גיאומטריה אנליטית 4 יחידות סיכום

לדף זה שני חלקים:

  1. קישורים שנועדו ללמד אותכם את החומר.
  2. סיכום שנבנה על בסיס 15 בחינות הבגרות מהשנים 2015-2019.

1.קישורים

שיעורים בנושא משוואת ישר:

  1. פונקציה קווית כיתה ח.
  2. משוואת ישר כיתה י (שימוש במשתנים).
  3. חישוב שטחים.
  4. משולשים בגיאומטריה אנליטית סיכום.
  5. מרובעים בגיאומטריה אנליטית סיכום.
  6. מרובעים בגיאומטריה אנליטית תרגילים.

שיעורים בנושא מעגל:

  1. מעגל  3 יחידות.
  2. מעגל 4 יחידות.
  3. משיק ורדיוס למעגל
  4. קוטר במעגל.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות – נושאי לימוד נוספים.

2.סיכום

על מנת לבנות את הסיכום הזה עברתי על 15 בחינות הבגרות הבגרות שנכתבו בשנים 2015 – 2019 וכתבתי הסברים כיצד לפתור את הסעיפים של הבחינות הללו.

מתוך 15 השאלות הללו 9 שאלות כללו מעגל, 6 שאלות לא כללו מעגל.

הסיכום נכתב בקצרה יחסית ומיועד לתלמידים שפחות או יותר יודעים את החומר ורוצים לעשות חזרה על סוגים שונים של שאלות.

החלקים של הסיכום הם:

  1. דברים בסיסיים.
  2. דברים חשובים.
  3. חישוב שטחים.
  4. נושאים נוספים או מיוחדים.
  5. משפטים בגיאומטריה בהם עושים שימוש.

הערה
ליד כל נושא רשומים מספר הפעמים שנתקלתי בו בבחינות הבגרות.

1.דברים  יסודיים

אלו הם דברים שבוודאי עליכם לדעת לפני שאתם ניגשים לשאלת בגרות.
לדברים בסיסיים אלו אין הסברים בדף אלא רק קישורים לדפים המסבירים אותם.

  1. חיתוך בין שני ישרים (4 פעמים).
  2. חיתוך של ישר עם הצירים (5 פעמים).
  3. מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות (2 פעמים).
  4. מציאת משוואת ישר המקביל לצירים על פי נקודה אחת (פעם אחת).
  5. מציאת משוואת ישר על פי ישרים מקבילים (1 פעם).
  6. מציאת משוואת ישר על פי ישרים מאונכים (6 פעמים).
  7. מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים. (3 פעמים).
  8. קביעה האם נקודה נמצאת בתוך המעגל, על המעגל או מחוצה לו (2 פעמים).
  9. חיתוך של ישר מקביל לצירים ומעגל (2 פעמים).

2.דברים חשובים

אלו דברים שהופיעו הרבה פעמים יחסית בבחינות הבגרות.
וגם יש קושי לפתור אותם.
נושא חישובי שטחים, שגם הוא מופיע הרבה מאוד בבגרות, לא מופיע בחלק זה אלא בחלק הבא.

1.מציאת משוואת המעגל על פי נקודה שעליו (4 פעמים)

אם ידוע מרכז המעגל ונקודה שעל המעגל ניתן למצוא את רדיוס המעגל על ידי המרחק בין שתי הנקודות. מרחק זה שווה לרדיוס.

במקרה זה נחשב את רדיוס המעגל על ידי חישוב המרחק בין הנקודות A,B.
R² = d² = (6 – 2)² + (4 – 1)²

מקרה קצת שונה
במקרה שונה נצטרך למצוא את נקודת מרכז המעגל על פי נקודה הנמצאת על המעגל.
דוגמה
הנקודה A היא נקודת מרכז המעגל ונמצאת על ציר ה x. 
הנקודה (B (5,4
אורך רדיוס המעגל הוא 5.
מצאו את נקודת מרכז המעגל.

פתרון
המרחק בין הנקודות A,B הוא 5.
נגדיר את הנקודה (A (x,0.
נציב את הנתונים הללו במשוואת מרחק בין שתי נקודות ומצא את x.

x – 5)² + (0 – 4)² = 5²)
הפתרון של המשוואה הוא x = 2 או x = 8
לכן מרכז המעגל הוא (A(2,0 או (A(8,0.

2.מציאת נקודת משוואת מעגל החוסם משולש ישר זווית על פי יתר המשולש (5 פעמים)

בשאלות מסוג זה אתם תדעו 3 נקודות היוצרות משולש ישר זווית.
יבקשו ממכם למצוא את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

  1. הפתרון של שאלות מסוג זה נשען על המשפט שאתם צריכים לזכור "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל"
  2. לכן יתר משולש הישר זווית הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש ישר הזווית.
  3. ואם יודעים שתי נקודות על מעגל המגדירות קוטר ניתן למצוא את משוואת המעגל.

דוגמה
משולש ישר זווית מורכב משלושת הנקודות
(A (5,5)   B(-2,4)  C(-1,-3
זווית B = 90.
מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
אם נשרטט את את המעגל החוסם את המשולש זה יראה כך:

מכוון שזווית B = 90
אז AC הוא קוטר המעגל החוסם (על פי המשפט "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל").

ואם אנו יודעים את הנקודות היוצרות את הקוטר (A (5,5) C(-1,-3 ניתן למצוא את משוואת המעגל:

  1. מוצאים את מרכז המעגל (D(2,1 בעזרת הנוסחה לאמצע הקטע AC.
  2. מוצאים את רדיוס המעגל באמצעות חישוב המרחק בין הנקודות A ו D. (מקבלים R= 5).

לכן משוואת המעגל החוסם היא:
x – 2)² + (y – 1)² = 5²)

3.מציאת משוואת משיק או משוואת רדיוס (5 פעמים)

אם אנו יודעים את נקודת מרכז המעגל ונקודת השקה של משיק ניתן למצוא את משוואת המשיק בנקודה.
פתרון שאלות מסוג זה נשען על המשפט:
"רדיוס המעגל מאונך למשיק למעגל בנקודת ההשקה".

דוגמה
על פי הנתונים שבשרטוט מצאו את משוואת המשיק AB.

שלבי הפתרון:

  1. נמצא את שיפוע הרדיוס CB בעזרת שתי הנקודות.
  2. נמצא את שיפוע המשיק AB בעזרת התכונה שהמשיק מאונך לרדיוס.
  3. נמצא את משוואת המשיק AB על פי שיפוע ונקודה.

4.הגדרת נקודה בעזרת משתנה אחד ובניית משוואה (4 פעמים)

מקרה ראשון
כל נקודה הנמצאת על ציר ה x ניתן להגדיר בעזרת משתנה אחד:
(A (x, 0
כל נקודה הנמצאת על ציר ה y ניתן להגדיר באמצעות משתנה אחד:
(B(0,y

דוגמה
הנקודות B,C נמצאות על ציר ה x.
(B (2,0)  A(5,4
המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
ידוע כי אורך הצלע AB הוא 5.
מצאו את הנקודה C.

פתרון
נגדיר את הנקודה (C (x,0
נציב את הנקודות:
(A(5,4)   C (x,0 ו  d = 5
בנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
x – 5)² + (4 – 0)² = 5²)
x² – 10x + 25 + 16 = 25
x² – 10x + 16 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום ונקבל:
x = 2 או x = 8

כאשר x = 2 זו הנקודה B.
כאשר x = 8 זו הנקודה C.
תשובה: (C (8,0

מקרה שני
גם נקודה הנמצאת על ישר ניתן להגדיר בעזרת משתנה אחד.
למשל אם נקודה A נמצאת על הישר y = 3x.
אז הנקודה A מקיימת:
(A(x1, 3x1
כלומר הגדרנו את ערך ה x וערך ה y של הנקודה A בעזרת משתנה אחד.

עוד בנושא זה בדף משוואת ישר כיתה י.

3.חישובי שטחים

בחלק זה נעבור על מספר צורות לחישוב שטחים, ואין כמעט שאלה בבגרות שלא כוללת חישוב שטחים.

כל צורות חישוב השטחים חשובות. אבל שיטות 1-2 הופיעו יותר בבגרויות שבדקתי.

1.חישוב שטח משולש ישר זווית על פי 3 קודקודי המשולש (4 פעמים).

אם אנו יודעים את 3 קודקודי משולש ישר זווית ניתן לחשב את אורכי הניצבים וכך לחשב את שטח המשולש.

למשל במשולש הזה שבו זווית B = 90 ניתן לחשב את אורכי הניצבים AB,BC בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות וכך לחשב את שטח המשולש:
SABC = 0.5*AB*BC

2.חישוב שטח משולש שאחת מצלעותיו מקבילות לצירים (6 פעמים) 

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

שטח משולשים מסוג זה ניתן לחשב על ידי:
AB = 4 -1 = 3
אורך הגובה לצלע לצלע AB הוא:
3 = 0 – 3
SABC = 0.5*3*3 = 4.5

בחלק מהשאלות נקבל שאלה הפוכה
למשל שטח המשולש ABC שבשרטוט הוא 15.
מצאו את ערך ה y של הנקודה C.

פתרון
AB = 6 – 1 = 5

SABC = 0.5CD*5 = 15
2.5CD = 15
CD = 6

כלומר ערך ה y בנקודה C גדול ב 6 מערך ה y בנקודה D.
בנקודה D מתקיים y= -2
לכן בנקודה C מתקיים:
y = -2 + 6 = 4

3.חישוב שטח מעוין או דלתון (פעם אחת)

במעוין, דלתון וריבוע האלכסונים מאונכים.
לשלושת הצורות הללו יש עוד נוסחה לחישוב שטח.
הנוסחה היא:
מכפלת האלכסונים חלקי 2.

נוסחה לחישוב שטח דלתון

דוגמה
חשבו את שטח הדלתון שבשרטוט

חישוב שטח דלתון, שרטוט התרגיל

הסבר לפתרון

  1. נחשב את אורך האלכסונים AD,BC על ידי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
  2. SABCD = 0.5AD * BC

4.חישוב שטח הנוצר על ידי שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה

מהנקודה A יוצאים שני המשיקים למעגל AB,AC.
אם הנקודות A,B,C,M ידועות, כיצד ניתן לחשב את שטח מרובע ABMC?

פתרון 
יש שתי דרכים לעשות זאת, הדרך הקצרה ביותר תלויה בנתונים שקיבלנו עד עכשיו בשאלה.

דרך 1
MB = MC כי שניהם רדיוסים
AB = AC כי שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
לכן:
אם אנו יודעים את אורך הרדיוס ואורך המשיק נוכל לחשב את השטח של שני המשולשים ישרי הזווית ABM, ACM וסכום השטחים הללו הוא שטח המרובע ABMC.

דרך 2
MB = MC כי שניהם רדיוסים
AB = AC כי שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
לכן:
מרובע ABMC הוא דלתון כי הוא מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
ניתן לחשב את שטח הדלתון הזה כפי שלמדנו למעלה, על ידי מחצית מכפלת האלכסונים:
SABMC = 0.5AB * BC

5.חישוב שטחים באמצעות זה שהקוטר הוא פעמיים הרדיוס (פעם אחת).

במעגל x – 2)² + (y  – 3)² = 5²) שמרכזו M מעבירים משיק AB שאורכו 7 יחידות.
חשבו את שטח משולש ABC.

פתרון

  1. זווית B = 90 כי רדיוס המעגל MB מאונך למשיק AB בנקודת ההשקה.
  2. BC הוא קוטר במעגל כי הוא מיתר העובר דרך הנקודה M שהיא מרכז המעגל.
  3. BC = 10 כי רדיוס המעגל הוא 5, וקוטר המעגל כפול ממנו.

נחשב את שטח משולש ישר זווית ABC:
SABC  = 0.5* AB * BC
SABC  = 0.5 * 7 * 10 = 35
תשובה: שטח משולש ABC הוא 35 יחידות ריבועיות.

4.נושאים נוספים או מיוחדים

בחלק זה נעבור על נושאים שלא נכנסו לפרקים הקודמים.
2 הנושאים הראשונים הם נושאים חשובים, אם כי חשובים פחות מהנושאים הקודמים.
לאחר הנושאים הללו מופיעים שאלות "מיוחדות" שהופיעו רק פעם אחת בבגרויות שבדקתי.

1.כיצד מוכיחים שמשולש הוא ישר זווית? (4 פעמים)

הדרישה להוכיח שמשולש הוא משולש ישר זווית הופיעה 4 פעמים.
ונדרש לדעת שתי דרכים על מנת לעשות זאת.

1.בעזרת מכפלת שיפועי הישרים 
אם אנו יודעים את משוואות שני הישרים שאמורים ליצור זווית ישרה אז נכפיל את השיפועים שלהם ונראה אם המכפלה היא 1-. 
אם המכפלה היא 1- אז הזווית היא 90 מעלות. אם המכפלה שונה מ 1- אז הזווית היא לא 90 מעלות.

2.בעזרת המשפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות
זה משפט שאתם צריכים לזכור.
אם AB הוא קוטר אז הזווית C חייבת להיות 90 מעלות על פי המשפט שרשום למעלה.

2.כיצד מוכיחים שמיתר במעגל הוא קוטר?

דרך ראשונה
אפשרות אחת היא להשתמש במשפט ההפוך למה שלמדנו קודם.
"אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר על מיתר זה הוא קוטר".

אם למשל ידוע שזווית C למעלה גודלה 90 מעלות אז המיתר AB חייב להיות קוטר.

דרך שנייה
אם ידוע שמיתר עובר דרך מרכז המעגל אז הוא חייב להיות קוטר.
כלומר אם ידוע ש D הוא מרכז המעגל אז AB חייב להיות קוטר.

שאלות מיוחדות

מציאת נקודה נוספת על הצירים בעזרת מרחק (2). בקייץ 2015 מועד ב בניית מקבילית. (שני ישרים מקבילים ושווים הם מקבילית.)

בבגרות קיץ 2017 מועד ב ניתנה שאלה הדומה לזו:
נתונים משוואות שני מעגלים שמרכזם נמצא על ציר ה x.
x – 8)² + y² = 4²)
x – 6)² + y² = 3²)
נקודות החיתוך של המעגלים הללו עם ציר ה x הם:
(A (3,0)   B(4,0)  C(9,0)  D(12,0
מצאו את ערכי ה k עבורם הישר x = k חותך את שני המעגלים ולא משיק לאף אחד מיהם.

פתרון
מהתבוננות בשרטוט ניתן לראות שאם הישר יעבור שמאלה מהנקודה B. למשל x = 3.5 אז הישר יחתוך רק את המעגל השחור.
אם הישר יהיה x = 4 ויעבור בנקודה B אז הישר ישיק למעגל האדום וזה בניגוד לתנאי השאלה.

כמו כן אם הישר יעבור מימין לנקודה C, למשל x = 9.5 אז הישר לא יחתוך את המעגל השחור.
לכן התשובה היא:

בבגרות של קייץ 2016 ביקשו לפתור שאלה הדומה לזו
נתונים משוואות של שני מעגלים שמרכזיהם נמצא על ציר ה x, מתוכם מעגל אחד קנוני.
x ² + y² = 4²
x – 6)² + y² = 5²)
ומבקשים למצוא את נקודות החיתוך של שני המעגלים.

פתרון
עושים זאת על ידי בידוד y² במשוואת המעגל הקנוני והצבה במעגל הרגיל.
x ² + y² = 4²
y² = 4² – x²

נציב את זה במשוואת המעגל השני:
x – 6)² + y² = 5²)
x – 6)² + 4² – x² = 5²)
x² – 12x + 36 + 4² – x² = 5²
12x + 52 = 25-
12x = – 27-
x = 2.25

על מנת למצוא את ערך ה y של נקודות החיתוך נציב x= 2.25 באחד המעגלים.
נוח יותר להציב במשוואת המעגל הקנוני.
y² + x² = 4²
y² + 2.25² = 4²
y² + 5.0625 = 16
y² = 10.9375
y = 3.3  או  y = -3.3
תשובה: (A (2.25, 3.3)  B(2.25, -3.3

בחורף 2015 ניתנה שאלה הדומה לזו.
נתונים משוואות שני ישרים
y = x
y = -1.5x + 7.5
בשרטוט מסומנות הנקודות A,B,C.
האם AC הוא קוטר המעגל החוסם את משולש ABC?

פתרון
אם AC הוא קוטר במעגל החוסם אז זווית B צריכה להיות בגודל של 90 מעלות. וזה על פי המשפט "זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות".

נבדוק אם הישרים AB, BC מאונכים על פי מכפלת השיפועים שלהם (שצריכה להיות 1- אם הם מאונכים).
1.5 – = 1.5 – * 1
מכפלת השיפועים היא לא 1- ולכן:

  1. גודל זווית B הוא לא 90.
  2. AC הוא לא קוטר המעגל החוסם את משולש ABC.

מתי ישר המקביל לאחד מהצירים משיק לשני מעגלים בנקודה אחת. (כאשר יש נקודה הנמצאת על שני המעגלים) קייץ 2015.

5.משפטים בגיאומטריה בהם נעשה שימוש

נעבור כאן על מספר משפטים בגיאומטריה שנעשה בהם שימוש ב 15 הבגרויות שבדקתי מהשנים 2015-2019.
לימוד המשפטים הללו הוא דבר טוב, אבל תמיד יש אפשרות שבבחינות הבאות יופיעו משפטים אחרים.

1.רדיוס מאונך למשיק למעגל בנקודת ההשקה.
ללא ספק המשפט שנעשה בו השימוש הרב ביותר.
השימוש הוא לצורך מציאת משוואת המשיק או משוואת הרדיוס.
בעזרת המשפט בונים את המשוואה:
1- = שיפוע הרדיוס * שיפוע המשיק

2. זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות.
משתמשים במשפט זה לצורך הוכחה שמשולש הוא ישר זווית.

וגם המשפט ההפוך:
אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר.

3.מרובע שבו שתי צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילות.
במשפט זה זה נעשה שימוש בבגרות אחת.

4.אלכסוני הריבוע מאונכים זה לזה.
במשפט זה זה נעשה שימוש בבגרות אחת. (קיץ 2016 מועד ב).

בהזמנות זו חשוב לדעת שגם אלכסוני המעוין ואלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.

5.מרכז המעגל החוסם משולש הוא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים.
במשפט זה זה נעשה שימוש בבגרות אחת. (חורף 2016).

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.