מעגל חסום במשולש ומשולש חסום במעגל

למשולש חסום במעגל ומשולש חוסם מעגל יש שני משפטים המזהים את המיקום של מרכז המעגל.
בדף זה נסביר את המשפטים הללו.

בנוסף נלמד כיצד למצוא את הגודל של רדיוס המעגל החוסם והחסום במשולש.

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר וידאו למשפטים.
2. משפטים של משולש חסום ומשולש חוסם מעגל.
3. כיצד למצוא את רדיוס המעגל החוסם משולש ורדיוס המעגל החסום במשולש.
4. תרגילים: משלש חוסם מעגל.
5. תרגילים: משולש חסום במעגל.

1.הסבר וידאו למשפטים

2.הסבר כתוב למשפטים

משולש חוסם מעגל

משפט:
מרכז מעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי הזווית של המשולש.

בנוסף אם משולש חוסם מעגל אז הצלעות שלו משיקות למעגל. לכן כל משפטי משיק למעגל מתאימים לשאלות הללו. בין המשפטים הללו תמצאו את:

1. שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת שווים באורכם.
2. הישר המחבר את הנקודה ממנה יוצאים שני משיקים אל מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים.
3. הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
4. זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.

כמו כן שימו לב למשפט האומר:

1. חוצה זווית נמצא במרחקים שווים משוקי הזווית.
2. המשפט ההפוך: אם ישר נמצא במרחקים שווים משוקי הזווית אז הוא חוצה זווית.

מעגל חוסם משולש

משפט:
במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

מה הם בדיוק אנכים אמצעיים?
אנכים אמצעיים הם ישרים המגיעים לאמצע צלע ומאונכים אליה.
אנכים אמצעיים במשולש לא חייבים לצאת מקודקוד המשולש.

תכונה נוספת של משולש חסום במעגל היא שקודקודי המשולש נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל (המרחק תמיד שווה לרדיוס המעגל).

3.כיצד למצוא את רדיוס המעגל (טריגונומטריה)

4.תרגילים בנושא משולש חוסם מעגל

תרגיל 1

במשולש ABC הישר AD הוא תיכון לבסיס BC והוא עובר דרך מרכז המעגל החסום במשולש (הנקודה O). הוכיחו כי המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון

1. הישר AD הוא חוצה זווית A∠, בגלל שהוא עובר דרך נקודת המפגש של חוצה הזווית (O).
2. נובע מכך ש AD הוא תיכון וחוצה זווית גם יחד – ואם במשולש התיכון הוא גם חוצה זווית אז המשולש הוא שווה שוקיים.

תרגיל 2

משולש ABC חוסם מעגל. D היא נקודת ההשקה של המעגל עם הצלע BC.
AB=10, AC = 12,  CD=8
חשבו את היקף המשולש.

פתרון

הדבר היחידי שחסר לנו על מנת לחשב את היקף המשולש הוא הגודל BD. ואנו יודעים כי BD=BE.

1. CD=CF=8 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
2. AF=12-8=4
3. AE=AF=4  שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
4. BE=10-4=6
5. BD=BE=6 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

היקף המשולש הוא:
36= 6+8+12+10

5.תרגילים בנושא משולש חסום במעגל

תרגיל 1

נתון משולש ΔABC שהנקודה O היא מרכז המעגל החוסם אותו.
נתון: OAB=35∠,  וזווית OCA=25∠.
חשבו את זוויות שלושת המשולשים שבתוך משולש ABC.

פתרון

הפתרון מתבסס על כך שהצלעות OA, OB, OC שוות זו לזו כי הן שוות לרדיוס המעגל החוסם. לכן הצלעות הללו יוצרות 3 משולשים שווי שוקיים שזוויות הבסיס שלהם שוות.

1. OAC=25∠ – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים ΔCOA.
2. OBA=35∠ – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים ΔBOA.
3. OBC+∠OCB=180-70-50=60∠ – משלימות ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
4. OBC=∠OCB=60/2=30∠ – זווית בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.

תרגיל 2

הוכיחו:

1. במשולש שווה צלעות נקודת מפגש התיכונים היא מרכז המעגל החוסם.
2. במשולש שווה צלעות נקודת מפגש התיכונים היא מרכז המעגל החסום.

פתרון

נעביר במשולש שווה צלעות ABC את התיכונים AD, BF, CE.

במשולש שווה צלעות שלושת התיכונים הם גם גבהים.
לכן AD, BE, CF הם אנכים אמצעים.
נקודת מפגש האנכים האמצעים (שבמקרה זה היא נקודת מפגש התיכונים) היא מרכז המעגל החסום.

סעיף 2.
נעביר במשולש שווה צלעות ABC את חוצה הזווית AD, BE, CF.

במשולש שווה צלעות חוצה זווית הוא גם תיכון.

לכן נקודת מפגש התיכונים היא גם נקודת מפגש חוצה הזווית ונקודה זו היא מרכז המעגל החסום במשולש.

 

עוד באתר:

1. מעגל משפטים, משיק למעגל, מיתר במעגל – אוסף של משפטים ותרגילים הקשורים למשפטים במעגל.
2.  מרובע חוסם או חסום במעגל – משפטים, הסברים ותרגילים בנושאים הללו.
3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה כולל קישורים רבים.
4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.