זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל

בדף זה:

  1. הגדרות של זוויות במעגל.
  2. משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות.
  3. טיפים לפתרון תרגילים.
  4. תרגילים בסיסיים.

1. הגדרות

זווית מרכזית – זווית שקודקודה במרכז המעגל. (כמו זווית 1).
זווית היקפית – זווית שקודקודה על היקף המעגל. (כמו זווית 2).

קשת – שתי נקודות על שפת המעגל התוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל. (כמו הקטע AB).

זווית מרכזית וזווית היקפית במעגל

2.משפטים

לפניכם שני סרטונים.
הסרטון הראשון מסביר את המשפטים למי שלא מכיר או מבין את המשפטים.
הסרטון השני נותן טיפים כיצד לזכור את המשפטים.
לאחר מיכן יש הסבר כתוב.

בסרטון הבא אני ממליץ לכם לחלק את משפטי הזוויות לנושאים:

  1. זוויות מרכזיות
  2. זוויות היקפיות
  3. מיתרים
  4. קשתות

הקשר בין הדברים הללו אלו הם המשפטים שאתם צריכים לזכור.

מתי שתי זוויות מרכזיות שוות?

  1. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
  2. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

61.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו. 62.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

מתי שתי זוויות היקפיות שוות?

  1. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
  2. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
  3. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

72.במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

70.במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים. 71.במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

הקשר בין זווית מרכזית לזווית היקפית הנשענות על אותה קשת

  1. במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

גודל זווית 2 הוא 1/2 מגודל זווית 1.

הקשר בין זווית היקפית לקוטר

  1. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
  2. זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.

73.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90). 74.זווית היקפית בת נשענת על קוטר.

הקשר בין שתי זוויות היקפיות הנשענות על מיתר משני הצדדים

מה הקשר בין הזוויות ההיקפיות A,C שנשענות על המיתר BD?
במעגל יש משפט "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות".
לכן:
A + C = 180

עוד באתר:

  1. משפטים מעגל – משפטים בנושאים נוספים.
  2. משיק למעגל, מיתר במעגל – משפטים ותרגילים בנושאים הללו.
  3. משולש חוסם מעגל, מעגל חוסם משולש, מרובע חוסם או חסום במעגל – משפטים, הסברים ותרגילים בנושאים הללו.
  4. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3. טיפים לפתרון תרגילים

  1. להכיר את כל המשפטים.
  2. לחפש זוויות מרכזית / היקפיות הנשענות על אותה קשת / מיתר.
  3. אם יש קוטר לחפש את הזווית ההיקפית הנשענות עליו. בשאלות קשות צריך להשלים על ידי בניית עזר זווית הנשענות על אותו מיתר / זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  4. לחפש זווית המשלימות ל- 180 במשולש או 360 במרובע.

4. תרגילים

תרגילי חישוב זוויות – תרגילים בסיסיים

תרגיל 1
מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת היא 30.

מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההקיפית הנשענת על אותה קשת היא 30
פתרון: על פי המשפט ",זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת" הזווית המרכזית המבוקשת היא 60 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 2
חשבו את זוויות 1 ו- 2 המופיעות בשרטוט.

חישוב זוויות במעגל

פתרון 

  1. זווית 1 שווה 30 מעלות – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.
  2. הזווית החסרה במשולש הימיני שווה 100 – משלימה ל- 180 מעלות את זוויות המשולש.
  3. זווית 2 = 100 מעלות – זווית קודקודית לזווית השווה 100 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 3
נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

טרפז חסום במעגל

פתרון

הוכחה כי טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

  1. מעבירים אלכסון BD.
  2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. CD=AB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

על מנת לפתור את תרגילים 4,5,6 עליכם להכיר את המשפטים:
"גודלה של זווית היקפית הנשענת על קוטר הוא 90 מעלות"
והמשפט ההפוך " אם גודל של זווית היקפית הנשענות

תרגיל 4
האם המיתר AB הוא קוטר במעגל?

חישוב זוויות מעגל

פתרון

  1. זווית היקפית C שווה ל: 180-48-41=91 מעלות – משלימה ל180 מעלות במשולש ABC.
  2. AB הוא לא קוטר – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות והזווית הנשענת על מיתר AB לא שווה ל- 90 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 5
המיתר BD הוא קוטר במעגל.
מצאו את זוויות 1 ו-2 בשרטוט.

חישוב זוויות במעגל

פתרון

  1. זווית C שווה 90 מעלות – זווית היקפית הנשענת על קוטר BD שווה ל- 90 מעלות.
  2. זווית 1 שווה ל- 65 מעלות 180-90-25=65 – סכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות.
  3. זווית 2 שווה ל- 25 מעלות (לזווית D ) – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.

פתרון וידאו

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

28 מחשבות על “זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל”

  1. יוהוווווווווווווווווווו פעם אחת אני חייבת להודות לכם. כבר תקופה ארוכה שלא הייתי בשיעורים באלגברה וגאומטריה כעת לפני המבחנים שטרום הבגריות נלחצתי מאוד והנה בזכות האתר האלוף שלכם אני עוברת כבר מבחן שלישי בלי לימוד פרטני.תודה אתם אלופים!

  2. שלום,
    במידה ונתונות שתי זוויות היקפיות במעגל, a ו2a. האם ניתן להגיד שהמיתר עליו נשענת הזווית הראשונה
    קטן פי שתיים מהמיתר עליו נשענת הזווית השנייה?

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    האם ניתן להגיד שהמיתר שמול הזווית ההקיפית שווה לזווית ההקיפית? או שרק הקשת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      רק הקשת שווה לזווית המרכזית הנשענת עליה (לא הזווית ההיקפית).
      לגבי המיתר לא ניתן להגיד זאת.

  4. האם כשרואים שהמשלוש חסום במעגל ולכן כתוב מותר להשתמש במשפטים או שצריך שיכתבו את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      יש רשימה של משפטים שמותרים לשימוש ללא הוכחה, חלקם מופיעים בדף זה.
      ובכל שאלה שאת רוצה את יכולה להשתמש בהם ללא הוכחה.

  5. היי
    בנוגע למשפט "שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו"- האם מותר לומר פשוט "מול קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות"? או שממש חובה לצטט במדויק את המשפט המקורי?

    1. לומדים מתמטיקה

      אני לא נציג של משרד החינוך לכן לא אענה על דקויות כאלו אם את שואלת לגבי האם מותר או אסור בבחינת הבגרות.
      לדעתי מותר, אבל כאמור אני לא מוסמך לענות על זה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.