מציאת משוואת ישר

דף זה מלמד את חמשת הדרכים למציאת משוואת ישר. זה העיקר. עליכם לדעת את חמשת הדרכים ב 100%.
לאחר מיכן תוכלו למצוא גם:

1. מכשולים נפוצים בשאלות.
2. שימוש בתכונות המשולש והמרובע למציאת משוואת הישר (כיתה י).
3. תרגילים.

הסרטונים שלמעלה הם סיכום של חמשת הדרכים למציאת משוואת ישר.
סיכום כתוב תוכלו למצוא לאחר החלק השני המסביר על המכשולים במציאת משוואת ישר.

הקדמה: איך מוצאים משוואת ישר?

בכול שאלה בה מבקשים ממכם למצוא את משוואת הישר עליכם למצוא שני דברים:

1. נקודה דרכה עובר הישר (x₁,y₁)
2. שיפוע הישר (m)

לאחר מיכן מציבים את הערכים שקיבלנו בנוסחה (y – y₁ = m (x – x₁.

בתרגילים פשוטים יתנו לנו את השיפוע והנקודה ואנחנו נציב במשוואה על מנת למצוא את הישר.
בתרגילים קצת יותר קשים לא יתנו את שיפוע הישר ואנחנו נצטרך למצוא אותו.

חלק 1: 5 הדרכים המעשיות למציאת משוואת ישר

1. משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

זו הדרך הפשוטה ביותר.
אם ידוע לנו ששיפוע ישר הוא m.
ונקודה דרכה עובר הישר היא x₁, y₁
אז מציבים את הנתונים בנוסחה:
(y-y₁=m(x-x₁
ומקבלים את משוואת הישר.

תרגיל
מצאו את משוואה הישר העובר בנקודה (1,4) ושיפועו 2.

פתרון
נציב במשוואה:
(y-y₁=m(x-x₁
x₁ =1, y₁ = 4, m = 2
(y-4 = 2(x-1
y-4=2x-2 /+4
y=2x+2 – זו משוואת הישר המבוקש.

• תרגילים נוספים עבור משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

וידאו: כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

2. משוואת ישר על פי שתי נקודות דרכם עובר הישר

אם נקבל שתי נקודות דרכם עובר הישר נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונמצא שיפוע הישר.

השיפוע (m) של ישר העובר דרך שתי נקודות (A  (x₁,y₁ והנקודה  (B(x₂,y₂ הוא:

לאחר שנמצא את שיפוע הישר נציב את השיפוע ונקודה במשוואת הישר כפי שעשינו קודם.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (6,1) (2-, 1).

פתרון
בשלב ראשון נמצא את שיפוע הישר על פי הנוסחה הכתובה למעלה:

m =0.6

עכשיו נציב את ערך אחת הנקודות(לא משנה איזו) ואת השיפוע במשוואה (y-y₁=m(x-x₁ בדיוק כמו שעשינו בשיטה מספר 1.
(y+2 = 0.6(x-1
y+2=0.6x -0.6 / -2
y=0.6x -2.6 – זו משוואת הישר.

• תרגילים נוספים בנושא מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות

3. משוואת ישר על פי ישרים מקבילים

לישרים מקבילים שיפוע זהה.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (4-,5-) ומקביל לישר y=-3x+1.

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 3- והוא עובר בנקודה (4-,5-).
נציב את הנתונים במשוואה:
(y – y₁= m (x-x₁
(y + 4= -3(x+5
y + 4 =-3x -15 /-4
y = -3x -19  – זו משוואת הישר המבוקש.

• תרגילים נוספים בנושא משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים.

4. משוואת ישר על פי ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-. לכן אם נותנים לנו את את משוואת הישר המאונך נוכל למצוא את שיפוע הישר המבוקש.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=2x-1 והעובר דרך הנקודה (0,0).

פתרון
נגדיר את m כשיפוע הישר המבוקש. לכן:
m*2=-1 /:2
m = -0.5

עכשיו נציב את הנתונים במשוואה (y-y₁=m(x-x₁
(y – 0 = -0.5 (x-0
y=-0.5x – זו משוואת הישר המבוקש.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי ישרים מאונכים או מקבילים

5. מציאת משוואת ישר מקביל לצירים

על מנת למצוא משוואת ישר רגילה אנו צריכים לדעת שתי נקודות או נקודה ושיפוע.
אבל עבור ישרים שמקבילים לצירים מספיק לדעת נקודה אחת דרכם הם עוברים.

למשל:
צלעות הריבוע ABCD מקבילות לצירים.
קודקוד הריבוע הנקודה (A(5, 2.
מצאו את משוואת הצלעות AB ו AD.

פתרון

משוואת AB.
AB הוא ישר המקביל לציר ה y.
לכן ערך ה x שלו קבוע לכל אורכו ומשוואתו היא מהצורה x = k, כאשר k הוא מספר.
ידוע שבנקודה A ערך ה x הוא 5.
לכן משוואת AB היא x = 5.

משוואת AD.
AD הוא ישר המקביל לציר ה x.
לכן ערך ה y שלו קבוע לכל אורכו ומשוואתו היא מהצורה y = k.
ידוע שערך ה y בנקודה A הוא 2.
לכן משוואת AD היא y = 2.

חלק 2: מכשולים ודרכי ניסוח של שאלות שיכולים להקשות עליכם

פירוט המכשולים הללו נועד בעיקר עבור תלמידי הקבצה א בכיתה ט ותלמידים הניגשים לבגרות.

1.משוואת ישר לא מפורשת.
אם יתנו לכם משוואת ישר שנראית כך y-3x+5=0 ויבקשו ממכם למצוא את משוואת הישר המקביל או המאונך לה עליכם עליכם להעביר את משוואה זו אל הצורה המפורשת, ורק ממנה ניתן ללמוד על שיפוע הישר ולהשתמש בו לצורך חישוב שיפוע ישר מקביל / ישר מאונך.
y-3x+5=0
y-3x+5=0  / +3x-5
y=3x-5 – זו משוואה מפורשת.

2. לא יתנו לכם נקודה דרכה עובר הישר.
בכול השיטות שלמדנו צריך לדעת ערך של נקודה בה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.
בחלק מהשאלות לא יתנו נקודה דרכה עובר הישר אבל כן יגידו:

1. כי הישר "עובר דרך נקודת חיתוך של הישרים…". (מציאת נקודות חיתוך בין ישרים).
2. הישר עובר דרך נקודת החיתוך של ישר אחר עם הצירים. (מציאת נקודת חיתוך עם הצירים)

תרגיל 1 (נקודת חיתוך עם ציר ה Y, ישרים מקבילים)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y. ומקביל לישר y = 0.2x – 4.

פתרון
נזכור: על מנת לחשב משוואת ישר עלינו למצוא שיפוע ונקודה.
הנקודה היא נקודת החיתוך.
את השיפוע נמצא בעזרת הישר המקביל.

בשרטוט, אלו הדרישות שיש מהישר המבוקש

שלב א: מציאת נקודה
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y.
נציב x= 0 במשוואת הישר.
y = -2* 0 + 4 = 4
נקודת החיתוך היא (4, 0).

שלב ב: מציאת שיפוע
השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
שיפוע הישר y = 0.2x – 4 הוא 0.2. לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 0.2.

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
נציב m = 0.2 ואת הנקודה (4, 0) במשוואת הישר
(y-y₁=m(x-x₁
נקבל:
(y – 4 = 0.2 (x – 0
y – 4 = 0.2x   / + 4
y = 0.2x + 4
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = 0.2x + 4.

תרגיל 2 (נקודת חיתוך עם ציר ה x, ישרים מאונכים)
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y = 4x +1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x.

פתרון
נזכור: עלינו למצוא נקודה ושיפוע.
שלב א: מציאת נקודה דרכה עובר הישר המבוקש
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x על ידי הצבת y= 0 במשוואת הישר.
0.5x + 1 = 0  / -1
0.5x = -1  /*2
x = -2
נקודת החיתוך היא (0, 2-).

שלב ב: מציאת שיפוע הישר המבוקש
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
השיפוע של הישר y = 4x +1 הוא 4.
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש הוא כ m.
לכן מתקיים:
m * 4 = -1
m = -0.25

שלב ג: מציאת משוואת הישר
נציב את השיפוע m = -0.25 ואת הנקודה  (0, 2-) במשוואת הישר
(y-y₁=m(x-x₁
ונקבל:
((y – 0 = -0.25 (x – (-2
y = -0.25x – 0.5
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = -0.25x – 0.5.

תרגיל 3 (נקודת חיתוך בין ישרים, משוואה לא מפורשת)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y=x+1 ו y=-2x+10 ומקביל לישר y+3x=4.

פתרון
שלב א: מציאת הנקודה דרכה עובר הישר
נמצא את נקודת חיתוך הישרים y=x+1 ו y=-2x+10.
x+1 = -2x+10 /+2x-1
3x=9 /:3
x=3.
נמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y=3+1=4.
נקודת חיתוך הישרים והנקודה דרכה עובר הישר היא (3,4).

שלב ב: נמצא את שיפוע הישר
נמצא את שיפוע הישר המבוקש.
על מנת לעשות זאת עלינו להעביר את משוואת הישר המקביל למשוואה מפורשת.
y+3x=4 /-3x
y=-3x+4 – כלומר שיפוע הישר המקביל והישר המבוקש הוא 3-.

שלב ג: מציאת משוואת הישר
מציאת משוואת הישר ששיפוע 3- ועובר דרך הנקודה (3,4).
(y-4 = -3(x-3
y-4 = -3x +9 /+4
y=-3x+13  – משוואת הישר המבוקש.

סיכום הדרכים והמכשולים למצוא משוואת ישר

חמש הדרכים למצוא משוואת ישר הם:

1. בעזרת נקודה דרכה עובר הישר ושיפוע הישר – זו הדרך הבסיסית ביותר. בכול השיטות האחרות משתמשים בדרך זו לאחר שמוצאים את השיפוע.
2. על פי שתי נקודות דרכם עובר הישר – יש נוסחה המוצאת את השיפוע במקרה זה.
3. על פי ישרים מקבילים – לישרים מקבילים שיפוע זהה.
4. על פי ישרים מאונכים – מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
5. כאשר ידוע שישר מקביל לצירים מספיק לדעת נקודה אחת דרכה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.

קשיים מרכזיים בהם תוכלו להיתקל:

1. תדרשו להשתמש במשוואת ישר לא מפורשת – ואז יש לעבור למשוואת ישר מפורשת.
2. תדרשו למצוא נקודת חיתוך של של ישרים.

חלק 3: מציאת משוואת ישר על ידי שימוש בתכונות של צורות

שאלות קשות יותר בנושא משוואת ישר דורשות למצוא משוואת ישר תוך שימוש בתכונות של צורות שונות.
מובאים כאן סרטוני וידאו המסבירים את הקשר שבין תכונות משולש שווה שוקיים וריבוע למציאת משוואת ישר.

אם תרצו לקרוא ולא לראות בוידאו את התוכן של שני בסרטונים הללו תוכלו לעשות זאת בקישור משוואת ישר שאלון 803 / 381.

דפים נוספים באתר:

• מתמטיקה לכיתה ט – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• פונקציה קווית – הסברים לנושאים נוספים, בעיקר לתכונות הגרפיות של הישר.

תרגילים לעבודה עצמית

מצורפים תרגילים הממחישים את 4 השיטות שפורטו קודם למציאת משוואת ישר.

1. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (5,3) ושיפועו 2.

פתרון
הנתונים הם: X₁=5 ו- Y₁=3.
m=2.
נציב במשוואה  (y-y₁=m(x-x₁ .
(y-3=2(x-5
y-3=2x-10  /+3
y=2x-7  – משוואת הישר המבוקש.

2. מציאת משוואת ישר בעזרת שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (8,5) ו (1, 6)

פתרון
נמצא את השיפוע על פי הנוסחה:

(8-6) : (5-1)
2= 4:2
השיפוע הוא 2.
נציב את השיפוע וערכי אחת הנקודות (לא חשוב איזו) במשוואה (y-y₁=m(x-x_1.
(y-1=2(x-6
y-1=2x-12  / +1
y=2x-11 – זו משוואת בישר.

3. מציאת משוואת ישר בעזרת ישר מקביל

מצאו את משוואת העובר דרך הנקודה (2,2) ומקביל לישר y=5x+1.

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 5 מכוון שהוא מקביל לישר ששיפועו 5 (y=5x+1).
נציב את ערכי הנקודה (2,2) והשיפוע (5) במשוואה (y-y₁=m(x-x_1.
(y-2=5(x-2
y-2=5x-10 /+2
y=5x-8

4. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע קו מאונך

מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=4x-1 ועובר דרך הנקודה (4,2).

פתרון
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
שיפוע הישר הנתון היא 4. לכן שיפוע הישר המאונך הוא 0.25-.
1- = 4 * 0.25-.
נציב את הנקודה והשיפוע במשוואה  (y-y₁=m(x-x_1.
y-2= – 0.25(x-4
y-2= – 0.25x +1  / +2
y= – 0.25x +3

5. תרגיל מסכם, מציאת משוואת ישר בדרכים שונות

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
((C(1,1

1. מצאו את משוואת הצלע AD.
2. מצאו את משוואת הצלע CD.
3. מצאו את הנקודה D.

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y₁=m(x-x₁
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD.
ולכן מכפל השיפועים שלהם היא 1-.
אם t הוא השיפוע של CD אז:
t * -0.5 = -1    / * -2
t = 2

נמצא את משוואת הישר העובר דרך (1,1) c ושיפועו 2.
(y-y₁=m(x-x₁
(y – 1 = 2(x – 1
y – 1 = 2x -2   / +1
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאנו בסעיפים הקודמים.
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.
נמצא את נקודת החיתוך D על ידי השוואה של המשוואות:
2x – 1 = -0.5x + 9    / +0.5x   + 1
2.5x = 10   / :2.5
x = 4

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה D נציב x = 4 במשוואת הישר CD.
y = 2x – 1
y = 2* 4 – 1 = 7
תשובה (7, 4) D.

עוד בנושא מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים תוכלו למצוא בקישור.