משוואת מעגל היא:
x – a)²+(y – b)² = R²)
ויש בה בסך הכל 3 משתנים a,b שזו נקודת מרכז המעגל.
R שהוא רדיוס המעגל.
בדף זה שלושה חלקים:
- מציאת הרדיוס על פי נקודה שעל המעגל.
- מציאת מרכז המעגל על פי נקודה שעל המעגל.
- תרגילים עם פרמטרים.
1.מציאת הרדיוס על פי נקודה שעל המעגל
יש שתי דרכים למצוא את רדיוס המעגל כאשר אנו יודעים נקודה על מרכז המעגל:
1.על ידי שימוש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות.
הרדיוס הוא בעצם המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה שעל המעגל.
2.על ידי הצבת הנקודה שעל המעגל בנוסחת המעגל.
שתי הדרכים זהות מבחינת הקושי והתרגיל שצריך לפתור.
כדאי לדעת את שתי הדרכים כי בכול פעם הנתונים בשאלה מוצגים קצת אחרת.
מצורפות 4 דוגמאות, הדוגמאות דומות, אין חובה לעבור על כולן.
דוגמה 1
מרכז המעגל נמצא בנקודה (2,1)
(6,4) היא נקודה שעל המעגל.
מצאו את הרדיוס ומשוואת המעגל.
פתרון
דרך פתרון ראשונה: בעזרת נוסחת מרחק בין שתי נקודות
נסתכל על הנקודות A,B ונראה שהמרחק בניהם הוא בעצם הרדיוס.
לכן אם נמצא את המרחק בין הנקודות נמצא את הרדיוס.
d²=(x1-x2)² + (y1-y2)²
(A(2,1
(B(6,4
R² = d² = (6 – 2)² + (4 – 1)²
R² = 4² + 3²
R² = 16 + 9 = 25
R = 5 או R = -5.
רדיוס חייב להיות גודל חיובי ולכן הפתרון שמתאים לשאלה הוא:
R = 5
משוואת המעגל שמרכזו (2,1) ורדיוסו 5 היא:
x -2)² + (y – 1)² = 5²)
דרך פתרון שנייה: בעזרת משוואת המעגל.
משוואת המעגל שמרכזו הוא (2,1) היא:
x -2)² + (y – 1)² =R²)
וניתן לכתוב את זה גם כך:
R² = (x -2)² + (y – 1)²
נציב את הנקודה (B(6,4 במשוואת המעגל.
נקבל משוואה עם נעלם אחד שהוא R.
R² = (6 – 2)² + (4 – 1)²
R² = 4² + 3²
R² = 16 + 9 = 25
R = 5 או R = -5.
רדיוס חייב להיות גודל חיובי ולכן הפתרון שמתאים לשאלה הוא:
R = 5
דוגמה 2
משוואת המעגל היא:
x + 4) + y² = R²)
הנקודה (10, 4-) נמצאת על המעגל.
חשבו את רדיוס המעגל.
הערה
שימו לב כי:
x + 4) + y² = R²)
היא בדיוק כמו המשוואה:
x + 4) + (y – 0)² = R²)
כלומר נקודת מרכז המעגל היא: (0, 4-).
פתרון
נציב את הנקודה (10, 4-) במשוואת המעגל:
R² = (-4 + 4)² + 10²
R² = 10²
R = 10 או R = -10.
רדיוס חייב להיות גודל חיובי ולכן הפתרון שמתאים לשאלה הוא:
R = 10
דוגמה 3
מצאו את רדיוס המעגל שמשוואתו x² + y² = R² ועובר דרך הנקודה (3, 2-).
כתבו את משוואת המעגל.
פתרון
נציב x = -2, y = 3 במשוואת המעגל.
R² = (-2)² + 3²
R² = 4 + 9 = 13
R = √13 או R = -√13
מכוון שרדיוס מעגל הוא גודל חיובי התשובה היא R = √13
תשובה: משוואת המעגל היא x² + y² = 13
דוגמה 4
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו (4.2) ועובר דרך הנקודה (7,5).
פתרון
משוואת המעגל היא:
x – 4)2 + (y – 2)2 = R2)
נציב את ערכי הנקודה (7,5) במשוואת המעגל.
²(7-4)+²(5-2)=R2
18 = 32+32=R2
R = √18 או R = -√18
תשובה: מכוון שרדיוס מעגל הוא גודל חיו הרדיוס הוא 18√. ומשוואת המעגל היא
x – 4)2+(y – 2)2 = 18)
2.מציאת מרכז המעגל על פי נקודה שעליו
גם את מרכז המעגל נמצא בדיוק באותן שתי שיטות.
- בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
- בעזרת הצבה במשוואת המעגל.
אבל יש הבדל אחד:
בנקודת מרכז המעגל יש שני משתנים:
- ערך ה x של מרכז המעגל
- ערך ה y של מרכז המעגל.
בעזרת נקודה שעל המעגל נוכל למצוא רק את ערך ה x או ערך ה y.
השני צריך להיות לנו נתון בשאלה.
מצורפים 4 תרגילים.
תרגיל 1 הוא תרגיל בסיסי.
תרגילים 2-3 מאוד דומים וכוללים את אותו מכשול.
תרגיל 4 כולל מכשול אחר.
תרגיל 1
משוואת המעגל היא:
x – a)² + (y + 2)² = 25)
הנקודה (2, 4) נמצאת על המעגל.
מצאו את נקודת מרכז המעגל אם ידוע שמרכז המעגל נמצא ברביע הרביעי.
פתרון
נציב את הנקודה (2, 4) במשוואת המעגל. נקבל:
(4 – a)² + (2 + 2) = 25
נפתח את המשוואה בצורה הזו:
לחלק ממכם לא נוח לפתור את המשוואה בדרך הזו אלא תעדיפו לפתוח את הסוגריים שבתוכם נמצא ה a ואז לפתור משוואה ריבועית.
(4 – a)² + 4² = 25
16 -8a + a² + 16 = 25
דוגמה לפתרון על ידי פתיחת סוגריים בתרגיל הבא.
תרגיל 2
הנקודה A היא נקודת מרכז המעגל ונמצאת על ציר ה x.
הנקודה (B (5,4
אורך רדיוס המעגל הוא 5.
מצאו את נקודת מרכז המעגל.
תרגיל 3
מרכז מעגל נמצא על ציר ה x.
הנקודה (3, 6-) נמצאת על המעגל.
אורך רדיוס המעגל הוא 5.
מצאו את משוואת המעגל.
פתרון
אם מרכז המעגל נמצא על ציר ה x זה אומר שערך ה y של מרכז המעגל הוא 0.
ניתן לכתוב את משוואת המעגל כך:
x – a)² + (y – 0)² = 5²)
נציב עכשיו את הנקודה (3, 6-) במשוואת המעגל.
(-6 – a)² + (3 – 0)² = 25
נפתח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ונקבל:
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום ונקבל:
a = -10 או a = -2.
קיבלנו שיש שני מרכזי מעגלים המתאימים לשאלה והם:
(0, 2-) או (0, 10-).
תרגיל 4
מרכז מעגל נמצא על הישר y = -2x – 5.
הנקודה 1,3 נמצאת על המעגל ואורך רדיוס המעגל הוא 5 יחידות.
מצאו את משוואת המעגל.
שלב א: נבטא את נקודת מרכז המעגל בעזרת משתנה אחד.
נניח כי ערך ב x בנקודת מרכז המעגל הוא x1.
נציב ערך זה במשוואת הישר על מנת למצוא את ערך ה y של מרכז המעגל.
y = -2x1 – 5.
נקודת מרכז המעגל היא: x1, -2x1 – 5
שלב ב: נמצא מרכז המעגל בעזרת נוסחת המרחק בין שתי נקודות
המרחק בין מרכז המעגל x1, -2x1 – 5 לנקודה שעליו 1,3 הוא 5.
נציב זאת במשוואת המרחק בין שתי נקודות.
x1 – x2)² + (y1 – y2)² = d²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 5 – 3)² = 5²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 8)² = 5²)
x1² -2x1 +1 + 4x1² + 32x1 + 64 = 25
5x1² +30x1 + 65 = 25 / -25
5x1² +30x1 + 40 = 0 / :5
x1² + 6x1 + 8 = 0
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן נראה פירוק טרינום.
x1² + 6x1 + 8 = 0
x1² + 2x1 + 4x1 + 8 = 0
x1 (x1 + 2) +4 (x1 + 2) = 0
x1 + 4) (x + 2) = 0)
שני הפתרונות האפשריים הם:
x1 = -4, x2 = -2.
כלומר, יש שתי נקודות אפשריות למרכז המעגל.
מציאת ערך ה y של מרכז המעגל
נציב את ערכי ה x שמצאנו במשוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל.
y = -2x – 5
עבור x1 = -4
y1 = -2 * -4 – 5
y1 = 8 – 5 = 3
נקודה אפשרית אחת למרכז המעגל היא (3 , 4-).
עבור x2 = -2
y2 = -2 * -2 – 5 = -1
נקודה אפשרית שנייה למרכז המעגל (1-, 2-).
כך נראה שרטוט של שני המעגלים:
3.משוואת מעגל עם פרמטרים
חלק זה נועד לתלמידי 4-5 יחידות.
יתכן ותתקלו בתרגילים הכוללים פרמטרים.
נמצא את הפרמטר כפי שמוצאים משתנה.
דוגמה
הנקודה (4,2) נמצאת על המעגל שמשוואתו:
x – a)² + (y – 1)² = 26)
מצאו את a וכתבו את שתי האפשרויות של משוואת המעגל.
פתרון
נציב את הנקודה (4,2) במשוואות המעגל.
(4 – a)² + (2 – 1)² = 26
(4 – a)² + 1 = 26
(4 – a)² = 25 = 5²
(4 – a)² = 5²
יש אפשרות לפתוח את הסוגריים שמשמאל ולפתור משוואה ריבועית.
אפשרות שנייה היא להגיד שמכוון שמעריך החזקה שווה וזוגי אז בסיס החזקה צריך להיות שווה או הפוך בסימן.
לכן המשוואות הן:
4 – a = 5
a = -1
או
4 – a = – 5
a = 9
לכן משוואות המעגלים הם:
’‚-vc2za-
עוד באתר:
- משוואת מעגל – דרכים נוספות למציאת משוואת מעגל.
- מעגל 3 יחידות (שאלון 382).
- מעגל 4 יחידות (שאלון 481).
- מתמטיקה לכיתה י – נושאים נוספים.
יש לי מעגל שאינני יודעת את המשוואה שלו נתונים לי 3 נקודות שעליו:
כיצד הנתונים הללו עוזרים לי למצוא את משוואת המעגל?
שלום
אפשר להציב את שלושת הנקודות במשוואת המעגל ולקבל 3 משוואות עם 3 נעלמים.
אם יש נקודות על הצירים או שתי נקודות שיוצרות קוטר זה יכול לעשות את זה קל יותר.
אני לא מצליחה לעשות את תרגיל 2, ניסיתי מכה כיוונים למצוא את התשובה, תמיד יוצא לי 4, אבל מוצג כאן שהתשובה היא – 2 או 8, מה עושים???
שלום
כתבתי פתרון מלא לתרגיל שאת יכולה להשוות את הפתרון שלך אליו.
ואם את מנויה את יכולה לשלוח צילום של הפתרון שלך בוואטסאפ
אם נתון לי משוואת המעגל שמרכזו Y והוא עובר דרך נק (3,3) ו (1,7) איך אמצא את משוואת המעגל ?
שלום חיים
אני מבין שהוא על ציר ה y.
אז ערך ה x של מרכז המעגל הוא 0.
תגדיר את מרכז המעגל באמצעות משתנה אחד.
חשב את המרחק של המרכז משתי הנקודות.
והמשוואה היא שהמרחקים שווים.