דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)
הנוסחאות הללו נקראות דו איבר בריבוע.

הדף מחולק ל 7 חלקים:

1. תקציר
2. הוכחת הנוסחאות.
3. תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים.
4. תרגילים בהם צריך לסגור סוגריים.
5. פתיחת סוגריים כאשר צריך לכפול באיבר נוסף
6. מקרים מיוחדים.
7. פתיחת סוגריים עם שברים

1.תקציר

א.פתיחת סוגריים

לצורך פתיחת סוגריים נשתמש בנוסחאות:

a + b)² = a² + 2ab + b²)
a – b)² = a² – 2ab + b²)

דוגמה 1
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)² = x² – 2*x* 4  + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (קשה יותר)
4x – 3)² = (4x)² -2*4x*3 +3²)
16x² – 24x + 9

(דוגמה 4 (מינוס לפני סוגריים
– (x + 5)² = – (x² + 10x + 25)
= -x² – 10x – 25

דוגמה 5 (מספר לפני הסוגריים).

5(x – 2)² = 5 (x² – 4x + 4)

ועכשיו נכפיל את מה שבתוך הסוגריים ב 5.
5x² – 20x +20

ב.סגירת סוגריים

לצורך סגירת סוגריים נשתמש בנוסחאות בכיוון הזה:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

לא כל שלושה איברים שנפגוש יתאימו לסגירת סוגריים בעזרת הנוסחאות של דו איבר בריבוע.
על מנת שהאיברים יתאימו הם לרוב צריכים לכלול:

1. לשני המספרים בקצוות יש שורש עגול.
2. האיבר האמצעי מתאים ל 2ab.

דוגמה 1
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

הסבר:

• x², 9  הם שני מספרים עם שורש עגול ( x, 3)
• 6x מתאים ל 2ab שהם במקרה הזה 2x * 3.

דוגמה 2
x² – 10x + 25 = (x – 5)²

דוגמה 3 (עם שבר)
x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

דוגמה 4 (עם הוצאת גורם משותף)
(x³ + 4x² + 4x = x (x² + 4x + 4
x (x +2)²

דוגמה 5 (מקדם x² גדול מ 1)
9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

ג.מקרים מיוחדים

a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

בשתי המשוואות הללו אנו מקבלים שני איברים חיוביים.
או שרק האיבר הימני שלילי.

1.מה נעשה כאשר השמאלי שלילי?
למשל:
2x + 3)²-)

במקרה זה נשנה את מיקום האיברים:
2x + 3)² = (3 – 2x)² = 9 -12x + 4x²-)

2.מה נעשה כאשר שני האיברים שבתוך הסוגריים שליליים
למשל:
3x – 2b)²-)

נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 3x- ובמקום b נציב 2b-.

3x – 2b)² = (-3x)² + 2 * (-3x) * (-2b)  + (-2b)²-)
9x² + 12xb  + 4b²

*הערה 1
נשים לב שקיבלנו 3 איברים חיוביים.
בפועל מתקיים השוויון:
3x – 2b)² = (3x + 2b)²-)

*הערה 2
חלק ממכם יכול להתפתות להוציא את המינוס כגורם משותף בצורה הזו:
3x – 2b)² = -(3x + 2b)²-)
אך זו פעולה לא נכונה, אסור לעשות אותה.

3. (לתלמידי 5 יחידות) ניתן להשתמש בנוסחה גם עבור שברים

שימו לב שכאשר מעלים שבר בריבוע מעלים בנפרד את המונה בריבוע ואת המכנה בריבוע.

2.הוכחת הנוסחאות

על פי הכלל הבסיסי של חזקות אנו יודעים כי
(a + b)² = (a + b) (a + b)

אם כך ניקח את הביטוי
(a + b) (a + b)
ונפתח את הסוגריים:

(a + b) (a + b) = a*a + ab + ba + b*b
a² + 2ab + b²

וכך הוכחנו:
(a+b)²= a²+2ab+b²

הוכחה עבור הנוסחה
(a-b)²= a²-2ab+b²
בצורה דומה נוכל לכתוב:

(a – b)² = (a – b) * (a – b)
a*a + a * (-b) + (-b) * a + (-b) * (- b)
a² – ab – ab + b²
a² -2ab + b²

3.פתיחת סוגריים

בחלק זה נשתמש בשתי הנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

על מנת לפתוח סוגריים.
כלומר נקבל ביטויים כמו:
x + 3)²)
x – 4)²)
ונפתח להם את הסוגריים.

דוגמה 1
x + 3)²)

פתרון
על פי הנוסחה a + b)²= a² + 2ab + b²)
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)²)

פתרון
על פי הנוסחה a – b)² = a² – 2ab + b²)
x – 4)²) = x² – 2*x* 4  + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (מקדם של a גדול מ 1)
4x – 3)²)

פתרון
מעבר לנוסחה שבה השתמשנו עד עכשיו נשתמש גם בחוק החזקה האומר כי:
a*b)² = a² * b²)
במקרה שלנו נקבל:
4x)² = 4²x² = 16x²)

נחזור אל הביטוי עצמו:
4x – 3)² =(4x)² -2*4x*3 +3² = 16x² – 24x + 9)

דוגמה 4 (מינוס לפני הסוגריים).

פתרון
במקרה זה בשלב ראשון נפתח על פי נוסחאות הכפל המקוצר ונשאיר את המינוס מחוץ לסוגריים.

ולאחר מיכן נכפיל את מה שיש בסוגריים ב 1-.

תרגילים

תרגילים 6-10 קשים יותר.

1.   x + 1)²)
2.   x + 6)²)
3.   x + 10)²)
4.   x – 2)²)
5.   x – 5)²)
6.   x – 0.5)²)
7. 2x +4)²)
8.  3x – 2)²)
9. 4x+1)²)
10. 3x – 5b)²)

פתרונות

תרגיל 1
x + 1)²)

תרגיל 2
x + 6)²)

תרגיל 3
x + 10)²)

תרגיל 4
x – 2)²)

תרגיל 5
x – 5)²)

תרגיל 6
x – 0.5)²)

תרגיל 7
= 2x +4)²)

תרגיל 8
= 3x – 2)²)

תרגיל 9
4x+1)²)

תרגיל 10
3x – 5b)²)

4.סגירת סוגריים

בחלק זה נקבל ביטוי הנראה כך:
a² + 2ab + b²
ונצטרך ליצור ביטוי הנראה כך:
a + b)²)

בחלק זה נשתמש במשוואות
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

דוגמה 1
= x² + 6x + 9

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

דוגמה 2
= x² – 10x + 25

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 10x + 25 = (x – 5)²

דוגמה 3 (עם שבר)
= x² + x + 0.25

פתרון
x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

דוגמה 4 (עם הוצאת גורם משותף)
= x³ + 4x² + 4x

פתרון
(x³ + 4x² + 4x = x (x² + 4x + 4
x (x +2)²

דוגמה 5 (מקדם x² גדול מ 1)
= 9x² + 12x + 4

פתרון
9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

תרגילים

שימו לב: בין התרגילים משולבים תרגילים שבהם לא ניתן להשתמש בנוסחה.

1.   = x² + 8x + 16
2.  = x² – 20x + 100
3.   = x² + 4x + 9
4.   = x² + 14x + 49
5.   = x² – 2x + 1
6.   = x² + 10x + 20

תרגילים קשים יותר:

1.  = x³ – 10x² + 25x
2.  = 4x² – 16x +16
3. = 25x² + 30x + 9
4. = 18x² – 60x + 50

פתרונות

תרגיל 1
= x² + 8x + 16

תרגיל 2
= x² – 20x + 100

תרגיל 3
= x² + 4x + 9

תרגיל 4
= x² + 14x + 49

תרגיל 5
= x² – 2x + 1

תרגיל 6
= x² + 10x + 20

פתרונות לתרגילים קשים יותר

תרגיל 1
= x³ – 10x² + 25x

תרגיל 2
= 4x² – 16x +16

תרגיל 3
= 25x² + 30x + 9

תרגיל 4
= 18x² – 60x + 50

5.פתיחת סוגריים עם כפל באיבר נוסף

כיצד נפתור תרגיל שבו יש לנו מספר לפני הסוגריים שאנו צריכים לפתוח?

פתרון
על פי סדר פעולות חשבון עלינו להתייחס קודם כל לחזקה ורק לאחר מיכן להכפיל פי 3.
לכן הפעולה הראשונה תהיה שימוש בנוסחה לדו איבר בריבוע.
בצורה הזו:

דוגמה 2 כאשר יש מינוס לפני הסוגריים
למשל:
x – 5)²)-

פתרון
מינוס לפני סוגריים זה כמו 1- כפול הסוגריים.
גם כאן עלינו קודם לבצע את פעולה החזקה ולאחר מיכן להכפיל ב 1-.

(x – 5)² = -1(x -5)² = -1 (x² – 10x + 25)
x² + 10x  -25-

דוגמה 3: פרמטר לפני הסוגריים
a (x +3)²

פתרון
(a (x +3)² = a (x² + 6x + 9
ax² + 6ax + 9a

דוגמה 4: כמו דוגמה 1

תשובה

ועכשיו נכפיל את מה שבתוך הסוגריים ב 5.
5x² – 20x +20

6.מקרים מיוחדים

a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

בשתי המשוואות הללו אנו מקבלים שני איברים חיוביים.
או שרק האיבר הימני שלילי.

1.מה נעשה כאשר השמאלי שלילי?
למשל:
2x + 3)²-)

במקרה זה נשנה את מיקום האיברים:
2x + 3)² = (3 – 2x)² = 9 -12x + 4x²-)

2.מה נעשה כאשר שני האיברים שבתוך הסוגריים שליליים
למשל:
3x – 2b)²-)

נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 3x- ובמקום b נציב 2b-.

3x – 2b)² = (-3x)² + 2 * (-3x) * (-2b)  + (-2b)²-)
9x² + 12xb  + 4b²

*הערה 1
נשים לב שקיבלנו 3 איברים חיוביים.
בפועל מתקיים השוויון:
3x – 2b)² = (3x + 2b)²-)

*הערה 2
חלק ממכם יכול להתפתות להוציא את המינוס כגורם משותף בצורה הזו:
3x – 2b)² = -(3x + 2b)²-)
אך זו פעולה לא נכונה, אסור לעשות אותה.

תרגילים

1. 6x + 2b)²-)
2. 6x – 3a)²-)

פתרונות

תרגיל 1 
6x + 2b)²-)

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל נכתוב את התרגיל בסדר שנוח לנו:
6x + 2b)² = (2b – 6x)²-)

נפתור בעזרת הנוסחה:
a – b)²= a² – 2ab + b²)
ונקבל:
2b – 6x)² =(2b)² – 2 * 2b * 6x + (6x)²)
4b² – 24bx + 36x²

תרגיל 2
6x – 3a)²-)

פתרון
נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 6x- ובמקום b נציב 3a-.

6x – 3a)² = (-6x)² + 2 * (-6x) * (-3a)  + (-3a)²-)
36x² + 36xb  + 9a²

עוד באתר:

• נוסחאות הכפל המקוצר – השלב הבא בלימוד שלכם.
• מתמטיקה לכיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• מבחן בנושא דו איבר בריבוע

7.פתיחת סוגריים עם שברים

בחלק זה נפתור 3 תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים המורכבות מאיברים עם שברים.

את התשובה הסופית נציג כשבר יחיד, לאחר יצירת מכנה משותף בין כל השברים.

תרגיל 1

פתרון

הסיבה ש 400x² הוא המכנה המשותף היא בגלל שעבור המספרים 16,20,25 המכנה המשותף הוא 400.
ו x² הוא גורם המופיע במכנה.
עוד על מכנה משותף תוכלו ללמוד בדף:

1. מכנה משותף – מכנה משותף של מספרים.
2. חיבור וחיסור שברים אלגבריים – מכנה משותף כאשר המכנה הוא מספר.

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון