דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)
הנוסחאות הללו נקראות דו איבר בריבוע.

הדף מחולק ל 7 חלקים:

  1. תקציר
  2. הוכחת הנוסחאות.
  3. תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים.
  4. תרגילים בהם צריך לסגור סוגריים.
  5. פתיחת סוגריים כאשר צריך לכפול באיבר נוסף
  6. מקרים מיוחדים.
  7. פתיחת סוגריים עם שברים
לצפייה בקישורים בנושא נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים
  1. הנוסחה להפרש ריבועים   (a² – b²= (a-b)*(a+b.
  2. נוסחאות הכפל המקוצר פתרון משוואות בעזרת שלושת הנוסחאות (דף מסכם).
  3. פתרון משוואות עם שברים אלגבריים – מכל הסוגים.
  4. טרינום – כיצד לפרק טרינום.
  5. פירוק לגורמים – כל השיטות.

1.תקציר

1.פתיחת סוגריים

לחצו לצפייה בסרטון בנושא זה

לצורך פתיחת סוגריים נשתמש בנוסחאות:

a + b)² = a² + 2ab + b²)
a – b)² = a² – 2ab + b²)

דוגמה 1
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)² = x² – 2*x* 4  + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (קשה יותר)
4x – 3)² = (4x)² -2*4x*3 +3²)
16x² – 24x + 9

(דוגמה 4 (מינוס לפני סוגריים
– (x + 5)² = – (x² + 10x + 25)
= -x² – 10x – 25

דוגמה 5 (מספר לפני הסוגריים).

5(x – 2)² = 5 (x² – 4x + 4)

ועכשיו נכפיל את מה שבתוך הסוגריים ב 5.
5x² – 20x +20

2.סגירת סוגריים

לחצו לצפייה בסרטון בנושא זה

לצורך סגירת סוגריים נשתמש בנוסחאות בכיוון הזה:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

לא כל שלושה איברים שנפגוש יתאימו לסגירת סוגריים בעזרת הנוסחאות של דו איבר בריבוע.
על מנת שהאיברים יתאימו הם לרוב צריכים לכלול:

  1. לשני המספרים בקצוות יש שורש עגול.
  2. האיבר האמצעי מתאים ל 2ab.

דוגמה 1
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

הסבר:

  • x², 9  הם שני מספרים עם שורש עגול ( x, 3)
  • 6x מתאים ל 2ab שהם במקרה הזה 2x * 3.

דוגמה 2
x² – 10x + 25 = (x – 5)²

דוגמה 3 (עם שבר)
x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

דוגמה 4 (עם הוצאת גורם משותף)
(x³ + 4x² + 4x = x (x² + 4x + 4
x (x +2)²

דוגמה 5 (מקדם x² גדול מ 1)
9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

3.מקרים מיוחדים

a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

בשתי המשוואות הללו אנו מקבלים שני איברים חיוביים.
או שרק האיבר הימני שלילי.

1.מה נעשה כאשר השמאלי שלילי?
למשל:
2x + 3)²-)

במקרה זה נשנה את מיקום האיברים:
2x + 3)² = (3 – 2x)² = 9 -12x + 4x²-)

2.מה נעשה כאשר שני האיברים שבתוך הסוגריים שליליים
למשל:
3x – 2b)²-)

נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 3x- ובמקום b נציב 2b-.

3x – 2b)² = (-3x)² + 2 * (-3x) * (-2b)  + (-2b)²-)
9x² + 12xb  + 4b²

*הערה 1
נשים לב שקיבלנו 3 איברים חיוביים.
בפועל מתקיים השוויון:
3x – 2b)² = (3x + 2b)²-)

*הערה 2
חלק ממכם יכול להתפתות להוציא את המינוס כגורם משותף בצורה הזו:
3x – 2b)² = -(3x + 2b)²-)
אך זו פעולה לא נכונה, אסור לעשות אותה.

3. (לתלמידי 5 יחידות) ניתן להשתמש בנוסחה גם עבור שברים

שימו לב שכאשר מעלים שבר בריבוע מעלים בנפרד את המונה בריבוע ואת המכנה בריבוע.

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

2.הוכחת הנוסחאות

על פי הכלל הבסיסי של חזקות אנו יודעים כי
(a + b)² = (a + b) (a + b)

אם כך ניקח את הביטוי
(a + b) (a + b)
ונפתח את הסוגריים:

(a + b) (a + b) = a*a + ab + ba + b*b
a² + 2ab + b²

וכך הוכחנו:
(a+b)²= a²+2ab+b²

הוכחה עבור הנוסחה
(a-b)²= a²-2ab+b²

בצורה דומה נוכל לכתוב:

(a – b)² = (a – b) * (a – b)
a*a + a * (-b) + (-b) * a + (-b) * (- b)
a² – ab – ab + b²
a² -2ab + b²

3.פתיחת סוגריים

בחלק זה נשתמש בשתי הנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

על מנת לפתוח סוגריים.
כלומר נקבל ביטויים כמו:
x + 3)²)
x – 4)²)
ונפתח להם את הסוגריים.

דוגמה 1
x + 3)²)

פתרון
על פי הנוסחה a + b)²= a² + 2ab + b²)
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)²)

פתרון
על פי הנוסחה a – b)² = a² – 2ab + b²)
x – 4)²) = x² – 2*x* 4  + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (מקדם של a גדול מ 1)
4x – 3)²)

פתרון
מעבר לנוסחה שבה השתמשנו עד עכשיו נשתמש גם בחוק החזקה האומר כי:
a*b)² = a² * b²)
במקרה שלנו נקבל:
4x)² = 4²x² = 16x²)

נחזור אל הביטוי עצמו:
4x – 3)² =(4x)² -2*4x*3 +3² = 16x² – 24x + 9)

דוגמה 4 (מינוס לפני הסוגריים).

פתרון
במקרה זה בשלב ראשון נפתח על פי נוסחאות הכפל המקוצר ונשאיר את המינוס מחוץ לסוגריים.

ולאחר מיכן נכפיל את מה שיש בסוגריים ב 1-.

תרגילים

תרגילים 6-10 קשים יותר.

  1.   x + 1)²)
  2.   x + 6)²)
  3.   x + 10)²)
  4.   x – 2)²)
  5.   x – 5)²)
  6.   x – 0.5)²)
  7. 2x +4)²)
  8.  3x – 2)²)
  9. 4x+1)²)
  10. 3x – 5b)²)

פתרונות

תרגיל 1
x + 1)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x + 1)² = x² + 2x *1 + 1²)
x² + 2x + 1

 

תרגיל 2
x + 6)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x + 6)² = x² + 2x *6 + 6²)
x² + 12x + 36

תרגיל 3
x + 10)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x + 10)² = x² + 2x *10 + 10²)
x² + 20x + 100

תרגיל 4
x – 2)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x – 2)² = x² – 2x *2 + 2²)
x² – 4x + 4

תרגיל 5
x – 5)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x – 5)² = x² – 2x *5 + 5²)
x² – 10x + 25

תרגיל 6
x – 0.5)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x – 0.5)² = x² – 2x *0.5 + 0.5²)
x² – x + 0.25

תרגיל 7
= 2x +4)²)

לחצו לצפייה בפתרון

2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)

תרגיל 8
= 3x – 2)²)

לחצו לצפייה בפתרון

3x-2)² = 9x² – 12x + 4)

תרגיל 9
4x+1)²)

לחצו לצפייה בפתרון

4x+1)² = 16x² +8x +1)

תרגיל 10
3x – 5b)²)

לחצו לצפייה בפתרון

נשתמש בנוסחה:
a-b)²= a²-2ab+b²)
ונקבל:
3x)² – 30xb+ (5b)² = 9x² – 30xb + 25b²)

4.סגירת סוגריים

בחלק זה נקבל ביטוי הנראה כך:
a² + 2ab + b²
ונצטרך ליצור ביטוי הנראה כך:
a + b)²)

בחלק זה נשתמש במשוואות
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

דוגמה 1
= x² + 6x + 9

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

דוגמה 2
= x² – 10x + 25

פתרון
משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 10x + 25 = (x – 5)²

דוגמה 3 (עם שבר)
= x² + x + 0.25

פתרון
x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

דוגמה 4 (עם הוצאת גורם משותף)
= x³ + 4x² + 4x

פתרון
(x³ + 4x² + 4x = x (x² + 4x + 4
x (x +2)²

דוגמה 5 (מקדם x² גדול מ 1)
= 9x² + 12x + 4

פתרון
9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

תרגילים

שימו לב: בין התרגילים משולבים תרגילים שבהם לא ניתן להשתמש בנוסחה.

  1.   = x² + 8x + 16
  2.  = x² – 20x + 100
  3.   = x² + 4x + 9
  4.   = x² + 14x + 49
  5.   = x² – 2x + 1
  6.   = x² + 10x + 20

תרגילים קשים יותר:

  1.  = x³ – 10x² + 25x
  2.  = 4x² – 16x +16
  3. = 25x² + 30x + 9
  4. = 18x² – 60x + 50

פתרונות

תרגיל 1
= x² + 8x + 16

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 8x + 16 = (x + 4)²

תרגיל 2
= x² – 20x + 100

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 20x + 100 = (x – 10)²

תרגיל 3
= x² + 4x + 9

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו לא מתאימה לנוסחת הכפל המקוצר
a² + 2ab + b² = (a + b)²
משום שאם
a = 1, b = 3
אז האיבר 2ab
צריך להיות שווה ל 6x
ובמשוואה שקיבלנו יש 4x.
לכן לא ניתן לבצע את הפירוק.

תרגיל 4
= x² + 14x + 49

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 14x + 49 = (x + 7)²

תרגיל 5
= x² – 2x + 1

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 2x + 1 = (x – 1)²

תרגיל 6
= x² + 10x + 20

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו לא מתאימה לנוסחת הכפל המקוצר
a² + 2ab + b² = (a + b)²
משום שאם
a = 1, b = √20
אז האיבר 2ab
צריך להיות שווה ל 20√*2x
ובמשוואה שקיבלנו יש 10x.
לכן לא ניתן לבצע את הפירוק.

פתרונות לתרגילים קשים יותר

תרגיל 1
= x³ – 10x² + 25x

לחצו לצפייה בפתרון

נוציא x כגורם משותף.
(x³ – 10x² + 25x = x(x² – 10x + 25

עכשיו נשתמש בנוסחה:
a² – 2ab + b² = (a – b)²
x(x² – 10x + 25) = x (x – 5)²

תרגיל 2
= 4x² – 16x +16

לחצו לצפייה בפתרון

נוציא 4 כגורם משותף.
(4x² – 16x +16 = 4(x² – 4x + 4

נשתמש בנוסחה ונפתור את התרגיל:
4x² – 16x +16 = 4(x – 2)²

תרגיל 3
= 25x² + 30x + 9

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
כאשר:
a = 5x,  b = 3
נקבל:
25x² + 30x + 9 = (5x + 3)²

תרגיל 4
= 18x² – 60x + 50

לחצו לצפייה בפתרון

נוציא גורם משותף 2.
(18x² – 60x + 50 = 2(9x² – 30x + 25

נבצע פירוק לגורמים על פי הנוסחה:
18x² – 60x + 50 = 2(3x – 5)²

5.פתיחת סוגריים עם כפל באיבר נוסף

כיצד נפתור תרגיל שבו יש לנו מספר לפני הסוגריים שאנו צריכים לפתוח?

פתרון
על פי סדר פעולות חשבון עלינו להתייחס קודם כל לחזקה ורק לאחר מיכן להכפיל פי 3.
לכן הפעולה הראשונה תהיה שימוש בנוסחה לדו איבר בריבוע.
בצורה הזו:

דוגמה 2 כאשר יש מינוס לפני הסוגריים
למשל:
x – 5)²)-

פתרון
מינוס לפני סוגריים זה כמו 1- כפול הסוגריים.
גם כאן עלינו קודם לבצע את פעולה החזקה ולאחר מיכן להכפיל ב 1-.

(x – 5)² = -1(x -5)² = -1 (x² – 10x + 25)
x² + 10x  -25-

דוגמה 3: פרמטר לפני הסוגריים
a (x +3)²

פתרון
(a (x +3)² = a (x² + 6x + 9
ax² + 6ax + 9a

דוגמה 4: כמו דוגמה 1

תשובה

ועכשיו נכפיל את מה שבתוך הסוגריים ב 5.
5x² – 20x +20

6.מקרים מיוחדים

a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

בשתי המשוואות הללו אנו מקבלים שני איברים חיוביים.
או שרק האיבר הימני שלילי.

1.מה נעשה כאשר השמאלי שלילי?
למשל:
2x + 3)²-)

במקרה זה נשנה את מיקום האיברים:
2x + 3)² = (3 – 2x)² = 9 -12x + 4x²-)

2.מה נעשה כאשר שני האיברים שבתוך הסוגריים שליליים
למשל:
3x – 2b)²-)

נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 3x- ובמקום b נציב 2b-.

3x – 2b)² = (-3x)² + 2 * (-3x) * (-2b)  + (-2b)²-)
9x² + 12xb  + 4b²

*הערה 1
נשים לב שקיבלנו 3 איברים חיוביים.
בפועל מתקיים השוויון:
3x – 2b)² = (3x + 2b)²-)

*הערה 2
חלק ממכם יכול להתפתות להוציא את המינוס כגורם משותף בצורה הזו:
3x – 2b)² = -(3x + 2b)²-)
אך זו פעולה לא נכונה, אסור לעשות אותה.

תרגילים

  1. 6x + 2b)²-)
  2. 6x – 3a)²-)

פתרונות

תרגיל 1 
6x + 2b)²-)

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל נכתוב את התרגיל בסדר שנוח לנו:
6x + 2b)² = (2b – 6x)²-)

נפתור בעזרת הנוסחה:
a – b)²= a² – 2ab + b²)
ונקבל:
2b – 6x)² =(2b)² – 2 * 2b * 6x + (6x)²)
4b² – 24bx + 36x²

תרגיל 2
6x – 3a)²-)

פתרון
נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 6x- ובמקום b נציב 3a-.

6x – 3a)² = (-6x)² + 2 * (-6x) * (-3a)  + (-3a)²-)
36x² + 36xb  + 9a²

עוד באתר:

7.פתיחת סוגריים עם שברים

בחלק זה נפתור 3 תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים המורכבות מאיברים עם שברים.

את התשובה הסופית נציג כשבר יחיד, לאחר יצירת מכנה משותף בין כל השברים.

תרגיל 1

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

פתרון

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

הסיבה ש 400x² הוא המכנה המשותף היא בגלל שעבור המספרים 16,20,25 המכנה המשותף הוא 400.
ו x² הוא גורם המופיע במכנה.
עוד על מכנה משותף תוכלו ללמוד בדף:

  1. מכנה משותף – מכנה משותף של מספרים.
  2. חיבור וחיסור שברים אלגבריים – מכנה משותף כאשר המכנה הוא מספר.

תרגיל 2

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

פתרון

 

תרגיל 3

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

פתרון

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר”

  1. ליזה קליאצקין

    התרגילים האחרונים בעמוד זה, 2 ו 3. אפשר בבקשה הסבר לחזקות? מה קרה עם החזקות לקראת סוף התרגיל?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.