משיק ורדיוס למעגל

לדף זה שני חלקים:

  1. תקציר.
  2. 4 תרגילים.

תקציר

כיצד מוצאים משוואת משיק או רדיוס במעגל?

הרדיוס והמשיק מאונכים

  1. הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה (זה משפט בגיאומטריה המאושר לשימוש ללא הוכחה).
  2. לכן מכפלת השיפועים שלהם שווה  ל 1-.
  3. לכן אם אנו יודעים שיפוע של משיק או רדיוס אנו יכולים גם לדעת את השיפוע של הישר השני.

נקודת ההשקה היא נקודה המשתפת למשיק, למעגל ולרדיוס המאונך.

לכן ניתן להציב את נקודת ההשקה בכל אחת משלושת המשוואות (של המשיק, הרדיוס או המעגל) ולקבל את האיבר שחסר אם יש כזה.

תרגילים

בדף 4 תרגילים.
תרגילים 3-4 קשים יותר.

תרגיל 1
נתונה משוואת מעגל:
x-4)²+(y+2)²=25)
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה (8,1).

שרטוט המעגל

פתרון

שלב 1: נחשב את שיפוע הרדיוס המגיע אל (8,1).

על פי משוואת המעגל מרכז המעגל נמצא בנקודה (2-,4).
נחשב את שיפוע הרדיוס העובר דרך (8,1) ו (2-,4).

(-2-1)/(4-8)=(-3)/(-4)=3/4

שלב 2: נחשב את שיפוע המשיק

מצאנו כי שיפוע הרדיוס הוא ¾. המשיק מאונך לרדיוס ומכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
אם m הוא שיפוע המשיק אז המשוואה היא:
m= -1.333
לכן שיפוע המשיק היא 4/3- (1.333-).

שלב 3: נמצא את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה
משוואת המשיק העובר דרך (8,1) ושיפועו 4/3- היא:

(y-y1=m(x-x1
(y-1=-4/3(x-8
y-1=-1.333x+10.666 / +1
y=-1.333x+11.666

תשובה: משוואת המשיק המבוקש היא y=-1.333x+11.666

שרטוט משוואת המשיק והרדיוס המאונך אליו
שרטוט משוואת המשיק והרדיוס המאונך אליו

תרגיל 2
נתונה משוואת מעגל:
x)²+(y – 3)²=16)
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה (1 ,12√).

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב 1: נמצא את שיפוע הרדיוס המגיע אל הנקודה (1 ,12√)
שיפוע הישר העובר בנקודות (3, 0)   (1 ,12√)  הוא:
שיפוע הרדיוס 0.578-

שלב 2: נמצא את שיפוע המשיק
המשיק מאונך לרדיוס ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * -.578 = -1
m = 1.73

שלב 3: נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה
שיפוע המשיק הוא m = 1.73 והוא עובר בנקודה (1, 3.46).
לכן משוואתו:
(y – 1 = 1.73(x – 3.46
y – 1 = 1.73x – 6
y = 1.73x – 5

משוואת המשיק למעגל
משוואת המשיק למעגל

תרגיל 3
נתון המעגל:
x + 1)² + (y – 3)²=16)
למעגל מעבירים משיק בנקודה על המעגל הנמצאת ברביע השלישי ומקביל לציר ה ה x.
מצאו את משוואת המשיק.

פתרון

1.נמצא את משוואת הרדיוס

  1. המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  2. על מנת שהמשיק יקביל לציר ה x וגם יהיה מאונך לרדיוס הרדיוס צריך להיות מקביל לציר ה y.
  3. הרדיוס עובר דרך הנקודה (3, 1-) ולכן משוואת הרדיוס היא x = -1.

2.נמצא את נקודת ההשקה

נציב x = -1 במשוואת המעגל:
x + 1)² + (y – 3)²=16)

(- 1 + 1)² + ( y – 3)² = 16
0² + y² – 6y + 9 = 16
y² – 6y – 7 = 0

הפתרונות של המשוואה הריבועית הזו הן:
y = 7,  y = -1
לכן נקודות ההשקה האפשריות הן:
(1-,  1-).
(7, 1-).

ביקשו שנקודת ההשקה תהיה ברביע השלישי ולכן הנקודה המתאימה היא:
(1-,  1-).

3.נמצא את משוואת המשיק
המשיק הוא ישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (1-,  1-).
ערך ה y של משיק כזה קבוע לכל אורכו ולכן משוואתו:
y = -1

תרגיל 4
הישר y = – 2x + 4 משיק למעגל בנקודה 1,2.
ידוע כי אורכו של רדיוס המעגל הוא 5.
מצאו את נקודת מרכז המעגל.

פתרון
שלבי הפתרון הם:

  1. נמצא את משוואת הרדיוס.
  2. מרכז המעגל נמצא על משוואת הרדיוס וגם במרחק 5 מנקודת ההשקה ולכן ניתן למצוא אותו.

פתרון
מציאת משוואת הרדיוס
הרדיוס והמשיק מאונכים ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
שיפוע המשיק הוא 2-, לכן שיפוע הרדיוס הוא 0.5.

הרדיוס עובר בנקודה 1,2 ושיפועו 0.5. לכן משוואתו:
(y – y1 = m (x – x1
(y -2 = 0.5 (x – 1
y – 2 = 0.5x – 0.5  / +2
y = 0.5x +1.5

מציאת נקודת מרכז המעגל
נניח שמרכז המעגל הוא הנקודה (xm, ym).
נקודה זו נמצאת על הרדיוס y = 0.5x +1.5 ולכן מתקיים:
ym = 0.5xm + 1.5.
לכן ניתן לכתוב את הנקודה כך:
xm, 0.5xm + 1.5

נקודת מרכז המעגל נמצאת במרחק 5 מהנקודה 1,2 לכן בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות ניתן לבנות את המשוואה:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
d² = (xm – 1)² + (0.5xm + 1.5 – 2)²
d² =xm² -2xm + 1 + (0.5xm  – 0.5)²
d² =xm² -2xm + 1 + 0.25xm² – 0.5xm + 0.25
d² = 1.25xm² -2.5xm +1.25

אנו יודעים כי המרחק בין 1,2 למרכז המעגל הוא 5.
כלומר
d² = 5² = 25

נציב זאת במשוואה הריבועית:
1.25xm² -2.5xm +1.25 = 25
1.25xm² -2.5xm – 23.75= 0  / :1.25
xm² -2xm – 19= 0

זו משוואה ריבועית שיש לפתור בעזרת נוסחת השורשים.
כאשר זאת נקבל
xm = 5.47  או x= -3.47

אנו יודעים כי:
ym = 0.5xm + 1.5
לכן:
ym = 0.5*5.72 + 1.5 =4.36
ym = 0.5*(-3.72) + 1.5 = -0.36

תשובה: לנקודת מרכז המעגל יש שתי אפשרויות והן:
4.36,  5.72
0.36-,  3.72-

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

10 מחשבות על “משיק ורדיוס למעגל”

  1. עזרתם לי ברמותתתתתתת!!!!!!
    תודה רבה!!!!!
    אתר פשוט מושלם!!!!
    הכל מובן ובהיר ביותר,
    ירידה עד לפרטי פרטים וחידוד הנושאים עד דק.

  2. בר לוסי בוני

    אם יש לי שתי משיקים למעגל ואני יודעת רק את משוואת המשיקים ואת רדיוס המעגל איך אני מוצאת את מרכז המעגל?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא לכל התרגילים באתר יש לנו זמן ליצור גם פתרונות וידאו.
      בהצלחה

    2. בילאל עואד

      יש לי שאלה
      יש לי מעגל ברדיוס R וישר משיק למעגל בנק (8-,9)
      משוואת המשיק היא
      y=5/9x-117
      איך מוצאים את מרכז המעגל?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.