מיתר במעגל משפטים ותרגילים

הסרטון הראשון מסביר את 6 המשפטים בצורה "רגילה".
הסרטון השני מנסה להסביר את המשפטים וההיגיון שלהם. במטרה שיהיה קל יותר לזכור את המשפטים.

בדף זה:

  1. 6 המשפטים המאושרים לשימוש ללא הוכחה.
  2. שרטוט של המשפטים.
  3. תרגילים.

1.משפטי מיתר במעגל

המשפטים הם בשני נושאים:

  1. גודלם של מיתרים – מתי הם שווים או גדולים אחד מהשני.
  2. אנך או תיכון ממרכז המעגל למיתר.

מתי מיתרים שווים?

  1.  במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.
  2. מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
  3. מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

בקצרה: כאשר הקשתות המתאימות להם או המרחקים שלהם ממרכז המעגל שווים. ולהפך אם המיתרים שווים אז המרחקים ממרכז המעגל שווים והקשתות שוות.

מתי מיתר ארוך או קצר ממיתר אחר?

  1.  במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

אנך או תיכון ממרכז המעגל למיתר

  1. האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
  2. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

בקצרה: אם מעבירים אנך ממרכז המעגל הוא גם תיכון. אם מעבירים תיכון ממרכז המעגל הוא גם אנך.

יש עוד משפט בנושא מיתרים ששיך גם לנושא זוויות ומשיקים במעגל:
זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

2.שרטוט המשפטים

הקשר בין גודלו של מיתר לקשת עליה הוא נשען

63 במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו
63 במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו

3 משפטים על הקשר שבין גודלו של מיתר ומרחקו ממרכז המעגל

64.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. 65.מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.
64.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
65.מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.
66.במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.
66.במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

2 משפטים על כך שאנך למיתר חוצה אותו ואת הקשת שמאחוריו (ולהפך)

67.האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר. 68.קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
67.האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
68.קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

3.תרגילים

תרגיל 1
נתון מיתר AB שמאונך אליו רדיוס OC.
הוכיחו המרובע ACBO הוא דלתון.
(תזכורת: דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים).

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OA=OB – רדיוסים.
  2. AD=DB – ישר היוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה את המיתר.
  3. AOC=∠BOC∠ – במשולש שווה שוקיים תיכון הוא גם חוצה זווית.
  4. AC=CB – זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
  5. המרובע ACBO הוא דלתון. (נובע מ: 1 ו- 4).

פתרון וידאו

תרגיל 2
AB הוא קוטר במעגל המאונך למיתר CD.  הקוטר והמיתר נפגשים בנקודה E.
אם גודל הקשת CD הוא 100 מעלות. מה גודל הקשת CB?
הוכיחו כי משולש ACD הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל

פתרון כתוב

  1. גודל הקשת CB הוא 50 מעלות בגלל שאנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הקשת עליה נשען המיתר.

סעיף ב.
ניתן לפתור בשתי דרכים.

דרך 1

  1. OE חוצה את המיתר CD לשניים. כי ישר היוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה אותו לשניים.
    כלומר: CE = ED.
  2. במשולש ACD הישר AE הוא תיכון וגובה לצלע CD.
  3. משולש ACD הוא משולש שווה שוקיים כי אם במשולש התיכון הוא גם גובה אז המשולש שווה שוקיים.

דרך שנייה (אם כבר למדתם משפטים על זוויות במעגל):

  1. BAD = ∠BAC∠   על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות.
  2. AE הוא חוצה זווית וגובה במשולש ACD.
  3. ACD הוא משולש שווה שוקיים  – אם במשולש חוצה זווית הוא גם גובה אז המשולש שווה שוקיים.

פתרון וידאו

תרגיל 3
טרפז חסום במעגל.
ממרכז המעגל O מעבירים שני אנכים לשוקי הטרפז (OE, OF)
הוכיחו:
1. הישר EF הוא קטע אמצעים בטרפז.
2. האם OE = OF? אם כן נמקו, אם לא חשבו על תנאי הקשור לטרפז שיהפוך את הישרים לשווים.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OE,OF הם אנכים למיתרים במעגל. נשתמש במשפט:
    "אנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר".
  2. לכן: AE = ED וגם BF = FC.
  3. EF הוא קטע אמצעים בטרפז על פי המשפט " ישר היוצא מאמצע שוק בטרפז ומגיע אל אמצע השוק השנייה הוא קטע אמצעים בטרפז".

חלק שני
יש משפט האומר "מיתרים שווים בגודלם נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל".
לכן אם AD = BC אז OE = OF.
לכן התנאי שצריך להוסיף לטרפז הוא שהוא יהיה שווה שוקיים.

אם כבר למדתם על זוויות היקפיות תוכלו להוכיח שהטרפז הוא שווה שוקיים.
בדרך הזאת.

  1. נעביר את האלכסון AC.
  2. DCA = ∠CAB∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AD = BC על פי המשפט "זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים".
שתי הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות ולכן BC = AD
שתי הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות ולכן BC = AD

עוד באתר:

  1. משפטים בגיאומטריה – רשימת המשפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה.
  2. גיאומטריה – הדף המרכזי בנושא.
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים לדפים רבים.
  4. זוויות במעגל – הסבר וטיפים לזכירת המשפטים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “מיתר במעגל משפטים ותרגילים”

  1. היי אני מחפש דרך להוכיח שכל נקודה על מיתר במעגל שאינה הקצוות של המיתר, אינה נמצאת על הקשת של המעגל.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם זו גיאומטריה אנליטית אז תציב את ערכי הנקודה במשוואת המעגל.
      אם זו גיאומטריה אז מיתר מוגדר כקו שהקצוות שלו נמצעות על קשת המעגל. ואם הנקודה לא על הקצוות היא לא על הקשת.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      גודל קשת זה לא דבר שמופיע הרבה, אבל גודל הקשת נמדד במעלות.
      גודל הקשת שווה לגודל הזווית המרכזית הנשענת על הקשת.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.