דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחאות

a + b)² = a² + 2ab + b²)

a – b)² = a² – 2ab + b²)

הנוסחאות הללו נקראות דו איבר בריבוע.

הדף מחולק ל 7 חלקים:

1. תקציר
2. הוכחת הנוסחאות.
3. תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים.
4. תרגילים בהם צריך לסגור סוגריים.
5. פתיחת סוגריים כאשר צריך לכפול באיבר נוסף
6. מקרים מיוחדים.
7. פתיחת סוגריים עם שברים

1.תקציר

2.הוכחת הנוסחאות

על פי הכלל הבסיסי של חזקות אנו יודעים כי
(a + b)² = (a + b) (a + b)

אם כך ניקח את הביטוי
(a + b) (a + b)
ונפתח את הסוגריים:

(a + b) (a + b) = a*a + ab + ba + b*b
a² + 2ab + b²

וכך הוכחנו:
(a+b)²= a²+2ab+b²

הוכחה עבור הנוסחה
(a-b)²= a²-2ab+b²
בצורה דומה נוכל לכתוב:

(a – b)² = (a – b) * (a – b)
a*a + a * (-b) + (-b) * a + (-b) * (- b)
a² – ab – ab + b²
a² -2ab + b²

3.פתיחת סוגריים

בחלק זה נשתמש בשתי הנוסחאות

a + b)²= a² + 2ab + b²)

a – b)²= a² – 2ab + b²)

על מנת לפתוח סוגריים.
כלומר נקבל ביטויים כמו:
x + 3)²)
x – 4)²)
ונפתח להם את הסוגריים.

דוגמה 1
x + 3)²)

פתרון
על פי הנוסחה a + b)²= a² + 2ab + b²)
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)²)

פתרון
על פי הנוסחה a – b)² = a² – 2ab + b²)
x – 4)²) = x² – 2*x* 4  + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (מקדם של a גדול מ 1)
4x – 3)²)

פתרון
מעבר לנוסחה שבה השתמשנו עד עכשיו נשתמש גם בחוק החזקה האומר כי:
a*b)² = a² * b²)
במקרה שלנו נקבל:
4x)² = 4²x² = 16x²)

נחזור אל הביטוי עצמו:
4x – 3)² =(4x)² -2*4x*3 +3² = 16x² – 24x + 9)

דוגמה 4 (מינוס לפני הסוגריים).

פתרון
במקרה זה בשלב ראשון נפתח על פי נוסחאות הכפל המקוצר ונשאיר את המינוס מחוץ לסוגריים.

ולאחר מיכן נכפיל את מה שיש בסוגריים ב 1-.

תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר תרגילים

תרגילים 6-10 קשים יותר.

1.   x + 1)²)
2.   x + 6)²)
3.   x + 10)²)
4.   x – 2)²)
5.   x – 5)²)
6.   x – 0.5)²)
7. 2x +4)²)
8.  3x – 2)²)
9. 4x+1)²)
10. 3x – 5b)²)

פתרונות

תרגיל 1
x + 1)²)

 

תרגיל 2
x + 6)²)

תרגיל 3
x + 10)²)

תרגיל 4
x – 2)²)

תרגיל 5
x – 5)²)

תרגיל 6
x – 0.5)²)

תרגיל 7
= 2x +4)²)

תרגיל 8
= 3x – 2)²)

תרגיל 9
4x+1)²)

תרגיל 10
3x – 5b)²)

4.סגירת סוגריים