מעגל 3 יחידות שאלון 382

בדף זה נלמד את נושא המעגל – גיאומטריה אנליטית על פי הנדרש בשאלון 382 / 803.

לדף הזה שני חלקים:

  1. 8 סוגי שאלות / סעיפים שאתם צריכים לדעת לפתור.
  2. תרגילים מסכמים ברמת בגרות.

8 סוגי השאלות שאנחנו נעבור עליהם הם:

  1. הכרת משוואת המעגל.
  2. מציאת משוואת המעגל בעזרת נקודה שעל המעגל.
  3. מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים.
  4. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי הנקודה ידוע ואחד חסר.
  5. מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל.
  6. כיצד יודעים האם נקודה נמצאת על מעגל, בתוך המעגל או מחוץ למעגל?
  7. כאשר מופיעה המילה "קוטר" בשאלה. איזה שאלות יכולים לשאול אותנו?
  8. מציאת משוואת משיק למעגל.

אל תיבהלו מהמספר הגדול של הנושאים.
כל הנושאים 1- 6 נפתרים על ידי פעולה אחת פשוטה: הצבה של ערך הידוע לנו במשוואת המעגל.
רק נושאים 7-8 הם נושאים קצת יותר קשים.

הנושאים מופיעים בצורה של הסבר תאורטי ולאחריו פתרונות של תרגילים.
אני ממליץ לעבור על כל הנושאים, אם ברור לכם דלגו. אם לא התעכבו על השאלות המסבירות את הנושא.

עוד באתר:

  1. שאלון 382 / 803 – לימוד נושאים נוספים בשאלון.
  2. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.

1.הכרת משוואת מעגל

משוואת מעגל מורכבת משני נתונים: נקודה שהיא מרכז המעגל והאורך של הרדיוס.
כאשר נתון שמרכז המעגל הוא הנקודה (a,b) והרדיוס הוא R אז משוואת המעגל היא:

x – a)2+(y – b)2 = R2)

עבור הנקודה (3,2) ורדיוס 10 משוואת המעגל היא:
x – 3)² + (y – 2)² = 10²)

עבור הנקודה  (4- , 2) ורדיוס 6 משוואת המעגל היא:
x – 2)² + (y + 4)² = 6²)
(שימו לב לסימן הפלוס).

משוואת מעגל היכולה לבלבל
x² + (y – 3)² = 16 
מה הוא מרכז המעגל?

פתרון
את המשוואה ניתן לכתוב גם כך:
x – 0)² + (y – 3)² = 16)
ולכן מרכז המעגל הוא (0,3).

המעגל הקנוני x² + y² = R²

המעגל הקנוני הוא מעגל שנקודת המרכז מעגל היא ראשית הצירים (0, 0).
כאשר נציב (0, 0) במשוואת המעגל נקבל:
x – 0)² + (y – 0)² = R²)
x² + y² = R²

המשוואה x² + y² = R²  היא המשוואה בה אנו משתמשים כאשר כתוב בנתונים שהמעגל הוא קנוני.

למשל, משוואת המעגל x² + y² = 5²

משוואת המעגל x² + y² = 5²
משוואת המעגל x² + y² = 5²

 

2.מציאת רדיוס המעגל כאשר נתונה נקודה על המעגל

יש שתי דרכים למצוא את רדיוס המעגל כאשר אנו יודעים נקודה על מרכז המעגל:

  1. על ידי שימוש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות – הרדיוס הוא בעצם המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה שעל המעגל.
  2. על ידי הצבת הנקודה שעל המעגל בנוסחת המעגל.

שתי הדרכים זהות מבחינת הקושי והתרגיל שצריך לפתור.
כדאי לדעת את שתי הדרכים כי בכול פעם הנתונים בשאלה מוצגים קצת אחרת.

דוגמה:
נתונה משוואת המעגל x – 3)² + (y -1)² = R²). על המעגל נמצאת הנקודה (4, 7).
חשבו את רדיוס המעגל.

אפשרות ראשונה: בעזרת מרחק בין שתי נקודות
נשים לב שהרדיוס הוא בעצם המרחק שבין שתי הנקודות.
לכן נציב את הנקודות (7,4) ו (3,1) בנוסחה של המרחק:
d² = (x1-x2)² + (y1-y2
R² = d² = (7-3)² + (4 – 1)²
R² = 4² + 3²
R²  = 16 + 9  = 25
R= 5  או R = -5
מכוון שרדיוס מעגל הוא גודל חיובי התשובה היא  R = 5

אפשרות שנייה: בעזרת הצבה בנוסחת המעגל
הנקודה היא  (7,4).
נציב  x = 7,   y = 4 במשוואת המעגל:
R² = (7-3)² + (4 – 1)²
והמשך הפתרון הוא כמו קודם.

3.מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים

בדיוק כמו במשוואת ישר או פרבולה:

  1. על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y=0.
  2. על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y נציב x = 0.

לחלק מהמעגלים יש יותר מנקודת חיתוך אחת עם ציר ה x ו / או ציר ה y. לפעמים תתבקשו להציג בתשובה את כל הנקודות ולפעמים יגבילו אותכם על ידי משפט כמו "מצאו את נקודות החיתוך הנמצאות ברביע הרביעי", שימו לב לכך.

כמו כן שימו לב שמעגל קנוני חותך את הצירים בנקודות שערך ה x או ה y שלהם שווה ל R.
דוגמה לכך בתרגיל 2 שבהמשך.

תרגיל 1
נתונה משוואה המעגל
x-2)2+(y-1)2=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב X=0 על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.

משוואת המעגל

y² -2y + 1 +4 = 40
y² – 2y + 5 = 40  / -40
y² – 2y – 35 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נוסחת השורשים
ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.
תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

חיתוך עם ציר ה x
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)2+(0 -1)2=40)
x2-4x+4+1=40  /-40
x2-4x-35=0

פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים
שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

תרגיל 2
נתונה משוואת המעגל x² + y² = 16.
מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.

פתרון
נציב x= 0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
y² + 0² = 16
y² = 16
y = 4,  y = -4
נקודות החיתוך עם ציר ה y הן:
(4-, 0)    (4, 0)

נציב y = 0  ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
x² + 0² = 16
x² = 16
x = 4,   x = -4
נקודת החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, 4-)    (0, 4)

שרטוט המעגל x² + y² = 16. ונקודות החיתוך שלו עם הצירים
שרטוט המעגל x² + y² = 16. ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

5. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי X / Y שלה ידוע ואחד חסר

על מנת לפתור שאלות אלו נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

למשל
הנקודה A ברביע הרביעי ועל המעגל x – 3)² + (y + 1)² = 20) ערך ה x בנקודה A הוא x= 5.
מצאו את הנקודה A.

פתרון
y + 1)² + (5 – 3)² = 20)
y² + 2y + 1 +4 = 20  / -20
y² + 2y – 15 = 0
נציב בנוסחת השורשים:
נוסחת השורשים
נפתור את המשוואה ונקבל הפתרונות של המשוואה הריבועית
y = -5,  y = 3
מכוון שאמרו ש A נמצאת ברביע הרביעי הערך המתאים הוא y =-5
תשובה: ( A (5, -5

שרטוט המעגל הנקודה A והנקודה שנפסלה
שרטוט המעגל הנקודה A והנקודה שנפסלה

6.מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל

עושים זאת בדרך שכבר פתרנו איתה הרבה סעיפים: מציבים במשוואת המעגל.
הרבה פעמים לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית שנצטרך לפתור.

מספר נקודות החיתוך בין הישר למעגל הוא כמספר הפתרונות של המשוואה הריבועית:
שתי פתרונות למשוואה הריבועית – שתי נקודות חיתוך.
פתרון אחד – נקודת מפגש אחת (הישר משיק למעגל)
0 פתרונות – הישר והמעגל לא נפגשים.

תרגיל לדוגמה:
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

פתרון
נציב y= 3 במשוואת המעגל.
x – 2)²  + (3 -1)² = 20)
x² – 4x + 4 + 4 = 20   / -20
x² – 4x -12 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:
נוסחת השורשים

כאשר נפתור נקבל
x = 6  או    x = -2
ערך ה y בנקודות הלל כבר ידוע לנו, כי הצבנו אותו y = 3.
תשובה: נקודות החיתוך של הישר y=3 עם המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) הן:
(3, 6)   (3, 2-)

 נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.
נקודת החיתוך של המעגל
x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

7.האם נקודה נמצאת על המעגל, בתוך המעגל או בחוץ?

בחלק מהשאלות מבקשים מאיתנו להראות שנקודה נמצאת על המעגל. או להגיד האם הנקודה נמצאת בתוך / מחוץ / על המעגל.

על מנת לענות על השאלה  מציבים את ערך הנקודה במשוואת המעגל ואם מתקיים:

x-a)2+(y-b)2=R2)   – אז הנקודה על המעגל.
x-a)2+(y-b)2>R2)   – אז הנקודה מחוץ למעגל.
x-a)2+(y-b)2<R2)     – אז הנקודה בתוך המעגל.

תרגיל לדוגמה:
מצאו איפה הנקודה (1,1) נמצאת  ביחס למעגל שמשוואתו:
x-7)² +(y-6)² = 45)

פתרון
נציב את ערכי הנקודה במשוואות המעגל.
45 ><  ²(1-7)+²(1-6)
45 >< ²(-6)+²(-5)
45 >< 36+25
45 < 61
תשובה: הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.
(הערה הסימון >< מסמן שעדיין איננו יודעים איזה צד של האי שוויון גדול יותר).

שרטוט המעגל x-7)² +(y-6)² = 45) והנקודה (1, 1)
שרטוט המעגל x-7)² +(y-6)² = 45) והנקודה (1, 1)

תרגיל 1
הוכיחו כי המעגל x + 3)² + (y – 4)² = 25)  עובר דרך ראשית הצירים.

פתרון
אנחנו צריכים להוכיח שהנקודה (0, 0) נמצאת על המעגל. נציב את ערכיה במשוואת המעגל.
25  >< ²(4 – 0) + ² (3 + 0)
25  >< 4² + 3²
25  >< 16 + 9
25 = 25
תשובה: מצאנו שהנקודה (0, 0) נמצאת על המעגל ולכן המעגל עובר דרך ראשית הצירים.

שרטוט משוואה המעגל x + 3)² + (y - 4)² = 25) העובר דרך ראשית הצירים
שרטוט משוואה המעגל x + 3)² + (y – 4)² = 25) העובר דרך ראשית הצירים

 

8. שימוש בנקודת מרכז המעגל / שימוש בקוטר

למילה "קוטר" יש שני שימושים:

1.שימוש בנוסחה לאמצע קטע לצורך חישוב הנקודה השלישית הנמצאת על הקוטר.

למשל,
נתונה משוואת המעגל  x- 1)² + (y+1)² = 4).
הנקודה  (1-, 3)A נמצאת על המעגל. מצאו את הנקודה B כך שהישר AB יהיה קוטר.

שרטוט התרגיל

פתרון
נשתמש ב (1-, 3)A ו  (M(1, -1 והנוסחה לאמצע קטע לצורך מציאת (B (xb, yb

מציאת ערך ה x בנקודה B
xb + 3 = 2  / -3
xb = -1

מציאת ערך ה Y בנקודה B
yb – 1 = -2  / +1
yb = -1
תשובה: (B (-1, -1.

2. שימוש שני למילה קוטר
בעזרת נקודה שעל המעגל ומשוואת המעגל ניתן למצוא את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה שעל המעגל.
דוגמה
 נתונה משוואת המעגל x- 4)² + (y-1) = 17) ונתונה הנקודה הנמצאת על המעגל (A(5, 5.
מצאו את משוואת קוטר המעגל AB.

שרטוט התרגיל

פתרון
גם כאן נשתמש בכך שכאשר נתנו לנו את משוואת המעגל נתנו לנו את נקודת מרכז המעגל (M (4, 1.
והתכונה של הקוטר AB היא שהוא עובר דרך מרכז המעגל M.
לכן הנקודות A, M נמצאות על הישר AB ואנו יודעים למצוא משוואת ישר על פי שתי נקודות.
נגדיר t שיפוע ישר AB.

שיפוע AB הוא 4
נמצא את משוואת AB על ידי הצבת t= 4 והנקודה (A(5, 5 במשוואה:
(y-y1=t(x-x1
(y – 5 = 4 (x – 5
y – 5 = 4x -20   / +5
y = 4x – 15
תשובה: משוואת הישר AB היא y = 4x – 15.

3. שימוש שלישי למילה קוטר.
מגודל הקוטר ניתן למצוא את גודל הרדיוס.
יתכן ויגידו לכם מה גודלו של הקוטר ויבקשו למצוא את הרדיוס.
למשל
משוואת מעגל היא   x – 3)² + (y + 8)² = R²)  וקוטרו של המעגל הוא 14 ס"מ.
חשבו את רדיוס המעגל.
רשמו את משוואת המעגל.

פתרון
הרדיוס שווה למחצית הקוטר ולכן:
R = 14 : 2 = 7
משוואת המעגל היא:
x – 3)² + (y + 8)² = 7²)

9. מציאת משוואת משיק למעגל

אם יודעים את משוואת המעגל ונקודה שעל המעגל ניתן למצוא את משוואת המשיק למעגל בנקודה זו בשלושה שלבים:

  1. מוצאים את שיפוע הרדיוס על פי שתי נקודות (נקודת מרכז המעגל והנקודה שעל המעגל).
  2. הרדיוס מאונך למשיק, לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק.
  3. מוצאים את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

תרגיל 1
הנקודה (A(-3 ,-2.5 נמצאת על המעגל   x – 2)² + (y + 4)² = 27.25).
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה A.

מציאת משיק למעגל  x - 2)² + (y + 4)² = 27.25). בנקודה (A(-3 ,-2.5
מציאת משיק למעגל  x – 2)² + (y + 4)² = 27.25). בנקודה (A(-3 ,-2.5

פתרון

נקודת מרכז המעגל היא (M (2, -4. נקודת ההשקה (A(-3 ,-2.5
נמצא את שיפוע הרדיוס MA.
שיפוע הרדיוס 0.3-

נגדיר את שיפוע המשיק כ k.
מכפלת שיפוע הרדיוס בשיפוע המשיק היא 1- (בגלל שהם מאונכים)
k * -0.3 = -1   / : -0.3
k = 3.333
נמצא את משוואת המשיק ששיפועו 3.333 ועובר בנקודה (A(-3 ,-2.5.
(y-y1=k(x-x1
((y – (-2.5) = 3.333(x – (-3
y + 2.5 = 3.333x  + 10  / -2.5
y = 3.333x + 7.5
תשובה: משוואת המשיק המבוקשת היא y = 3.333x + 7.5

תרגילים מסכמים

לאחר שלמדתם את כל מה שכתוב למעלה זה הזמן לפתור את התרגילים הכתובים כאן.
אם אחד הסעיפים קשה לכם אני ממליץ לכם להסתכל בחלק שלמעלה המסביר בעיה דומה ולראות אם זה עוזר לכם לפתור את הסעיף.

בהצלחה.

תרגיל 1

משוואת המעגל x – 2)² + (y-1)² = 29) חותכת את ציר ה y בנקודות A, B.
הנקודה B נמצאת מתחת לציר ה x.

  1. מצאו את הנקודות A, B.
  2. ממרכז המעגל מעבירים גובה אל ציר ה y
    שהמשכו חותך את המעגל בנקודה C
    הנמצאת ברביע השני. מצאו את הנקודה C.
  3. הנקודה D נמצאת על המעגל והישר BD הוא קוטר. מצאו את הנקודה D.
  4. חשבו את שטח המשולש MAB.

שרטוט התרגיל

פתרון

מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה y.
נציב x= 0 במשוואת המעגל.
y – 1)² + (0 – 2)² = 29)
y² – 2y + 1 + 4 = 29  / -29
y² – 2y – 24 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים.
פתרון בעזרת נוסחת השורשים

נקבל y = 6 או y = -4.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה x
הן  (A(0, 6)   B(0, -4

2. מציאת הנקודה C.
נקודת מרכז המעגל היא (M (2, 1.
ישר היוצא ממנה והוא גובה לציר ה y הוא ישר המקביל לציר ה x.
לישרים המקבילים לציר ה x יש ערך y קבוע. ומכוון שבנקודה M ערך ה y הוא 1. משוואת הישר היא y = 1.

כלומר, הישר MC חותך את המעגל כאשר y =1.
נציב y = 1 במשוואת המעגל
x – 2)² + (y-1)² = 29)
x – 2)² + (1 -1)² = 29)
x² -4x  + 4 + 0 = 29   / -29
x² – 4x -25 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:
פתרון בעזרת נוסחת השורשים

x1 = 7.385
x2 = -3.385
מכוון שהנקודה C נמצאת ברביע השני x2 = -3.385 זה הפתרון המבוקש.
תשובה: (C (-3.385, 1

מציאת הנקודה D
מרכז המעגל (M (2,1 הוא אמצע BD.
נשתמש ב  (B(0, -4)   M (2,1 והנוסחה לאמצע קטע על מנת למצוא את הנקודה D.

חישוב ערך ה x בנקודה D

xd = 4

חישוב ערך ה Y בנקודה D

yd  – 4 = 2  / +4
yd = 6
תשובה: הנקודה (D (4, 6

חישוב שטח משולש MAB
הנקודות הן  (A(0, 6)   B(0, -4
(M (2,1
נחשב את אורך הבסיס AB ואת אורך הגובה היוצא מהקודקוד M.
אורך AB
הנקודות A ו B הן בעלות ערך X שווה (0). לכן המרחק בניהן הוא רק על ציר ה Y.
10 = (4-) – 6

אורך הגובה היוצא מ M.
המרחק בין הנקודה M לציר ה x הוא 2.
לכן שטח המשולש הוא:
10 = 2 / (10 * 2)
תשובה: שטח המשולש 10 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2

נתון המעגל שמשוואתו x + 4)² + (y – 2)² = 25)

  1. הוכיחו כי הנקודה (A(-1, 6 נמצאת על המעגל.
    1. ב הנקודה נמצאת על ציר ה y ונמצאת מעל ציר ה x. מצאו את הנקודה B.
  2. הנקודה C נמצאת על היקף המעגל. מצאו את משוואת הקוטר AC.
  3. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה A.

שרטוט התרגיל

פתרון

הוכחה שבנקודה (A(-1, 6 נמצאת על המעגל
על מנת להוכיח מציבים את ערכי הנקודה במשוואת המעגל.
25 = ²(2 -6) + ²(4 + 1-)
25 =4² + 3²
25 = 16 + 9
תשובה: מכוון שהנקודה מקיימת את משוואת המעגל, הנקודה נמצאת על המעגל.

מציאת הנקודה B
הנקודה נמצאת על ציר ה y, לכן נציב x= 0 במשוואת המעגל על מנת למצוא אותה.
x + 4)² + (y – 2)² = 25)
y – 2)² + (0 +4)² = 25)
y² -4y + 4 + 16 = 25  / -25
y – 4y -5 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים:
פתרון בעזרת נוסחת השורשים
הפתרונות שנקבל:  y1 = 5,   y2 = -1
אמרו לנו שהנקודה B נמצאת מעל ציר ה x ולכן הפתרון המתאים y1 = 5.
תשובה: (B (0, 5

משוואת הקוטר AC.
איך מוצאים את משוואת הקוטר AC אם אין לנו שום מידע על C?
תשובה: משוואת הקוטר AC היא בדיוק משוואת הרדיוס AM, הנקודות A,M,C אלו 3 נקודות הנמצאות על ישר אחד.
(A(-1, 6)  M(-4,2
נמצא את השיפוע (t)
השיפוע 1.33
נציב את השיפוע ואת הנקודה A במשוואת הישר:
(y-y1=t(x-x1
(y – 6 = 1.33(x + 1
y -6 = 1.33x + 1.33  / +6
y = 1.33x + 7.33
תשובה: משוואת הקוטר היא y = 1.33x + 7.33

מציאת משוואת המשיק למעגל בנקודה A
אנו יודעים ששיפוע הרדיוס AM  הוא 1.33.
לכן שיפוע המשיק, המאונך לרדיוס בנקודה A הוא (K):
K * 1.33 = -1  / : 1.33
K = – 0.75
נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע K = – 0.75  והנקודה (A(-1, 6
(y-y1=k(x-x1
(y – 6 = -0.75 (x + 1
y – 6 = -0.75x – 0.75  / +6
y = -0.75 + 5.25
תשובה: משוואה המשיק למעגל בנקודה A היא y = -0.75 + 5.25.

שרטוט פתרון התרגיל
שרטוט פתרון התרגיל

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

16 מחשבות על “מעגל 3 יחידות שאלון 382”

  1. ממש משש מודה לך פשוט הסבר מצוין קצר ישר וקולע תוך שעה וחצי למדתי את הכל לעכשיו אני יודע להעשרת ה' יצליח בבגרות תודה רבה

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    מה הכוונה במשפט "ברביע הרביעי"? אשמח לשמוע הסבר כדי לפתור שאלות מסוג כזה.

    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן לחלק את מערכת הצירים ל 4 רביעים.
      הרביע הראשון הוא המקום שבו ציר הx וציר ה y חיוביים.
      ומשם מסתובבים כנגד כיוון השעון.
      הרביע הרביעי הוא המקום שבו ציר ה x חיובי וציר ה y שלילי.
      שרטוט תוכל למצוא בחלק השלישי של דף זה:
      http://www.m-math.co.il/math-7th-grade/details/cartesian-coordinate-system-introduction/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עוז
      פותח סוגריים של משוואות המעגלים.
      מחסר את המשוואות ומבודד את x או y.
      מציב את מה שקיבלת באחד ממשוואות המעגלים ואז יש לך משוואה עם נעלם אחד.
      בהצלחה

    1. וואי אין לי איך להודות
      ממש תודה רבה זה מקוצר מסודר בידיוק מה שצריך ומוסבר באופן כל כך ברור
      תודה רבההה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.