דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)
הנוסחאות הללו נקראות דו איבר בריבוע.

הדף מחולק ל 6 חלקים:

הוכחת הנוסחאות.
תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים.
תרגילים בהם צריך לסגור סוגריים.
פתיחת סוגריים כאשר צריך לכפול באיבר נוסף
מקרים מיוחדים.
פתיחת סוגריים עם שברים

באתר דפים נוספים בנושא נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים:

הנוסחה להפרש ריבועים (a² – b²= (a-b)*(a+b.
נוסחאות הכפל המקוצר פתרון משוואות בעזרת שלושת הנוסחאות (דף מסכם).
פתרון משוואות עם שברים אלגבריים – מכל הסוגים.
טרינום – כיצד לפרק טרינום.
פירוק לגורמים – כל השיטות.

1.הוכחת הנוסחאות

על פי הכלל הבסיסי של חזקות אנו יודעים כי
(a + b)² = (a + b) (a + b)

אם כך ניקח את הביטוי
(a + b) (a + b)
ונפתח את הסוגריים:

a + b) (a + b) = a*a + ab + ba + b*b)
a² + 2ab + b²

וכך הוכחנו:
a+b)²= a²+2ab+b²)

הוכחה עבור הנוסחה a-b)²= a²-2ab+b²)
בצורה דומה נוכל לכתוב:

(a – b)² = (a – b) * (a – b)
(a*a + a * (-b) + (-b) * a + (-b) * (- b
a² – ab – ab + b²
a² -2ab + b²

2.פתיחת סוגריים

בחלק זה נשתמש בשתי הנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

על מנת לפתוח סוגריים.
כלומר נקבל ביטויים כמו:
x + 3)²)
x – 4)²)
ונפתח להם את הסוגריים.

דוגמה 1
x + 3)²)

פתרון
על פי הנוסחה a + b)²= a² + 2ab + b²)
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)²)

פתרון
על פי הנוסחה a – b)² = a² – 2ab + b²)
x – 4)²) = x² – 2*x* 4 + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (מקדם של a גדול מ 1)
4x – 3)²)

פתרון
מעבר לנוסחה שבה השתמשנו עד עכשיו נשתמש גם בחוק החזקה האומר כי:
a*b)² = a² * b²)
במקרה שלנו נקבל:
4x)² = 4²x² = 16x²)

נחזור אל הביטוי עצמו:
4x – 3)² =(4x)² -2*4x*3 +3² = 16x² – 24x + 9)

דוגמה 4 (מינוס לפני הסוגריים).

פתרון
במקרה זה בשלב ראשון נפתח על פי נוסחאות הכפל המקוצר ונשאיר את המינוס מחוץ לסוגריים.

ולאחר מיכן נכפיל את מה שיש בסוגריים ב 1-.

תרגילים

תרגילים 6-10 קשים יותר.

x + 1)²)
x + 6)²)
x + 10)²)
x – 2)²)
x – 5)²)
x – 0.5)²)
2x +4)²)
3x – 2)²)
4x+1)²)
3x – 5b)²)

פתרונות

תרגיל 1
x + 1)²)

פתרון
x + 1)² = x² + 2x *1 + 1²)
x² + 2x + 1

תרגיל 2
x + 6)²)

פתרון
x + 6)² = x² + 2x *6 + 6²)
x² + 12x + 36

תרגיל 3
x + 10)²)

פתרון
x + 10)² = x² + 2x *10 + 10²)
x² + 20x + 100

תרגיל 4
x – 2)²)

פתרון
x – 2)² = x² – 2x *2 + 2²)
x² – 4x + 4

תרגיל 5
x – 5)²)

פתרון
x – 5)² = x² – 2x *5 + 5²)
x² – 10x + 25

תרגיל 6
x – 0.5)²)

פתרון
x – 0.5)² = x² – 2x *0.5 + 0.5²)
x² – x + 0.25

תרגיל 7
= 2x +4)²)

פתרון
2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)

תרגיל 8
= 3x – 2)²)

פתרון
3x-2)² = 9x² – 12x + 4)

תרגיל 9
4x+1)²)

פתרון
4x+1)² = 16x² +8x +1)

תרגיל 10
3x – 5b)²)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a-b)²= a²-2ab+b²)
ונקבל:
3x)² – 30xb+ (5b)² = 9x² – 30xb + 25b²)

3.סגירת סוגריים

בחלק זה נקבל ביטוי הנראה כך:
a² + 2ab + b²
ונצטרך ליצור ביטוי הנראה כך:
a + b)²)

בחלק זה נשתמש במשוואות
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

דוגמה 1
= x² + 6x + 9

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

דוגמה 2
= x² – 10x + 25

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 10x + 25 = (x – 5)²

דוגמה 3 (עם שבר)
= x² + x + 0.25

פתרון
x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

דוגמה 4 (עם הוצאת גורם משותף)
= x³ + 4x² + 4x

פתרון
(x³ + 4x² + 4x = x (x² + 4x + 4
x (x +2)²

תרגיל 5 (מקדם x² גדול מ 1)
= 9x² + 12x + 4

פתרון
9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

תרגילים

שימו לב: בין התרגילים משולבים תרגילים שבהם לא ניתן להשתמש בנוסחה.

= x² + 8x + 16
= x² – 20x + 100
= x² + 4x + 9
= x² + 14x + 49
= x² – 2x + 1
= x² + 10x + 20

תרגילים קשים יותר:

= x³ – 10x² + 25x
= 4x² – 16x +16
= 25x² + 30x + 9
= 18x² – 60x + 50

פתרונות

תרגיל 1
= x² + 8x + 16

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 8x + 16 = (x + 4)²

תרגיל 2
= x² – 20x + 100

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 20x + 100 = (x – 10)²

תרגיל 3
= x² + 4x + 9

פתרון
משוואה זו לא מתאימה לנוסחת הכפל המקוצר
a² + 2ab + b² = (a + b)²
משום שאם
a = 1, b = 3
אז האיבר 2ab
צריך להיות שווה ל 6x
ובמשוואה שקיבלנו יש 4x.
לכן לא ניתן לבצע את הפירוק.

תרגיל 4
= x² + 14x + 49

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 14x + 49 = (x + 7)²

תרגיל 5
= x² – 2x + 1

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 2x + 1 = (x – 1)²

תרגיל 6
= x² + 10x + 20

פתרון
משוואה זו לא מתאימה לנוסחת הכפל המקוצר
a² + 2ab + b² = (a + b)²
משום שאם
a = 1, b = √20
אז האיבר 2ab
צריך להיות שווה ל 20√*2x
ובמשוואה שקיבלנו יש 10x.
לכן לא ניתן לבצע את הפירוק.

פתרונות לתרגילים קשים יותר

תרגיל 1
= x³ – 10x² + 25x

פתרון
נוציא x כגורם משותף.
(x³ – 10x² + 25x = x(x² – 10x + 25

עכשיו נשתמש בנוסחה:
a² – 2ab + b² = (a – b)²
x(x² – 10x + 25) = x (x – 5)²

תרגיל 2
= 4x² – 16x +16

פתרון
נוציא 4 כגורם משותף.
(4x² – 16x +16 = 4(x² – 4x + 4

נשתמש בנוסחה ונפתור את התרגיל:
4x² – 16x +16 = 4(x – 2)²

תרגיל 3
= 25x² + 30x + 9

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
כאשר:
a = 5x, b = 3
נקבל:
25x² + 30x + 9 = (5x + 3)²

תרגיל 4
= 18x² – 60x + 50

פתרון
נוציא גורם משותף 2.
(18x² – 60x + 50 = 2(9x² – 30x + 25

נבצע פירוק לגורמים על פי הנוסחה:
18x² – 60x + 50 = 2(3x – 5)²

4.פתיחת סוגריים עם כפל באיבר נוסף

כיצד נפתור תרגיל שבו יש לנו מספר לפני הסוגריים שאנו צריכים לפתוח?

פתרון
על פי סדר פעולות חשבון עלינו להתייחס קודם כל לחזקה ורק לאחר מיכן להכפיל פי 3.
לכן הפעולה הראשונה תהיה שימוש בנוסחה לדו איבר בריבוע.
בצורה הזו:

דוגמה 2 כאשר יש מינוס לפני הסוגריים
למשל:
x – 5)²)-

פתרון
מינוס לפני סוגריים זה כמו 1- כפול הסוגריים.
גם כאן עלינו קודם לבצע את פעולה החזקה ולאחר מיכן להכפיל ב 1-.

(x – 5)² = -1(x -5)² = -1 (x² – 10x + 25)
x² + 10x -25-

דוגמה 3: פרמטר לפני הסוגריים
a (x +3)²

פתרון
(a (x +3)² = a (x² + 6x + 9
ax² + 6ax + 9a

דוגמה 4: כמו דוגמה 1

תשובה

ועכשיו נכפיל את מה שבתוך הסוגריים ב 5.
5x² – 20x +20

5.מקרים מיוחדים

a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

בשתי המשוואות הללו אנו מקבלים שני איברים חיוביים.
או שרק האיבר הימני שלילי.

1.מה נעשה כאשר השמאלי שלילי?
למשל:
2x + 3)²-)

במקרה זה נשנה את מיקום האיברים:
2x + 3)² = (3 – 2x)² = 9 -12x + 4x²)

2.מה נעשה כאשר שני האיברים שבתוך הסוגריים שליליים
למשל:
3x – 2b)²-)

נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 3x- ובמקום b נציב 2b-.

3x – 2b)² = (-3x)² + 2 * (-3x) * (-2b) + (-2b)²-)
9x² + 12xb + 4b²

*הערה
נשים לב שקיבלנו 3 איברים חיוביים.
בפועל מתקיים השוויון:
3x – 2b)² = (3x + 2b)²-)

*הערה 2
חלק ממכם יכול להתפתות להוציא את המינוס כגורם משותף בצורה הזו:
3x – 2b)² = -(3x + 2b)²-)
אך זו פעולה לא נכונה, אסור לעשות אותה.

תרגילים

6x + 2b)²-)
6x – 3a)²-)

פתרונות

תרגיל 1
6x + 2b)²-)

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל נכתוב את התרגיל בסדר שנוח לנו:
6x + 2b)² = (2b – 6x)²-)

נפתור בעזרת הנוסחה:
a – b)²= a² – 2ab + b²)
ונקבל:
2b – 6x)² =(2b)² – 2 * 2b * 6x + (6x)²)
4b² – 24bx + 36x²

תרגיל 2
6x – 3a)²-)

פתרון
נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 6x- ובמקום b נציב 3a-.

6x – 3a)² = (-6x)² + 2 * (-6x) * (-3a) + (-3a)²-)
36x² + 36xb + 9a²

עוד באתר:

נוסחאות הכפל המקוצר – השלב הבא בלימוד שלכם.
מתמטיקה לכיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.
בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
בגרות במתמטיקה 5 יחידות.