מציאת משוואת ישר

 

יש 6 דרכים למצוא את משוואת הישר.

  1. על פי שיפוע ונקודה.
  2. על פי שתי נקודות.
  3. על פי ישרים מקבילים.
  4. על פי ישרים מאונכים.
  5. משוואת ישר המקביל לצירים.
  6. *משוואת ישר על פי גרף.

5 הדרכים הראשונים חשובות ועליכם לדעת אותם ב 100%.
הדרך השישית חשובה פחות.

לאחר שנלמד את 6 הדרכים נלמד למצוא נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ובין שני ישרים.

לאחר מיכן בדף תמצאו:

  1. מכשולים.
  2. תרגילים.

אלו הן 6 השיטות למצוא משוואת ישר:

1.מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

במשוואת ישר
y = mx + n
יש שני משתנים:   m, n

בשאלות מסוג זה m יהיה נתון בשאלה.
כך שיש לנו משתנה אחד (n) שצריך למצוא.

נציב את ערכי  x,y של הנקודה במשוואת הישר ונקבל משוואה עם נעלם אחד שדרכה ניתן למצוא את n.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 ועובר בנקודה (4,1).

פתרון
משוואת הישר היא:
y = mx + n
נציב במשוואה:
m = 2
x = 4
y = 1

ונקבל
1 = 2 * 4 + n
1 = 8 + n
– 7 = n

משוואת הישר היא:
y = 2x – 7

 

פתרו בעצמכם:
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה (3,18).

לחצו לצפייה בפתרון

נציב את הנתונים במשוואת הישר
y = mx + n
18 = 4 *3 + n
18 = 12 + n
6 = n

משוואת הישר היא:
y = 4x + 6

2.משוואת ישר על פי 2 נקודות

כאשר נתונות לנו שתי נקודות חסר לנו שיפוע על מנת למצוא את משוואת הישר.

במקרה זה יש נוסחה למציאת השיפוע.
אם הנקודה A היא (x1,y1) והנקודה B היא  (x2,y2) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

לאחר שמוצאים את השיפוע יש לנו שיפוע ונקודה.
מציבים את שני אלו במשוואה
y = mx + n
ומוצאים את משוואת הישר כפי שלמדנו בסעיף הקודם.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0,6)A  ו (10,1)B

שלב 1: מציאת השיפוע
נציב את הערכים של הנקודות במשוואה:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

ונקבל:

m= -0.5

השיפוע הוא 0.5-.

שלב 2: מציאת משוואת הישר
נציב m= -0.5  ואת הנקודה (0,6) בנוסחה:
y = mx + n

6 = – 0.5 * 0 + n
6 = n
y= – 0.5x + 6
זו משוואת הישר

משוואת הישר העובר דרך הנקודות (10,1) ו (0,6)
משוואת הישר העובר דרך הנקודות (10,1) ו (0,6)
שימו לב שאתם מציבים נכון

כאשר כאשר אנו מקבילים שתי נקודות. איך נחליט איזו נקודה להציב במקום (x1,y1)  ואיזו נקודה להציב במקום (x2,y2) ?
התשובה היא שאין לזה חשיבות. ובשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.
אבל אנו צריכים להקפיד לשמור על הסדר. אם הצבנו ערך y של נקודה משמאל במונה כ y1 אז אנו צריכים להציב את הערך של x במכנה משמאל כ x1.

עבור הנקודות:
(0,6)A  ו (10,1)B

מוצגות כאן 4 הצבות למציאת שיפוע, חלקן נכונות וחלקן לא בחרו את ההצבות הנכונות.
שימו לב שיש יותר מהצבה אחת  נכונה:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

לחצו לצפייה בפתרון

הצבות 1 ו- 4 הן נכונות כי:

  1. בשתיהן ערכי ה y של הנקודות למעלה וערכי ה x למטה.
  2. בשתיהן הנקודה שמופיעה משמאל למעלה מופיעה משמאל גם למטה.
    בהצבה 1 הנקודה A נמצאת משמאל למעלה ולמטה.
    בהצבה 4 הנקודה B נמצאת משמאל למעלה ולמטה.

לעומת זאת בהצבה 2 ערכי ה x נמצאים למעלה: וזה פסול.

בהצבה 3 ערך של A (המספר 6) נמצא משמאל למעלה.
ואילו ערך של B (המספר 10) נמצא משמאל למטה: וזה פסול.

פתרו בעצמכם:

מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (A(2,5 וגם בנקודה B שהיא נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y.

לחצו לצפייה בפתרון

הרעיון של הפתרון
יש לנו נקודה אחת (A(2,5.
נמצא את נקודת החיתוך של y =2x + 7  וזו תהיה הנקודה השנייה.

שלב א: מציאת נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y
מוצאים נקודת חיתוך עם ציר ה y על ידי הצבה x = 0 במשוואת הישר.
y =2x + 7
y = 2 *0 + 7
y = 7
הנקודה (B(0,7

עכשיו יש לנו שתי נקודות (A(2,5)   B(0,7
נפתור את התרגיל כמו שפתרנו את את הדוגמה הקודמת.

שלב ב: מציאת שיפוע הישר על פי הנוסחה
נציב את הנקודות (A(2,5)   B(0,7 בנוסחה:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נקבל:

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
(m = -1    B(0,7
נציב את הנתונים הללו בנוסחה:
y = mx + n

7 = -1 * 0 + n
7 = n
תשובה: משוואת הישר היא
y = – x + 7

3.משוואת ישר על פי ישרים מקבילים

הכלל אומר שלישרים מקבילים יש שיפועים שווים.
כלומר לכל הישרים המקבילים לישר y = -2x + 5 יש שיפוע של 2-.

לכן אם נותנים לנו משוואה של ישר מקביל, זה כאילו נתנו לנו את השיפוע של הישר עצמו.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (4, 1) ומקביל לישר y = -4x +2

פתרון
לישרים מקבילים שיפועים שווים.
השיפוע של הישר המקביל הוא 4-, לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 4-.

עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 4- ועובר בנקודה (1,4).
נציב בנוסחה:

y = mx + n
4 = -4 * 1 + n
4 = -4 + n
8 = n

משוואת הישר היא:
y = -4x + 8

משוואת ישר לא מפורשת

השיפוע הוא המקדם של x אך ורק במשוואה מפורשת של ישר.

משוואה מפורשת היא משוואה שבה:

  1. ה y נמצא יחיד בצד שלו במשוואה.
  2. המקדם של ה y הוא 1.

(הסבר מפורט בוידאו).

כאשר נקבל משוואה לא מפורשת נעביר אותה להיות משוואה מפורשת וכך נזהה את השיפוע.

דוגמה 
2y + 4x = 6
במקרה זה המקדם של x, שהוא 4, הוא לא שיפוע הישר.

על מנת למצוא את שיפוע הישר עלינו לבודד את y.
2y + 4x = 6  / -4x
2y = -4x + 6  / :2
y = -2x + 3

זו משוואה מפורשת, וכאן ניתן לראות ששיפוע הישר הוא 2-.

4.משוואת ישר על פי ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

לכן אם אנו מחפשים את השיפוע של הישר המאונך לישר  y = 4x – 3
אנו נפעל כך:
נגדיר m שיפוע הישר המבוקש.

ומכוון שמכפלת השיפועים היא 1- המשוואה היא:
m * 4 = -1
m = -1/4 = -0.25

תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x – 3 הוא 0.25- .

הערה: משוואות ישר לא מפורשות
גם כאן כאשר אנו מכפילים את השיפועים עלינו לשים לב שאנו מוצאים את השיפוע במשוואת ישר מפורשת.

5.משוואת ישר המקביל לצירים

למשוואת ישר המקביל לציר ה x יש תכונה:
הוא שומר על ערך ה y שלו קבוע לכל אורכו.
לכן אם נדע את ערך ה y שלו בנקודה אחת נדע את ערך ה y שלו לכל אורכו.

למשל הישר שבשרטוט שומר על ערך y קבוע של 3 לכל אורכו.

למשוואות ישר המקביל לציר ה y יש תכונה.
הוא שומר על ערך  x שלו קבוע לכל אורכו.
לכן אם נדע את ערך ה x בנקודה אחת נוכל לדעת את ערך ה x לכל אורכו.

למשל בישר למטה ערך ה x הוא קבוע 2- לכל אורכו.

 

מצאנו שעבור שני סוגי הישרים אם נדע נקודה דרכה הם עוברים נוכל לקבוע את משוואת הישר, כי הם שומרים על ערך קבוע לכל אורכם.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x ומשוואת הישר המקביל לציר ה y העוברים בנקודה (2-, 1)

פתרון
ישר המקביל לציר ה x
הישר הזה שומר על ערך y קבוע לכל אורכו.
לכן אם ערך ה y שלו הוא 2- בנקודה אחת זה ערך ה y שלא תמיד ומשוואתו:
y = -2.

ישר המקביל לציר ה y
הישר הזה שומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
לכן אם ערך ה y שלו הוא 1 בנקודה אחת זה ערך ה x שלא תמיד ומשוואתו:
x = 1.

פתרו בעצמכם:

תרגיל  1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x.

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר המקביל
לציר ה y ועובר בנקודה (3-, 1-).

לחצו לצפייה בפתרון תרגיל 1

הפתרון הקצר: 
ישר המקביל לציר ה x יש ערך y קבוע.
לכן אם בנקודה אחת y = 4 אז y = 4 לכל אורך הישר.

פתרון בעזרת שרטוט
1.נשרטט מערכת צירים ונוסיף את הנקודה על מערכת הצירים
(הסבר איך עושים זאת בדף שרטוט נקודה על מערכת צירים).

2.ביקשו ישר מקביל לציר ה x העובר דרך הנקודה, נוסיף ישר כזה לשרטוט.
ניתן גם להוסיף עוד נקודה על הישר.

3.נחשוב:
א)איזה ערך משותף לשתי הנקודות? ערך x או ערך y?
ב) או מה משותף לכל הנקודות הנמצאות על הישר? ערך x או ערך y?

התשובה בשני המקרים היא ערך y.
כפי שלמדנו קודם לכן לישרים מסוג זה יש ערך y קבוע.
לכן משוואת הישר היא y = 4.

לחצו לצפייה בפתרון תרגיל 2

הפתרון הקצר
ישר המקביל לציר ה y הוא בעל ערך x קבוע.
לכן אם בנקודה אחת x = -1 אז x = -1 תמיד.

פתרון בעזרת שרטוט
1.נשרטט מערכת צירים את הנקודה (3-, 1-).

2.ביקשו ישר מקביל לציר ה y, לכן נעביר ישר מקביל לציר ה y העובר דרך נקודה.
ניתן להוסיף גם נקודה נוספת הנמצאת על הישר.

3.נחשוב:
א)איזה ערך משותף לשתי הנקודות? ערך x או ערך y?
ב) או מה משותף לכל הנקודות הנמצאות על הישר? ערך x או ערך y?

המשותף לכל הנקודות הוא שיש להם את אותו ערך x.
ומכוון שבנקודה אחת על הישר (הנקודה הנתונה) ערך ה x הוא x = -1 אז משוואת הישר היא x = -1.

6.מציאת משוואת ישר על פי גרף

כאשר נתון לנו גרף נמצא שתי נקודות על הגרף ואז נמצא משוואת ישר על פי 2 נקודות.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר על פי הגרף שלמטה.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(1,2)   B(2,5
נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 3 ונקודה (1,2)

נציב את הנתונים הללו במשוואה
y = mx + n
2 = 3 * 1 + n
2 =3 + n
-1 = n

n = – 1, m = 3
נציב במשוואת הישר ונקבל:
y = mx + n
y = 3x -1
זו משוואת הישר המבוקשת.

חלק שני: חיתוך עם הצירים וחיתוך בין שני ישרים

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

הכלל אומר:
חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבת y =0 במשוואת הפונקציה.
חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבת x = 0 במשוואת הפונקציה.

דוגמה
מצאו את נקודות החיתוך של הישר y = -3x +1 עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב x =0 במשוואת הפונקציה
y = -3 * 0 + 1
y = 0 + 1 = 1
(0,1)  זו נקודות החיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x
נציב y =0 במשוואת הפונקציה ונקבל:
3x + 1 = 0-
3x = -1-
x = -0.333
(0, 0.333-) זו נקודת החיתוך עם ציר ה y.

כך יראה הישר העובר דרך שתי הנקודות הללו.

משוואת הישר y = -3x +1
משוואת הישר y = -3x +1
נקודת חיתוך בין שני ישרים

אם נתונים שני ישרים:
f (x) = 2x – 4
g (x) = x – 1
נמצא את נקודת החיתוך שלהם על ידי השוואה בין המשוואות שלהם.
(f (x) = g (x
2x – 4 = x – 1
2x – 4 = x – 1   / -x + 4
x = 3

הפונקציות נפגשות כאשר x = 3. נציב x = 3 באחת הפונקציות על מנת למצוא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
g (x) = x – 1
g (3) = 3 – 1 = 2
נקודת החיתוך היא (3,2).

פתרו בעצמכם:
עבור הישר y = 2x – 5.

  1. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה x וציר ה y.
  2. מצאו את נקודת החיתוך עם הישר y = x + 2.
לחצו לצפייה בפתרון של סעיף א

סעיף א: מציאת נקודות חיתוך

חיתוך עם ציר ה x, נציב y = 0.

y = 2x – 5
0 = 2x – 5
5 = 2x
2.5 = x

(2.5,0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה x.

חיתוך עם ציר ה y נציב x = 0 במשוואת הישר.

y = 2x – 5
y = 2*0 – 5
y = -5.

(5-, 0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה y.

לחצו לצפייה בפתרון של סעיף ב

סעיף ב: נקודת החיתוך בין הישרים.
y = 2x – 5
y = x + 2

נשווה את המשוואות:
2x – 5 = x + 2  / -x + 5
x = 7

הישרים נחתכים כאשר x= 7.
נציב את x = 7 באחד הישרים על מנת למצוא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y = x + 2
y = 7 + 2 = 9

(7,9) היא נקודת החיתוך בין הישרים.

חלק 3: מכשולים ודרכי ניסוח של שאלות שיכולים להקשות עליכם

פירוט המכשולים הללו נועד בעיקר עבור תלמידי הקבצה א בכיתה ט ותלמידים הניגשים לבגרות.

1.משוואת ישר לא מפורשת.
אם יתנו לכם משוואת ישר שנראית כך y-3x+5=0 ויבקשו ממכם למצוא את משוואת הישר המקביל או המאונך לה עליכם עליכם להעביר את משוואה זו אל הצורה המפורשת, ורק ממנה ניתן ללמוד על שיפוע הישר ולהשתמש בו לצורך חישוב שיפוע ישר מקביל / ישר מאונך.
y-3x+5=0
y-3x+5=0  / +3x-5
y=3x-5 – זו משוואה מפורשת.

2. לא יתנו לכם נקודה דרכה עובר הישר.
בכול השיטות שלמדנו צריך לדעת ערך של נקודה בה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.
בחלק מהשאלות לא יתנו נקודה דרכה עובר הישר אבל כן יגידו:

  1. כי הישר "עובר דרך נקודת חיתוך של הישרים…". (מציאת נקודות חיתוך בין ישרים).
  2. הישר עובר דרך נקודת החיתוך של ישר אחר עם הצירים. (מציאת נקודת חיתוך עם הצירים)

תרגיל 1 (נקודת חיתוך עם ציר ה Y, ישרים מקבילים)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y. ומקביל לישר y = 0.2x – 4.

פתרון
נזכור: על מנת לחשב משוואת ישר עלינו למצוא שיפוע ונקודה.
הנקודה היא נקודת החיתוך.
את השיפוע נמצא בעזרת הישר המקביל.

בשרטוט, אלו הדרישות שיש מהישר המבוקש

שרטוט הדרישות ממשוואת הישר
שרטוט הדרישות ממשוואת הישר

שלב א: מציאת נקודה
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y.
נציב x= 0 במשוואת הישר.
y = -2* 0 + 4 = 4
נקודת החיתוך היא (4, 0).

שלב ב: מציאת שיפוע
השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
שיפוע הישר y = 0.2x – 4 הוא 0.2. לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 0.2.

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
נציב m = 0.2 ואת הנקודה (4, 0) במשוואת הישר
(y-y1=m(x-x1
נקבל:
(y – 4 = 0.2 (x – 0
y – 4 = 0.2x   / + 4
y = 0.2x + 4
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = 0.2x + 4.

שרטוט הישר המבוקש
שרטוט הישר המבוקש

תרגיל 2 (נקודת חיתוך עם ציר ה x, ישרים מאונכים)
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y = 4x +1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x.

פתרון
נזכור: עלינו למצוא נקודה ושיפוע.
שלב א: מציאת נקודה דרכה עובר הישר המבוקש
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x על ידי הצבת y= 0 במשוואת הישר.
0.5x + 1 = 0  / -1
0.5x = -1  /*2
x = -2
נקודת החיתוך היא (0, 2-).

שלב ב: מציאת שיפוע הישר המבוקש
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
השיפוע של הישר y = 4x +1 הוא 4.
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש הוא כ m.
לכן מתקיים:
m * 4 = -1
m = -0.25

שלב ג: מציאת משוואת הישר
נציב את השיפוע m = -0.25 ואת הנקודה  (0, 2-) במשוואת הישר
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
((y – 0 = -0.25 (x – (-2
y = -0.25x – 0.5
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = -0.25x – 0.5.

תרגיל 3 (נקודת חיתוך בין ישרים, משוואה לא מפורשת)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y=x+1 ו y=-2x+10 ומקביל לישר y+3x=4.

פתרון
שלב א: מציאת הנקודה דרכה עובר הישר
נמצא את נקודת חיתוך הישרים y=x+1 ו y=-2x+10.
x+1 = -2x+10 /+2x-1
3x=9 /:3
x=3.
נמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y=3+1=4.
נקודת חיתוך הישרים והנקודה דרכה עובר הישר היא (3,4).

שלב ב: נמצא את שיפוע הישר
נמצא את שיפוע הישר המבוקש.
על מנת לעשות זאת עלינו להעביר את משוואת הישר המקביל למשוואה מפורשת.
y+3x=4 /-3x
y=-3x+4 – כלומר שיפוע הישר המקביל והישר המבוקש הוא 3-.

שלב ג: מציאת משוואת הישר
מציאת משוואת הישר ששיפוע 3- ועובר דרך הנקודה (3,4).
(y-4 = -3(x-3
y-4 = -3x +9 /+4
y=-3x+13  – משוואת הישר המבוקש.

משוואת הישר המבוקש y=-3x+13, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל לו.
משוואת הישר המבוקש y=-3x+13, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל לו.

סיכום הדרכים והמכשולים למצוא משוואת ישר

חמש הדרכים למצוא משוואת ישר הם:

  1. בעזרת נקודה דרכה עובר הישר ושיפוע הישר – זו הדרך הבסיסית ביותר. בכול השיטות האחרות משתמשים בדרך זו לאחר שמוצאים את השיפוע.
  2. על פי שתי נקודות דרכם עובר הישר – יש נוסחה המוצאת את השיפוע במקרה זה.
  3. על פי ישרים מקבילים – לישרים מקבילים שיפוע זהה.
  4. על פי ישרים מאונכים – מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
  5. כאשר ידוע שישר מקביל לצירים מספיק לדעת נקודה אחת דרכה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.

קשיים מרכזיים בהם תוכלו להיתקל:

  1. תדרשו להשתמש במשוואת ישר לא מפורשת – ואז יש לעבור למשוואת ישר מפורשת.
  2. תדרשו למצוא נקודת חיתוך של של ישרים.

דפים נוספים באתר:

תרגילים לעבודה עצמית

מצורפים תרגילים הממחישים את 4 השיטות שפורטו קודם למציאת משוואת ישר.

1. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (5,3) ושיפועו 2.

פתרון
הנתונים הם: X1=5 ו- Y1=3.
m=2.
נציב במשוואה  (y-y1=m(x-x1 .
(y-3=2(x-5
y-3=2x-10  /+3
y=2x-7  – משוואת הישר המבוקש.

2. מציאת משוואת ישר בעזרת שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (8,5) ו (1, 6)

פתרון
נמצא את השיפוע על פי הנוסחה:

m= Y1-Y2:(X1-X2)).
נוסחה לשיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות

(8-6) : (5-1)
2= 4:2
השיפוע הוא 2.
נציב את השיפוע וערכי אחת הנקודות (לא חשוב איזו) במשוואה (y-y1=m(x-x1.
(y-1=2(x-6
y-1=2x-12  / +1
y=2x-11 – זו משוואת בישר.

שרטוט הישר והנקודות
שרטוט הישר והנקודות

3. מציאת משוואת ישר בעזרת ישר מקביל

מצאו את משוואת העובר דרך הנקודה (2,2) ומקביל לישר y=5x+1.

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 5 מכוון שהוא מקביל לישר ששיפועו 5 (y=5x+1).
נציב את ערכי הנקודה (2,2) והשיפוע (5) במשוואה (y-y1=m(x-x1.
(y-2=5(x-2
y-2=5x-10 /+2
y=5x-8

לישרים מקבילים שיפוע זהה

4. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע קו מאונך

מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=4x-1 ועובר דרך הנקודה (4,2).

פתרון
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
שיפוע הישר הנתון היא 4. לכן שיפוע הישר המאונך הוא 0.25-.
1- = 4 * 0.25-.
נציב את הנקודה והשיפוע במשוואה  (y-y1=m(x-x1.
y-2= – 0.25(x-4
y-2= – 0.25x +1  / +2
y= – 0.25x +3

שרטוט הישרים המאונכים

5. תרגיל מסכם, מציאת משוואת ישר בדרכים שונות

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
((C(1,1

  1. מצאו את משוואת הצלע AD.
  2. מצאו את משוואת הצלע CD.
  3. מצאו את הנקודה D.

שרטוט גרף התרגיל

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y1=m(x-x1
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD.
ולכן מכפל השיפועים שלהם היא 1-.
אם t הוא השיפוע של CD אז:
t * -0.5 = -1    / * -2
t = 2

נמצא את משוואת הישר העובר דרך (1,1) c ושיפועו 2.
(y-y1=m(x-x1
(y – 1 = 2(x – 1
y – 1 = 2x -2   / +1
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאנו בסעיפים הקודמים.
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.
נמצא את נקודת החיתוך D על ידי השוואה של המשוואות:
2x – 1 = -0.5x + 9    / +0.5x   + 1
2.5x = 10   / :2.5
x = 4

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה D נציב x = 4 במשוואת הישר CD.
y = 2x – 1
y = 2* 4 – 1 = 7
תשובה (7, 4) D.

עוד בנושא מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים תוכלו למצוא בקישור.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

48 מחשבות על “מציאת משוואת ישר”

  1. היי יש לי שאלה . אם יש לי שאלה שבה אני אמורה למצוא את משוואת הישר שמקביל לישר מסויים וחותך את ציר איקס בנקודה שמרחקה מהראשית 3 , מה זה אומר? איך אני פותרת את זה?

  2. שלום.
    מצא נקודה על הישר X=10
    הנמצאת במרחק שווה מהנקודה (6,2)
    ומציר X.
    אשמח לעזרה איך איך לענות על השאלה הזו.

  3. היי תודהה רבה על כל הסירטונים!!
    ויש לי שאלה:
    נתונות שתי הנקודות (7,3)A ו (11,5)B
    מצא את משוואת האנך לקטע AB בנקודה A
    🤷‍♀️🤷‍♀️🤷‍♀️🤷‍♀️🤷‍♀️🤷‍♀️🤷‍♀️🤷‍♀️
    ניסיתי לעשות את זה דרך משוואת הישר ודרך נוסחת השיפוע ולא הצלחתי אם תוכלו לעזור אשמח!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השיפוע של הישר AB הוא 1/2.
      לכן השיפוע של הישר המאונך הוא 2-.
      את צריכה למצוא את משוואת הישר ששיפועו 2- ועובר ב A.

  4. היי,
    יש לי שאלה: מצא את ערכו של m, שעבורו זוגות הישרים הבאים יהיו מקבלים זה לזה, אך לא מתלכדים זה עם זה.
    (ב) Mx+3y=15 y=Mx+7

  5. שלום,אני יודעת איך מוצאים שיפוע אבל יש לי שאלה שאני לא מצליחה לפתור אותה.
    איך מוצאים את השיפוע של (8,2)) ו_ (0,0)?
    בבקשה תעזרו לי.

    1. לומדים מתמטיקה

      על פי הנוסחה לשיפוע על פי 2 נקודות:
      2 = 0 – 2
      8 = 0 – 8

      2/8 שווה לרבע, לכן השיפוע הוא רבע.

  6. יש לי שאלה שנתקעתי בה
    נתון הישר 2X-Y=5X
    א מצאו את השיפוע של ישר המקביל לישר זה
    ב. מצאו את משוואת הישר המקביל לישר זה ועובר בראשית הצירים.
    בידדתי את ה Y לבד וקיבלתי Y=2X-5 אבל לא ידעתי איך להמשיך מפה

  7. הי, כאשר יש לי שאלה.
    כתוב משוואת הישר העובר דרך הנקודה (2,3)
    ללא התייחסות לשיפוע או נקודה נוספת.
    מה עליי לעשות?
    להמציא שיפוע? או נקודה נוספת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מיכל
      דבר חשוב לא כתבת והוא מה מבקשים ממך.

      אם מבקשים ממשך למצוא משוואת ישר כלשהי העוברת דרך הנקודה אז יש אינסוף ישרים כאלו והדרך הנוחה היא להמציא שיפוע ולכתוב בעזרתו משוואת ישר.

  8. אני לא יכול להגיד לכם עד כמה האתר שלכם עזר לי! מעריך אתכם מאוד! תודה על כל התוכן באתר המדהים הזה. האתר הטוב ביותר שנתקלתי בו.

  9. שלום, נתון לי שהשיפוע הוא 0.75 וידוע שמשוואת הישר היא y=mx+b אם ככה מה נקודהb? נתון לי גם נקודה אחת (4,0)..
    אשמח לתשובה כי דיי הסתבכתי..

  10. דבורה ירושלמי

    אפשר ללמד השאלה הזה מצאו את משוואת הישר המקביל לישר 2x-y=5 ועובר בראשית הצירים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום דבורה
      צריך להפוך את משוואת הישר למשוואה מפורשת על מנת למצוא את שיפוע הישר.
      2x-y=5
      y = 2x – 5
      שיפוע הישר הזה הוא 2.
      נותר למצוא את משוואת הישר ששיפועו 2 ועובר ב 0,0.
      בהצלחה

  11. תודה רבה על ההסבר הצלחתי לפתור אתת חלק מהשאלות אבל רק שאלה אחת לא הבנתי אם אפשר הסבר
    מצא את משוואת ישר ….. (השאלה עצמה הוסרה מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נופר.
      עלייך לזכור שעל מנת למצוא משוואת ישר תמיד עלייך למצוא שני דברים.
      1) נקודה דרכה עובר הישר.
      2) שיפוע הישר.
      ואז את מציבה את הנתונים הללו בנוסחה:
      (y-y1=m(x-x1
      כיצד את מוצאת את הדברים הללו בשאלה הזו?
      1) הנקודה : היא "נקודת החיתוך עם ציר ה- Y של הישר Y= – X – 1/5". (לאחר חישוב תקבלי שהנקודה (1/5-, 0))
      2) השיפוע: משוואת הישר שנתנו לך Y-1/10X=5 היא משוואה לא מפורשת. כי ה x וה y נמצאים באותו צד של המשוואה.
      עלייך לעבור למשוואה בה ה y נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה.
      Y-1/10X=5 / +1/10x
      y = 1/10x + 5
      ובצורה הזו ניתן לראות ששיפוע הישר הוא 1/10, ומכוון ששיפועים של ישרים מקבילים הם שווים גם שיפוע הישר המבוקש הוא עשירית.
      בשלב האחרון עלייך להציב את השיפוע והנקודה שמצאת במשוואה:
      (y-y1=m(x-x1

      שימי לב שהחלק השני של הדף נקרא "מכשולים".
      ויש שם 3 שאלות. השאלה הראשונה דומה לשאלה שכתבת מבחינת מציאת נקודת חיתוך עם ציר ה y.
      השאלה השלישית דומה מבחינת הצורך למצוא שיפוע דרך משוואה לא מפורשת.
      בהצלחה ומקווה שעזרתי.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נועם
      לחלק מהמשוואות המתמטיות יש תיאור גרפי.
      משוואת ישר היא משוואה שכאשר מציבים מספרים במקום x התיאור הגרפי המתקבל הוא תיאור של ישר.
      כך נראית המשוואה, כאשר בכול משוואה יש במקום m,n מספרים
      y = mx + n

  12. היי קראתי את כל ההסברים ולא מצאתי הסבר לשאלה אשמח לעזרה!
    רשום את משוואת הישר העובר בנקודה C והמקביל לישר AB

    זה אומר שיש לי שלוש נקודות לא? איך אני פותרת?
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נוי.
      מיד לאחר מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות יש את הנושא של מציאת משוואת ישר על פי ישרים מקבילים ויש שם שאלה בדיוק כמו שכתבת.
      ולעניין עצמו:
      השיפוע של הישר שאת מחפשת שווה לשיפוע של הישר AB.
      כלומר את השיפוע את לוקחת מ AB.
      יש לך את הנקודה C.
      ואז את מוצאת את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.
      מקווה שעזר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אילן
      אני מניח שאתה מתכוון לנושא המעגל. ויש דפים בנושא זה.
      דף המיועד ל 3 יחידות לפני בגרות ומתאים גם ל- 4 יחידות.
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/circle-analytic-geometry/
      דף המיועד ל- 4 יחידות
      http://www.m-math.co.il/4/481/analytic-geometry-4/
      דף המיועד ל- 5 יחידות
      http://www.m-math.co.il/5/582/analytic-geometry-5/
      בתוך כל אחד מהדפים תמצא קישורים לדפים נוספים.
      בהצלחה

  13. היי יש לי שאלה כזאת ואשמח לעזרה

    מצאי את משוואת הישר המאונך לציר הX והעובר בנקודה (0,2)

    1. לומדים מתמטיקה

      ישר המאונך לציר ה x הוא ישר שערך ה x שלו קבוע ולא משתנה.
      המשוואה נראית כך, x = k כאשר k הוא מספר.
      הישר עובר בנקודה שבה x=0 ולכן ה x של הישר הוא תמיד 0.
      תשובה: משוואת הישר היא x=0, זה למעשה ציר ה y.
      עבור משוואות ישר המקבילים לצירים יש דף נפרד:
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-that-parallel-to-x-or-y/
      בהצלחה

  14. שלום לומדים מתמטיקה יש לי שאלה בבקשה תעזרו.
    כתוב לי חשבו את נקודות החיתוך של הישר עם הצירים שכאשר הישר עובר דרך הנקודה(3,2) ושיפועו 2-.
    איך פותרים?

    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נועם
      הפתרון שלך נעשה בשני שלבים.
      1) מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
      2) מציאת נקודת חיתוך עם ציר ה y על יד הצבה x=0 וחיתוך עם ציר ה x על ידי הצבה y=0.

      נתחיל.
      צריך להציב את נתוני הנקודה במשוואה:
      (y-y1=m(x-x1
      (y – 3 = -2(x- 2
      y – 3 = -2x + 4 / +3
      y = -2x + 7
      זו משוואת הישר.
      נציב x = 0 ונקבל את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
      y = -2 * 0 + 7
      y = 7
      נקודת החיתוך עם ציר ה y היא (7, 0).

      נציב y = 0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x.
      2x + 7 = 0-
      x=3.5
      נקודת החיתוך עם ציר ה x היא (0, 3.5).
      באופן חריג פתרתי את התרגיל בצורה מלאה.
      על מנת לפתור תרגילים מהסוג הזה בעצמך עליך ללמוד משני דפים.
      1) "מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה"
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-point-slope/
      "
      2) "מציאת נקודות חיתוך עם הצירים"
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/intersection-with-axis/
      בהצלחה

  15. איך אני מראה שהיישר העובר דרך נקודות (3-, 4) ו- (9, 8-) מקביל ליישר שעובר דרך הנקודות (6-, 4) ו- (10, 12-).
    דחוף ביותר!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ישרים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים.
      אתה צריך להראות שהשיפוע של שני הישרים שווה.
      בדף כאן למעלה יש נושא "מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות".
      בתחילת הנושא מופיעה נוסחה למציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות.
      השתמש בנוסחה ומצא את השיפוע של שני הישרים. אם השיפוע שלהם שווה הישרים מקבילים.
      בהצלחה

  16. נהוראי זהבי

    איך אני מוצא את משוואת היישר העובר בנקודות (8, 2-) ויוצר עם הכיוון החיובי של ציר X זווית של 130 מעלות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נהוראי
      הנוסחה אומרת tga = m.
      במקרה שלך:
      1.19- = 130 tg
      1.19- זה השיפוע ועכשיו את יכול למצוא את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
      בהצלחה

  17. היי, לגבי התרגיל האחרון שפירסמת כאן בעמוד (5)
    הצלחתי את סעיף א וב'
    אבל אין לי מושג איך עושים את ג' ולא פירסמתם את זה.
    אשמח להסבר דחוף,
    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום קרן
      הוספתי פתרון מפורט בסוף השאלה, את יכולה לקרוא אותו שם. הסבר קצר נמצא כאן.
      בשני הסעיפים הראשונים יש מצאנו את הישרים AD, CD. הנקודה D היא נקודת החיתוך של הישרים הללו, וכך מוצאים אותה על ידי מציאת נקודת חיתוך בין ישרים.
      מכאן את צריכה ללמוד ולזכור שני דברים:
      1) מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים הוא נושא חשוב מאוד שנעשה בו שימוש באינספור שאלות. למדי אותו. הוספתי שם קישור לדף מיוחד בנושא.
      2) בהרבה מהשאלות אנו צריכים להשתמש במידע מהסעיפים הקודמים על מנת לפתור את השאלה הנוכחית. וזה בדיוק מה שקרה כאן. מצאנו משוואות בסעיפים א ו ב והשתמשנו בהם כדי לפתור את סעיף ג.
      זה קורה המון פעמים, תמיד בדקי כיצד תשובות לסעיפים קודמים יכולים לעזור לך.
      בהצלחה

  18. היי אשמח לעזרה לשאלה הבאה
    מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (1,2) ואינו חותך את ציר ה-y

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אורטל.
      1) ישרים שאינם מקבילים לציר ה y חותכים את ציר ה y.
      2) לכן צריך למצוא משוואת ישר מקביל לציר ה y ועובר בנקודה (1,2). רק הוא לא יחתוך את ציר ה y.
      3) לישרים המקבילים לציר ה Y יש ערך y קבוע בכול נקודה.
      4) ומכוון שהישר צריך לעבור דרך נקודה שבה y=2 משוואתו תהיה y=2.
      בהצלחה

  19. יש לי שאלה כזאת: מצא את משוואת הישר ששיפועו 5 העובר דרך הראשית.
    מה הפתרון של השאלה כי לא הבנתי אותה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      השאלה הזו שייכת לקבוצת השאלות של "מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה"
      ראשית הצירים זו הנקודה 0,0.
      והשיפוע הוא 5.
      נציב זאת במשוואה: (y-y1=m(x-x1
      (y-0 = 5(x-0
      y=5x
      זו משוואת הישר אליה אתה צריך להגיע.
      ,תרגילים והסברים נוספים בדף:
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-point-slope/

      מקווה שעזר.

  20. היי, יש לי שאלה כזו;
    מצא את משוואת הישר ששיפועו 8 והוא חותך את ציר ה x בנקודה שבה x=3. איך ניתן למצוא את הy?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום חנה.
      בנקודה שבה ישר חותך את ציר ה X ערך ה Y בנקודה הוא y=0.
      לכול אורך ציר ה x מתקיים y=0.
      לכן את צריכה למצוא את משוואת ישר ששיפועו 8 ועובר בנקודה (3,0).
      הסבר כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה תמצאי בדף זה וגם בקישור.
      משוואת הישר שאת צריכה להגיע אליה היא:
      y=8x-24
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-point-slope/

      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.