נוסחת השורשים

דף זה הוא החלק הראשון בנושא לימוד משוואה ריבועית.
יחד עם הדף בנושא טרינום הוא גם הדף החשוב ביותר.

לדף זה 5 חלקים:

  1. נסביר מדוע נדרשת דרך מיוחדת לפתרון המשוואה הריבועית.
  2. כיצד מזהים את הפרמטרים ומציבים אותם בנוסחת השורשים.
  3. פתרון מלא של 5 משוואות ריבועיות בעזרת נוסחת השורשים.
  4. תרגילים קשים יותר.
  5. נספח: דרכים קצרות יותר לפתרון משוואה ריבועית.

1. מדוע לא פותרים משוואה ריבועית כמו משוואה רגילה

אם נקבל משוואה ריבועית,למשל :
x²+7x+12=0
וננסה לבודד את x כפי שאנו רגילים במשוואה עם נעלם אחד.
נראה שאנחנו לא מצליחים.
x²+7x+12=0  / -12
x² + 7x = -12

ועכשיו מה עושים?
לא לניתן להגיע להגיע בקלות למצב שבו יש x בודד בצד אחד של המשוואה.
לכן פיתחו את נוסחת השורשים שמאפשרת בצורה פשוטה יחסית לפתור משוואה ריבועית.

2. זיהוי הפרמטרים של משוואה ריבועית

ax² + bx + c = 0

זה המבנה כללי של משוואה ריבועית.
a,b,c הם מספרים שבכול משוואה ריבועית מקבלים ערך אחר. קוראים להם פרמטרים.

a  הוא המספר הנמצא לפני x².
b  הוא המספר הנמצא לפני x.
c הוא המספר החופשי (המספר שאין x שצמוד אליו).

בואו וניתן מספר דוגמאות ונראה שאנחנו מזהים טוב את הפרמטרים.
זהו את הפרמטרים במשוואות הריבועיות הבאות:

  1. x² + 2x – 9 = 0
  2. 3x² – 5x +1 = 0
  3. 2x² + 5 = 0
  4. 3x² + 8x = 0
  5. 3x – 6 + 4x² =0

פתרונות

  1. x² + 2x – 9 = 0.    a = 1, b = 2, c = -9
  2. 3x² – 5x +1 = 0.   a=3,  b= -5,   c = 1
  3. 2x² + 5 = 0.   a = 2,  b = 0  c = 5    (הערה: אין x בחזקת 1 זה אומר ש b= 0)
  4. 3x² + 8x = 0.   a = 3, b = 8,   c = 0   (הערה: כאשר אין מספר חופשי c = 0).
  5. 3x – 6 + 4x² = 0   a=4,  b = 3,  c = -6   (הערה: אין חשיבות לסדר שבו המשוואה כתובה).

הצבת הפרמטרים בנוסחת השורשים

לאחר שיש לנו את המספרים a,b,c אנו מציבים אותם במשוואת השורשים.

אם המשוואה הריבועית הוא ax² +bx+c=0
אז נוסחת השורשים היא:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

חשוב להדגיש כי נוסחת השורשים היא רק אחת מהדרכים לפתור משוואה ריבועית. דרכים נוספות תמצאו בהמשך הדף.

3. תרגילים

מצורפים 5 משוואות ריבועיות. לאחריהן מופיעים התשובות הסופיות של התרגילים ולאחריהן יש את הפתרונות המלאים של התרגילים.
פתרו את המשוואות הריבועיות הבאות:

  1. x²+7x+12=0
  2. x²-3x-10=0
  3. 4x²-7x+2=0-
  4. 4x²-12x+9=0
  5. x²+6x-10=0-

תשובות סופיות וזיהוי הפרמטרים:

תרגיל 1
x²+7x+12=0
a=1,  b=7,   c=12
x1= -4, x2= -3

תרגיל 2
x²-3x-10=0
a=1, b=-3, c=-10
תשובה: x1=5, x2=-2.

תרגיל 3
4x²-7x+2=0-
a=-4, b=-7, c=2
x1=-2, x2=0.25

תרגיל 4
4x²-12x+9=0
a=4, b=-12, c=9
x=1.5

תרגיל 5
x²+6x-10=0-
a=-1,  b=6,  c=-10
פתרונות: למשוואה זו אין פתרונות (כי הביטוי שבתוך השורש שלילי, כפי שנראה בפתרון המלא).

פתרונות מלאים לתרגילים

תרגיל 1
פתרו את המשוואה הריבועית
x²+7x+12=0

פתרון
הפרמטרים הם:
a=1, b=7, c=12
נציב את הפרמטרים בנוסחת השורשים

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

פתרון: x1 = -3,   x2 = -4

תרגיל 2
פתרו את המשוואה הריבועית
x²-3x-10=0

פתרון
הפרמטרים הם:
a=1, b=-3, c=-10
נציב את הפרמטרים בנוסחת השורשים

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

תשובה: x1 = 5,   x2 = -2.

תרגיל 3
פתרו את המשוואה הריבועית
4x²-7x+2=0-

פתרון
הפרמטרים הם:
a=-4, b=-7, c=2
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

תשובה: x1 = -2,   x2 = 0.25.

תרגיל 4
פתרו את המשוואה הריבועית
4x²-12x+9=0

פתרון
הפרמטרים הם:
a=4, b=-12, c=9
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

תשובה: למשוואה זו פתרון אחד בלבד והוא x = 1.5.

תרגיל 5
פתרו את המשוואה הריבועית
x²+6x-10 = 0-

פתרון
הפרמטרים הם:
a= -1, b=6, c=-10
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

בתוך השורש נמצא הביטוי
4-√ = (40 – 36)√
למספר שלילי אין שורש, לכן למשוואה הריבועית אין פתרון.

מספר הפתרונות של נוסחת השורשים

למשוואה ריבועית יכולים להיות 0 או 1 או 2 פתרונות.
מספר הפתרונות תלוי אך ורק בביטוי שנמצא בתוך השורש של נוסחת השורשים
b² – 4ac > 0   ויש 2 פתרונות.
b² – 4ac  = 0  ויש פתרון אחד.
b² – 4ac < 0  ואין למשוואה פתרון.

4.פתרון משוואות ריבועיות קשות יותר

חלק זה מיועד לתלמידים טובים בהקבצה א בכיתה ט.

במשוואות הריבועיות הקודמות קיבלנו משוואה והפעולה הראשונה שלנו הייתה לזהות את הפרמטרים ולהציב אותם בנוסחת השורשים.

בחלק הזה של הדף נפתור משוואות ריבועיות שצריך לפתוח סוגריים, לכנס איברים ולהעביר אגפים ורק אז לפתור את המשוואה שהתקבלה.

  1. 2x² – 2x + 1 = (x+ 2)²
  2. x – 3)² + 2x² = (x + 2)²)
  3. 2x +1)² – 8x  = (3x -1)²)
  4. ²(x + 9)(x+1) + x² = (x + 5)

פתרונות

תרגיל 1
2x² – 2x + 1 = (x+ 2)²
2x² – 2x +1 = x² + 4x + 4    / -x² – 4x -4
x² – 6x -3 = 0
הפרמטרים של המשוואה הריבועית הם:
a = 1,  b = -6,  c = -3
פתרון התרגיל

תרגיל 2:
x – 3)² + 2x² = (x + 2)²)
x² – 6x + 9 + 2x² = x² + 4x + 4
3x² – 6x + 9 = x² + 4x + 4    / -x² – 4x – 4
2x² -10x + 5 = 0
הפרמטרים שלנו הם:   a = 2,   b = -10,   c = 5

תרגיל 3: 
2x +1)² – 8x  = (3x -1)²)
4x² + 4x + 1 – 8x = 9x² -6x +1 
4x² – 4x + 1 = 9x² -6x +1 / -4x² + 4x – 1
5x² -2x = 0  

במקום להשתמש בנוסחת השורשים ניתן להוציא x גורם משותף.
x (5x – 2) = 0
x  = 0,   5x – 2 = 0
x = 0,   x = 0.4

תרגיל 4
²(x + 9)(x+1) + x² = (x + 5)
x² + x + 9x + 9 + x² = x² + 10x + 25
2x² + 10x + 9 = x² + 10x + 25

ניתן להעביר את כל האיברים לצד אחד ואז לפתור בעזרת נוסחת השורשים.
הדרך הקצרה יותר היא לשים לב ש 10x מתבטל בשני הצדדים, ולכן ניתן לפתור בדרך קצרה יותר.
נבודד את x² בריבוע בצד אחד ואת המספרים בצד השני.

2x² + 10x + 9 = x² + 10x + 25   / -x² – 10x – 9
x² = 16
x = 4,   x = -4

5.נספח: מקרים בהם ניתן לפתור בדרך יותר קצרה מנוסחת השורשים

נוסחת השורשים היא דרך בה תוכלו לפתור כל משוואה ריבועית.

אבל יש מקרים בהם ניתן לפתור משוואה ריבועית בדרך קצרה יותר.

פתרון משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים

ax² + bx + c = 0
זה המראה הכללי של משוואה ריבועית.
כאשר a=0 נשארים עם:
bx + c = 0 וזו לא משוואה ריבועית, זו משוואה רגילה.

כאשר b או c שווים ל 0 אנו נשארים עם:
ax² + bx = 0
ax² + c = 0
ואלו כן משוואות ריבועיות שניתן לפתור בדרך קלה יותר.

למשל   ax² + c = 0
במקרה הזה נבודד את ax² בצד אחד של המשוואה ואת c בצד השני.
x² – 9 = 0   / +9
x² = 9
x = 3,   x = -3
(זכרו שלביטוי x² = k  יש שני פתרונות).

דוגמה נוספת:
2x² + 50 = 0  / -50
2x² = -50  / :2
x²  = -25
מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי לכן למשוואה הזו אין פתרונות (ותחשבו כמה זמן היה לוקח להגיע למסקנה הזו דרך נוסחת השורשים).

דוגמאות ל: ax² + bx = 0
מצב זה מתקבל כאשר c = 0.
במצב זה נוציא את x גורם משותף.
ונשען על הכלל האומר שאם מכפלת שני ביטויים היא 0 אז אחד מיהם לפחות צריך להיות שווה ל 0.
אם a * b = 0 אז:
a = 0 או b = 0.

x² + 3x = 0
x (x + 3) = 0
x = 0, או  x + 3 = 0
x = 0 או   x = -3

3x² -5x = 0
x (3x – 5) = 0
x = 0  או 3x – 5 = 0
x = 0 או   x = 1.666

סוג שני של פתרון: כאשר משני צדדי המשוואה יש איברים בריבוע

משוואה כמו:
x – 2)² = 4²)
במקרה זה אין צורך לפתוח סוגריים, לכנס איברים, להעביר אגפים…. . אלא ניתן להגיד
x – 2 = 4   או x – 2 = -4
x = 6  או  x = -6.
דוגמאות נוספות ויותר קשות תוכלו למצוא בדף השלמה לריבוע.

סוג שלישי של פתרון: פירוק הטרינום

סוג זה של פתרונות קשה להסבר קצר ותוכלו למצוא הסבר מפורט בדף פירוק הטרינום.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

25 מחשבות על “נוסחת השורשים”

  1. משתמש אנונימי

    שלום
    אם בנוסחת השורשים a=0. אז אין פתרון?
    כי מחלקים את החלק העליון של הנוסחא ב 0 ואי אפשר לחלק ב 0.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם a = 0 זו הופכת למשוואה שאינה ריבועית כי אין בה איקס בריבוע.
      במקרה זה (שבו a = 0) פותרים כמו משוואה עם נעלם אחד רגילה ולא משוואה ריבועית.

  2. הי, יש סיכוי שהמורה שלי בחרה ללמד דווקא את הפתרון עם הטרינום? ואם אני אלמד דווקא את נוסחת השורשים שנראת לי יותר קלה בשבילי זה יבלבל אותי?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שיר
      כל התלמידים צריכים לדעת את נוסחת השורשים.
      ורוב התלמידים צריכים לדעת גם את הטרינום.

      איני יודע מה סדר הלימוד של המורה שלך – כדאי לשאול אותה.
      אבל בסופו של דבר צריך לדעת את נוסחת השורשים. יש תרגילים שהיא פותרת ולא ניתן לפתור בעזרת טרינום.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    במשוואות הקשות יותר
    יש את תרגיל 1
    בהעברת האגפים ופיתרון
    2x-4x-
    זה יוצא 8x-
    ולא 6x-

  4. היי.
    קודם כל תודה רבה על האתר המדהים!
    דבר שני, לא מצאתי כל כך דוגמא לנוסחת השורשים במשוואה עם פרמטרים. האם זה דבר אפשרי בכלל?
    במידה וכן אפשר לקבל דוגמא/הסבר?
    תודה רבה.

  5. בפיתרון של תרגיל 3:
    2^(1-×3) = ×8 – 2^(1+×2)
    1 + ×6 – 2^×9 = ×8 – 1 + ×4 + 2^×4
    מאיפה ה×4 וה×6 באו?

      1. שלום
        בתרגיל הזה,
        בשלב זה- 1 + ×6 – 2^×9 = ×8 – 1 + ×4 + 2^×4
        המשכת לפתרון כך:
        4x² + 4x + 1 – 8x = 9x² -6x +1 / -4x² – 4x – 1
        מדוע לעשות 4x-? הרי יש בצד שמאל של המשוואה 4X- ובצד ימין 6X- ?

        תודה!

        1. לומדים מתמטיקה

          תודה, הייתה שם טעות. לא התחשבתי ב 8x-
          תיקנתי והפתרון נראה כך:
          4x² + 4x + 1 – 8x = 9x² -6x +1 
          4x² – 4x + 1 = 9x² -6x +1 / -4x² + 4x – 1
          5x² -2x = 0  

  6. אנונימית...

    היי, קודם כל תודה רבה על האתר המדהים הזה הוא עוזר לי ממש כשאני לומדת למבחנים ,תודה רבה (:
    שאלה:
    אם ה b הוא שלילי -לכתוב אותו בשורש [b^2] בסוגריים או ללא סוגריים ואם כן איפה צריך להיות המינוס והחזקה- בתוך הסוגריים או מחוץ להן?
    אשמח לתשובה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם ה b שלילי אז הוא שלילי.
      כלומר צריך להציב מספר שלילי בנוסחה.
      המספר השלילי צריך להיות בתוך הסוגריים כאשר גם המינוס נמצא בתוך הסוגריים ומועלה בריבוע.
      למשל אם b = -7 אז b^2 = 49
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יואב.
      ניתן להציב a שלילי בנוסחת השורשים, אין בזה בעיה מתמטית.
      אבל a שלילי לפעמים גרם לשגיאות בגלל חוסר תשומת לב למינוס.
      לכן יש כאלו המכפילים את כל המשוואה ב 1- על מנת לקבל a חיובי, וכמובן שגם את זה צריך לעשות בזהירות ולשנות את הסימן לכל האיברים.
      מקווה שעזרתי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      משתמשים בנוסחת השורשים כאשר רוצים לפתור משוואה ריבועית.
      נוסחת השורשים פותרת כל משוואה ריבועית.
      אבל יש דרכים קלות יותר שיכולות לפתור חלק מהמשוואות הריבועיות. היתרון של הדרכים הללו הוא שהן קצרות יותר אבל חסרונן הוא שהן פותרות רק חלק מהמשוואות הריבועיות.
      מידע על הדרכים הללו כאן:
      http://www.m-math.co.il/algebra/equations/quadratic-equation-shortcuts/

      בקיצור משתמשים כאשר רוצים לפתור משוואה ריבועית אבל כדאי לדעת גם דרכים נוספות.
      מקווה שעזרתי.

  7. טעות נפוצה מספר 5 :

    לחשב את החזקה ומייד לאחר מכן לחסר 4.
    ואז לכפול את ac

    גם זו טעות שראיתי תלמידים מבצעים

  8. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    תרגיל 5

    -x²+6x-10=0

    מדוע, יש מינוס אחרי ה-0, האם זה חוקי במשוואה ריבועית?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      תודה על ההערה. מדובר בטעות כתיב שתיקנתי עכשיו.
      המינוס צריך להיות על ה x בריבוע ולא על ה 0.
      תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יואב.
      הוספתי הקדמה שמסבירה מה הרעיון של נוסחת השורשים.
      תראה עם זה עוזר.
      אם לא אשמח אם תשאיר כאן עוד שאלה אבל יותר ממוקדת לגבי הנקודה שאתה לא מבין.
      בחר משהוא מהאפשרויות הבאות.
      1) למה משתמשים בנוסחת השורשים.
      2) איך מוצאים את המספר a,b,c.
      3) איך מציבים את a,b,c בנוסחת השורשים.
      4) מה עושים לאחר שמציבים את a,b,c בנוסחת השורשים.
      5) מהמשמעות הפתרון שיוצא בסוף נוסחת השורשים.
      6) משהוא אחר שלא כתוב כאן.
      תודה

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.