משוואה ריבועית: 4 שיטות לפתרון מקוצר

כולנו צריכים לדעת לפתור משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
כי זו הדרך היחידה שיכולה לפתור כל משוואה ריבועית.

בדף זה נציג 4 דרכים נוספות לפתרון משוואה ריבועית.
היתרון של הדרכים הללו הוא שהפתרון שלהם קצר יותר, דורש פחות חישובים ולכן יחסוך לנו זמן וגם הסיכוי שנטעה בו קטן יותר.
החיסרון של הדרכים הללו הוא שניתן לפתור בעזרתם רק חלק מהמשוואות הריבועיות.

1.טרינום

פירוק טרינום היא הדרך השימושית ביותר, דורשת יותר זמן מאחרות על מנת ללמוד אותה וגם הכרחית ללמידה על ידי תלמידי 4 יחידות.

בפירוק הטרינום אנו לוקחים איבר שיש בו 3 איברים (טרינום).
הופכים אותו לאיבר עם 4 איברים.
מבצעים פירוק לגורמים על פי קבוצות.
הוצאת גורם משותף.
פותרים משוואה פשוטה.

דוגמה
x² – 10x +24 = 0

פתרון
x² -4x – 6x + 24 = 0
x (x – 4) -6 (x – 4) = 0
x – 4) (x – 6) = 0)
x = 4 או x = 6.

בצורה זו פתרנו משוואה ריבועית ללא נוסחת השורשים ובדרך קצרה.
את ההסבר "ללמה" פעלנו כך תוכלו למצוא בקישור או בסרטון.

  • טרינום, הדף דרכו תוכלו ללמוד כיצד פותרים משוואה ריבועית בעזרת פירוק הטרינום.

2.משוואות מהסוג ax² + bx = 0

משוואה ריבועית היא מהסוג ax² + bx + c = 0
כלומר יש בה x², יש x וישר מספר חופשי.

משוואות בהן אין את המספר החופשי קל יחסית לפתור על ידי הוצאת x כגורם משותף.

תרגיל 1
x² – 3x = 0

פתרון
x (x – 3) = 0
יש לנו כאן שני איברים שמכפלתם 0.
משוואה זו יכולה להיות נכונה רק אם אחד מהאיברים שווה ל 0.
לכן הפתרון הוא:
x = או x = 3

תרגיל 2
2x² + 5x = 0

פתרון
2x (x – 2.5) = 0
2x = 0 ולכן x= 0
או
x – 2.5 = 0 ולכן x = 2.5

3. משוואות מהסוג ax² + c = 0

משוואות ריבועיות הכוללות רק x² ומספר קלות יחסית לפתרון.
נבודד את x² בצד אחד של המשוואה ואז נוציא שורש ונמצא את x.

תרגיל 1
x² – 8 = 0

פתרון
x² – 8 = 0  / +8
x² = 8
x = ± √8
*הערה: זכרו שלמשוואה כמו  x² = 9 יש שתי פתרונות:
x = 3 או x = -3.

תרגיל 2
3x² – 48 = 0

פתרון
3x² – 48 = 0  / +48
3x² = 48   / : 3
x²  = 16
x = 4 או x  = – 4.

תרגיל 3
x² + 4 = 0

פתרון
x² + 4 = 0  / -4
x² = -4
x² תמיד יהיה מספר חיובי או שווה ל 0, הוא לא יכול להיות מספר שלילי.
לכן למשוואה x² = -4 אין פתרון.

4. משוואות עם סוגריים בצד אחד ו"שורש עגול" בצד השני

x² = 5²
אנו יודעים שלמשוואה זו יש שני פתרונות.
x = 5  או  x = -5.
(לא בטוחים שזה נכון? הציבו את הפתרונות במשוואה המקורית ותראו שבשני המקרים התוצאה נכונה).

בצורה דומה גם למשוואה:
x + 4)² = 5²)
יש שני פתרונות.

פתרון אחד הוא:
x + 4 = 5
x = 1

ופתרון שני הוא:
x + 4 = -5
x = -9

נציב את הפתרונות
x = 1,  x = -9
במשוואה המקורית ונראה שהם נכונים.
עבור x =1
5² = ²(4 + 1)
5² = 5²

עבור x = -9
5² = ²(4 + 9-)
5² = ²(5-)
שני הפתרונות נכונים.

הפעולה שאנו בעצם מבצעים על שני צדדי המשוואה הזו:
x + 4)² = 5²)
היא הוצאת שורש.

תרגיל 1
x – 2)² = 100)

פתרון
x – 2)² = 100)
x – 2)² = 10²)

מכאן יש לנו שתי אפשרויות לפתור:
x – 2 = 10  / +2
x = 12

או
x – 2 = -10  / +2
x = -8
תשובה: x = 12 או x = -8.

תרגיל 2
2x + 4)² -6 = 43)

פתרון
2x + 4)² -6 = 43  / +6)
2x + 4)² = 49)
2x + 4)² = 7²)

מכאן יש לנו שתי פתרונות:
2x + 4 = 7  / -4
2x = 3  / : 2
x = 1.5
או
2x + 4 = -7  / -4
2x = -11  / : 2
x = -5.5
תשובה: x = 1.5 או x = -5.5.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משוואה ריבועית: 4 שיטות לפתרון מקוצר”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.