דלתון

הסרטון שלמעלה הוא סרטון מסכם המורכב משלושה סרטונים הנמצאים גם בהמשך הדף.

ניתן ללמוד מהסרטון שלמעלה או מהטקס והסרטונים שלמטה. התוכן דומה מאוד.

בדף זה 6 חלקים:

1. הגדרת הדלתון.
2. תכונות הדלתון.
3. 3 דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון.
4. שטח דלתון.
5. חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון.
6. תרגילים עם פתרונות מלאים.

דפים נוספים בנושא דלתון באתר הם:

1. דלתון תרגילי חישוב.
2. שטח דלתון.
3. דלתון קעור.

1.הגדרת הדלתון

דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים, כלומר בדלתון יש שתי זוגות של צלעות סמוכות שוות.

2.תכונות הדלתון

בדלתון יש שני אלכסונים, עלינו לדעת לזהות אותם על מנת להכיר את תכונות הדלתון.

אלכסון ראשי
יוצא משני הקודקודים של המשולש שווה שוקיים.
(BD בשרטוט)

אלכסון משני
יוצא מזוויות הבסיס של המשולש שווה שוקיים.
(AC בשרטוט).

רק לאלכסון הראשי יש תכונות, לאלכסון המשני אין.

תכונת הדלתון היא:
האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני.
במשפט זה ניתן להשתמש בבגרות ללא צורך להוכיח אותו.

טיפ לזכירת התכונה:
במשולש שווה שוקיים החוצה זווית / גובה / תיכון לבסיס מתלכדים.
ואלו גם שלושת התכונות של האלכסון הראשי:
חוצה זווית, גובה ותיכון.

תכונות הדלתון בשרטוט
AE = CE  (האלכסון הראשי תיכון).

DB ⊥ AC (האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני).

∠ADE = ∠ CDE
∠ABE = ∠ CBE
האלכסון הראשי הוא חוצה זווית

תכונה נוספת של הדלתון (שיש להוכיח על מנת להשתמש בה)

∠A = ∠C

תכונה זו נובעת מכך ש:
ADB ≅ CDB  על פי צ.צ.צ.
והזוויות A,C הן זוויות מתאימות שוות בין המשולשים הללו.

הוכחה מלאה של שכתוב כאן בתרגיל 3 שבהמשך או כאן בסרטון

3.הוכחת דלתון: איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון

משפט: אם מרובע מורכב משני זוגות של צלעות סמוכות שוות אז המרובע הוא דלתון.

כלומר, אם הוכחנו שמרובע מורכב משני משולשים שווה שוקיים אז המרובע הוא דלתון.

בסרטון הראשון נדבר על שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון.
בסרטון השני נדבר על דרך שלישית וקשה יותר.

אלו שלושת הדרכים המרכזיות להוכיח שמרובע הוא דלתון.

1.חפיפת משולשים כאשר האלכסון הראשי הוא צלע משותפת לשני המשולשים

לרוב נשתמש בדרך זו כאשר יש לנו מידע על זוויות שוות בתוך הדלתון.

תרגיל המשתמש בדרך זו:

במרובע ABCD מעבירים אלכסון BD כך ש ABD=∠CBD, ∠ADB=∠CDB∠.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא דלתון.

פתרון
נעשה זאת באמצעות הוכחת חפיפת משולשים ΔBAD ≅ ΔBCD

שלב 1: הוכחת החפיפה  ΔBAD ≅ ΔBCD

1. BD – צלע משותפת לשני המשולשים.
2. ABD=∠CBD∠ – נתון.
3. ADB=∠CDB∠
4. ΔBAD ≅ ΔBCD על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

שלב 2: מוכיחים שהמרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים

1. BA=BC – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
2. CD=AD – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ולכן משולש ΔADC הוא משולש שווה שוקיים.
   הוכחנו כי המרובע ABCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים ולכן הוא דלתון.

2.כאשר נתון דלתון ויוצרים מרובע חדש על ידי הארכה או קיצור של אלכסוני הדלתון

כאשר בשאלה:

1. מאריכים או מקצרים אלכסוני דלתון, וכך יוצרים מרובע חדש.
2. רוצים שנוכיח שהמרובע החדש הוא דלתון.
3. נוכיח זאת על ידי הוכחה שאחד מאלכסוני המרובע החדש הוא חוצה זווית / גובה / תיכון (שניים מתוך השלושה זה מספיק).

תרגיל (שבו מקצרים את האלכסון הראשי)
בדלתון ABCD (שבו DA = DC,  BA = BC) הנקודה E נמצאת במקום כלשהו על האלכסון BD.
מעבירים את הישרים AE,CE.
הוכיחו כי המרובע ADCE הוא דלתון.

פתרון
DA = DC  זה נתון.
אם נצליח להוכיח כי AE = CE זו  תהיה הוכחה שהמרובע ADCE הוא דלתון.

1. AO = CO בדלתון ABCD האלכסון BD חוצה את אלכסון AC.
2. AOB = COB = 90 בדלתון ABCD האלכסון BD מאונך לאלכסון AC.
3. משולש AEC הוא משולש שווה שוקיים כי EO הוא תיכון וגובה לצלע AC.
4. ADCE הוא דלתון כי מרובע המורכב משני זוגות של צלעות שוות הוא דלתון.

תרגיל (שבו מקצרים את האלכסון המשני)
ABCD דלתון.
E,F הן נקודות על אלכסון הדלתון כך ש AE=CF.
הוכיחו AECF דלתון

פתרון בקצרה:

1. OF = OC-CF = OA-AE = OE. חיסור קטעים שווים מקטעים שווים.
   OF = OE
2. BD⊥EF נתון.
3. הישר DO הוא תיכון וגובה במשולש EDF. לכן DE = DF.
4. הישר BO הוא תיכון וגובה במשולש EBF. לכן BE = BF.
5. מרובע AECF המורכב משני משולשים שווי שוקיים הוא דלתון.

פתרונות מלאים לתרגילים מסוג זה בתרגילים שבהמשך.

• כיצד משתמשים בחיבור או חיסור קטעים להוכחת שוויון בין קטעים ניתן ללמוד בקישור.

3. דרך שלישית להוכיח דלתון: להוכיח שהדלתון מורכב ממשולשים שווי שוקיים על ידי חפיפה של משולשים הנמצאים מחוץ לדלתון.

תרגיל
במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות השוות הן AB=AC) מעבירים את חוצי הזווית BD ו CE. הוכיחו כי המרובע AEFD הוא דלתון.

פתרון בקצרה:

1. נוכיח DBC ≅ECB (על פי ז.צ.ז)
2. נובע מכך שוויון הצלעות  AD=AE (לאחר חיסור צלעות שוות מ AB=AC).
3. משולש FBC הוא משולש שווה שוקיים כי FBC = ∠FCB∠ .
   לכן FC= FB  וגם  CD = BE  ולאחר חיסור צלעות נקבל  DF=DE.
4. מרובע AEFD דלתון כי הוא כולל שני משולשים שווי שוקיים.

פתרון מלא של תרגיל זה בוידאו שנמצא כאן למטה או בתרגיל 7 שבהמשך.

כיצד מוכיחים שדלתון הוא מעוין?

4.שטח דלתון

שטח דלתון שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב 2.

• תרגילים ומידע נוסף על שטח דלתון.

5.חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון

• דלתון תרגילי חישוב הוא דף מפורט בנושא זה.

תכונות הדלתון הם:

• בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה, ולכן יוצרים 4 משולשים ישרי זווית.
• האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.

משפט פיתגורס הוא כלי שימושי בארבעת המשולשים ישרי הזווית שהאלכסונים יוצרים.

אלו 4 המשוואות שניתן ליצור על בסיס משפט פיתגורס:

AD² = AO² + OD²
AB² = AO² + BO²
CB² = CO² + BO²
CD² = CO² + OD²

תרגיל לדוגמה
בדלתון ABCD שני האלכסונים נפגשים בנקודה O.
AO = 3
OC = 9
BD = 4
חשבו את ארך צלעות הדלתון.

פתרון
האלכסון הראשי חוצה לשני חלקים שווים את האלכסון המשני (BD) לכן:
BO = DO = 2

עכשיו נוכל לבצע חישובים בעזרת משפט פיתגורס.
במשולש AOD:
AD² = AO² + OD²
AD² = 3² + 2²
AD² = 9 + 4 = 13
AD = √13 = 3.6
BA = AD = 3.6 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

במשולש COD:
CD² = CO² + OD²
CD² = 9² + 2²
CD² = 81 + 4 = 85
CD = √85 = 9.22
CD = CB = 9.22 כי דלתון מורכב ממשולש שווה שוקיים.

5.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילי חישוב זוויות בדלתון.
תרגילים 3,4,6,7 הם תרגילי הוכחת דלתון.
תרגילים 5,8 הם תרגילים נוספים.

תרגיל 1
נתון דלתון ABCD שבו BA=BC, DC=DA
כמו כן D=50, ∠BCA=30∠
השלימו את שאר הזוויות שבשרטוט.

תרגיל 2
נתון דלתון ABCD שבו BC=BA, DA=DC.
גדלי הזוויות הידועים הם: CBD=40, ∠CDB=30∠.
השלימו את שאר זוויות קודקודי דלתון והזוויות האחרות המופיעות בשרטוט.

תרגיל 3
המרובע ABCD הוא דלתון. (כלומר AB = AD,  CD = CB)
הוכיחו כי B = ∠D∠.
רמז: העבירו את האלכסון AC כבניית עזר.

תרגיל 4
במרובע ABCD ידוע כי B=∠D∠.
במרובע העבירו אלכסון AC כך ש: DAC=∠BAC∠.
הוכיחו כי מרובע ABCD הוא דלתון.

 תרגיל 5
המרובע ABCD הוא דלתון BA=BC, DA=DC.
הנקודות E ו F הן אמצעי הצלעות AD  ו CD בהתאמה.
הוכיחו כי המרובע BEDF הוא דלתון.

תרגיל 6
המרובע ABCD הוא דלתון (AD = AB, CD = CB).
על המשך האלכסון המשני
הוסיפו את הקטעים BE,DF כך ש BE=DF.
האלכסונים נפגשים בנקודה O.
הוכיחו המרובע AECF הוא דלתון.

פתרון קצר

1. הפתרון נשען על כך שהאלכסונים בדלתון ABCD הם מאונכים.
2. ואם נוכיח ש AO ו CO הם גם תיכונים ל EF אז הוכחנו שיש כאן שני משולשים שווה שוקיים (כי משולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא שווה שוקיים).

תרגיל 7
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

פתרון

תרגיל 8
נתונות הנקודות (5,0) ו (0,4) הציעו עוד שתי נקודות על מנת שיוצר דלתון.

פתרון

פתרון כתוב

מכוון שהצירים מאונכים זה לזה נבחר עוד שתי נקודות על הצירים כך שהצירים יצרו את את האלכסונים המאונכים של הדלתון.

עלינו לבחור נקודה אחת שתהיה באותו מרחק מראשית הצירים כמו הנקודה המקבילה שלה (על מנת שאלכסון אחד יחצה את השני). נבחר את הנקודה (4-, 0).

ונקודה אחרת שאינה באותו מרחק מראשית הצירים (על מנת שאלכסון אחד לא יחצה את השני). נבחר את (0 ,2-).

אפשרות אחרת הייתה לבחור את הנקודה (0, 5-) כנקודה הנמצאת במרחק שווה מראשית הצירים. ואת הנקודה (2-, 0 ) כנקודה שאינה במרחק שווה מראשית הצירים.

עוד באתר:

• מרובעים – מידע על מרובעים נוספים.
• שטחים נוסחאות – תרגילים ומידע כיצד לחשב שטחים של צורות שונות.
• מתמטיקה כיתה ז – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• מתמטיקה כיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.
• מתמטיקה כיתה ט – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.