בדף זה 6 חלקים:

1. הגדרת הדלתון.
2. תכונות הדלתון.
3. 3 דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון.
4. שטח דלתון.
5. חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון.
6. תרגילים עם פתרונות מלאים.

דפים נוספים בנושא דלתון באתר הם:

1. דלתון תרגילי חישוב.
2. שטח דלתון.
3. דלתון קעור.

1.הגדרת הדלתון

דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים, כלומר בדלתון יש שתי זוגות של צלעות שוות.

בניגוד למרובעים מיוחדים אחרים (טרפז, מעוין, מקבילית, מלבן, ריבוע) לדלתון אין צלעות מקבילות והוא אינו שייך למשפחת המקביליות.

דלתון מורכב משני משולשים שווי שוקיים

באתר תוכלו ללמוד גם על הצורות הבאות:

1. טרפז.
2. מקבילית.
3. מלבן.
4. מעוין.
5. ריבוע.

בנוסף, הנושאים הבאים של אלגברה לכיתה ט:
טרינום, פירוק לגורמים, נוסחאות הכפל המקוצר ועוד בדף מתמטיקה לכיתה ט.

2.תכונות הדלתון

• דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
• האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני. במשפט זה ניתן להשתמש בבגרות ללא צורך להוכיח אותו.
  כל התכונות הללו נובעות מכך שהאלכסון הראשי הוא חוצה זווית במשולש שווה שוקיים.
  שימו לב שהתכונות הלל נכונות רק לאלכסון הראשי ואינן נכונות לאלכסון המשני.
• הזוויות שאינן זוויות הראש שוות זו לזו A = ∠C∠  בשרטוט שלמטה.
  משפט זה דורש הוכחה בכול פעם שמשתמשים בו.
  (ניתן להוכיח זאת על ידי משפט חפיפה צ.צ.צ   ADB ≅ CDB).

• מידע על משפטים בגיאומטריה הניתנים לשימוש ללא הוכחה.
• לדלתון קעור תכונות זהות, שרטוטים שלהם בקישור.

סיכום תכונות הדלתון בשרטוט

אם ABCD הוא דלתון אז BD חוצה את AC (כלומר AE=CE).
שני האלכסונים מאונכים.
BD הוא חוצה זווית של זוויות B ו D.
זווית A וזווית C שוות.

הערה: כיצד מבדילים בין אלכסון ראשי לאלכסון משני בדלתון?
הקודקודים שמהם יוצא האלכסון הראשי הם הקודקודים הנוצרים על ידי הצלעות השוות במשולש שווה השוקיים.
הקרניים היוצרות את הזווית ממנה יוצא האלכסון המשני אלו הן הקרניים הלא שוות.

אלכסון ראשי לעומת משני בדלתון

3.הוכחת דלתון: איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון

על מנת להוכיח דלתון צריך להוכיח שבמרובע יש שני זוגות של צלעות שוות.
כלומר דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים ואם תוכיחו זאת הוכחתם דלתון.

יש 3 דרכים מרכזיות להוכיח שמרובע הוא דלתון:

1.חפיפת משולשים כאשר האלכסון הראשי הוא צלע משותפת לשני המשולשים.

לרוב נשתמש בדרך זו כאשר יש לנו מידע על זוויות שוות בתוך הדלתון.

דרך ראשונה: מוכיחים שמשולש DAB חופף למשולש DCB

תרגיל המשתמש בדרך זו:

במרובע ABCD מעבירים אלכסון BD כך ש ABD=∠CBD, ∠ADB=∠CDB∠.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא דלתון.

פתרון
נעשה זאת באמצעות הוכחת חפיפת משולשים ΔBAD ≅ ΔBCD

שלב 1: הוכחת החפיפה  ΔBAD ≅ ΔBCD

1. BD – צלע משותפת לשני המשולשים.
2. ABD=∠CBD∠ – נתון.
3. ADB=∠CDB∠
4. ΔBAD ≅ ΔBCD על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

שלב 2: מוכיחים שהמרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים

1. BA=BC – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
2. CD=AD – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔADC הוא משולש שווה שוקיים.
   הוכחנו כי המרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים ולכן הוא דלתון.

2.דרך שנייה להוכחת דלתון: כאשר מאריכים או מקצרים את האלכסון המשני נוכיח כי האלכסון הראשי מאונך ותיכון לאלכסון המשני. ובמשולש אם גובה הוא גם תיכון אז המשולש שווה שוקיים.

• בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה.
• כאשר מאריכים את האלכסון המשני האלכסון הראשי עדיין מאונך לאלכסון החדש שנוצר.
• לכן אם נוכיח שהאלכסון הראשי גם חוצה את האלכסון המשני מצאנו שהאלכסון הראשי הוא תיכון וגובה ולכן יוצר שני משולשים שווי שוקיים.

תרגיל
ABCD דלתון.
E,F הן נקודות על אלכסון הדלתון כך ש AE=CF.
הוכיחו AECF דלתון

פתרון בקצרה:

1. OF = OC-CF = OA-AE = OE. חיסור קטעים שווים מקטעים שווים.
   OF = OE
2. BD⊥EF נתון.
3. הישר DO הוא תיכון וגובה במשולש EDF. לכן DE = DF.
4. הישר BO הוא תיכון וגובה במשולש EBF. לכן BE = BF.
5. מרובע AECF המורכב משני משולשים שווי שוקיים הוא דלתון.

פתרונות מלאים לתרגילים מסוג זה בתרגילים שבהמשך.

• כיצד משתמשים בחיבור או חיסור קטעים להוכחת שוויון בין קטעים ניתן ללמוד בקישור.

3. דרך שלישית להוכיח דלתון: להוכיח שהדלתון מורכב ממשולשים שווי שוקיים על ידי חפיפה של משולשים הנמצאים מחוץ לדלתון.

תרגיל
במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות השוות הן AB=AC) מעבירים את חוצי הזווית BD ו CE. הוכיחו כי המרובע AEFD הוא דלתון.

פתרון בקצרה:

1. נוכיח DBC ≅ECB (על פי ז.צ.ז)
2. נובע מכך שוויון הצלעות  AD=AE (לאחר חיסור צלעות שוות מ AB=AC).
3. משולש FBC הוא משולש שווה שוקיים כי FBC = ∠FCB∠ .
   לכן FC= FB  וגם  CD = BE  ולאחר חיסור צלעות נקבל  DF=DE.
4. מרובע AEFD דלתון כי הוא כולל שני משולשים שווי שוקיים.

פתרון מלא של תרגיל זה בהמשך.

כיצד מוכיחים שדלתון הוא מעוין?

אין משפט שניתן להשתמש בו בבגרות האומר "אם דלתון מקיים… אז הוא מעוין".

אבל יש תכונות שאם הן קיימות בדלתון אז ניתן להשתמש במשפטים שונים ולהוכיח שהמרובע הוא מעוין.

1.אם בדלתון צלעות סמוכות שוות אז ניתן להוכיח שהדלתון הוא מעוין

אם בדלתון זוג צלעות סמוכות זה הופך את כל ארבעת הצלעות לשוות.
ואז הדלתון הוא מעוין על פי המשפט "אם במרובע 4 הצלעות שוות זו לזו אז המרובע הוא מעוין"

אם בנוסף על כך שהמרובע הוא דלתון נתון גם ש AB = BC או AD = DC אז המרובע הוא מעוין כי כל ארבעת הצלעות שוות.

2.אם בדלתון האלכסון המשני חוצה את האלכסון הראשי אז ניתן להוכיח שהדלתון הוא מעוין.

במקרה זה שני האלכסונים חוצים זה את זה. ואז ניתן להגיד:
א) מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
ב) מקבילית שיש לה צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

כלומר אם: AO = CO אז המרובע הוא דלתון.

3.אם בדלתון האלכסון המשני הוא חוצה זווית אז ניתן להוכיח שהמרובע הוא דלתון

במקרה זה האלכסון המשני הוא חוצה זווית וגם גובה לאלכסון הראשי.
לכן שתי הצלעות היוצרות את הזווית ממנה הוא יוצא שוות זו לזו; על פי המשפט "אם במשולש גובה הוא גם חוצה זווית אז המשולש הוא שווה שוקיים.
ואם הצלעות הללו שוות אז כל ארבעת הצלעות שוות והמרובע הוא מעוין כפי שהוכחנו בסעיף 1.

כלומר אם ABO = ∠CBO∠ אז משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים והמרובע הוא מעוין.

4.שטח דלתון

הנוסחה לחישוב שטח דלתון

שטח דלתון שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב 2.

• תרגילים ומידע נוסף על שטח דלתון.

5.חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון

• דלתון תרגילי חישוב הוא דף מפורט בנושא זה.

תכונות הדלתון הם:

• בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה.
• האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.

שתי תכונות אלו מאפשרות לנו לחשב גדלים של צלעות ואלכסונים בארבעת המשולשים הנמצאים בשרטוט.
החישובים נעשים בעזרת משפט פיתגורס.

אלו 4 המשוואות שניתן ליצור על בסיס משפט פיתגורס:

AD² = AO² + OD²
AB² = AO² + BO²
CB² = CO² + BO²
CD² = CO² + OD²

תרגיל לדוגמה
בדלתון ABCD שני האלכסונים נפגשים בנקודה O.
AO = 3
OC = 9
BD = 4
חשבו את ארך צלעות הדלתון.

פתרון
האלכסון הראשי חוצה לשני חלקים שווים את האלכסון המשני (BD) לכן:
BO = DO = 2

עכשיו נוכל לבצע חישובים בעזרת משפט פיתגורס.
במשולש AOD:
AD² = AO² + OD²
AD² = 3² + 2²
AD² = 9 + 4 = 13
AD = √13 = 3.6
BA = AD = 3.6 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

AD² = AO² + OD²
AD² = 3² + 2²
AD² = 9 + 4 = 13
AD = √13 = 3.6
BA = AD = 3.6 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

במשולש COD:
CD² = CO² + OD²
CD² = 9² + 2²
AD² = 81 + 4 = 85
AD = √85 = 9.22
BA = AD = 9.22 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

5.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילי חישוב זוויות בדלתון.
תרגילים 3,4,6,7 הם תרגילי הוכחת דלתון.
תרגילים 5,8 הם תרגילים נוספים.

תרגיל 1

נתון דלתון ABCD שבו BA=BC, DC=DA
כמו כן D=50, ∠BCA=30∠
השלימו את שאר הזוויות שבשרטוט.

פתרון

1. CAB=∠ACB=30∠ – במשולש שווה שוקיים ABC זוויות הבסיס שוות זו לזו.
2. B=120∠  – משלימה ל- 180 מעלות במשולש ABC.
3. ACD=(180-50) / 2=65∠  – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים CAD ומשלימות ל- 180 מעלות

תרגיל 2

נתון דלתון ABCD שבו BC=BA, DA=DC.
גדלי הזוויות הידועים הם: CBD=40, ∠CDB=30∠.
השלימו את שאר זוויות קודקודי דלתון והזוויות האחרות המופיעות בשרטוט.

פתרון
בפתרון תרגיל זה נשען על משפט הדלתון:
– האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.

שלב 1: השלמת שתי זוויות הראש
B=2*40=80∠  – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
D=2*30=60∠  – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.

שלב 2: השלמת הזוויות הנוספות
סכום שתי הזוויות החסרות במשולש BAC הוא:
100 = 80 – 180
BAC הוא משולש שווה שוקיים, לכן BCA, ∠BAC∠ שוות זו לזו:

תשובה:  BCA = ∠BAC = 50∠

DAC הוא משולש שווה שוקיים, לכן DCA, ∠DAC∠ שוות זו לזו:

תשובה:  DCA = ∠DAC = 60∠

תרגיל 3

המרובע ABCD הוא דלתון. (כלומר AB = AD,  CD = CB)
הוכיחו כי B = ∠D∠.
רמז: העבירו את האלכסון BC כבניית עזר.

פתרון

1. AB = AD,  CD = CB  נתון.
2. AC צלע משותפת למשולשים ABC ו- ADC.
3. ABC ≅ ADC על פי צ.צ.צ.
4. B = ∠D∠   זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

תרגיל 4

במרובע ABCD ידוע כי B=∠D∠.
במרובע העבירו אלכסון AC כך ש: DAC=∠BAC∠.
הוכיחו כי מרובע ABCD הוא דלתון.

פתרון
נוכיח כי המרובע הוא דלתון באמצעות חפיפת המשולשים ΔDAC≅ΔBAC.

שלב 1: נוכיח כי ΔDAC≅ΔBAC

1. ACD= 180- ∠D-∠DAC∠
2. ACB= 180- ∠B-∠BAC∠
3. ACB=∠ACD∠ – נובע מסעיפים 1,2 והנתונים.
   ניתן להסביר את שוויון הזוויות בדרך נוספת: אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו אז גם גם הזווית השלישית שווה.
4. AC – צלע משותפת למשולשים ΔDAC ו ΔBAC.
5. ΔDAC≅ΔBAC – המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

שלב 2: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

1. DA=BA – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔDAB הוא שווה שוקיים.
2. CD=BC – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔCAB הוא שווה שוקיים.
   הוכחנו כי המרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים ולכן הוא דלתון.

 תרגיל 6

המרובע ABCD הוא דלתון BA=BC, DA=DC.
הנקודות E ו F הן אמצעי הצלעות AD  ו CD בהתאמה.
הוכיחו כי המרובע BEDF הוא דלתון.

פתרון
הרעיון של הפתרון: נעביר בניית עזר את האלכסון DB ונוכיח כי ΔBED ≅ ΔBFD

שלב 1: נוכיח כי ΔBED ≅ ΔBFD

1. BD – צלע משותפת לשני המשולשים.
2. EDB=∠FDB∠ – האלכסון BD בדלתון ABCD הוא חוצה זווית.
3. ED=AD/2=CD/2=FD – צלעות הדלתון AD=CD ולכן גם 1/2 שלהן שווה זה לזה.
4. ΔBED ≅ ΔBFD – המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

שלב 2: נוכיח כי המרובע ABCD דלתון

1. BE=BF, ED=FD – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. הוכחנו כי המרובע BEDF מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון.

תרגיל 7

המרובע ABCD הוא דלתון (AD = AB, CD = CB).
על המשך האלכסון המשני
הוסיפו את הקטעים BE,DF כך ש BE=DF.
האלכסונים נפגשים בנקודה O.
הוכיחו המרובע AECF הוא דלתון.

פתרון קצר

1. הפתרון נשען על כך שהאלכסונים בדלתון ABCD הם מאונכים.
2. ואם נוכיח ש AO ו CO הם גם תיכונים ל EF אז הוכחנו שיש כאן שני משולשים שווה שוקיים (כי משולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא שווה שוקיים).

פתרון

שלב 1: הוכחה שהמשולש AEF הוא משולש שווה שוקיים

1. BE=DF נתון.
2. DO=CO בדלתון ABCD האלכסון הראשי AC חוצה את האלכסון המשני BD.
3. FO = FD+DO = EB+BO=EO
4. AO ו CO הם תיכונים לאלכסון EF.
5. AO⊥BD ולכן AO⊥EF.
6. משולש AEF הוא משולש שווה שוקיים (AE=AF) משום שמשולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים.

שלב 2: הוכחה שהמשולש CEF הוא שווה שוקיים ושהמרובע הוא דלתון

1. CO⊥BD ולכן CO⊥EF.
2. משולש CEF הוא משולש שווה שוקיים (CE=CF) משום שמשולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים.
3. AECF דלתון. מרובע שבו שתי זוגות של צלעות שוות הוא דלתון.

תרגיל 8

המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.
   (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

תרגיל 9

נתונות הנקודות (5,0) ו (0,4) הציעו עוד שתי נקודות על מנת שיוצר דלתון.

פתרון
מכוון שהצירים מאונכים זה לזה נבחר עוד שתי נקודות על הצירים כך שהצירים יצרו את את האלכסונים המאונכים של הדלתון.

עלינו לבחור נקודה אחת שתהיה באותו מרחק מראשית הצירים כמו הנקודה המקבילה שלה (על מנת שאלכסון אחד יחצה את השני). נבחר את הנקודה (4-, 0).

ונקודה אחרת שאינה באותו מרחק מראשית הצירים (על מנת שאלכסון אחד לא יחצה את השני). נבחר את (0 ,2-).

דלתון על מערכת צירים

אפשרות אחרת הייתה לבחור את הנקודה (0, 5-) כנקודה הנמצאת במרחק שווה מראשית הצירים. ואת הנקודה (2-, 0 ) כנקודה שאינה במרחק שווה מראשית הצירים.

עוד באתר:

• מרובעים – מידע על מרובעים נוספים.
• שטחים נוסחאות – תרגילים ומידע כיצד לחשב שטחים של צורות שונות.
• מתמטיקה כיתה ז – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• מתמטיקה כיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• מתמטיקה כיתה ט – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.