לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל

בדף זה נלמד על זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל.

החלקים של דף זה הם:

  1. הגדרות של זוויות במעגל.
  2. משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות.
  3. טיפים לפתרון תרגילים.
  4. תרגילים בסיסיים.

1. הגדרות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.משפטים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

מתי שתי זוויות מרכזיות שוות?

  1. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
  2. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

61.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו. 62.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

מתי שתי זוויות היקפיות שוות?

  1. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
  2. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
  3. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

72.במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

70.במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים. 71.במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

הקשר בין זווית מרכזית לזווית היקפית הנשענות על אותה קשת

  1. במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

גודל זווית 2 הוא 1/2 מגודל זווית 1.

הקשר בין זווית היקפית לקוטר

  1. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
  2. זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.

73.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90). 74.זווית היקפית בת נשענת על קוטר.

הקשר בין שתי זוויות היקפיות הנשענות על מיתר משני הצדדים

מה הקשר בין הזוויות ההיקפיות A,C שנשענות על המיתר BD?
במעגל יש משפט "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות".
לכן:
A + C = 180

עוד באתר:

  1. משפטים מעגל – משפטים בנושאים נוספים.
  2. משיק למעגל, מיתר במעגל – משפטים ותרגילים בנושאים הללו.
  3. משולש חוסם מעגל, מעגל חוסם משולש, מרובע חוסם או חסום במעגל – משפטים, הסברים ותרגילים בנושאים הללו.
  4. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3.טיפים לפתרון תרגילים

  1. להכיר את כל המשפטים.
  2. לחפש זוויות מרכזית / היקפיות הנשענות על אותה קשת / מיתר.
  3. אם יש קוטר לחפש את הזווית ההיקפית הנשענות עליו. בשאלות קשות צריך להשלים על ידי בניית עזר זווית הנשענות על אותו מיתר / זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  4. לחפש זווית המשלימות ל- 180 במשולש או 360 במרובע.

4.תרגילים

תרגילי חישוב זוויות – תרגילים בסיסיים

תרגיל 1
מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת היא 30.

מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההקיפית הנשענת על אותה קשת היא 30
פתרון: על פי המשפט ",זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת" הזווית המרכזית המבוקשת היא 60 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 2
חשבו את זוויות 1 ו- 2 המופיעות בשרטוט.

חישוב זוויות במעגל

פתרון 

  1. זווית 1 שווה 30 מעלות – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.
  2. הזווית החסרה במשולש הימיני שווה 100 – משלימה ל- 180 מעלות את זוויות המשולש.
  3. זווית 2 = 100 מעלות – זווית קודקודית לזווית השווה 100 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 3
נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

טרפז חסום במעגל

פתרון

הוכחה כי טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

  1. מעבירים אלכסון BD.
  2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. CD=AB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

על מנת לפתור את תרגילים 4,5,6 עליכם להכיר את המשפטים:
"גודלה של זווית היקפית הנשענת על קוטר הוא 90 מעלות"
והמשפט ההפוך " אם גודל של זווית היקפית הנשענות

תרגיל 4
האם המיתר AB הוא קוטר במעגל?

חישוב זוויות מעגל

פתרון

  1. זווית היקפית C שווה ל: 180-48-41=91 מעלות – משלימה ל180 מעלות במשולש ABC.
  2. AB הוא לא קוטר – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות והזווית הנשענת על מיתר AB לא שווה ל- 90 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 5
המיתר BD הוא קוטר במעגל.
מצאו את זוויות 1 ו-2 בשרטוט.

חישוב זוויות במעגל

פתרון

  1. זווית C שווה 90 מעלות – זווית היקפית הנשענת על קוטר BD שווה ל- 90 מעלות.
  2. זווית 1 שווה ל- 65 מעלות 180-90-25=65 – סכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות.
  3. זווית 2 שווה ל- 25 מעלות (לזווית D ) – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.

פתרון וידאו

59 מחשבות על “זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. שלום קודם כל תודה לכם על האתר הברור .. ואם אפשר להסביר איך ניתן למצא זווית במשולש שכל זוויותיו חדות וחסום במעגל?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה מאוד תלוי במידע שיש.
      אם זה טריגונומטריה והמשולש הוא לא ישר זווית אז בעזרת משפט הסינוסים או משפט הקוסינוסים.

  2. היי, איך מראים שזווית היקפית במעגל שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת כשאין זווית מרכזית בשרטוט?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אומרים שהזווית ההיקפית שווה למחצית מהמרכזית ששווה לקשת עליה היא נשענת.
      ניתן להשתמש במשפטים גם אם הזווית המרכזית לא משורטטת

  3. שלום
    האם יכולות להיות קיימות זוויות מרכזיות או היקפיות מחוץ למעגל?
    לדוגמה אם יש שתי זוויות מחוץ למעגל והן נשענות על אותו מיתר הנמצא בתוך המעגל
    תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא.
      זווית היקפית מוגדרת ככזו שקודקודה על המעגל ומרכזית שקודקודה במרכז המעגל.
      מיקומים אחרים של הקודקוד לא יתנו את הזוויות הללו.

  4. היי, האם ניתן להוכיח מרכז מעגל באמצעות המשפט הזה?
    כלומר אם נתון זווית היקפית a וזווית פנימית 2a והן נשענות על אותה אפשר להוכיח שהזווית הפנימית זווית מרכזית באמצעות משהו בסגנון "במעגל, אם זווית פנימית גדולה פי שתיים מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת אז היא זווית מרכזית"?
    תודה!

  5. אם שני מעגלים שונים, חולקים מיתר, ועל מיתר זה נשענת זווית היקפית מכל מעגל. נתון כי זוויות אלה שוות. ניתסן להסיק כי הרדיוסים בשני המעגלים שווים?

  6. שלום,
    אשמח לדעת האם יש דף המסביר כיצד מגלים את הזוויות במעגל? לדוגמה אם יש לי למצוא את זווית a ו b.. עם משפטי המעגל הנפוצים..
    תודה רבה

  7. הי,
    קודם כל, תודה ענקית ענקית! אתם פשוט אלופים:)
    שאלה: אם גודל קשת במעגל שווה לגודל הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, וזווית היקפית שווה לחצי מהזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, האם אני יכולה לומר שזווית היקפית שווה לחצי מהקשת שלה בכל מקרה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן לכתוב זאת אבל את צריכה לכתוב את כל שרשרת הנימוקים שרשמת כאן על מנת שזה יתקבל (אלא אם כן מי שכותב לך את המבחנים אומר שאין צורך).

  8. היי, במידה ויש שתי זוייות הקפיות שנעשנות על אותה המיתר מהצד השני האם הן שוות?
    מכייון שהקשתות שלהם לא שוות בכלל.
    תודה מראש (:

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר הן מהצד השני הן משלימות ל 180 מעלות על פי המשפט – במרובע החסום במעגל זווית נגדיות משלימות ל 180 מעלות

  9. שלום,בתרגילים 2,5 כתוב בפתרונות משפט שלא הבנתי ״זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן״. איך יודעים שהקשתות שוות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש קשר משולש זוויות היקפיות – קשתות – מיתרים.
      בדרך כלל יודעים שהקשתות שוות כי המיתרים הנשענים על הקשתות הללו שווים.

        1. לומדים מתמטיקה

          אם הקשתות נשענות על אותו מיתר ומאותו צד אז זו קשת אחת.
          אין שתי קשתות הנשענות על אותו מיתר מאותו צד.
          כל מה שנכתב נכתב לגבי אותו צד של המיתר.

  10. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום,
    אם יש לי לדוגמה זווית היקפית ששווה ל – a והיא נשענת על מיתר באורך 9 ס"מ, אז זווית היקפית הגדולה ממנה פי שתיים (2a) ונשענת על מיתר תישען על מיתר באורך 18 ס"מ?
    תודה מראש (:

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה לא נכון לגבי מיתרים אבל זה כן נכון לגבי קשתות. אם זווית היקפית נשענת על קשת הגדולה פי 2 מקשת שעליה נשענת זווית היקפית אחרת אז הזווית הראשונה תהיה גדולה פי שתיים מהשניה.

  11. היי דבר ראשון האתר הזה פשוט הכי טוב לממ שמצאתי בחיי, דבר שני יש פה מקום של רשימת משפטים במעגל ל 4 יחל מסודרת? ולא בסירטונים?
    אני צכה גם את הבסיסיים יותר ואת המורכבים.
    תודה על הכל שוב

  12. היי, דבר ראשון האתר שלכם מצוין! דבר שני רציתי לשאול אם אפשר לומר שזוויות היקפיות שנשענות על צלעות שוות מחוץ למעגל שוות זו לזו?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא ניתן וזה לא נכון.
      המשפט מתייחס רק למיתרים הנמצאים בתוך המעגל.

  13. היי קודם כל תודה רבה!!
    ושאלה אפשר לומר שזוויות היקפיות הנשענות על אותו קשת הן שוות?

  14. יוהוווווווווווווווווווו פעם אחת אני חייבת להודות לכם. כבר תקופה ארוכה שלא הייתי בשיעורים באלגברה וגאומטריה כעת לפני המבחנים שטרום הבגריות נלחצתי מאוד והנה בזכות האתר האלוף שלכם אני עוברת כבר מבחן שלישי בלי לימוד פרטני.תודה אתם אלופים!

  15. שלום,
    במידה ונתונות שתי זוויות היקפיות במעגל, a ו2a. האם ניתן להגיד שהמיתר עליו נשענת הזווית הראשונה
    קטן פי שתיים מהמיתר עליו נשענת הזווית השנייה?

  16. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    האם ניתן להגיד שהמיתר שמול הזווית ההקיפית שווה לזווית ההקיפית? או שרק הקשת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      רק הקשת שווה לזווית המרכזית הנשענת עליה (לא הזווית ההיקפית).
      לגבי המיתר לא ניתן להגיד זאת.

  17. האם כשרואים שהמשלוש חסום במעגל ולכן כתוב מותר להשתמש במשפטים או שצריך שיכתבו את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      יש רשימה של משפטים שמותרים לשימוש ללא הוכחה, חלקם מופיעים בדף זה.
      ובכל שאלה שאת רוצה את יכולה להשתמש בהם ללא הוכחה.

  18. היי
    בנוגע למשפט "שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו"- האם מותר לומר פשוט "מול קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות"? או שממש חובה לצטט במדויק את המשפט המקורי?

    1. לומדים מתמטיקה

      אני לא נציג של משרד החינוך לכן לא אענה על דקויות כאלו אם את שואלת לגבי האם מותר או אסור בבחינת הבגרות.
      לדעתי מותר, אבל כאמור אני לא מוסמך לענות על זה.