לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

קטע אמצעים במשולש

44 תגובות / מתמטיקה כיתה ט

בדף זה:

  1. סרטון הסבר.
  2. נלמד את שלושת משפטי קטע האמצעים במשולש.
  3. אתן טיפים כיצד ניתן להוכיח קטע אמצעים במשולש.
  4. 14 תרגילים ברמות קושי שונות.

1.סרטון הסבר

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

3 המשפטים של קטע אמצעים במשולש

לקטע אמצעים יש 3 משפטי הוכחה ומשפט המתאר את תכונות קטע האמצעים.

משפטי הוכחה
שלושת המשפטים בעזרתם מוכיחים שישר הוא קטע אמצעים הם:

  1.  ישר במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע השנייה, חוצה את הצלע השלישית.
  3.  קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.

משפטי תכונות קטע אמצעים
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

במשפט התכונות ניתן להשתמש לאחר שהוכחנו שקטע הוא קטע אמצעים או אם נתון שישר הוא קטע אמצעים.

 

שרטוטי משפטי ההוכחה

שרטוט המשפט
ישר במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים במשולש.

קטע המחבר אמצעי צלעות במשולש (קטע אמצעים) מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
שרטוט של משפט קטע האמצעים

שרטוט המשפט
ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע השנייה, חוצה את הצלע השלישית.

קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית הוא קטע אמצעים (מגיע לאמצע הצלע השלישית).

שרטוט המשפט
קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.

קטע במשולש המקביל לצלע ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים (יוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע הצלע השנייה).

3.טיפים להוכחת קטע אמצעים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילי היכרות עם המשפט.
תרגילים 4-7 הם תרגילים קלים (יחסית).
תרגילים 8-12 הם תרגילים שמשלבים מרובעים ונושאים נוספים. התרגילים הולכים ונעשים קשים יותר.
תרגיל 13 הוא תרגיל לא קשה על קטע אמצעים במעגל.
תרגילים 14-15 הם תרגילי הוכחת משפטים.

החל מתרגיל 4 התרגילים הם למנויים באתר.

בתחילת כל פתרון יש חלק האומר “הרעיון מאחורי הפתרון”, החלק הזה אמור לעזור לכם להבין בקלות יחסית את עיקר הפתרון.

תרגיל 1

קבעו אם הקטע DE הוא קטע אמצעים.
אם כן חשבו את גודלו ואת גודל הקטעים המסומנים באדום; DB, BC.

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

נוכיח כי DE יוצא מאמצע צלע AC וגם DE || BC ולכן DE הוא קטע אמצעים.

הוכחת קטע אמצעים במשולש

  1.   AE = EC = 6 – לכן הנקודה E היא אמצע הצלע AB.
  2. ADE = 180-130 = 50∠   זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
  3. BC || DE  אם זוויות מתאימות שוות (B = ∠ADE∠ ) אז הישרים מקבילים.
  4. DE קטע אמצעים במשולש על פי המשפט “אם במשולש ישר יוצא מאמצע צלע אחת ומגיע אל אמצע הצלע השנייה אז הוא קטע אמצעים במשולש”

מציאת אורכי הצלעות DB, BC

DB = DA 8 –  כי DE הוא קטע אמצעים המגיע אל אמצע הצלע AB.
DE = BC : 2 = 12 : 2 = 6   כי קטע האמצעים DE שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל (BC).

תרגיל 2

האם DE הוא קטע אמצעים? אם כן חשבו את אורכו.

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

BE ≠ EC   לכן DE הוא לא קטע אמצעים.

תרגיל 3

הישר DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.
ידוע כי:
DE = 2X,  AC = 3X + 20
C = 50,  ∠A = 100∠.

  1. חשבו את אורך הצלעות DE, AC.
  2. חשבו את גודל הזוויות המסומנות בשרטוט במספרים 1,2,3.

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

חישוב DE ו- AC.
מכוון ש DE שווה למחצית מהישר שאליו הוא מקביל (AC).
ניתן לכתוב את המשוואה.
2DE = AC
2x * 2 = 3x + 20
4x = 3x + 20  / -3x
x = 20

DE = 2X = 2*20 = 40
AC = 3X + 20 = 3*20 + 20 = 80

חישוב הזוויות 1,2,3
BED = ∠C = 50∠  זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

EDB = 180 – 100 – 50 = 30∠  סכום זוויות במשולש EDB הוא 180.
EDA = 180 – 30  = 150 ∠ זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.

A = 180 – 100 – 50 = 30∠   סכום זוויות במשולש ABC הוא 180.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

44 מחשבות על “קטע אמצעים במשולש”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן, אבל זה משהו שצריך להוכיח ולא משפט שניתן להשתמש בו.

      תגובה
  3. es

    שלום,
    אם יש קטע היוצא מאמצע צלע אחת ושווה למחצית הצלע שמולה הוא קטע אמצעים?

    תגובה
    2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      לא אך אם הצלע היא גם מחצית מהצלע וגם מקבילה אז זה קטע אמצעים

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מסתכל על המשולש עם הגובה ואומר שבתוך משולש זה קטע האמצעים המקורי מקביל ויוצא מאמצע צלע.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      התקבל שם 7.5 כי זה משולש המורכב משלושה קטעי אמצעים שהם חצי מצלעות המשולש המקורי שהיקפן 15.

      תגובה
  7. ענבר

    היי, יש לי שאלה על קטע אמצעים. בהסבר כתוב ש”בנוסף יש צורות הכוללות תיכונים באופן טבעי. הדוגמה הבולטת הן אלכסוני המקבילית שהם תיכונים זה לזה ולכן ישר היוצא מנקודת מפגש אלכסוני המקבילית יכול להיות קטע אמצעים במשולש בתוספת נתון אחד בלבד.” אולם, לא הבנתי כיצד זה בא לידי שימוש בפתירת תרגיל. כלומר, יש לי תרגיל עם קטעים שיוצאים מנקודת מפגש האלכסונים, וכן מאמצע צלע אחת לאמצע הצלע שמולה. הם אכן אמורים להיות קטע אמצעים, אבל אני לא מבינה כיצד ניתן להוכיח את זה? האם ניתן להוכיח קטע אמצעים רק על ידי זה שהוא יוצא מאמצע צלע אחת לאמצע הצלע האחרת? משום שלפי מה שהבנתי משפטי ההוכחה חייבים לכלול גם הקבלה לצלע השלישית או שוויון למחציתה.
    מאוד אשמח לתשובה וזה מאוד יעזור לי!
    תודה מראש

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם ישר במשולש יוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים. זו ההגדרה וגם אחד ממשפטי ההוכחה.
      אני אכתוב את זה יותר ברור בדף.

      תגובה
  8. יחזקאל יעלון

    אפשר להוכיח קטע אמצעים אם הוא יוצא מאמצע צלע אחת והוא חוצה את שני הצלעות בלי להגיד שהוא מקביל לישר השלישי?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הוא יוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע הצלע השנייה אז זה קטע אמצעים ולא צריך להוכיח דבר נוסף.
      זו למעשה ההגדרה של קטע אמצעים.

      תגובה
  9. אנונימי

    רק רציתי לחזור לפה ולהודות למי שמנהל את האתר הזה. השנה הזאת הייתה קשה עבורי מבחינת הלימודים, והגעתי למצב שלא למדתי אפילו לא שיעור אחד במתמטיקה. פתאום הגיע המועד למבחן, ורציתי להוציא טיפה יותר מאפס אז מצאתי את האתר הזה. ממצב שלא ידעתי לפתור תרגיל פשוט לכיתה ט, הוצאתי 70 במבחן המסכם של השנה, והכל תודות לאתר הזה. אין לך מושג כמה אני מעריך את האתר הזה. תודה!

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      איזה כיף לשמוע שהאתר עשה עבורך משהו משמעותי. באמת סיפוק גדול.
      שיהיה לך בהצלחה בהמשך.

      תגובה
  10. אור

    הייי, אם הוכחתי שיש קטע שמחבר בין אמצעי קטעים אםשר להגיד שהוא קטע אמצעים?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אלו אמצעי צלעות אז זה קטע אמצעים על פי ההגדרה:
      קטע המחבר אמצעי שתי צלעות הוא קטע אמצעים.

      תגובה
  12. יוסי

    שלום דבר ראשון תודה על האתר פעם ראשונה שאני משתמש איך אני יודע מהי הצלע השלישית

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יוסי
      צריך להיות נתון בשאלה, כל פעם זה יכול להיות נתון מסוג אחר.

      תגובה
  14. רועי

    בתרגיל 11 האם זווית B לא שווה ל0 מעלות? שכן A+B שווים יחד 90, (והזווית הישרה משלימה ל180). במשולש ABC בו יש 2A ו2B הזווית השלישית תהיה שווה ל – 0 מעלות. (אם נשלים ל180)
    אשמח להסבר

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      אתה צודק, תודה רבה על התיקון.
      תיכן אסיים לתקן ואעלה את הדברים מתוקנים.
      תודה רבה

      תיקנתי. ניתן לראות את התרגיל עכשיו.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בדרך כלל על ידי זוויות מתאימות / מתחלפות שוות.
      או על ידי הוכחה שהצלעות שייכות לצורה שבה הצלעות מקבילות. אם למשל הצלעות שייכות למקבילית, אז הן מקבילות

      תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          אם זה באנליטית לרוב ההוכחה תהיה על ידי מציאת שיפועים שווים של ישר.
          למשל שני ישרים שיש להם אותו מקדם m.
          או חישוב שיפוע של שני ישרים על ידי שתי נקודות שעל כל ישר ומציאה שהשיפועים שווים.
          דף טוב בנושא קשור באנליטית הוא הדף הזה
          https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/squares-analytic-summary/
          https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/analytic-geometry-quadrilaterals/

          תגובה

כל הזכויות שמורות ללומדים מתמטיקה 2025