מציאת משוואת ישר

יש 6 דרכים למצוא את משוואת הישר.

1. על פי שיפוע ונקודה.
2. על פי שתי נקודות.
3. על פי ישרים מקבילים.
4. על פי ישרים מאונכים.
5. משוואת ישר המקביל לצירים.
6. *משוואת ישר על פי גרף.

5 הדרכים הראשונים חשובות ועליכם לדעת אותם ב 100%.
הדרך השישית חשובה פחות.

לאחר שנלמד את 6 הדרכים נלמד למצוא נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ובין שני ישרים.

לאחר מיכן בדף תמצאו:

1. מכשולים.
2. תרגילים.

אלו הן 6 השיטות למצוא משוואת ישר:

1.מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

במשוואת ישר
y = mx + n
יש שני משתנים:   m, n

בשאלות מסוג זה m יהיה נתון בשאלה.
כך שיש לנו משתנה אחד (n) שצריך למצוא.

נציב את ערכי  x,y של הנקודה במשוואת הישר ונקבל משוואה עם נעלם אחד שדרכה ניתן למצוא את n.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 ועובר בנקודה (4,1).

פתרון
משוואת הישר היא:
y = mx + n
נציב במשוואה:
m = 2
x = 4
y = 1

ונקבל
1 = 2 * 4 + n
1 = 8 + n
– 7 = n

משוואת הישר היא:
y = 2x – 7

• משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

פתרו בעצמכם:
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה (3,18).

2.משוואת ישר על פי 2 נקודות

כאשר נתונות לנו שתי נקודות חסר לנו שיפוע על מנת למצוא את משוואת הישר.

במקרה זה יש נוסחה למציאת השיפוע.
אם הנקודה A היא (x₁,y₁) והנקודה B היא  (x₂,y₂) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

לאחר שמוצאים את השיפוע יש לנו שיפוע ונקודה.
מציבים את שני אלו במשוואה
y = mx + n
ומוצאים את משוואת הישר כפי שלמדנו בסעיף הקודם.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0,6)A  ו (10,1)B

שלב 1: מציאת השיפוע
נציב את הערכים של הנקודות במשוואה:

ונקבל:

השיפוע הוא 0.5-.

שלב 2: מציאת משוואת הישר
נציב m= -0.5  ואת הנקודה (0,6) בנוסחה:
y = mx + n

6 = – 0.5 * 0 + n
6 = n
y= – 0.5x + 6
זו משוואת הישר

שימו לב שאתם מציבים נכון

כאשר כאשר אנו מקבילים שתי נקודות. איך נחליט איזו נקודה להציב במקום (x₁,y₁)  ואיזו נקודה להציב במקום (x₂,y₂) ?
התשובה היא שאין לזה חשיבות. ובשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.
אבל אנו צריכים להקפיד לשמור על הסדר. אם הצבנו ערך y של נקודה משמאל במונה כ y₁ אז אנו צריכים להציב את הערך של x במכנה משמאל כ x₁.

עבור הנקודות:
(0,6)A  ו (10,1)B

מוצגות כאן 4 הצבות למציאת שיפוע, חלקן נכונות וחלקן לא בחרו את ההצבות הנכונות.
שימו לב שיש יותר מהצבה אחת  נכונה:

1.

2.

3.

4.

• משוואת ישר לפי שתי נקודות.

פתרו בעצמכם:

מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (A(2,5 וגם בנקודה B שהיא נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y.

3.משוואת ישר על פי ישרים מקבילים

הכלל אומר שלישרים מקבילים יש שיפועים שווים.
כלומר לכל הישרים המקבילים לישר y = -2x + 5 יש שיפוע של 2-.

לכן אם נותנים לנו משוואה של ישר מקביל, זה כאילו נתנו לנו את השיפוע של הישר עצמו.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (4, 1) ומקביל לישר y = -4x +2

פתרון
לישרים מקבילים שיפועים שווים.
השיפוע של הישר המקביל הוא 4-, לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 4-.

עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 4- ועובר בנקודה (1,4).
נציב בנוסחה:

y = mx + n
4 = -4 * 1 + n
4 = -4 + n
8 = n

משוואת הישר היא:
y = -4x + 8

משוואת ישר לא מפורשת

השיפוע הוא המקדם של x אך ורק במשוואה מפורשת של ישר.

משוואה מפורשת היא משוואה שבה:

1. ה y נמצא יחיד בצד שלו במשוואה.
2. המקדם של ה y הוא 1.

(הסבר מפורט בוידאו).

כאשר נקבל משוואה לא מפורשת נעביר אותה להיות משוואה מפורשת וכך נזהה את השיפוע.

דוגמה 
2y + 4x = 6
במקרה זה המקדם של x, שהוא 4, הוא לא שיפוע הישר.

על מנת למצוא את שיפוע הישר עלינו לבודד את y.
2y + 4x = 6  / -4x
2y = -4x + 6  / :2
y = -2x + 3

זו משוואה מפורשת, וכאן ניתן לראות ששיפוע הישר הוא 2-.

• משוואת ישר על פי ישרים מקבילים.
• משוואה לא מפורשת של ישר.

4.משוואת ישר על פי ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

לכן אם אנו מחפשים את השיפוע של הישר המאונך לישר  y = 4x – 3
אנו נפעל כך:
נגדיר m שיפוע הישר המבוקש (המאונך).

ומכוון שמכפלת השיפועים היא 1- המשוואה היא:
m * 4 = -1
m = -1/4 = -0.25

תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x – 3 הוא 0.25- .

הערה: משוואות ישר לא מפורשות
גם כאן כאשר אנו מכפילים את השיפועים עלינו לשים לב שאנו מוצאים את השיפוע במשוואת ישר מפורשת.

• מציאת משוואת ישר בישרים מקבילים או מאונכים.

5.משוואת ישר המקביל לצירים

למשוואת ישר המקביל לציר ה x יש תכונה:
הוא שומר על ערך ה y שלו קבוע לכל אורכו.
לכן אם נדע את ערך ה y שלו בנקודה אחת נדע את ערך ה y שלו לכל אורכו.

למשל הישר שבשרטוט שומר על ערך y קבוע של 3 לכל אורכו.

למשוואות ישר המקביל לציר ה y יש תכונה.
הוא שומר על ערך  x שלו קבוע לכל אורכו.
לכן אם נדע את ערך ה x בנקודה אחת נוכל לדעת את ערך ה x לכל אורכו.

למשל בישר למטה ערך ה x הוא קבוע 2- לכל אורכו.

מצאנו שעבור שני סוגי הישרים אם נדע נקודה דרכה הם עוברים נוכל לקבוע את משוואת הישר, כי הם שומרים על ערך קבוע לכל אורכם.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x ומשוואת הישר המקביל לציר ה y העוברים בנקודה (2-, 1)

פתרון
ישר המקביל לציר ה x
הישר הזה שומר על ערך y קבוע לכל אורכו.
לכן אם ערך ה y שלו הוא 2- בנקודה אחת זה ערך ה y שלא תמיד ומשוואתו:
y = -2.

ישר המקביל לציר ה y
הישר הזה שומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
לכן אם ערך ה y שלו הוא 1 בנקודה אחת זה ערך ה x שלא תמיד ומשוואתו:
x = 1.

• משוואת ישר מקביל לצירים.

פתרו בעצמכם:

תרגיל  1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x.

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר המקביל
לציר ה y ועובר בנקודה (3-, 1-).

6.מציאת משוואת ישר על פי גרף

כאשר נתון לנו גרף נמצא שתי נקודות על הגרף ואז נמצא משוואת ישר על פי 2 נקודות.

דוגמה
מצאו את משוואת הישר על פי הגרף שלמטה.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(1,2)   B(2,5
נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 3 ונקודה (1,2)

נציב את הנתונים הללו במשוואה
y = mx + n
2 = 3 * 1 + n
2 =3 + n
-1 = n

n = – 1, m = 3
נציב במשוואת הישר ונקבל:
y = mx + n
y = 3x -1
זו משוואת הישר המבוקשת.

• מציאת משוואת ישר על פי גרף.

חלק שני: חיתוך עם הצירים וחיתוך בין שני ישרים

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

הכלל אומר:
חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבת y =0 במשוואת הפונקציה.
חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבת x = 0 במשוואת הפונקציה.

דוגמה
מצאו את נקודות החיתוך של הישר y = -3x +1 עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב x =0 במשוואת הפונקציה
y = -3 * 0 + 1
y = 0 + 1 = 1
(0,1)  זו נקודות החיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x
נציב y =0 במשוואת הפונקציה ונקבל:
3x + 1 = 0-
3x = -1-
x = -0.333
(0, 0.333-) זו נקודת החיתוך עם ציר ה y.

כך יראה הישר העובר דרך שתי הנקודות הללו.

נקודת חיתוך בין שני ישרים

אם נתונים שני ישרים:
f (x) = 2x – 4
g (x) = x – 1
נמצא את נקודת החיתוך שלהם על ידי השוואה בין המשוואות שלהם.
(f (x) = g (x
2x – 4 = x – 1
2x – 4 = x – 1   / -x + 4
x = 3

הפונקציות נפגשות כאשר x = 3. נציב x = 3 באחת הפונקציות על מנת למצוא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
g (x) = x – 1
g (3) = 3 – 1 = 2
נקודת החיתוך היא (3,2).

• חיתוך בין שני ישרים.

פתרו בעצמכם:
עבור הישר y = 2x – 5.

1. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה x וציר ה y.
2. מצאו את נקודת החיתוך עם הישר y = x + 2.

חלק 3: מכשולים ודרכי ניסוח של שאלות שיכולים להקשות עליכם

פירוט המכשולים הללו נועד בעיקר עבור תלמידי הקבצה א בכיתה ט ותלמידים הניגשים לבגרות.

1.משוואת ישר לא מפורשת.
אם יתנו לכם משוואת ישר שנראית כך y-3x+5=0 ויבקשו ממכם למצוא את משוואת הישר המקביל או המאונך לה עליכם עליכם להעביר את משוואה זו אל הצורה המפורשת, ורק ממנה ניתן ללמוד על שיפוע הישר ולהשתמש בו לצורך חישוב שיפוע ישר מקביל / ישר מאונך.
y-3x+5=0
y-3x+5=0  / +3x-5
y=3x-5 – זו משוואה מפורשת.

2. לא יתנו לכם נקודה דרכה עובר הישר.
בכול השיטות שלמדנו צריך לדעת ערך של נקודה בה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.
בחלק מהשאלות לא יתנו נקודה דרכה עובר הישר אבל כן יגידו:

1. כי הישר "עובר דרך נקודת חיתוך של הישרים…". (מציאת נקודות חיתוך בין ישרים).
2. הישר עובר דרך נקודת החיתוך של ישר אחר עם הצירים. (מציאת נקודת חיתוך עם הצירים)

תרגיל 1 (נקודת חיתוך עם ציר ה Y, ישרים מקבילים)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y. ומקביל לישר y = 0.2x – 4.

פתרון
נזכור: על מנת לחשב משוואת ישר עלינו למצוא שיפוע ונקודה.
הנקודה היא נקודת החיתוך.
את השיפוע נמצא בעזרת הישר המקביל.

בשרטוט, אלו הדרישות שיש מהישר המבוקש

שלב א: מציאת נקודה
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y.
נציב x= 0 במשוואת הישר.
y = -2* 0 + 4 = 4
נקודת החיתוך היא (4, 0).

שלב ב: מציאת שיפוע
השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
שיפוע הישר y = 0.2x – 4 הוא 0.2. לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 0.2.

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
נציב m = 0.2 ואת הנקודה (4, 0) במשוואת הישר
(y-y₁=m(x-x₁
נקבל:
(y – 4 = 0.2 (x – 0
y – 4 = 0.2x   / + 4
y = 0.2x + 4
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = 0.2x + 4.

תרגיל 2 (נקודת חיתוך עם ציר ה x, ישרים מאונכים)
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y = 4x +1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x.

פתרון
נזכור: עלינו למצוא נקודה ושיפוע.
שלב א: מציאת נקודה דרכה עובר הישר המבוקש
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x על ידי הצבת y= 0 במשוואת הישר.
0.5x + 1 = 0  / -1
0.5x = -1  /*2
x = -2
נקודת החיתוך היא (0, 2-).

שלב ב: מציאת שיפוע הישר המבוקש
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
השיפוע של הישר y = 4x +1 הוא 4.
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש הוא כ m.
לכן מתקיים:
m * 4 = -1
m = -0.25

שלב ג: מציאת משוואת הישר
נציב את השיפוע m = -0.25 ואת הנקודה  (0, 2-) במשוואת הישר
(y-y₁=m(x-x₁
ונקבל:
((y – 0 = -0.25 (x – (-2
y = -0.25x – 0.5
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = -0.25x – 0.5.

תרגיל 3 (נקודת חיתוך בין ישרים, משוואה לא מפורשת)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y=x+1 ו y=-2x+10 ומקביל לישר y+3x=4.

פתרון
שלב א: מציאת הנקודה דרכה עובר הישר
נמצא את נקודת חיתוך הישרים y=x+1 ו y=-2x+10.
x+1 = -2x+10 /+2x-1
3x=9 /:3
x=3.
נמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y=3+1=4.
נקודת חיתוך הישרים והנקודה דרכה עובר הישר היא (3,4).

שלב ב: נמצא את שיפוע הישר
נמצא את שיפוע הישר המבוקש.
על מנת לעשות זאת עלינו להעביר את משוואת הישר המקביל למשוואה מפורשת.
y+3x=4 /-3x
y=-3x+4 – כלומר שיפוע הישר המקביל והישר המבוקש הוא 3-.

שלב ג: מציאת משוואת הישר
מציאת משוואת הישר ששיפוע 3- ועובר דרך הנקודה (3,4).
(y-4 = -3(x-3
y-4 = -3x +9 /+4
y=-3x+13  – משוואת הישר המבוקש.

סיכום הדרכים והמכשולים למצוא משוואת ישר

חמש הדרכים למצוא משוואת ישר הם:

1. בעזרת נקודה דרכה עובר הישר ושיפוע הישר – זו הדרך הבסיסית ביותר. בכול השיטות האחרות משתמשים בדרך זו לאחר שמוצאים את השיפוע.
2. על פי שתי נקודות דרכם עובר הישר – יש נוסחה המוצאת את השיפוע במקרה זה.
3. על פי ישרים מקבילים – לישרים מקבילים שיפוע זהה.
4. על פי ישרים מאונכים – מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
5. כאשר ידוע שישר מקביל לצירים מספיק לדעת נקודה אחת דרכה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.

קשיים מרכזיים בהם תוכלו להיתקל:

1. תדרשו להשתמש במשוואת ישר לא מפורשת – ואז יש לעבור למשוואת ישר מפורשת.
2. תדרשו למצוא נקודת חיתוך של של ישרים.

דפים נוספים באתר:

• מתמטיקה לכיתה ט – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.

תרגילים לעבודה עצמית

מצורפים תרגילים הממחישים את 4 השיטות שפורטו קודם למציאת משוואת ישר.

1. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (5,3) ושיפועו 2.

פתרון
הנתונים הם: X₁=5 ו- Y₁=3.
m=2.
נציב במשוואה  (y-y₁=m(x-x₁ .
(y-3=2(x-5
y-3=2x-10  /+3
y=2x-7  – משוואת הישר המבוקש.

2. מציאת משוואת ישר בעזרת שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (8,5) ו (1, 6)

פתרון
נמצא את השיפוע על פי הנוסחה:

(8-6) : (5-1)
2= 4:2
השיפוע הוא 2.
נציב את השיפוע וערכי אחת הנקודות (לא חשוב איזו) במשוואה (y-y₁=m(x-x_1.
(y-1=2(x-6
y-1=2x-12  / +1
y=2x-11 – זו משוואת בישר.

3. מציאת משוואת ישר בעזרת ישר מקביל

מצאו את משוואת העובר דרך הנקודה (2,2) ומקביל לישר y=5x+1.

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 5 מכוון שהוא מקביל לישר ששיפועו 5 (y=5x+1).
נציב את ערכי הנקודה (2,2) והשיפוע (5) במשוואה (y-y₁=m(x-x_1.
(y-2=5(x-2
y-2=5x-10 /+2
y=5x-8

4. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע קו מאונך

מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=4x-1 ועובר דרך הנקודה (4,2).

פתרון
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
שיפוע הישר הנתון היא 4. לכן שיפוע הישר המאונך הוא 0.25-.
1- = 4 * 0.25-.
נציב את הנקודה והשיפוע במשוואה  (y-y₁=m(x-x_1.
y-2= – 0.25(x-4
y-2= – 0.25x +1  / +2
y= – 0.25x +3

5. תרגיל מסכם, מציאת משוואת ישר בדרכים שונות

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
((C(1,1

1. מצאו את משוואת הצלע AD.
2. מצאו את משוואת הצלע CD.
3. מצאו את הנקודה D.

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y₁=m(x-x₁
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD.
ולכן מכפל השיפועים שלהם היא 1-.
אם t הוא השיפוע של CD אז:
t * -0.5 = -1    / * -2
t = 2

נמצא את משוואת הישר העובר דרך (1,1) c ושיפועו 2.
(y-y₁=m(x-x₁
(y – 1 = 2(x – 1
y – 1 = 2x -2   / +1
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאנו בסעיפים הקודמים.
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.
נמצא את נקודת החיתוך D על ידי השוואה של המשוואות:
2x – 1 = -0.5x + 9    / +0.5x   + 1
2.5x = 10   / :2.5
x = 4

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה D נציב x = 4 במשוואת הישר CD.
y = 2x – 1
y = 2* 4 – 1 = 7
תשובה (7, 4) D.

עוד בנושא מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים תוכלו למצוא בקישור.