זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל

בדף זה נלמד על זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל.

החלקים של דף זה הם:

1. הגדרות של זוויות במעגל.
2. משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות.
3. טיפים לפתרון תרגילים.
4. תרגילים בסיסיים.

1. הגדרות

2.משפטים

מתי שתי זוויות מרכזיות שוות?

1. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
2. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

מתי שתי זוויות היקפיות שוות?

1. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
2. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
3. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

הקשר בין זווית מרכזית לזווית היקפית הנשענות על אותה קשת

1. במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

גודל זווית 2 הוא 1/2 מגודל זווית 1.

הקשר בין זווית היקפית לקוטר

1. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
2. זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.

הקשר בין שתי זוויות היקפיות הנשענות על מיתר משני הצדדים

מה הקשר בין הזוויות ההיקפיות A,C שנשענות על המיתר BD?
במעגל יש משפט “במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות”.
לכן:
A + C = 180

עוד באתר:

1. משפטים מעגל – משפטים בנושאים נוספים.
2. משיק למעגל, מיתר במעגל – משפטים ותרגילים בנושאים הללו.
3. משולש חוסם מעגל, מעגל חוסם משולש, מרובע חוסם או חסום במעגל – משפטים, הסברים ותרגילים בנושאים הללו.
4. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.
5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3.טיפים לפתרון תרגילים

1. להכיר את כל המשפטים.
2. לחפש זוויות מרכזית / היקפיות הנשענות על אותה קשת / מיתר.
3. אם יש קוטר לחפש את הזווית ההיקפית הנשענות עליו. בשאלות קשות צריך להשלים על ידי בניית עזר זווית הנשענות על אותו מיתר / זווית היקפית הנשענת על קוטר.
4. לחפש זווית המשלימות ל- 180 במשולש או 360 במרובע.

4.תרגילים

תרגילי חישוב זוויות – תרגילים בסיסיים

תרגיל 1
מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת היא 30.

פתרון: על פי המשפט “,זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת” הזווית המרכזית המבוקשת היא 60 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 2
חשבו את זוויות 1 ו- 2 המופיעות בשרטוט.

פתרון 

1. זווית 1 שווה 30 מעלות – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.
2. הזווית החסרה במשולש הימיני שווה 100 – משלימה ל- 180 מעלות את זוויות המשולש.
3. זווית 2 = 100 מעלות – זווית קודקודית לזווית השווה 100 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 3
נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

פתרון

1. מעבירים אלכסון BD.
2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. CD=AB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
   כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

על מנת לפתור את תרגילים 4,5,6 עליכם להכיר את המשפטים:
“גודלה של זווית היקפית הנשענת על קוטר הוא 90 מעלות”
והמשפט ההפוך ” אם גודל של זווית היקפית הנשענות

תרגיל 4
האם המיתר AB הוא קוטר במעגל?

פתרון

1. זווית היקפית C שווה ל: 180-48-41=91 מעלות – משלימה ל180 מעלות במשולש ABC.
2. AB הוא לא קוטר – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות והזווית הנשענת על מיתר AB לא שווה ל- 90 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 5
המיתר BD הוא קוטר במעגל.
מצאו את זוויות 1 ו-2 בשרטוט.

פתרון

1. זווית C שווה 90 מעלות – זווית היקפית הנשענת על קוטר BD שווה ל- 90 מעלות.
2. זווית 1 שווה ל- 65 מעלות 180-90-25=65 – סכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות.
3. זווית 2 שווה ל- 25 מעלות (לזווית D ) – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.

פתרון וידאו