מרובע חוסם או חסום במעגל

בדף זה נדבר על מרובע חסום במעגל ועל מרובע חוסם מעגל.
הדף משלב בין שני המקרים, מי שרוצה ללמוד כל אחד מיהם בנפרד יכול לעשות זאת בקישור.

בדף זה 5 חלקים:

1. הסבר וידאו למשפטי מרובע חוסם וחסום.
2. הסבר כתוב למשפטי מרובע חוסם וחסום.
3. חישוב רדיוס של מעגל החוסם מרובע.
4. מציאת נקודת מרכז המעגל החסום במרובע וגם חישוב אורך הרדיוס
5. 11 תרגילים עם פתרונות מלאים.

1.הסבר וידאו למרובע חוסם או חסום במעגל

2.הגדרה ומשפטים למרובע חוסם או חסום במעגל

מרובע חסום במעגל הוא מרובע שארבעת קודקודיו נמצאים על המעגל.

אם אחד הקודקודים לא נמצא על המעגל המרובע לא נקרא " חסום במעגל".

מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שארבעת צלעותיו משיקות למעגל.

מרובע בעל 3 צלעות משיקות למעגל וצלע אחת שאינה משיקה הוא לא מרובע החוסם מעגל.

 

משפטים

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות

צלעות מרובע חוסם מעגל משיקות למעגל.
לכן סביר שבשאלות הללו תצטרכו להשתמש גם במשפטי משיק למעגל:

1. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
2.  ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
3. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
4. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
5. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

• דף משיק למעגל כולל שרטוטים ומידע נוסף.

3.חישוב רדיוס של מרובע חסום במעגל

4.מציאת נקודת מרכז המעגל החסום במרובע
וגם חישוב אורך הרדיוס

5.תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים בנושא מרובע חסום במעגל (מרובע הנקרא גם מרובע בר חסימה).

4 תרגילים בנושא מרובע חוסם מעגל.

7 תרגילים בנושא מרובע חסום במעגל

תרגיל 1: האם ניתן לחסום במעגל את המרובעים הבאים?
האם ניתן לחסום את המרובעים הללו במעגל?

שרטוט 1
ניתן. משום שעל פי סכום זוויות במשולש DAB ניתן למצוא שזווית A שווה ל 80.
אז A+C=180.

שרטוט 2
DEC = AEB = 90
לכן אם נסתכל על משולש DEC:
DCE = 180 -90 – 30 = 60
לכן:
C = 60 + 20 = 80∠
לכן:
A+C=190.
זוויות נגדיות לא שוות ל 180 מעלות ולכן המרובע לא יכול להיות חסום במעגל.

פתרון וידאו

תרגיל 2: הוכחה שטרפז החסום במעגל חייב להיות שווה שוקיים
נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

פתרון

1. מעבירים אלכסון BD.
2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. CD=AB – כי זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
   כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

הוכחה בדרך שנייה (ללא בניית עזר)
נגדיר:
BAD = x∠
לכן:
ABC = 180 – x∠    זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.
DCB = 180 – x∠  במרובע זוויות נגדיות משלימות ל 180 מעלות.
נובע מכך:
ABC = ∠DCB∠

טרפז ABCD הוא שווה שוקיים כי אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז שווה שוקיים.

תרגיל 3
המרובע ABCD חסום במעגל (המרובע הוא לא טרפז).
AD= DC
DAC = 20∠
חשבו את זוויות B ו D.

פתרון
במשולש ADC:
DCA = 20  (מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות).
ADC = 140  (משלימה ל 180 מעלות במשולש)

ABC = 40 זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180 מעלות.

תרגיל 4
מהנקודה A שמחוץ למעגל מעבירים את שני החותכים AB,AC.
הוכיחו כי:
ABC ∼ AED

פתרון
נגדיר:
ABC = x
לכן:
DEC = 180 – x  (זוויות נגדיות במרובע החוסם מעגל).

AED = x  זווית צמודה.
BAC  היא זווית משותפת לשני המשולשים.
לכן:
ABC ∼ AED  דמיון משולשים על פי ז.ז.

תרגיל 5
AB,AD הם שני משיקים למעגל.
BAD = 50∠.
מצאו את הזווית המסומנת ב a בשרטוט הבא.

רמז לפתרון: על מנת לפתור את התרגיל עליכם להעביר את הרדיוסים OB, OD ואז להסתכל על מרובע ABOD.

פתרון
נעביר את הרדיוסים OB,OD.
הזוויות שהם יוצרים עם המשיקים הן 90 מעלות (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
במרובע ABOD על פי סכום זוויות במרובע:

BOD = 360 – 90 – 90 – 50 = 130

BCD = 0.5BOD = 65   זווית היקפית שווה למחצית המרכזית המשענות על אותה קשת.
(מצאנו את המבוקש).

תרגילים 6-11 מיועדים למנויים באתר.