דלתון

הסרטון שלמעלה הוא סרטון מסכם המורכב משלושה סרטונים הנמצאים גם בהמשך הדף.

ניתן ללמוד מהסרטון שלמעלה או מהטקס והסרטונים שלמטה. התוכן דומה מאוד.

בדף זה 6 חלקים:

  1. הגדרת הדלתון.
  2. תכונות הדלתון.
  3. 3 דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון.
  4. שטח דלתון.
  5. חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון.
  6. תרגילים עם פתרונות מלאים.

דפים נוספים בנושא דלתון באתר הם:

  1. דלתון תרגילי חישוב.
  2. שטח דלתון.
  3. דלתון קעור.

1.הגדרת הדלתון

דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים, כלומר בדלתון יש שתי זוגות של צלעות סמוכות שוות.

דלתון מורכב משני משולשים שווי שוקיים
דלתון מורכב משני משולשים שווי שוקיים

2.תכונות הדלתון

בדלתון יש שני אלכסונים, עלינו לדעת לזהות אותם על מנת להכיר את תכונות הדלתון.

אלכסון ראשי
יוצא משני הקודקודים של המשולש שווה שוקיים.
(BD בשרטוט)

אלכסון משני
יוצא מזוויות הבסיס של המשולש שווה שוקיים.
(AC בשרטוט).

רק לאלכסון הראשי יש תכונות, לאלכסון המשני אין.

 

תכונת הדלתון היא:
האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני.
במשפט זה ניתן להשתמש בבגרות ללא צורך להוכיח אותו.

טיפ לזכירת התכונה:
במשולש שווה שוקיים החוצה זווית / גובה / תיכון לבסיס מתלכדים.
ואלו גם שלושת התכונות של האלכסון הראשי:
חוצה זווית, גובה ותיכון.

תכונות הדלתון בשרטוט
AE = CE  (האלכסון הראשי תיכון).

DB ⊥ AC (האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני).

∠ADE = ∠ CDE
∠ABE = ∠ CBE
האלכסון הראשי הוא חוצה זווית

אם ABCD הוא דלתון אז BD חוצה את AC (כלומר AE=CE). שני האלכסונים מאונכים. BD הוא חוצה זווית של זוויות B ו D. זווית A וזווית C שוות.

 

תכונה נוספת של הדלתון (שיש להוכיח על מנת להשתמש בה)

∠A = ∠C

תכונה זו נובעת מכך ש:
ADB ≅ CDB  על פי צ.צ.צ.
והזוויות A,C הן זוויות מתאימות שוות בין המשולשים הללו.

הוכחה מלאה של שכתוב כאן בתרגיל 3 שבהמשך או כאן בסרטון

לחצו להוכחת התכונה בוידאו

3.הוכחת דלתון: איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון

משפט: אם מרובע מורכב משני זוגות של צלעות סמוכות שוות אז המרובע הוא דלתון.

כלומר, אם הוכחנו שמרובע מורכב משני משולשים שווה שוקיים אז המרובע הוא דלתון.

בסרטון הראשון נדבר על שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון.
בסרטון השני נדבר על דרך שלישית וקשה יותר.

אלו שלושת הדרכים המרכזיות להוכיח שמרובע הוא דלתון.

1.חפיפת משולשים כאשר האלכסון הראשי הוא צלע משותפת לשני המשולשים

לרוב נשתמש בדרך זו כאשר יש לנו מידע על זוויות שוות בתוך הדלתון.

דרך ראשונה: מוכיחים שמשולש DAB חופף למשולש DCB
דרך ראשונה: מוכיחים שמשולש DAB חופף למשולש DCB

תרגיל המשתמש בדרך זו:

במרובע ABCD מעבירים אלכסון BD כך ש ABD=∠CBD, ∠ADB=∠CDB∠.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא דלתון.

שרטוט התרגיל דלתון

פתרון
נעשה זאת באמצעות הוכחת חפיפת משולשים ΔBAD ≅ ΔBCD

שלב 1: הוכחת החפיפה  ΔBAD ≅ ΔBCD

  1. BD – צלע משותפת לשני המשולשים.
  2. ABD=∠CBD∠ – נתון.
  3. ADB=∠CDB∠
  4. ΔBAD ≅ ΔBCD על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

שלב 2: מוכיחים שהמרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים

  1. BA=BC – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
  2. CD=AD – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔADC הוא משולש שווה שוקיים.
    הוכחנו כי המרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים ולכן הוא דלתון.
2.כאשר נתון דלתון ויוצרים מרובע חדש על ידי הארכה או קיצור של אלכסוני הדלתון

כאשר בשאלה:

  1. מאריכים או מקצרים אלכסוני דלתון, וכך יוצרים מרובע חדש.
  2. רוצים שנוכיח שהמרובע החדש הוא דלתון.
  3. נוכיח זאת על ידי הוכחה שאחד מאלכסוני המרובע החדש הוא חוצה זווית / גובה / תיכון (שניים מתוך השלושה זה מספיק).

תרגיל (שבו מקצרים את האלכסון הראשי)
בדלתון ABCD (שבו DA = DC,  BA = BC) הנקודה E נמצאת במקום כלשהו על האלכסון BD.
מעבירים את הישרים AE,CE.
הוכיחו כי המרובע ADCE הוא דלתון.

פתרון
DA = DC  זה נתון.
אם נצליח להוכיח כי AE = CE זו  תהיה הוכחה שהמרובע ADCE הוא דלתון.

  1. AO = CO בדלתון ABCD האלכסון BD חוצה את אלכסון AC.
  2. AOB = COB = 90 בדלתון ABCD האלכסון BD מאונך לאלכסון AC.
  3. משולש AEC הוא משולש שווה שוקיים כי EO הוא תיכון וגובה לצלע AC.
  4. ADCE הוא דלתון כי מרובע המורכב משני זוגות של צלעות שוות הוא דלתון.

תרגיל (שבו מקצרים את האלכסון המשני)
ABCD דלתון.
E,F הן נקודות על אלכסון הדלתון כך ש AE=CF.
הוכיחו AECF דלתון

שרטוט תרגיל הוכחת דלתון

פתרון בקצרה:

  1. OF = OC-CF = OA-AE = OE. חיסור קטעים שווים מקטעים שווים.
    OF = OE
  2. BD⊥EF נתון.
  3. הישר DO הוא תיכון וגובה במשולש EDF. לכן DE = DF.
  4. הישר BO הוא תיכון וגובה במשולש EBF. לכן BE = BF.
  5. מרובע AECF המורכב משני משולשים שווי שוקיים הוא דלתון.

פתרונות מלאים לתרגילים מסוג זה בתרגילים שבהמשך.

3. דרך שלישית להוכיח דלתון: להוכיח שהדלתון מורכב ממשולשים שווי שוקיים על ידי חפיפה של משולשים הנמצאים מחוץ לדלתון.

תרגיל
במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות השוות הן AB=AC) מעבירים את חוצי הזווית BD ו CE. הוכיחו כי המרובע AEFD הוא דלתון.

שרטוט התרגיל דלתון

פתרון בקצרה:

  1. נוכיח DBC ≅ECB (על פי ז.צ.ז)
  2. נובע מכך שוויון הצלעות  AD=AE (לאחר חיסור צלעות שוות מ AB=AC).
  3. משולש FBC הוא משולש שווה שוקיים כי FBC = ∠FCB∠ .
    לכן FC= FB  וגם  CD = BE  ולאחר חיסור צלעות נקבל  DF=DE.
  4. מרובע AEFD דלתון כי הוא כולל שני משולשים שווי שוקיים.

פתרון מלא של תרגיל זה בוידאו שנמצא כאן למטה או בתרגיל 7 שבהמשך.

פתרון וידאו

כיצד מוכיחים שדלתון הוא מעוין?

לחצו כאן לצפייה בנושא זה

אין משפט שניתן להשתמש בו בבגרות האומר "אם דלתון מקיים… אז הוא מעוין".

אבל אם נצליח להוכיח שבדלתון שתי צלעות שאינן שייכות למשולשים שווי השוקיים המרכיבים את הדלתון הן

אבל יש תכונות שאם הן קיימות בדלתון אז ניתן להשתמש במשפטים שונים ולהוכיח שהמרובע הוא מעוין.

1.אם בדלתון צלעות סמוכות שוות אז ניתן להוכיח שהדלתון הוא מעוין

אם בדלתון זוג צלעות סמוכות זה הופך את כל ארבעת הצלעות לשוות.
ואז הדלתון הוא מעוין על פי המשפט "אם במרובע 4 הצלעות שוות זו לזו אז המרובע הוא מעוין"

אם בנוסף על כך שהמרובע הוא דלתון נתון גם ש AB = BC או AD = DC אז המרובע הוא מעוין כי כל ארבעת הצלעות שוות.

2.אם בדלתון האלכסון המשני חוצה את האלכסון הראשי אז ניתן להוכיח שהדלתון הוא מעוין.

במקרה זה שני האלכסונים חוצים זה את זה. ואז ניתן להגיד:
א) מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
ב) מקבילית שיש לה צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

כלומר אם: AO = CO אז המרובע הוא דלתון.

3.אם בדלתון האלכסון המשני הוא חוצה זווית אז ניתן להוכיח שהמרובע הוא מעוין

במקרה זה האלכסון המשני הוא חוצה זווית וגם גובה לאלכסון הראשי.
לכן שתי הצלעות היוצרות את הזווית ממנה הוא יוצא שוות זו לזו; על פי המשפט "אם במשולש גובה הוא גם חוצה זווית אז המשולש הוא שווה שוקיים.
ואם הצלעות הללו שוות אז כל ארבעת הצלעות שוות והמרובע הוא מעוין כפי שהוכחנו בסעיף 1.

כלומר אם ABO = ∠CBO∠ אז משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים והמרובע הוא מעוין.

 

4.שטח דלתון

הנוסחה לחישוב שטח דלתון
הנוסחה לחישוב שטח דלתון

שטח דלתון שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב 2.

5.חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון

תכונות הדלתון הם:

  • בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה, ולכן יוצרים 4 משולשים ישרי זווית.
  • האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.

משפט פיתגורס הוא כלי שימושי בארבעת המשולשים ישרי הזווית שהאלכסונים יוצרים.

אלו 4 המשוואות שניתן ליצור על בסיס משפט פיתגורס:

AD² = AO² + OD²
AB² = AO² + BO²
CB² = CO² + BO²
CD² = CO² + OD²

תרגיל לדוגמה
בדלתון ABCD שני האלכסונים נפגשים בנקודה O.
AO = 3
OC = 9
BD = 4
חשבו את ארך צלעות הדלתון.

פתרון
האלכסון הראשי חוצה לשני חלקים שווים את האלכסון המשני (BD) לכן:
BO = DO = 2

עכשיו נוכל לבצע חישובים בעזרת משפט פיתגורס.
במשולש AOD:
AD² = AO² + OD²
AD² = 3² + 2²
AD² = 9 + 4 = 13
AD = √13 = 3.6
BA = AD = 3.6 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

במשולש COD:
CD² = CO² + OD²
CD² = 9² + 2²
CD² = 81 + 4 = 85
CD = √85 = 9.22
CD = CB = 9.22 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

5.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילי חישוב זוויות בדלתון.
תרגילים 3,4,6,7 הם תרגילי הוכחת דלתון.
תרגילים 5,8 הם תרגילים נוספים.

תרגיל 1
נתון דלתון ABCD שבו BA=BC, DC=DA
כמו כן D=50, ∠BCA=30∠
השלימו את שאר הזוויות שבשרטוט.

דלתון, שרטוט התרגיל

פתרון וידאו

פתרון כתוב
  1. CAB=∠ACB=30∠ – במשולש שווה שוקיים ABC זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  2. B=120∠  – משלימה ל- 180 מעלות במשולש ABC.
  3. ACD=(180-50) / 2=65∠  – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים CAD ומשלימות ל- 180 מעלות

 

תרגיל 2
נתון דלתון ABCD שבו BC=BA, DA=DC.
גדלי הזוויות הידועים הם: CBD=40, ∠CDB=30∠.
השלימו את שאר זוויות קודקודי דלתון והזוויות האחרות המופיעות בשרטוט.

שרטוט התרגיל

פתרון וידאו

פתרון כתוב

בפתרון תרגיל זה נשען על משפט הדלתון:
– האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.

שלב 1: השלמת שתי זוויות הראש
B=2*40=80∠  – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
D=2*30=60∠  – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.

שלב 2: השלמת הזוויות הנוספות
סכום שתי הזוויות החסרות במשולש BAC הוא:
100 = 80 – 180
BAC הוא משולש שווה שוקיים, לכן BCA, ∠BAC∠ שוות זו לזו:

תשובה:  BCA = ∠BAC = 50∠

DAC הוא משולש שווה שוקיים, לכן DCA, ∠DAC∠ שוות זו לזו:

תשובה:  DCA = ∠DAC = 60∠

תרגיל 3
המרובע ABCD הוא דלתון. (כלומר AB = AD,  CD = CB)
הוכיחו כי B = ∠D∠.
רמז: העבירו את האלכסון AC כבניית עזר.

שרטוט התרגיל

פתרון וידאו

פתרון כתוב

פתרון

  1. AB = AD,  CD = CB  נתון.
  2. AC צלע משותפת למשולשים ABC ו- ADC.
  3. ABC ≅ ADC על פי צ.צ.צ.
  4. B = ∠D∠   זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

 

תרגיל 4
במרובע ABCD ידוע כי B=∠D∠.
במרובע העבירו אלכסון AC כך ש: DAC=∠BAC∠.
הוכיחו כי מרובע ABCD הוא דלתון.

דלתון, שרטוט התרגיל

פתרון וידאו

פתרון כתוב

נוכיח כי המרובע הוא דלתון באמצעות חפיפת המשולשים ΔDAC≅ΔBAC.

שלב 1: נוכיח כי ΔDAC≅ΔBAC

  1. ACD= 180- ∠D-∠DAC∠
  2. ACB= 180- ∠B-∠BAC∠
  3. ACB=∠ACD∠ – נובע מסעיפים 1,2 והנתונים.
    ניתן להסביר את שוויון הזוויות בדרך נוספת: אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו אז גם גם הזווית השלישית שווה.
  4. AC – צלע משותפת למשולשים ΔDAC ו ΔBAC.
  5. ΔDAC≅ΔBAC – המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

שלב 2: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

  1. DA=BA – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔDAB הוא שווה שוקיים.
  2. CD=BC – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔCAB הוא שווה שוקיים.
    הוכחנו כי המרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים ולכן הוא דלתון.

 

 תרגיל 5
המרובע ABCD הוא דלתון BA=BC, DA=DC.
הנקודות E ו F הן אמצעי הצלעות AD  ו CD בהתאמה.
הוכיחו כי המרובע BEDF הוא דלתון.

שרטוט התרגיל, דלתון

פתרון וידאו

פתרון כתוב

הרעיון של הפתרון: נעביר בניית עזר את האלכסון DB ונוכיח כי ΔBED ≅ ΔBFD

שלב 1: נוכיח כי ΔBED ≅ ΔBFD

  1. BD – צלע משותפת לשני המשולשים.
  2. EDB=∠FDB∠ – האלכסון BD בדלתון ABCD הוא חוצה זווית.
  3. ED=AD/2=CD/2=FD – צלעות הדלתון AD=CD ולכן גם 1/2 שלהן שווה זה לזה.
  4. ΔBED ≅ ΔBFD – המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

שלב 2: נוכיח כי המרובע ABCD דלתון

  1. BE=BF, ED=FD – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. הוכחנו כי המרובע BEDF מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון.

תרגיל 6
המרובע ABCD הוא דלתון (AD = AB, CD = CB).
על המשך האלכסון המשני
הוסיפו את הקטעים BE,DF כך ש BE=DF.
האלכסונים נפגשים בנקודה O.
הוכיחו המרובע AECF הוא דלתון.

שרטוט התרגיל

פתרון קצר

  1. הפתרון נשען על כך שהאלכסונים בדלתון ABCD הם מאונכים.
  2. ואם נוכיח ש AO ו CO הם גם תיכונים ל EF אז הוכחנו שיש כאן שני משולשים שווה שוקיים (כי משולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא שווה שוקיים).
פתרון וידאו

פתרון כתוב

שלב 1: הוכחה שהמשולש AEF הוא משולש שווה שוקיים

  1. BE=DF נתון.
  2. DO=CO בדלתון ABCD האלכסון הראשי AC חוצה את האלכסון המשני BD.
  3. FO = FD+DO = EB+BO=EO
  4. AO ו CO הם תיכונים לאלכסון EF.
  5. AO⊥BD ולכן AO⊥EF.
  6. משולש AEF הוא משולש שווה שוקיים (AE=AF) משום שמשולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים.

שלב 2: הוכחה שהמשולש CEF הוא שווה שוקיים ושהמרובע הוא דלתון

  1. CO⊥BD ולכן CO⊥EF.
  2. משולש CEF הוא משולש שווה שוקיים (CE=CF) משום שמשולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים.
  3. AECF דלתון. מרובע שבו שתי זוגות של צלעות שוות הוא דלתון.

 

תרגיל 7
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

שרטוט התרגיל דלתון

פתרון

פתרון וידאו

פתרון כתוב

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

  1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
  4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
  5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

  1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
  3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.
    (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

תרגיל 8
נתונות הנקודות (5,0) ו (0,4) הציעו עוד שתי נקודות על מנת שיוצר דלתון.

יצירת דלתון במערכת צירים

פתרון

פתרון וידאו

פתרון כתוב

מכוון שהצירים מאונכים זה לזה נבחר עוד שתי נקודות על הצירים כך שהצירים יצרו את את האלכסונים המאונכים של הדלתון.

עלינו לבחור נקודה אחת שתהיה באותו מרחק מראשית הצירים כמו הנקודה המקבילה שלה (על מנת שאלכסון אחד יחצה את השני). נבחר את הנקודה (4-, 0).

ונקודה אחרת שאינה באותו מרחק מראשית הצירים (על מנת שאלכסון אחד לא יחצה את השני). נבחר את (0 ,2-).

דלתון על מערכת צירים
דלתון על מערכת צירים

אפשרות אחרת הייתה לבחור את הנקודה (0, 5-) כנקודה הנמצאת במרחק שווה מראשית הצירים. ואת הנקודה (2-, 0 ) כנקודה שאינה במרחק שווה מראשית הצירים.

דלתון על מערכת צירים

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

85 מחשבות על “דלתון”

  1. אוראל הרוש

    היי, התחלנו ללמוד בכיתה את הנושא של דלתון ויש שאלה שלא מובנת לי. ניסיתי לפנות למורה ולא קיבלתי מענה. השאלה – נתון מרובע ABCD ( בצורתו דומה לדלתון קמור אך צריך להוכיח אותו).
    צלעות BA = BC
    זוויות הצד( במידה ונוכיח דלתון) BAD=DCB זוויות שוות.
    צ"ל- ABCD הוא דלתון. אשמח להכוונה כיצד אפשר לפתור את התרגיל. ניסיתי לחפוף משולשים ע"י הוספת אלכסון ראשי ( למרות שלא הוכחתי עדיין דלתון) אך לא הצלחתי.
    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אוראל
      אם תעביר את האלכסון AC משולש BAC הוא שווה שוקיים וניתן להשתמש בכך כדי להוכיח שגם משולש DBC הוא שווה שוקיים.

  2. היי,
    תודה רבה על האתר!!
    אני למדתי את המשפט חפיפה הרביעי (צלע, צלע, זוית גדולה) ולא הבנתי למה זה צריך להיות דווקא הזוית הגדולה ולא זוית אחרת.
    אשמח לתשובה!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רחלי
      הנימוק הוא עובדתי ולא הוכחה:
      כאשר הזווית נמצאת מול הצלע הקטנה ניתן ליצור משולש שהוא לא זהה אבל עם אותם נתונים של שתי צלעות וזווית.
      כאשר הזווית מול הצלע הגדולה המשולשים הם בהכרח חופפים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא יכול.
      במלבן צלעות סמוכות לא שוות. בדלתון יש צלעות סמוכות שוות.
      דלתון יכול להיות ריבוע או מעוין אם נוספות לדלתון תכונות.

      1. אבל במלבן כל הזוויות שוות ובדלתון הן גם יכולות להיות שוות
        וההגדרה של מלבן זה מרובע שכל זוויותיו שוות הוא מלבן

        1. לומדים מתמטיקה

          בדלתון 4 הזוויות אינן שוות.
          ואם תיקח דלתון ותוך כדי שמירה על תכונותיו תתן לו 4 זוויות שוות (90 מעלות) הוא יהפוך ריבוע ולא מלבן.
          ניתן גם להתייחס לריבוע כאל מלבן משוכלל וא קיבלנו ריבוע שהוא גם מלבן. אבל זו התחכמות לוגית ולא שפה מדויקת ומדוברת.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא זה לא יכול להיות.
      בדלתון יש שני משולשים שווה שוקיים ובמלבן הצלעות לא יוצרות משולשים שווה שוקיים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שי
      אם אלכסונים מאונכים ותיכונים או מאונכים וחוצי זווית אז אתה יכול להוכיח שהם חלק ממשולשים שווה שוקיים וזו הוכחת הדלתון

  3. שלום, אשמח להסבר כי לא ממש הבנתי

    משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
    זווית A היא זווית הראש
    DB=EC
    F אמצע צלע BC
    הוכח: המרובע AEFD הוא דלתון

  4. האם ניתן להוכיח שני ישרים שמקבילים אם שניהם מאונכים לישר שלישי?
    נגיד אם ef מאונך ל- db
    ו ac מאונך ל- db
    אז ef || ac? או שצריך להוכיח? (אם כן, איך מוכיחים?)
    תודה רבה!!! האתר ממש טוב!! מפרט ומסביר מובן!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני לא מכיר את זה כמשפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.
      ניתן להמשיך את הישר החותך ואז להוכיח הקבלה על ידי זוויות מתאימות שוות.
      או זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות (למי שהמושג מוכר).

  5. שלום , אשמח לעזרה ,
    יש לי תרגיל
    בסרטוט נתון דלתון ABCD – כאשר AB=AD ו CB=CD שהיקפו 114 יחידות אורך.
    ההפרש בין שני אורכי הצלעות הוא 3 יחידות אורך

    איך מחשבים אורכי צלעות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו בעיה מילולית.
      אתה צריך להגדיר צלע אחת של הדלתון כ x.
      ובאמצעות x להגדיר צלע שנייה, ואז לבנות משוואה של היקף.
      אם לא הסתדרת חזור אליי ותגיד איפה נתקעת.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני לא מבין בדיוק את השאלה אבל לדעתי זה משהו דומה למה שמופיע החל בדקה השישית בסרטון של הוכחת דלתון.
      ההוכחה היא דרך חפיפת משולשים.

  6. היי
    נגיד שבתרגיל 7 cd וbe הם תיכונים ולא חוצי זווית וצריך להוכיח בדיוק אותו דבר בתרגיל, מה אפשר לעשות?
    דרך אגב אני מאוד אוהבת את האתר הזה הוא מאוד שימושי!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן להוכיח שהמשולשים שבצדדים חופפים על פי צ.ז.צ
      כי הרי חצי מהשוק בשני הצדדים זה גודל שווה.
      בנוסף חצי מהבסיס שווה וזווית הבסיס במשולש שווה שוקיים שווה.

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה , איזה כיף לשמוע.
      כיף בגלל שהאתר עוזר.
      אבל אנחנו לא מוסיפים יכולות לאף אחד :) מה שאדם קונה בעבודה קשה שייך לו בלבד.

  7. תודה רבה!!
    סוף סוף מורה עם סבלנות להסביר, והסברים בהירים.
    לא מובן מאליו, עזרת לי מאוד

  8. ניר לוין

    אני ממש אוהב את האתר מסביר הכל ואני מבין הכל, אבל רק רציתי להגיד שבסרטון היה קול סטטי מציק שנשמע כמו נחירות ברקע, ממש הפריע וקשה להתרכז, כל השאר מאוד טוב תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ניר
      תודה על התגובה. אני מניח שמדובר על הסרטון של הוכחת הדלתון. אני אנסה למצוא זמן לשפר אותו.

          1. במרובע ABCD האלכסון AC חוצה את הזויות A ו- C. (זווית C1 = זווית C2)
            (זווית A1 = זווית A2 )
            הוכח: המרובע ABCD הוא דלתון.
            בבקשה תעזרו לי

            1. לומדים מתמטיקה

              שלום
              מוכיחים על ידי חפיפת משולשים ז.צ.ז כאשר האלכסון הוא צלע משותפת למשולשים.
              אם תסתכל על הסרטון של הוכחת דלתון יש שם הוכחה דומה מאוד.

  9. אתר ממש ממש טובה !!
    ממש ממליצה לכולם לסכם על כל צורה את מה שהאתר רושם עליו!!
    אתם תותחים! רושמים בצורה ממש מדויקת

  10. שלום.
    יש לי מחר מבחן בנושא בדלתון ומשו״ש.
    רציתי לשאול על תרגיל 8.
    אם לא ידוע לי שה שcd ו be הם חוצי זווית, אבל נתון לי שהם יוצרים זוית ישרה על השוקיים.
    איך אני מוכיחה שהמרובע adfe הוא דלתון?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      cd ו be יוצרים זווית ישרה – כלומר הם גבהים.
      ולפתרון
      גם בדרך הזו מבצעים בשלב ראשון את חפיפת המשולשים  DBC ≅ ECB.
      ניתן להוכיח על פי ז.צ.ז 
      (הנתונים לחפיפה הם: שתי זוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים שוות, בכל אחד מהמשולשים יש זווית של 90 (ולכן גם הזווית השלישית שווה) והצלע BC משותפת).

      מחפיפה זו נובע כי זווית DCB שווה לזווית EBC (זוויות מתאימות בין משולשים חופפים)
      ואז משולש CFB הוא שווה שוקיים והמשך ההוכחה הוא כמו בהוכחה המקורית.
      מקווה שעזרתי, בהצלחה.

  11. אשמח עם תעזור לי בשאלה
    Abcd דלתון (ab=ad,cb=cd)
    נתון: זווית a = 86
    זווית c=44

    (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רוני.
      סעיף ב הוא בדיוק כמו סעיף א, כנראה שיש שם טעות. בנוסף כתבת TB= 4 ואני מניח שזה DB = 4.
      ברשותך אתן לך רמזים לפתרון השאלה ולא אפתור אותה ממש.
      1. סעיף א. משולש ABD הוא משולש שווה שוקיים שווית הראש שלו שווה 86, לכן שתי זוויות הבסיס שוות 94. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
      2. סעיף ג כתוב את הזוויות הנוצרות על ידי אלכסון AC שהוא גם חוצה זווית (הזוויות בקודקודים A,C).
      יהיו לך 2 זוויות ידועות במשולש ACB, השלם את השלישית.
      3. סעיף ד. שטח הדלתון שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב – 2.

      1. אני אשמח בבקשה לעזרה .
        לא הבנתי ..
        יש לי שאלה שאני צרוה להוכיח טענה שקשורה לדלתון.
        מרובע שמורכב משני משולשים חופפים הוא דלתון?
        לדעתי התשובה היא כן אבל אשמח שתסביר לי בבקשה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          לא תמיד.
          אם חפיפת המשולשים יוצרת שני זוגות של משולשים שווה שוקיים אז כן (במקרה זה הצלעות המתאימות השוות צמודות).
          אם החפיפה לא יוצרת – אז לא.

  12. אשמח אם תוכל לעזור לי בתרגיל מסויים
    משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים ׁ(AB=ACׂ)
    (המשולש הוא משולש רגיל שבתוכו יש דלתון בעזרת סרטוט שני קווים שיוצאים מAB וAC)
    צל-מרובע AEDF הוא דלתון
    הבעיה שלי היא שאני יודע את כל הנתונים אבל אני לא מצליח להביא לידי ביטוי את מה שאני רוצה להוכיח או לתת נימוק ואני פשוט נתקע

    1. לומדים מתמטיקה

      בכיף.
      את השאלה פותרים במספר שלבים. תגיד לי באיזה שלב אתה נעצר ואפרט יותר:
      1. המטרה היא להוכיח AD=AE ו DF=EF. אם עשינו את זה אז הוכחנו שהמרובע דלתון.
      2. DBC ≅ECB (ז.צ.ז) (BC צלע משותפת, B=∠C∠, וגם DCB=∠EBC∠).
      3. נובע מחפיפת המשולשים BD=CE (צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים)
      4. נובע מכך AD=AE. הסבר: אם נגדיר AB=AC=X וגם BD=CE=Y. אז AD = X-Y וגם AE = X-Y. לכן AD=AE.
      5. DFB ≅EFC (ז.צ.ז) . כי DB=EC צלעות מתאימות שוות בחפיפת המשולשים הקודמת. זוויות קודקודיות. וחצי מזוויות B שווה לחצי מזווית C.
      6.DF=EF צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

      בסעיפים 4,6 הוכחנו את המטרה. באיזה שלב של ההוכחה אתה נעצר ואיזה משפט ממה שרשום כאן אינו מובן?

      1. זה לא שלב ספציפי שבו אני נתקע זה פשוט שאני לא ממש מקשר את המשפטים לטענות שאני מביא כלומר נגיד שאני טוען ש DBC חופף ECB אבל אני לא מצליח להביא את המשפט לידי ביטוי ני פשוט לא זוכר משפטים

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום אלון. השלבים שכתבתי נועדו לעזור לי להבין מה צריך להסביר טוב יותר. כרגע אני לא מבין ולכן אני לא יכול לעזור.
          כדאי למצוא מישהו שמבין איפה הקושי ואיך פותרים אותו.
          אני כן יכול להמליץ על השקעת זמן בשינון המשפטים בגיאומטריה לפני ניסיון לפתור תרגילים קשים.
          בהצלחה.

  13. בס"ד

    תחילה תודה
    האתר שלך פשוט מדהים
    ככה אכן לומדים מתמטיקה.

    בתרגיל 5 : BE ו CD הם החוצי זווית בסיס ( במקום BD ו CE ).

    1. תודה רבה רבה אתר ממש טוב עובד מהר ומאוד ברור לפני כמעט כל מיבחן אני עוברת על החומר וזה ממש עוזר לי

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.