מרובעים גיאומטריה אנליטית סיכום

בדף זה נסכם את החומר בנושא מרובעים בגיאומטריה אנליטית.
הדף מיועד לתלמידי כיתה י ברמת 4-5 יחידות.

הדרך שבה מסוכם החומר הוא על ידי הצגה של "סוגים של בעיות". עבור כל צורה מוצגים מספר סוגים של בעיות בהם אתם יכולים להיתקל ולאחריהן הסבר מקוצר לפתרון.

נושאי הדף הם:

  1. מקבילית.
  2. מלבן.
  3. מעוין.
  4. טרפז.
  5. קישורים.

1.מקבילית

סוג 1: אם ידועים 3 קודקודים במקבילית ניתן למצוא את הקודקוד הרביעי.
על ידי חיתוך צלעות או אלכסונים.

התרגיל
המרובע ABCD מקבילית.
הקודקודים A,B,C ידועים.
מצאו את הקודקוד D.

פתרון
הקודקוד D הוא נקודת החיתוך של הישרים AD, CD.
לכן נמצא את משוואת הישרים האלו.

  1. נמצא את שיפוע CB על פי שתי נקודות. שיפוע זה שווה לשיפוע AD כי אלו צלעות מקבילות.
  2. נמצא את משוואת AD על פי שיפוע ונקודה.
  3. נמצא את שיפוע AB. שיפוע זה שווה לשיפוע CD. לכן ניתן למצוא את משוואת CD על פי שיפוע ונקודה.
  4. נמצא את נקודת החיתוך של CD ו AD. זו הנקודה D.
לחצו לפתרון מלא

שלב א' – מציאת משוואת AD

הצלעות CB ו-AD מקבילות, לכן שיפועיהן שווים.

y = x + b

נציב במשוואה את הנקודה A כדי למצוא את b.

4.5 = 1.5 + b

b = 4.5 – 1.5 = 3

לכן, משוואת AD היא:

y = x + 3

שלב ב' – מציאת משוואת CD

הצלעות AB ו-CD מקבילות, לכן שיפועיהן שווים.

y = 3x + b

נציב במשוואה את הנקודה C כדי למצוא את b.

-0.5 = 3 * 1.5 + b

-0.5 = 4.5 + b

b = -0.5 – 4.5 = -5

לכן, משוואת CD היא:

y = 3x – 5

שלב ג' – מציאת הנקודה D

נקודה D היא נקודת החיתוך של AD ו-CD.

x + 3 = 3x – 5

-2x = -8

x = 4

נציב 4 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = x + 3 = 4 + 3 = 7

D(4,7)

הערה
אם מנסחים את השאלה אחרת;
נתונות 3 נקודות. מצאו נקודה רביעית כך שהמרובע ABCD יהיה מקבילית.

פתרון
ניתן לפתור באותה דרך ולהסתמך על המשפט "במרובע שבו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית"
במקרה זה:

  1. נניח כי CD מקביל ל AB וכך נמצאת את משוואת CD.
  2. נניח כי AD מקביל ל BC וכך נמצא את משוואת AD.
  3. נמצא את D על ידי החיתוך של CD ו AD.

סוג 2: אם ידועות שתי צלעות וקודקוד שלא עליהן ניתן למצוא את כל הקודקודים

התרגיל
ABCD מקבילית.
הנקודה D ידועה.
משוואות הצלעות AB,BC ידועות.
מצאו את קודקודי המקבילית

פתרון
נמצא את משוואות צלעות המקבילית. ממשוואות הצלעות ניתן למצוא בקלות את קודקודי המקבילית.

  1. שיפוע AD שווה לשיפוע BC לכן ניתן למצוא את משוואת AD (בעזרת הנקודה D).
  2. שיפוע CD שווה לשיפוע AB. לכן ניתן למצוא את משוואת CD (בעזרת הנקודה D).
  3. לאחר שמצאנו את משוואות 4 הצלעות ניתן למצוא את הקודקודים על ידי חיתוך הצלעות.
לחצו לפתרון מלא

ראשית נמצא את המשוואות של הצלעות החסרות.

הצלעות BC ו-AD מקבילות, לכן שיפועיהן שווים. משוואת BC היא y = x – 2, לכן שיפועה הוא 1.

לכן, שיפוע הצלע AD הוא 1.

y = x + b

נציב במשוואה את הנקודה D כדי למצוא את b.

7 = 4 + b

b = 7 – 4 = 3

לכן, משוואת AD היא:

y = x + 3

נמצא את משוואת CD באותו אופן.

הצלעות AB ו-CD מקבילות, לכן שיפועיהן שווים. משוואת AB היא y = 3x, לכן שיפועה הוא 3.

לכן, שיפוע הצלע CD הוא 3.

y = 3x + b

נציב במשוואה את הנקודה D כדי למצוא את b.

7 = 3 * 4 + b

7 = 12 + b

b = 7 – 12 = -5

לכן, משוואת CD היא:

y = 3x – 5

עכשיו נוכל למצוא את הקודקודים על ידי מציאת נקודות החיתוך של הצלעות.

נמצא את קודקוד A

הקודקוד A הוא נקודת החיתוך של AB ו-AD.

3x = x + 3

2x = 3

x = 1.5

נציב 1.5 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 3x = 3 * 1.5 = 4.5

A(1.5,4.5)

נמצא את קודקוד B

הקודקוד B הוא נקודת החיתוך של AB ו-BC.

3x = x – 2

2x = -2

x = -1

נציב 1- = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 3x = 3 * (-1) = -3

B(-1,-3)

נמצא את קודקוד C

הקודקוד C הוא נקודת החיתוך של BC ו-CD.

x – 2 = 3x – 5

-2x = -3

x = 1.5

נציב 1.5 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = x – 2 = 1.5 – 2 = -0.5

C(1.5,-0.5)

 

סוג 3: אם ידועות שתי צלעות ונקודות מפגש האלכסונים ניתן למצוא את קודקודי המקבילית

התרגיל
ABCD מקבילית.
משוואות הצלעות AB, BC ידועות.
ידועה הנקודה E שהיא מפגש האלכסונים.
מצאו את קודקודי המקבילית.

פתרון

  1. נמצא את הנקודה B שהיא חיתוך של שתי הצלעות שאנו יודעים.
  2. לאחר שמצאנו את B ניתן למצוא את D בעזרת הנוסחה לאמצע קטע (כמו בחלק השני בדף שמקושר).
  3. עכשיו אנו יודעים שתי צלעות (AB, BC) ונקודה שלא עליהם D. מכאן אנו יכולים לפעול כמו שהראנו בסוג הקודם ולמצוא את 4 צלעות האחרות והקודקודים.
לחצו לפתרון מלא

שלב א' – מציאת הקודקוד B

הקודקוד B הוא נקודת החיתוך של AB ו-BC.

3x = x – 2

2x = -2

x = -1

נציב 1- = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 3x = 3 * (-1) = -3

B(-1,-3)

שלב ב' – מציאת הקודקוד D

E הוא אמצע הקטע BD.

xE = (xB + xD) / 2

1.5 = (-1 + xD) / 2

3 = -1 + xD

xD = 4

yE = (yB + yD) / 2

2 = (-3 + yD) / 2

4 = -3 + yD

yD = 7

D(4,7)

שלב ג' – מציאת הקודקודים הנותרים

ראשית נמצא את המשוואות של הצלעות החסרות.

הצלעות BC ו-AD מקבילות, לכן שיפועיהן שווים. משוואת BC היא y = x – 2, לכן שיפועה הוא 1.

לכן, שיפוע הצלע AD הוא 1.

y = x + b

נציב במשוואה את הנקודה D כדי למצוא את b.

7 = 4 + b

b = 7 – 4 = 3

לכן, משוואת AD היא:

y = x + 3

נמצא את משוואת CD באותו אופן.

הצלעות AB ו-CD מקבילות, לכן שיפועיהן שווים. משוואת AB היא y = 3x, לכן שיפועה הוא 3.

לכן, שיפוע הצלע CD הוא 3.

y = 3x + b

נציב במשוואה את הנקודה D כדי למצוא את b.

7 = 3 * 4 + b

7 = 12 + b

b = 7 – 12 = -5

לכן, משוואת CD היא:

y = 3x – 5

עכשיו נוכל למצוא את הקודקודים על ידי מציאת נקודות החיתוך של הצלעות.

נמצא את קודקוד A

הקודקוד A הוא נקודת החיתוך של AB ו-AD.

3x = x + 3

2x = 3

x = 1.5

נציב 1.5 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 3x = 3 * 1.5 = 4.5

A(1.5,4.5)

נמצא את קודקוד C

הקודקוד C הוא נקודת החיתוך של BC ו-CD.

x – 2 = 3x – 5

-2x = -3

x = 1.5

נציב 1.5 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = x – 2 = 1.5 – 2 = -0.5

C(1.5,-0.5)

 

 

2.מלבן

סוג 1: נתונים 3 קודקודים היוצרים משולש ישר זווית, מצאו קודקוד רביעי היוצר מלבן

התרגיל
במשולש ישר זווית ABC הנקודות ABC ידועות.
מצאו נקודה D כך שמרובע ABCD יהיה מלבן.

פתרון
כפי שלמדנו במקבילית בדוגמה 1. אם ידועות 3 נקודות ניתן למצוא את המשוואות של 4 הצלעות.
המשוואות שאנו צריכים למציאת הנקודה D הם של הצלעות CD ו AD.

  1. נמצא את שיפוע AB על פי שתי נקודות.
  2. השיפוע של CD שווה לשיפוע של AB. נמצא את משוואת CD על פי שיפוע ונקודה (הנקודה C). (המשוואה y = -0.5x +2.5)
  3. נמצא את השיפוע של BC על פי שתי נקודות.
  4. השיפוע של AD שווה לשיפוע של BC. נמצא את משוואת AD על פי שיפוע ונקודה.(המשוואה היא: y = 2x + 5).
  5. נמצא את הנקודה D על ידי החיתוך של שני הישרים AD, CD (הנקודה היא: 3, 1-).

סוג 2:  במלבן נתונות המשוואות של שתי צלעות נגדיות ונתונה משוואת האלכסון ניתן למצוא את כל הקודקודים של המלבן.

התרגיל
במלבן ABCD ידועות משוואת הצלעות AD, BC ומשוואת האלכסון BD.
מצאו את קודקודי המלבן.

  1. על ידי חיתוך בין משוואת אלכסון לצלע נמצא את הנקודות B,D. (והן (B(-2,-4)   D(-1,3).
  2. הצלעות AB, CD  מאונכות לצלעות הנוספות של המלבן. לכן ניתן למצוא את השיפוע של הצלעות הללו. אנו יודעים גם את הנקודות B,D הנמצאות על הצלעות הללו לכן ניתן למצוא את משוואת AB, CD.
  3. ידועות לנו 4 צלעות המלבן ניתן למצוא את הקודקודים על ידי חיתוך.
לחצו לפתרון מלא

שלב א' – מציאת הקודקודים B ו-D

B הוא נקודת החיתוך של BC ו-BD.

2x = 7x + 10

-5x = 10

x = -2

נציב 2- = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 2x = 2 * (-2) = -4

B(-2,-4)

D הוא נקודת החיתוך של AD ו-BD.

2x + 5 = 7x + 10

-5x = 5

x = -1

נציב 1- = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 2x + 5 = 2 * (-1) + 5 = 3

D(-1,3)

שלב ב' – מציאת משוואות הצלעות AB ו-CD

ראשית, נמצא את שיפוע הצלעות. AB ו-CD מקבילות זו לזו, לכן יש להן אותו שיפוע. שיפוע זה מאונך לשיפוע של AD ו-BC, שאנחנו כבר יודעים ששווה ל-2.

אנחנו גם יודעים שעבור ישרים מאונכים, מכפלת השיפועים היא 1-.

m * 2 = -1

m = -0.5

עכשיו נמצא את המשוואה של כל אחת מהצלעות. נתחיל מ-AB.

y = -0.5x + b

נציב במשוואה את הנקודה B כדי למצוא את b.

-4 = -0.5 * (-2) + b

-4 = 1 + b

b = -4 – 1 = -5

לכן, משוואת AB היא:

y = -0.5x – 5

נמצא את משוואת CD.

y = -0.5x + b

נציב במשוואה את הנקודה D כדי למצוא את b.

3 = -0.5 * (-1) + b

3 = 0.5 + b

b = 3 – 0.5 = 2.5

לכן, משוואת CD היא:

y = -0.5x + 2.5

שלב ג' – מציאת הקודקודים A ו-C

A הוא נקודת החיתוך של AB ו-AD.

-0.5x – 5 = 2x + 5

-2.5x = 10

x = -4

נציב 4- = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 2 * (-4) + 5 = -3

A(-4,-3)

C הוא נקודת החיתוך של BC ו-CD.

2x = -0.5x + 2.5

2.5x = 2.5

x = 1

נציב 1 = x באחת המשוואות כדי למצוא את ערך ה-y.

y = 2x = 2 * 1 = 2

C(1,2)

 

*סוג 3: נתונים משוואות שני האלכסונים + קודקוד ניתן למצוא את 4 הקודקודים האחרים

התרגיל
במלבן ידועים האלכסונים AB,BD וידועה הנקודה A.
מצאו את 4 קודקודי המלבן.

פתרון

  1. נמצא את נקודת מפגש האלכסונים.
  2. נמצא את הקודקוד C על ידי הנוסחה לאמצע קטע (התשובה: (C(1,2)
  3. הנקודה D נמצאת על האלכסון BD לכן נגדיר את הנקודה כך: (x1, 7x1 + 10)
  4. בעזרת הנקודה D אנו יכולים להגדיר את השיפועים של CD ו AD באמצעות משתנה אחד.

השיפוע של AD הוא
(A (-4, -3
(D(x1, 7x1 + 10

השיפוע של CD הוא
(C (1, 2
(D(x1, 7x1 + 10

הישרים AD, CD מאונכים.
לכן מכפלת השיפועים הללו היא 1-.
המשוואה היא:

זו משוואה עם נעלם אחד שניתן למצוא בה את x1 שהוא:
x1 = -1

לאחר שמצאנו את הנקודה D ניתן למצוא בעזרת הנקודה D, נקודת מפגש האלכסונים והנוסחה לאמצע קטע את הקודקוד B וכך נדע את כל ארבעת הקודקודים.

3.מעוין

סוג 1: נתונים 4 קודקודים של מרובע, הוכיחו כי המרובע מעוין

התרגיל
הקודקדים של מרובע ABCD ידועים.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מעוין.

פתרון
ניתן להשתמש בשני המשפטים:

  1. אם במרובע שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות אז המרובע הוא מקבילית.
  2. אם במקבילית שתי צלעות סמוכות שוות אז היא מעוין.

לכן בפתרון נחשב את האורכים של 4 צלעות המעוין. נוכיח שהמרובע הוא מקבילית ואז נוכיח שהמרובע הוא מעוין.

סוג 2: נתונים 4 קודקודי המעוין צריך לחשב את שטח המעוין

התרגיל
הקודקודים של המעוין ABCD ידועים.
צריך לחשב את שטח המעוין.

פתרון
לשטח מעוין יש שתי נוסחאות.
נוסחה אחת היא צלע כפול הגובה אל הצלע (כמו שטח מקבילית).

נוסחה שנייה היא מכפלת אורכי האלכסונים חלקי שתיים.
נשתמש בנוסחה השנייה.
אנו יודעים את קודקודי המעוין לכן קל למצוא את אורכי האלכסונים בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות ולחשב את השטח.

סוג 3: נתונים משוואת אלכסון וקודקוד שלא על האלכסון ניתן למצוא את משוואת האלכסון השני + הקודקוד השני שלא על האלכסון שנתון

פתרון
מציאת משוואת האלכסון השני:

  1. אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה. לכן ניתן למצוא את שיפוע האלכסון השני.
  2. עבור האלכסון השני אנו יודעים נקודה ולכן ניתן למצוא את משוואתו של האלכסון על פי שיפוע ונקודה.

סוג 4: המעגל החסום במעוין הוא נקודת המפגש של האלכסונים.
(סוג זה מופיע פחות, מתאים בעיקר ל 5 יחידות לימוד).
בגיאומטריה יש משפט "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים".

לכן:

  1. מרכז המעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית במרובע.
  2. במעוין חוצה הזווית הם האלכסונים. לכן מרכז המעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית.

הוכחה

אנו יודעים כי עבור משולש יש משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה בבגרות:
"מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית".

בחלק זה נלמד להוכיח את הטענה:
"מרכז מעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית".

ההוכחה מתבססת על שני דברים:

  1. צלעות מרובע החוסם מעגל הם משיקים למעגל.
  2. המשפט בגיאומטריה שניתן להשתמש בו ללא הוכחה "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים".

הוכחה
O הוא מרכז המעגל החסום במרובע ABCD.
לכן על פי המשפט "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים" הישרים AO,BO,CO,DO הם חוצה זווית.

לכן מרכז המעגל של המרובע ABCD נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית.

 

4.טרפז

סוג 1: נתונים 3 קודקודים ומשוואת שוק. מצאו את הקודקוד הרביעי שיוצר טרפז

התרגיל
נתונות הנקודות A,D,C מצאו נקודה רביעית הנמצאת על הישר y = 4x +15 היוצרת טרפז.

פתרון

  1. מכוון שהנקודה נמצאת על הישר y = 4x +15 ניתן להגדיר אותה כ: (x1, 4x1 +15).
  2. השיפוע של הצלע AD הוא 0. לכן השיפוע של BC גם הוא 0.

ניתן לכתוב את המשוואה הבאה:

ממשוואה זו נקבל:
x1 = -4

*סוג 2: נתונים 3 קודקודים מצאו קודקוד רביעי היוצר טרפז שווה שוקיים

תרגיל
נתונות הנקודות A,C,D מצאו את הנקודה B שתשלים את המרובע לטרפז שווה שוקיים.

פתרון
תרגיל זה נפתר בעזרת שתי משוואות עם שני נעלמים.

  1. נמצא את המרחק CD שהוא אורך שני השוקיים (המרחק הוא 20√).
  2. נגדיר את הנקודה B כ (x1, y1) אלו שני הנעלמים שלנו.
  3. משוואה אחת אומרת שהשיפוע של ישר DB צריך להיות שווה ל 0.
  4. משוואה שנייה אומרת שהמרחק AB צריך להיות 20√

5.קישורים

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “מרובעים גיאומטריה אנליטית סיכום”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.