ישר

נושא הפונקציה הקווית הוא נושא עצום מבחינת היקף החומר.

מציאת משוואת ישר הוא החלק ששואלים עליו הכי הרבה שאלות.

בסיכום זה נעבור על כל הדרכים למציאת משוואת ישר.

1.סרטונים מסכמים

בשני הסרטונים הללו נסכם את החומר בנושא של מציאת משוואת ישר.

ניתן ללמוד את החומר גם מהחלק הכתוב שבהמשך.

2.מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה היא הדרך הבסיסית ביותר למציאת משוואת ישר.

כדי למצוא את משוואת הישר במקרה זה נציב את הנתונים במשוואת הישר:

y = mx + n

או

(y – y₁ = m(x – x₁

על פי מה שאתם לומדים.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 ועובר בנקודה (4,1).

פתרון
משוואת הישר היא:

y = mx + n

נציב במשוואה:
m = 2
x = 4
y = 1

ונקבל
1 = 2 * 4 + n
1 = 8 + n
– 7 = n

משוואת הישר היא:
y = 2x – 7

 

פתרו בעצמכם:
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה (3,18).

• משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

3.משוואת ישר על פי 2 נקודות

כאשר נתונות לנו שתי נקודות חסר לנו שיפוע על מנת למצוא את משוואת הישר.

במקרה זה יש נוסחה למציאת השיפוע.

אם הנקודה A היא (x₁,y₁) והנקודה B היא  (x₂,y₂) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

לאחר שמוצאים את השיפוע יש לנו שיפוע ונקודה.

מציבים את שני אלו במשוואה

y = mx + n

ומוצאים את משוואת הישר כפי שלמדנו בסעיף הקודם.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0,6)A  ו (10,1)B

שלב 1: מציאת השיפוע
נציב את הערכים של הנקודות במשוואה:

ונקבל:

השיפוע הוא 0.5-.

שלב 2: מציאת משוואת הישר
נציב m= -0.5  ואת הנקודה (0,6) בנוסחה:
y = mx + n

6 = – 0.5 * 0 + n
6 = n
y= – 0.5x + 6
זו משוואת הישר

שימו לב שאתם מציבים נכון

כאשר כאשר אנו מקבילים שתי נקודות. איך נחליט איזו נקודה להציב במקום (x₁,y₁)  ואיזו נקודה להציב במקום (x₂,y₂) ?
התשובה היא שאין לזה חשיבות. ובשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.

אבל אנו צריכים להקפיד לשמור על הסדר. אם הצבנו ערך y של נקודה משמאל במונה כ y₁ אז אנו צריכים להציב את הערך של x במכנה משמאל כ x₁.

עבור הנקודות:
(0,6)A  ו (10,1)B

מוצגות כאן 4 הצבות למציאת שיפוע, חלקן נכונות וחלקן לא בחרו את ההצבות הנכונות.
שימו לב שיש יותר מהצבה אחת  נכונה:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

פתרו בעצמכם:

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,5)  ו   (4,10).

• משוואת ישר לפי שתי נקודות.

4.משוואת ישר על פי ישרים מקבילים

[/mepr-show]

הכלל אומר שלישרים מקבילים יש שיפועים שווים.
כלומר לכל הישרים המקבילים לישר y = -2x + 5 יש שיפוע של 2-.

לכן אם נותנים לנו משוואה של ישר מקביל, זה כאילו נתנו לנו את השיפוע של הישר עצמו.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (4, 1) ומקביל לישר y = -4x +2

פתרון
לישרים מקבילים שיפועים שווים.
השיפוע של הישר המקביל הוא 4-, לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 4-.

עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 4- ועובר בנקודה (1,4).
נציב בנוסחה:

y = mx + n
4 = -4 * 1 + n
4 = -4 + n
8 = n

משוואת הישר היא:
y = -4x + 8

• משוואת ישר על פי ישרים מקבילים.

5.משוואת ישר על פי ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

לכן אם אנו מחפשים את השיפוע של הישר המאונך לישר  y = 4x – 3
אנו נפעל כך:
נגדיר m שיפוע הישר המבוקש (המאונך).

ומכוון שמכפלת השיפועים היא 1- המשוואה היא:
m * 4 = -1
m = -1/4 = -0.25

תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x – 3 הוא 0.25- .

הערה: משוואות ישר לא מפורשות
גם כאן כאשר אנו מכפילים את השיפועים עלינו לשים לב שאנו מוצאים את השיפוע במשוואת ישר מפורשת.

• מציאת משוואת ישר בישרים מאונכים.

6.משוואת ישר לא מפורשת

השיפוע הוא המקדם של x אך ורק במשוואה מפורשת של ישר.

משוואה מפורשת היא משוואה שבה:

1. ה y נמצא יחיד בצד שלו במשוואה.
2. המקדם של ה y הוא 1.

(הסבר מפורט בוידאו).

כאשר נקבל משוואה לא מפורשת נעביר אותה להיות משוואה מפורשת וכך נזהה את השיפוע.

דוגמה 
2y + 4x = 6
במקרה זה המקדם של x, שהוא 4, הוא לא שיפוע הישר.

על מנת למצוא את שיפוע הישר עלינו לבודד את y.
2y + 4x = 6  / -4x
2y = -4x + 6  / :2
y = -2x + 3

זו משוואה מפורשת, וכאן ניתן לראות ששיפוע הישר הוא 2-.

• משוואה לא מפורשת של ישר.

7.משוואת ישר המקביל לצירים

למשוואת ישר המקביל לציר ה x יש תכונה:

הוא שומר על ערך ה y שלו קבוע לכל אורכו.

לכן אם נדע את ערך ה y שלו בנקודה אחת נדע את ערך ה y שלו לכל אורכו.

למשל הישר שבשרטוט שומר על ערך y קבוע של 3 לכל אורכו.

למשוואות ישר המקביל לציר ה y יש תכונה.
הוא שומר על ערך  x שלו קבוע לכל אורכו.
לכן אם נדע את ערך ה x בנקודה אחת נוכל לדעת את ערך ה x לכל אורכו.

למשל בישר למטה ערך ה x הוא קבוע 2- לכל אורכו.

 

מצאנו שעבור שני סוגי הישרים אם נדע נקודה דרכה הם עוברים נוכל לקבוע את משוואת הישר, כי הם שומרים על ערך קבוע לכל אורכם.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x ומשוואת הישר המקביל לציר ה y העוברים בנקודה (2-, 1)

פתרון
ישר המקביל לציר ה x
הישר הזה שומר על ערך y קבוע לכל אורכו.
לכן אם ערך ה y שלו הוא 2- בנקודה אחת זה ערך ה y שלא תמיד ומשוואתו:
y = -2.

ישר המקביל לציר ה y
הישר הזה שומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
לכן אם ערך ה y שלו הוא 1 בנקודה אחת זה ערך ה x שלא תמיד ומשוואתו:
x = 1.

פתרו בעצמכם:

תרגיל  1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x.

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר המקביל
לציר ה y ועובר בנקודה (3-, 1-).

• משוואת ישר מקביל לצירים.

8.מציאת משוואת ישר על פי גרף

כאשר נתון לנו גרף נמצא שתי נקודות על הגרף ואז נמצא משוואת ישר על פי 2 נקודות.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר על פי הגרף שלמטה.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(1,2)   B(2,5
נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 3 ונקודה (1,2)

נציב את הנתונים הללו במשוואה
y = mx + n
2 = 3 * 1 + n
2 =3 + n
-1 = n

n = – 1, m = 3
נציב במשוואת הישר ונקבל:
y = mx + n
y = 3x -1
זו משוואת הישר המבוקשת.

• מציאת משוואת ישר על פי גרף.

עד כאן עברנו על השיטות השונות למציאת משוואת ישר – שהם עיקר החומר בנושא פונקציה קווית.

החלקים הבאים של:

1. חיתוך עם הצירים.
2. חיתוך בין שני ישרים.
3. מכשולים בתרגילים.
4. תרגילים מסכמים.

ובנוסף עוד הרבה דברים שקשורים לפונקציה קווית – אך הם לא מציאת משוואת ישר.

רכישת מנוי מתבצעת דרך הדפים הבאים:

• רכישת מנוי לכיתה ח.
• רכישת מנוי לכל תכני האתר.