טריגונומטריה 581 5 יחידות

בדף זה טיפים בטריגונומטריה עבור תלמידי 5 יחידות.
הדף מתחיל ב 6 "טיפים קטנים" – אלו טיפים שתלמידים לפני בגרות אמורים להכיר כבר.
וממשיך אל עוד "6 טיפים" ואלו כבר טיפים מורכבים יותר.

לאחר הטיפים יש פתרונות של בגרויות.

טיפים קטנים

אלו הם טיפים שתלמידים ב 5 יחידות לקראת בגרות צריכים לקרוא ולהגיד "נו זה, באמת הצחקת אותנו". אבל אני כותב אותם בכול מקרה.

1. הפתרון של הסעיף הקודם חשוב מאוד

אתם כבר אמורים לדעת שב 80-90% מהסעיפים הפתרון של הסעיף הקודם הכרחי על מנת לפתור את הסעיף הנוכחי.
מה שאומר:

  1. תמיד עליכם לשאול את עצמיכם "כיצד הנתון בסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הנוכחי"?
  2. להוסיף את הפתרון של הסעיף הקודם לשרטוט.
  3. להסתכל על המשולש אליו שייך הנתון מהסעיף הקודם ולשאול "האם במשולש זה יש משהוא שיכול לעזור לי"?

2.לרשום את כל הנתונים ולא רק להעתיק מה שכתוב

כשאנו קוראים שאלה נותנים לנו נתונים.
אם נעתיק את הנתונים הללו לשרטוט זה לא מספיק טוב.
אנו צריכים גם לרשום את הנתונים הנובעים מהנתונים הללו אל השרטוט.

נדיר ששאלות בגרות ברמת 5 יחידות נפתרות באופן ישיר. רוב שאלות הבגרות נפתרות על ידי נתון עקיף.

דוגמה
במרובע ABCD צלע AD מקבילה ושווה לצלע BC.
AB = 10
שרטטו את הנתונים.

פתרון
כאשר אתם קוראים את הנתונים הללו ישר צריך לקפוץ לכם שזו מקבילית ועליכם לרשום את הנתונים בהתאם.
כמו כן בסבירות גבוהה יותר שהפתרון שלכם יכלול את הנתון CD = 10 (שזה מה שהסקתם) מאשר הפתרון יכלול AB = 10 (שזה מה שכתוב בנתונים).

3.משולש שווה שוקיים שבו זווית אחת של 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות

ברור.
וזה לא משנה אם זווית הראש או זווית הבסיס גודלה 60 מעלות.

4.לזכור מגבלות הנובעות מכך שמשתנה הוא זווית במשולש

למשל אם a היא זווית במשולש אז:
cos a ≠ 1
ואם a היא זווית בסיס במשולש שווה שוקיים אז:

לעומת האי שוויון הזה שהוא אינו נכון:

או מכך שבמשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה במשולש.
למשל:
AB  משיק למעגל.
O מרכז המעגל.
הוכיחו כי:

מכוון שזווית B גודלה 90 מעלות.
a > r
הערה
כמובן ששאלה מסוג זה לא תינתן לכם כך ישירות.
מטרת הטיפ היא להגיד לכם שצריך להסתכל על יחסים בתוך המשולש על מנת לפתור אי שוויונות אלגבריים.

5.לזכור שבמשפט הסינוסים משתנים יכולים להצטמצם

וניתן למצוא גודל של זוויות מבלי לדעת גודל של צלעות.

למשל, פתרו את התרגיל הבא:
במשולש ABC מעבירים את BD כך ש:
AB = 3AD.
BAC = 50 (זווית)
חשבו את זווית ABD

פתרון
נגדיר את AD,AB בעזרת אותו משתנה
AD = x
AB = 3x
עכשיו נשתמש במשפט הסינוסים על מנת לפתור את השאלה.

כאשר נציב את גדלי הצלעות ניתן לראות ש x מצטמצם ואנו נשארים עם משוואה עם נעלם אחד.

sin a = 0.255
a = 14.79
(מכוון שזו הזוויות מול הצלע הקטנה יש למשוואה פתרון יחיד).

לסיכום:
במשולש ניתן למצוא גדלים של זוויות מבלי לדעת גודל מדויק של צלעות, מספיר לדעת את יחס הגדלים בין הצלעות.
הפוך זה לא עובד: לא ניתן לדעת גודל שלנ  צלעות על סמך ג.

6.כיצד מוצאים יחס בין גדלים

בחלק מהשאלות יבקשו ממכם למצוא יחס בין גדלים, למשל:

במקרה זה עליכם להגדיר את שתי הצלעות AB,CD באמצעות משתנה.
משתנה אשר אתם תגדירו או שהוא כבר קיים בנתונים של השאלה.
וכאשר תבצעו את פעולת היחס המשתנה הזה יצטמצם.

טיפים בטריגונומטריה

0.כאשר אתם לא מוצאים את הדרך לפתור

  1. חשבו האם הצלע / זווית שאתם מחפשים שייכים ליותר ממשולש אחד, ואם כן נסו למצוא את מה שאתם צריכים במשולש אחר.
  2. חשבו האם קשר בין מה שאתם מחפשים לגודל אחר. האם הצלע / זווית שאתם מחפשים שווה לגודל אחר, במידה וכן נסה לבדוק האם יש לכם דרך למצוא את הגודל האחר. החישובים ברמת בגרות הם הרבה פעמים עקיפים ולא ישירים.
  3. בחלק מהשאלות יש נקודה מיוחדות בשרטוט. ניסוח כמו "הנקודה F מונחת על המעגל כך שמרובע ABCF הוא מעוין".
    במקרה זה עליכם להבין שתכונות המעוין הכרחיות על מנת שתפתרו את הסעיף.

דוגמאות כתובות מהבגרות לכל הדברים הללו מהבגרות בסוף הדף או בסרטון המצורף.

1.מציאת רדיוס מעגל חוסם מרובע או חסום במרובע.

בחלק מהשאלות תתבקשו למצוא את רדיוס המעגל החוסם מרובע או רדיוס המעגל החסום במרובע.
אם באים לשאלות הללו בלי הכנה מוקדמת אלו שאלות קשות.

בקצרה עליכם לזכור:

  1. מרובע החסום במעגל יוצר משולשים החסומים גם הם בבדיוק אותו מעגל. את הרדיוס של המעגל החוסם את המשולשים הללו ניתן למצוא בקלות יחסית בעזרת משפט הסינוסים וכך למצוא את הרדיוס המבוקש.
  2. במרובע החוסם מעגל חוצאי הזווית של קוקודי המרובע נפגשים במרכז המעגל החוסם מרובע. אם תדעו להוכיח את המשפט הזה עשיתם הרבה מהדרך למציאת הרדיוס.

ובפירוט:

רדיוס מעגל חוסם מרובע

  1. מרובע החוסם מעגל יוצר משולשים חסומים במעגל
    ABC
    ACD
    BCD
    כל אלו משולשים החסומים במעגל.
  2. רדיוס המעגל החוסם את המשולשים הללו הוא בדיוק אותו רדיוס מעגל החוסם את המרובע.
  3. עבור משולשים חסומים במעגל יש לנו כלי טוב למציאת רדיוס המעגל החוסם והוא משפט הסינוסים.
    לכן מה שנעשה בשאלות הללו הוא לחשב את רדיוס המעגל החוסם את אחד המשולשים בעזרת משפט הסינוסים.
משפט הסינוסים

משפט הסינוסים

רדיוס מעגל חסום במעגל

חלק זה שימושי בעיקר לתלמידי 5 יחידות.

יש משפט שאתם צריכים לדעת להוכיח אותו והוא משפט העוזר בשאלות מהסוג הזה.
"מרכז המעגל החסום במרובע הוא נקודת מפגש חוצה הזווית של המרובע"
משפט זה דומה מאוד למשפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה:
"במעגל החסום במשולש מרכז המעגל נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית"

ההוכחה של המשפט נעשית בעזרת משפט אחר:
"ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים".
(וכמובן שנזכור שארבעת צלעות המרובע AB,BC,CD,DA הם משיקים למעגל).

לכן: OA, OB, OC, OD הם חוצה זווית.
ומכוון שהם חוצה זווית יהיה לנו לרוב מידע על זוויות באחד המשולשים.
באותו משולש נעביר רדיוס כמו OE אל נקודת ההשקה היוצר זווית של 90 מעלות.

ואז נוכל לחשב את הרדיוס באחד מהמשולשים OBE, OCE.

2.כיצד מוכיחים שנקודה נמצאת על ישר

יתכן ויבקשו ממכם להוכיח שנקודה הנמצאת על ישר אחד נמצאת גם על ישר שני.
יש שתי דרכים מרכזיות לעשות זאת:

1.להוכיח שכל הישר שעליו נמצאת הנקודה נמצא על ישר המבוקש – ולכן כל הנקודות שנמצאות על הישר הראשון נמצאות על הישר השני.

2.להוכיח כי הישר שעליו נמצא הנקודה מגיע לאותה נקודה שאליה מגיע ישר אחר. ודרך נקודה זו עובר ישר המאונך לשני הישרים.

הסבר ודוגמה
המרובע ABCD הוא דלתון.
הנקודה O היא נקודת מרכז המעגל החסום במשולש AD.
הוכיחו כי הנקודה O נמצאת על האלכסון AC.

פתרון

  1. מרכז המעגל החוסם במשולש נמצא בנקודת מפגש של חוצה הזווית של המשולש. לכן אם AE הוא חוצה זווית הנקודה O נמצאת על AE.
  2. האלכסון AC גם הוא חוצה את זווית A.
  3. מכוון שהאלכסון AC כולל את כל הנקודות עליהן נמצא הישר AE גם הנקודה O נמצאת על הישר האלכסון AC.

הוכחה בדרך השנייה

  1. כמו בהוכחה הקודמת נעביר את AE, חוצה זווית העובר דרך הנקודה O.
  2. נעביר גם את CE חוצה זווית C. גם חוצה זווית C מגיע אל הנקודה E משום ששני חוצאי הזווית CE, AE הם גם תיכונים במשולש שווה שוקיים ומגיעים לאמצע BD.
  3. DEC = DEA= 90 חוצי הזווית במשולש שווה שוקיים הם גם גבהים לבסיס.
  4. לכן זווית CEA היא 180 מעלות ו AC הוא ישר. מכוון שחלק מהישר כולל את הנקודה O אז הישר כולו כולל את הנקודה O.

3.אלכסוני המקביליות: אם חישבתם חלק אחד, כנראה שתצטרכו עוד חלק

אם ביקשו ממכם לחשב חלק מאורכו של אחת מהצורות הבאות: מקבילית, מלבן, מעוין ריבוע.
אז שימו לב שכנראה תצטרכו להשתמש בחישוב זה על מנת לחשב חלקים אחרים באלכסון.

מכוון שאלכסוני המקביליות חוצים זה את זה לחצי כותבי שאלות אוהבים להשתמש בפרופורציה זו ופרופורציות אחרות בתוך המקביליות.

כלומר אם חישבתם את ED בתחילת התרגיל כנראה שתצרכו להיעזר בחישוב זה בהמשך התרגיל על מנת למצוא את EO או EB.

 

4.סעיפים מעניינים

4 א.שימו לב לנקודה המיוחדת

טיפ זה רלוונטי במיוחד לפתרון סעיפי א בתרגילים.

בהרבה מהתרגילים יש נקודה "מיוחדת".
זו נקודה המונחת על המשולש / מרובע / מעגל בצורה מיוחדת. כך שהיא יוצרת צורה / תכונה.
אותה צורה או תכונה הם מפתח שאתם לא יכולים בלעדיו על מנת לפתור את השאלה.

אתם צריכים לשים לב במיוחד לתכונות שנקודה מיוחדת זו יוצרת.
כנראה שלא תצליחו לפתור את השאלה מבלי לשים לב לתכונה זו.

אתן דוגמה מהבגרות
דוגמה
בחורף 2019 נתנו את השרטוט הזה שכולל את התכונות הבאות:
BAC = α
ABC = β
הנקודה F נמצאת על המעגל כך שמרובע ADFE הוא מעוין.
הביעו באמצעות α,β את זווית ABF.

פתרון
עלינו לחשוב כיצד זה שהנקודה F יוצרת מעוין עוזרת לנו לפתור את התרגיל.
נשים לב לדברים הבאים:

  1. למעשה עלינו למצוא את הזווית CAF.
  2. אם נעביר את אלכסון המעוין CF  נקבל זווית היקפית FAC השווה לזווית CAF.
  3. ABF = β + 0.5α

4 ב.כאשר מבקשים משהוא ישירות: החישוב הוא לרוב עקיף

קיץ 2019
בשאלה זו היה צריך לחשב את הזווית ACF (מסומנת באדום).
כאשר ידוע כי:
ABCD מעוין
AM = 2r
MO = r
(r הוא רדיוס המעגל החסום במשולש ABD).

במשולש ACF לא ניתן לחשב את הזווית.
מה שצריך לעשות הוא להעביר רדיוס MK ולחשב את הזווית במשולש ישר זווית MCK.

4 ג. חישוב עקיף נוסף

קיץ 2016 מועד א

ABC משולש שווה שוקיים.
BC = 2K
AE גובה.
BT תיכון.
הזוויות α, β הן הזוויות המסומנות.
הביעו את TC באמצעות β,K.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

פתרון


עבור חלק מאיתנו הנטייה הראשונית תהיה להסתכל על המשולש שבו צלע TC קיימת, משולש BTC ולנסות להוציא ממנו את α.
במקום זה עלינו לשים לב שכאשר אנו עושים זאת אנו לא מתייחסים לכך ש AC הוא תיכון.
ומכוון שכך ניתן לחשב את AC במשולש AEC.

 

4 ד. כתיבה נכונה של נתונים

בגרות קיץ 2015.
נתון טרפז ABCD
הנקודה E נמצאת על המשך AD כך ש BD || CE.
נתון:
CAD = 2DBC
DB = 1.8AC
חשבו את זווית CEA.

פתרון


המטרה היא לבנות משוואה הכוללת את x ולמצוא אותו.
אם נרשום נכון את הנתונים יהיה לנו יותר קל.

עכשיו אנו יכולים למצוא את a על פי משפט הסינוסים במשולש ACE.

x*sin2a = 1.8x*sIn a
2sina cos a = 1.8sin a
cos a = 0.9
a = 25.841

5. למדו לבנות משוואות

בשאלות בטריגונומטריה בבגרות נתקלתי מספר פעמים בסעיף המבקש, הוכיחו:
sin (a+β) = 4 sin a cos β
אציע לכם כאן שתי דרכים להתמודד עם שאלות מסוג זה:

דרך ראשונה: לחפש איבר מיוחד במשוואה.

למשל כאשר מבקשים להוכיח משהוא כמו sin (a+β) = 4 sin a cos β  האיבר הבולט הוא (sin (a+β ועלינו לחפש בשרטוט דרך להכניס את האיבר למשוואה.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

בשרטוט אנו יכולים לראות שהדרך הקלה להכניס את האיבר היא להשתמש במשפט הסינוסים במשולש CBT.
משום ש (sin (a+β) = sin (180-a-β.

דרך שנייה: צרו שתי משוואות שצד אחד של המשוואה קיים בשתיהן

בדרך זו השתמשתי מספר פעמים בשאלות בגיאומטריה ויתכן שבעתיד תדרשו לה גם בשאלות בטריגונומטריה.

בשאלות בסגנון של הוכיחו: AC*AD=FG*CD עליכם למצוא זוג צלעות שניתן ליצור לו משוואה עם צד ימין של המשוואה (FG*CD) ועם צד שמאל (AC*AD).
למשל:
AC*AD=TR * DF
TR * DF=FG*CD
ולכן: AC*AD=FG*CD
דוגמה מתוך שאלה בבגרות: חורף 2017 שאלה 4 סעיף ג

בגרות חורף 2017 גיאומטריה 581

צריך להוכיח כי R* BD = r * CE.
(R הוא רדיוס המעגל הגדול ו r הוא רדיוס המעגל הקטן).
ידוע כי: O1D ΙΙ O2E
וגם BD ΙΙ CE

פתרון

  1. r/ R = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש AEO2).(זו ההגדרה הראשונה).
  2. BD / CE = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש ΔACE). (זו ההגדרה השנייה).
  3. r/ R = BD / CE (זה השוויון שנוצר משתי ההגדרות).
    r*CE = R * BDD – מש"ל.

עוד באתר:

פתרון תרגילים בטריגונומטריה מהבגרות

התרגילים לקוחים משאלון 581. השאלה בטריגונומטריה היא שאלה מספר 5.
את השאלה והשאלון ניתן למצוא באינטרנט.

הפתרונות הם פתרונות שנועדו להסביר את דרך הפתרון ולא פתרון כפי שצריך לכתוב אותו בבגרות.

קיץ 2019 מועד א

סעיף א
יש שתי דרכים לפתור את הסעיף
דרך ראשונה

  1. להוכיח שמשולש ABD הוא שווה צלעות. (כי הוא משולש שווה שוקיים שאחת מזוויותיו 60 מעלות).
  2. המשפט אומר "מרכז המעגל החוסם במשולש הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית"
  3. במשולש שווה צלעות ABD חוצי הזווית הם גם גובה ותיכון. כלומר הנקודה M היא נקודת מפגש התיכונים.
  4. נעביר את התיכון / גובה AE העובר דרך הנקודה M.
  5. במשולש ישר זווית AED אנו יודעים את ED= 0.5a  ,  AD =a ולכן ניתן למצוא את AE והרדיוס המבוקש הוא 0.33AE.

דרך שנייה

  1. נוכיח כי משולש ABD הוא שווה צלעות וכל זוויותיו גודלן 60 מעלות.
  2. נעביר את שני חוצי הזווית AM, DM.
  3. מכוון ש:   MAD = MDA = 30  משולש MDA הוא שווה שוקיים MD = MA
  4. נעביר את הרדיוס MN המאונך למשיק AD בנקודת ההשקה.
  5. גובה זה הוא תיכון – כי במשולש שווה שוקיים AMD הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
  6. עכשיו ניתן לבצע חישוב במשולש AMN

סעיף ב
 נוכיח שהישרים AM ו AC מתלכדים
אם הישרים הללו מתלכדים אז M חייבת להיות על AC.

  1. AM הוא חוצה זווית A.
  2. AC הוא גם חוצה זוויות A, כי האלכסונים במעוין הם חוצי זווית
  3. הישרים AM, AC מתלכדים ולכן הנקודה M נמצאת על AC.

סעיף ב חלק שני
במשולש ACF  לא ניתן לחשב את הזווית.
אבל ניתן לחשב את הזווית במשולש ישר זווית MCK.

  1. AM = 2r במשולש זהב ANM ניתן למצוא את זה.
  2. AO = 3r  נקודת מפגש האלכסונים M מחלקת את AO ביחס 2:1.
  3. OC = 3r אלכוסני המעוין חוצים זה את זה.
  4. MC= 4r ,  MK = r

sin MCK = r / 4r =0.25
MCK = 14.4775

סעיף ג
ניתן למצוא את CF בעזרת משפט הסינוסים במשולש FAC.
ולאחר מיכן לחשב את שטח המשולש על פי שתי צלעות והזווית בניהם.
נקבל:
S = 0.268a²

קיץ 2019 מועד ב

סעיף א
נגדיר
AD =x
ובאמצעות x נגדיר את R1, R2.

הגדרת R1
המעגל החוסם את מרובע ABCD חוסם גם את משולש ADC משום ששלושת קודקודי המשולש נמצאים על היקף המעגל.

על פי משפט הסינוסים במשולש ADC:

נשתמש בזהות:
sin (90 -a) = cos a
R1 = x / 2cos a

הגדרת R2
במשולש ADE על פי משפט הסינוסים:

(R2 = x / 2sin (a + ß

נבצע את פעולת החילוק ונקבל:

סעיף ב
נציב בנוסחה שלמעלה a= ß.

הערך הגדול של פונקציית הסינוס הוא 1 והוא מתקבל כאשר a = 90.
אבל מכוון ש a,ß הן שתי זוויות במשולש ADE סכומן צריך להיות קטן מ 180 מעלות ולכן כל אחת מיהן קטנה מ 90.
ולכן ערך הסינוס שלהן קטן מ 1.
לכן הביטוי שקיבלנו חייב להיות קטן מ 1/2.

סעיף ג 1
זו הוכחה פשוטה בעזרת השלמת זוויות מגלים שלמשולש שתי זוויות שגודלן 75 מעלות ולכן המשולש שווה שוקיים.

סעיף ג 2
המטרה שלנו היא למצוא צלעות במשולש BCE.
נשים לב למה שמצאנו בסעיף הקודם:
CE = CD
לכן אם נגדיר את שתי צלעות המלבן בעזרת R1 נוכל לענות על השאלה

  1. המעגל החוסם את מרובע ABCD חוסם גם את משולש ADC.
  2. זווית D גודלה 90 מעלות ולכן AC הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש והמרובע.
  3. AC = 2R1
  4. כמו כן אנו יודעים את זוויות משולש ADC.

מכך נקבל:
AD = R1
CE = CD = √3 R1

עכשיו במשולש EBC אנו יודעים שתי צלעות והזוויות שבניהן וניתן למצוא את BE באמצעות משפט הקוסינוסים.
בסופו של דבר נמצא כי:
BE² = (4 – √3) R1²

חורף 2019

סעיף א
קו המחשבה לפתרון הסעיף: הנקודה F ממוקמת כך שהיא יוצרת מעוין. כיצד תכונות המעוין עוזרים לנו לפתור את השאלה?

נשים לב כי
ABF = β + ∠CBF
נחפש זווית היקפית השווה ל CBF.
זו תהיה הזווית CAF כי זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות זו לזו
CAF = 0.5α כי אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.

ABF = β + 0.5α∠

סעיף א חלק שני
על פי משפט הסינוסים במשולש AFB
AF / sin (∠ABF) = 2R
(AF = 2R * sin (∠ABF) = 2Rsin (β + 0.5α
(AF =  2Rsin (β + 0.5α

סעיף ב
במשולש AFB
DAF = 0.5a∠ אלכסון המעוין הוא חוצה זווית.

הגדרת הזוויות במשולש ADF
AFD = 0.5a∠ זה משולש שווה שוקיים (כי צלעות המעוין שוות זו לזו). ולכן זוויות הבסיס במשולש שוות.
ADF = a∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש.

על פי משפט הסינוסים במשולש ADF

נשתמש בזהות:
sin (180 – a) = sin a
ונקבל:

סעיף ג
נוכיח כי האלכסון DE חוצה את המעוין לשני משולשים חופפים ולכן המשולשים הללו שווה שטח.
לכן שטח המעוין הוא פעמיים השטח של אחד מהמשולשים.

הוכחת החפיפה:
AD = FD,  AE = EF צלעות המעוין שוות זו לזו.
DE צלע משותפת.
DAE ≅ DFE על פי צ.צ.צ. ולכן אלו משולשים שווה שטח.
לכן נחשב את השטח של אחד המשולשים ונכפיל פי 2. כך נקבל את השטח של המעוין כולו.

כמו כן:
ABF = β + 0.5α = 90∠ זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.
לכן:

שטח מעוין DAEF הוא כפול משטח משולש DAE.
לכן שטח המעוין הוא:

מכוון שהתשובה צריכה להינתן עם של של 0.5a נשנה את הזווית במונה ל 0.5a על ידי הזהות:
sin a = 2sin 0.5a cos 0.5a

סעיף ד
הסבר לדרך הפתרון
בשאלה זו ביקשו מאיתנו למצוא את β אבל אין משוואה פשוטה שניתן לבנות עם זווית β.
לכן נבנה משוואה הכוללת את a ואז נשתמש בנתון:
β + 0.5α = 90

במעגל החסום במעוין נקודת מרכז המעגל נמצאת בנקודת המפגש של חוצה הזוויות.

שרטוט התרגיל

נעביר את רדיוס אל נקודת ההשקה של המעוין (הרדיוס OP).
משולש OPA הוא משולש ישר זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
בנוסף אנו יודעים:

  1. OP = 0.6R (נתון)
  2. AO = 0.5AF = 0.5*2R = R אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  3. OAP = 0.5a אלכסוני המעוין חוצים את הזווית.

לכן:
sin 0.5a = 0.6R/R = 0.6
0.5a = 36.87
a = 73.74

נציב במשוואה:
β + 0.5α = 90
β + 36.87 = 90
β = 53.13

קיץ 2018 מועד א

נשרטט את התרגיל

סעיף א
נגדיר:
C = a∠
לכן:
A = 90 -a∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש ABC.

נבנה עכשיו שתי משוואות עם שני נעלמים.
במשולש BMC על פי משפט הסינוסים

במשולש BMA על פי משפט הסינוסים

משתי המשוואות שהגענו אליהן נבנה משוואה אחת עם משתנה אחד.

a = 36.86
C = 36.86,   ∠A = 53.13∠

סעיף א חלק שני
על פי משפט הסינוסים במשולש BMA
2R = 8 : sin 53.13 = 10
R = 5

על פי משפט הסינוסים במשולש BMC
2R = 8 : sin 36.86 = 13.33
R = 6.66

סעיף ב

O2M = O2B = 6.66
O1M = O1B = 5
(השוויונות נובעים מכך שהצלעות הללו הן רדיוסים במעגל).
המרובע O1BO2D הוא דלתון כי מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים הוא דלתון.

סעיף ב חלק שני
אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
נניח כי נקודת מפגש האלכסונים היא P.
BP = MP =4 כי האלכסון הראשי בדלתון (O1O2) חוצה ומאונך לאלכסון המשני (BM).

נשתמש במשפט פיתגורס בשני המשולשים:
O1 P² = 5² – 4² = 9
O1 P = 3

O2P² = 6.66² – 4² = 28.3556
O2P = 5.32

O1O2 = 3+ 5.32 = 8.32
תשובה: אורך הקטע הוא 8.32.

קיץ 2018 מועד ב

שרטוט התרגיל

חלק ראשון הגדרת זוויות

  1. C = ∠B = 2β∠
  2. AEB =∠C = 2β∠ זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.
  3. BDC =∠ADE=180 – 3β∠  על סכום זוויות במשולש BDC וזוויות קודקודיות.
  4. ADB = 3β זוויות צמודות משלימות ל 180 מעלות.
  5. EAD = β על פי סכום זוויות במשולש EAD.

סיכום נושא הזוויות בשרטוט

חלק שני הגדרת צלעות.
נגדיר מספר צלעות באמצעות הצלע AB וכך נחשב את השטחים.
מי שרוצה יכול להגדיר AB = x וכך לבנות משוואות.

שטח משולש ABC הוא:
0.5AB*AB * sin (180 – 4β) = 0.5AB² * sin 4β

במשולש ADB על פי משפט הסינוסים

AE = AB*sin β / sin 2β

במשולש ADB על פי משפט הסינוסים

AD = AB sin β / sin 3β

היחס בין שטחי המשולשים הוא:

סעיף ב
BE = R נתון
במשולש ABE על פי משפט הסינוסים

BE = 2R * sin 3β
2R * sin 3β = R
sin 3β = 0.5
3β = 30
או 3β = 150
β = 10
או
β = 50
מכוון שגודל שתי זוויות הבסיס במשולש ABC הוא 4β התשובה השנייה נפסלת.
β = 10

נציב בנוסחה שקיבלנו בסעיף א ונמצא את היחס.

סעיף ג
הרעיון של הפתרון הוא שניתן לבטא את CP באמצעות a.
ואז במשולש CPO נבטא את OP שהוא הרדיוס באמצעות a.

O היא מרכז המעגל החסום במשולש ונקודת המפגש של חוצה הזווית.
OC, OB חוצה זווית.
OP רדיוס המעגל החסום המאונך למשיק BC.

משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים BO = CO – משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא משולש שווה שוקיים.
BP = CP במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
CP = 0.5BC (משוואה 1).

במשולש BAC על פי משפט הקוסינוסים:
BC² = a² + a² – 2a²*cos 140 = 2a² + 1.53a² = 3.53a²
BC = 1.878a
נשתמש במשוואה 1 ונקבל:
CP = 0.5 * 1.878a = 0.939a

במשולש OCP
tg 10 = r / 0.939a
r = tg 10 * 0.939a = 0.1655a

חורף 2018

סעיף א
נזכור שמקבילית אם יודעים זווית אחת יודעים את כל הזוויות.
במשולש ישר זווית OAG קל לנו לחשב את הזווית OAG.
sin OAG = OG / OA = 0.6
OAG = 36.87

על מנת למצוא את הזווית החסרה, זווית OAB ניצור את משולש ישר הזווית OAF על ידי העברת רדיוס אל נקודת ההשקה.
sin OAF = OF / OA = 0.3
OAF = 17.45

דרך נוספת למציאת הזווית החסרה (ללא בניית עזר) מכוון שמרכז המעגל הנחסם במשולש הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית הישר AO חוצה את זווית BAC.
במשולש OEA נחשב את זווית OAE.
sin OAE = OE / OA

A = C = 36.87 + 17.45 = 54.32
B = D = 180 – 54.32 = 125.67

סעיף ב

חישוב מקדים
CAD = OAD – CAD = 36.87 – 17.45 = 19.42
BCA = CAD = 19.42  זוויות מתחלפות שוות בין מקבילים.
CO הוא חוצה זווית BCA כי ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים אל מרכז המעגל הוא חוצה זווית.
ECO = 0.5 BCA = 9.71

חישוב האלכסון
נחשב את CE במשולש ישר זווית OCE.
tg 9.71 = OE / EC
EC = 3 / tg 9.71 = 17.532

נחשב את AE במשולש OEA על פי משפט פיתגורס
AE² = 10² – 3² = 91
AE = 9.539

AC = 17.532 + 9.539 = 27.07

סעיף ג
מכוון ש: ABC ≅ CDA שטח המקבילית שווה לפעמיים שטח אחד מהמשולשים הללו.
במשולש CDA אנו יודעים את כל הזוויות ואת הצלע AC.
בעזרת משפט הסינוסים ניתן למצוא צלע נוספת ואז לחשב את שטח משולש ACD.
SABCD = 171 (בערך, על פי העיגולים שעשיתם בדרך).

קיץ 2017 מועד א

סעיף א
הפתרון מבוסס על כך ש:
COD = BOE זוויות קודקודיות.
CO = 2OE
BO = OD

פתרון מפורט:

  1. נגדיר OD=X, OE=Y.
  2. BO = 2OD=2Y, CO = 2OD=2: תיכונים במשולש מחלקים זה את ביחס של  1:2.
  3. COD = ∠BOE∠   זוויות קודקודיות שוות.
  4. SBOE = OE * BO*sin ∠BOE
    SBOE  2XY sin∠BOE
  5. SCOD = CO*OD* sin ∠COD
    SCOD = 2XY sin ∠COD
  6. SBOE = SCOD: נובע מ 3,4.

סעיף ב
על מנת לפתור ננסה להגדיר את שטח משולש AOC בעזרת r והזווית המבוקשת בלבד.
r – רדיוס המעגל.
a = ∠ACE

  1. tan ACE = r / CD
    CD = r / tan ACE
    AC = 2CD = 2r / tan ACE
  2. OD⊥AC: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  3. SAOC = AC * OD:2 = 2r * r / 2tan ACE= r² / tan a
  4. שטח המעגל הוא: πr²
  5.  πr² = r² / tan a
    tan a = 1/π = 0.318
    a = 17.64

סעיף ג

  1. sin 17.64 = OD / OC
    OC = OD / SIN 17.64 = r / 0.303 = 3.3r
  2. OE = 0.5OC = 1.65r

קיץ 2017 מועד ב

סעיף א

  1. טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים (הוכחה כאן)
  2. בטרפז שווה שוקיים BEC ≅ AFD על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ.ז. (אפשר גם ז.צ.ז).
  3. BE = DF  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  4. a + BE + DF = b
    2DF = b – a
    (BE = DF = 0.5(b – a

עכשיו במשולש ישר זוויות BEC ניתן לקבוע:
BC = b – a (במשולש ישר זווית שבו זוויות של 30 מעלות גודל הצלע שמול הזווית שגודלה 30 מעלות הוא 1/2 מהיתר).

סעיף ב
נחשוב: איך הסעיף הקודם עוזר לנו?
בשוקי הטרפז יש את b לכן אם נמצא את אורך שוק הטרפז נמצא את b.

במשולש ABD אנו יודעים 2 צלעות ואת הזוויות A =120.
בעזרת משפט הקוסינוסים נוכל לפתור את התרגיל:
BD² = AB² + AD² – 2AB*AD*cos 120
AD = 8
b = AD + 4 = 12

סעיף ג 1
רדיוס המעגל החוסם את הטרפז הוא רדיוס המעגל החוסם את משולש ABD וניתן למצוא אותו בעזרת משפט הסינוסים.
R = 6.11

סעיף ג 2
המשפט אומר "ניתן לחסום מרובע במעגל אם סכום זוג צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום זוג הצלעות השני".
במרובע זה סכום כל שתי צלעות נגדיות שווה ל 16 לכן ניתן לחסום אותו.

סעיף ג 3
בשרטוט המצורף OD,OC הם חוצה זווית כי ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל הוא חוצה זווית.
OE הוא רדיוס אל נקודת ההשקה.
מכוון ש:
ODE = OCE = 30
משולש ODC הוא משולש שווה שוקיים והישר OE הוא גם תיכון.
CE= DE = 6

tg 30 = r / 6
r = 3.46

חורף 2017 שאלון 581 תרגיל 5

חורף 2017 טריגונומטריה שרטוט התרגיל

סעיף א
נחשב את שלושת הזוויות במשולש BCD.

  1. C = B = 180 – a
  2. ABD = 90 זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  3. BDA = 90 -a משלימה ל 180 מעלות במשולש BDA.
  4. CDB = 2a – 90 משלימה ל 180 מעלות במשולש CDB.

נחשב את BD:
sin a = BD / 2R
BD = 2R *sin a

על פי משפט הסינוסים במשולש BCD:

BC=2R cos 2α

סעיף ב
בסעיף א מצאנו:
CDB = 2a – 90
לכן a>45
וגם a<90 על מנת שסכום 2a יהיה קטן מ 180.

סעיף ג

  1. נוכיח דמיון משולשים ΔAED ∼ ΔCOD.
    D = ∠A=α∠ – זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
    OD=OC=R.
    OCD=α∠  – במשולש מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות.
    ΔAED ∼ ΔCOD – על פי משפט דמיון ז.ז.
  2. אם יחס השטחים בין המשולשים הוא 9 אז יחס הדמיון הוא 9√ =3.
    יחס הרדיוסים החוסמים הוא כיחס הדמיון לכן:
    r = R/3
    1:3 הוא היחס בין רדיוס משולש ΔCOD למשולש ΔAED.

קיץ 2016 שאלה 5 מועד א

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

סעיף א

  1. EC= 0.5BC=K – נתון.
  2. cos β = EC / AC
    AC = EC / cos β
  3. TC = 0.5AC = K / 2cos β

סעיף א חלק 2
נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC
sin (180-a-β) / 2k = sin a / TC
sin (180-a-β) * K / 2cos β = 2K sin a
sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב

נסתכל על משולש ΔETC ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC*ECcos β
לצערי בגלל מגבלות של כתיבה באתר איני יכול לכתוב את הפתרון המלא.
פתרון המשוואה נותן:
β = 66.42
את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β.

קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

טרפז חסום במעגל. גדלי הזוויות כמפורט בשרטוט.

שרטוט התרגיל קיץ 2016 טריגונומטריה 5 יחידות

סעיף א. DAB∠=?

  1. טרפז ABCD החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים (הוכחה כאן).
  2. COB = DOA זוויות מרכזיות הנשענות על מיתרים שווים שוות זו לזו.
  3. COB = 180 – 2a  סכום זוויות בעיגול הוא 360 מעלות.
  4. DAB = 90 – a  זווית היקפית שווה לחצי מהזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

סעיף ב. הבע את אורך שוק הטרפז באמצעות R ו a.

  1. במשולש ΔAOD על פי משפט הסינוסים:
    AD / sin 180-2a = R / sin a
    AD = R sin 180-2a / sina=rsin 2a / sina
    AD= R 2sin a cos a / sina
    AD = 2R cos a

סעיף ג. לבטא את AD באמצעות h.
נשרטט את הגובה:

שרטוט הגובה בטרפז

במשולש ΔAED:
sin 90-0.5a = h / AD
AD = h / sin 90-0.5a= h / cos 0.5a

סעיף ד.

שטח משולש ΔCOD שווה ל S=R² sin a / 2  – על פי נוסחת שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.
בעזרת סעיפים ב ו ג נבטא את R באמצעות h.
AD =  h / cos 0.5a = 2R cos a
R = h / 2cos a cos 0,5 a
נציב זאת בנוסחת שטח המשולש שמצאנו:
2* S=sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²
על פי הנתון מתקיים השוויון:
sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²*2 = h² / 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a cos² 0.5a = 1/ 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a  = 1/ 12
12sin a    = 8cos ² a
3sin a    = 2cos ² a
(3sin a = 2(1-sin ²a
2sin ²a +3sin a-2=0
sin a =-2 או sin a = 0.5
sin a =-2 – אינו אפשרי.
sin a =0.5
a=30, 150
האפשרות של a=150 נפסלת בגלל BOA=3a∠ וזווית במשולש לא יכולה להיות שווה 450 מעלות.
תשובה: a=30 מעלות.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.