מרובע חוסם או חסום במעגל

בדף זה 5 חלקים:

  1. הגדרה של מרובע חוסם או חסום במעגל.
  2. משפטים.
  3. חישוב רדיוס של מרובע חסום או חוסם מעגל.
  4. מרכז מעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית
  5. 7 תרגילים עם פתרונות מלאים.

1.הגדרה של מרובע חוסם או חסום במעגל

הגדרות

מרובע חסום במעגל הוא מרובע שארבעת קודקודיו נמצאים על המעגל.
אם אחד הקודקודים לא נמצא על המעגל המרובע לא נקרא " חסום במעגל".

מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שארבעת צלעותיו משיקות למעגל.
מרובע בעל 3 צלעות משיקות למעגל וצלע אחת שאינה משיקה הוא לא מרובע החוסם מעגל.

מרובע חוסם מעגל

 

2.משפטי מרובע חסום וחוסם

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות
במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות

אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה
אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה

צלעות מרובע חוסם מעגל משיקות למעגל.
לכן סביר שבשאלות הללו תצטרכו להשתמש גם במשפטי משיק למעגל:

  1. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  2.  ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
  3. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
  4. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  5. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

3.חישוב רדיוס של מרובע חוסם או חוסם במעגל

רדיוס מעגל חוסם מרובע

  1. מרובע החוסם מעגל יוצר משולשים חסומים במעגל
    ABC
    ACD
    BCD
    כל אלו משולשים החסומים במעגל.
  2. רדיוס המעגל החוסם את המשולשים הללו הוא בדיוק אותו רדיוס מעגל החוסם את המרובע.
  3. עבור משולשים חסומים במעגל יש לנו כלי טוב למציאת רדיוס המעגל החוסם והוא משפט הסינוסים.
    לכן מה שנעשה בשאלות הללו הוא לחשב את רדיוס המעגל החוסם את אחד המשולשים בעזרת משפט הסינוסים.
משפט הסינוסים
משפט הסינוסים

רדיוס מעגל חסום במעגל

חלק זה שימושי בעיקר לתלמידי 5 יחידות.

יש משפט שאתם צריכים לדעת להוכיח אותו והוא משפט העוזר בשאלות מהסוג הזה.
"מרכז המעגל החסום במרובע הוא נקודת מפגש חוצה הזווית של המרובע"
משפט זה דומה מאוד למשפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה:
"במעגל החסום במשולש מרכז המעגל נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית"

ההוכחה של המשפט נעשית בעזרת משפט אחר:
"ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים".
(וכמובן שנזכור שארבעת צלעות המרובע AB,BC,CD,DA הם משיקים למעגל).

לכן: OA, OB, OC, OD הם חוצה זווית.
ומכוון שהם חוצה זווית יהיה לנו לרוב מידע על זוויות באחד המשולשים.
באותו משולש נעביר רדיוס כמו OE אל נקודת ההשקה היוצר זווית של 90 מעלות.

ואז נוכל לחשב את הרדיוס באחד מהמשולשים OBE, OCE.

מלבן חסום במעגל

מלבן חסום במעגל הוא מקרה מיוחד של מרובע חסום במעגל.

מלבן חסום במעגל

ומה מיוחד במלבן?
שכל זוויותיו גודלן 90 מעלות.
לכן כל אחד מהאלכסונים שלו הוא קוטר במעגל על פי המשפט:
"אם זוויות היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר".

ומכוון שאלכסוני המלבן חוצים זה את זה אז נקודת חיתוך האלכסונים היא מרכז המעגל.
וזה בגלל שנקודות המפגש של האלכסונים במלבן חוצה את המלבן לשני חלקים שווים.

באתר תוכלו ללמוד גם על:

הקשר שבין זוויות היקפיות הנשענות על מיתר משני הצדדים

מה הקשר בין הזוויות ההיקפיות A,C שנשענות על המיתר BD?

עכשיו בעזרת המשפט "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות".
אתם יכולים להוכיח שזוויות היקפיות הנשענות על מיתר משני צדדיו סכומם 180 מעלות.
A + C = 180

4.מרכז מעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית

אנו יודעים כי עבור משולש יש משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה בבגרות:
"מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית".

בחלק זה נלמד להוכיח את הטענה:
"מרכז מעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית".

ההוכחה מתבססת על שני דברים:

  1. צלעות מרובע החוסם מעגל הם משיקים למעגל.
  2. המשפט בגיאומטריה שניתן להשתמש בו ללא הוכחה "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים".

הוכחה
O הוא מרכז המעגל החסום במרובע ABCD.
לכן על פי המשפט "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים" הישרים AO,BO,CO,DO הם חוצה זווית.

לכן מרכז המעגל של המרובע ABCD נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית.

5.תרגילים

7 תרגילים בנושא מרובע חסום במעגל

תרגיל 1: האם ניתן לחסום במעגל את המרובעים הבאים?
האם ניתן לחסום את המרובעים הללו במעגל?

שרטוט 1
ניתן. משום שעל פי סכום זוויות במשולש DAB ניתן למצוא שזווית A שווה ל 80.
אז A+C=180.

שרטוט 2
DEC = AEB = 90
לכן אם נסתכל על משולש DEC:
DCE = 180 -90 – 30 = 60
לכן:
C = 60 + 20 = 80∠
לכן:
A+C=190.
זוויות נגדיות לא שוות ל 180 מעלות ולכן המרובע לא יכול להיות חסום במעגל.

פתרון וידאו

תרגיל 2: הוכחה שטרפז החסום במעגל חייב להיות שווה שוקיים
נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

טרפז חסום במעגל

פתרון

הוכחה כי טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

  1. מעבירים אלכסון BD.
  2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. CD=AB – כי זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

הוכחה בדרך שנייה (ללא בניית עזר)
נגדיר:
BAD = x∠
לכן:
ABC = 180 – x∠    זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.
DCB = 180 – x∠  במרובע זוויות נגדיות משלימות ל 180 מעלות.
נובע מכך:
ABC = ∠DCB∠

טרפז ABCD הוא שווה שוקיים כי אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז שווה שוקיים.

תרגיל 3
המרובע ABCD חסום במעגל (המרובע הוא לא טרפז).
AD= DC
DAC = 20∠
חשבו את זוויות B ו D.

פתרון
במשולש ADC:
DCA = 20  (מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות).
ADC = 140  (משלימה ל 180 מעלות במשולש)

ABC = 40 זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180 מעלות.

תרגיל 4
מהנקודה A שמחוץ למעגל מעבירים את שני החותכים AB,AC.
הוכיחו כי:
ABC ∼ AED

פתרון
נגדיר:
ABC = x
לכן:
DEC = 180 – x  (זוויות נגדיות במרובע החוסם מעגל).

AED = x  זווית צמודה.
BAC  היא זווית משותפת לשני המשולשים.
לכן:
ABC ∼ AED  דמיון משולשים על פי ז.ז.

תרגיל 5
AB,AD הם שני משיקים למעגל.
BAD = 50∠.
מצאו את הזווית המסומנת ב a בשרטוט הבא.

רמז לפתרון: על מנת לפתור את התרגיל עליכם להעביר את הרדיוסים OB, OD ואז להסתכל על מרובע ABOD.

פתרון
נעביר את הרדיוסים OB,OD.
הזוויות שהם יוצרים עם המשיקים הן 90 מעלות (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
במרובע ABOD על פי סכום זוויות במרובע:

BOD = 360 – 90 – 90 – 50 = 130

BCD = 0.5BOD = 65   זווית היקפית שווה למחצית המרכזית המשענות על אותה קשת.
(מצאנו את המבוקש).

תרגיל 6
AB,AD הם שני משיקים למעגל.
BAD = 50∠.
מצאו את הזווית המסומנת ב a בשרטוט הבא.

פתרון
נעביר את הרדיוסים OB, OD.
הזוויות שהם יוצרים עם המשיקים הן 90 מעלות (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
במרובע ABOD על פי סכום זוויות במרובע:

BOD = 360 – 90 – 90 – 50 = 130

נשלים את מרובע BECD (מצורף שרטוט).
BEC = 65  זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
BCD = 180 – 65 = 115 במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות.

 

תרגיל 7
שני מעגלים נחתכים בנקודת E ו F. מהנקודה A שעל מעגל 1 מעבירים ישר דרך הנקודה E אל הנקודה B שעל המעגל השני.
מהנקודה D שעל מעגל 1 מעבירים דרך הנקודה F ישר אל הנקודה C שעל המעגל השני.
הוכיחו כי הישר AD מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר EBC=a∠
  2. EFC = 180-a∠ במרובע BEFC החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  3. EFD = a∠ סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  4. EFD = 180-a∠  במרובע AEFD החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  5. הישר AD מקביל ל BC – אם זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות אז הישרים מקבילים.
    (הזוויות החד צדדיות הן EFD = 180-a∠ ו EBC=a∠)

למטה שרטוט של הפתרון המספרים 1,2,3,4 מבטאים את סדר החישוב.

פתרון וידאו

4 תרגילים בנושא מרובע חוסם מעגל

תרגיל 1
טרפז ABCD חוסם מעגל.
האלכסון AC הוא חוצה זווית.
ידוע כי CD = 1.5AB
הצלע AD גדולה מהצלע AB ב 4 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות הטרפז.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון: עלינו להגדיר את הגודל של ארבעת הצלעות בעזרת משתנה אחד.
לאחר מיכן נבנה משוואה בעזרת המשפט "סכום צלעות נגדיות במרובע חוסם מעגל שווה לסכום הצלעות השני במרובע".

פתרון
שלב 1: הגדרת משתנה והגדרת צלעות באמצעותו
נגדיר AB = x.
הסיבה שבחרנו את AB היא בגלל שקל להגדיר באמצעותו צלעות אחרות.
לכן CD = 1.5x
AD = AB + 4 = x + 4

שלב 2: הגדרת הצלע DC
הגדרנו שלוש צלעות בעזרת המשתנה x.
הצלע החסרה לנו היא צלע DC.
נראה כיצד הנתון ש AC הוא חוצה זווית עוזר לנו לפתור את התרגיל.
נגדיר:
BCA = ∠DCA = a∠  בגלל ש AC הוא חוצה זווית.
CAB = ∠ DCA∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
BC = AB = X  במשולש ADC זוויות הבסיס שוות לכן המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
נסכם את גדלי הצלעות:
AD = x + 4
BC = x
AB = x
CD = 1.5x
סכום זוג צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום השני. לכן:
AD + BC = AB + DC
x+4 + x = x +1.5x
2x + 4 = 2.5x / -2x
0.5x = 4  / *2
x = 8

תשובה: גדלי הצלעות הם:
AD = X + 4 =12
BC = X = 8
AB = X  = 8
CD = 1.5X = 12

פתרון וידאו:

תרגיל 2
טרפז ABCD חוסם מעגל.
מעבירים את הישרים AO,BO  אל מרכז המעגל O.
הוכיחו כי:
AOB = 90.

פתרון
שני דברים הכרחיים על מנת לפתור את התרגיל:

  1. לשים לב למילה "טרפז" ולהשתמש בתכונות הטרפז.
  2. להכיר את המשפט "ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים".

ולפתרון עצמו.
נגדיר:
BAD = 2x
לכן:
BAO = x

כמו כן:
ABC = 180 – 2x  (זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים).
ABO = 90 – x  (כי BO חוצה זווית).

נסתכל על משולש AOB.
BAO + ABO = 90 – x + x = 90

לכן:
AOB = 90 משלימה ל 180 מעלות במשולש AOB.

תרגיל 3
מרובע ABCD חוסם מעגל.
נקודות ההשקה של המעגל הן EFGH. ידוע כי:
A = 120,  ∠B = 110∠,  ∠C = 70,   ∠D = 60
חשבו את זוויות המרובע EFGH.

שרטוט התרגיל

פתרון
פתרון התרגיל מבוסס על כך ש "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה"

  1. בגלל המשפט הזה המשולשים DHG, CFG, BFE, AEH הם משולשים שווי שוקיים.
  2. נשלים את הזוויות שלהם על פי סכום זוויות במשולש שווה ל 180 מעלות.

שרטוט התרגל והזוויות

3. עכשיו הזוויות של המרובע הפנימי הן זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות שתי זוויות אחרות.
כך למשל הזווית G משלימה את הזוויות 55 ו 60 ל 180 ולכן G=65∠.
4. בצורה זו ניתן לקבל למצוא את כל ארבעת הזוויות:
H=90, E=115, F=90, G=65

דרך פתרון נוספת
דרך נוספת וקצרה יותר היא לחשב בצורה שתוארה שתי זוויות סמוכות ( למשל E ו H או H  ו G).
ואז להשלים את השתיים האחרות בעזרת המשפט "במרובע החסום במעגל זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות".

פתרון וידאו:

תרגיל 4
מרובע ABCD חוסם מעגל שמרכזו O.
הוכיחו כי סכום הזוויות AOB+∠DOC=180∠.

שרטוט התרגיל

פתרון
בהתבסס על המשפט "הישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים". נסמן במספרים את 8 הזוויות שיוצרים הישרים הללו עם המשיקים. ונסמן גם את הזווית שיוצרים הישרים הללו במרכז המעגל.

שרטוט הזוויות בתרגיל

ניתן לראות כי:
AOB+∠DOC = 180-2-1 + 180-3-4 =360-1-2-3-4∠

כמו כן אנו יודעים כי סכום זוויות במרובע הוא 360.
לכן 1+2+3+4=180.
ולכן
AOB+∠DOC = 360 -180 -= 180∠

פתרון וידאו

עוד באתר בנושאים דומים:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “מרובע חוסם או חסום במעגל”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.