משוואה ריבועית עם פרמטר

בדף זה:

  1. מה היא משוואה ריבועית עם פרמטר?
  2. פתרון משוואות פשוטות (ללא נוסחת השורשים).
  3. פתרון משוואות עם נוסחת השורשים.
  4. פתרון משוואות בעזרת הנוסחה לדו איבר בריבוע.

דפים קשורים:

  1. פתרון משוואה עם פרמטר.
  2. מתמטיקה לכיתה י.

תקציר

יש 3 דרכים לפתור משוואה ריבועית עם פרמטר

1.משוואות שבהן ניתן להוציא שורש ולמצוא את x

דוגמה 1
x² = 9a²

פתרון
x = 3a  או   x = -3a

דוגמה 2
x² = a² + 6a + 9

פתרון
נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
נקבל:
x² = a² + 6a + 9 = (a + 3)²
x²  = (a + 3)²
x = a + 3
או
x = -(a +3) = – a – 3
תשובה:
x = a + 3   או  x = – a – 3

2.משוואות בהן משתמשים בנוסחת השורשים

במשוואות מסוג זה נקבל בתוך השורש ביטוי שניתן להוציא לו שורש.

דוגמה 1
ax² + 6ax -2.75a = 0

פתרון
נציב את המספרים והפרמטר בנוסחת השורשים.

נבצע פעולות חשבון בתוך השורש.

נמצא את פתרונות המשוואה:

 

3.משוואות בהם נעזרים בנוסחה לדו איבר בריבוע

x² + 10ax + 25a² = 0

פתרון
על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע נוכל לכתוב:
x² + 10ax + 25a² = (x + 5a)² = 0
x + 5a)² = 0)
נוציא שורש לשני צדדי המשוואה:
x + 5a = 0
x = – 5a

שאלות על מספר הפתרונות

בשאלות על מספר הפתרונות נבנה אי שוויון המבוסס על כך שמספר הפתרונות נקבע על ידי:
b² – 4ac.

דוגמה
y = x² – ax + 9
עבור אלו ערכי a למשוואה הריבועית יש 2 פתרונות?

פתרון
למשוואה הריבועית יש שני פתרונות כאשר המשוואה הבאה מתקיימת:
a)² – 4 * 1 * 9 > 0-)
a² – 36 > 0
a² > 36

אי שוויון זה מתקיים כאשר
a > 6   או   a < -6

1.מה היא משוואה ריבועית עם פרמטר?

משוואה ריבועית עם פרמטר זו משוואה שבה המשתנה (לרוב x) נמצא בחזקת 2.
ולעומת זאת הפרמטר יכול להיות בכול חזקה, החזקה על הפרמטר לא משפיעה האם זו משוואה ריבועית או לא משוואה ריבועית.

אם x הוא המשתנה ו a הוא הפרמטר אז אלו דוגמאות למשוואה ריבועית עם פרמטר:

  • x² + 2ax – 7 = 0
  • ax² – 4a³x – 1 = 2

ואלו לא משוואות ריבועיות:

  • a²x + 2ax – 8 = 0
  • a² – 6a + x = 0

2.פתרון משוואות ריבועיות פשוטות עם פרמטר

צריך לזכור כי למשוואה ריבועית יש 2 פתרונות.
למשל:
x² = 16
אז למשוואה הזו יש שני פתרונות:
x = 4  או x = -4

ולמשוואה:
x² = a²

הפתרון הוא:
x = a  או  x = -a.

דוגמה 2
x² = 9a²

פתרון
x = 3a  או   x = -3a

הערה
שימו לב שלמשוואות הנראות כך:
x² = -9a²
אין פתרון כאשר a≠ 0.

הסיבה לכך היא שהביטוי הנמצא מצד שמאל (x²) הוא חיובי תמיד, כי הוא חזקה זוגית.
לעומת זאת מצד ימין יש לנו מכפלה של ביטוי השלילי תמיד (9-) וביטוי החיובי תמיד (a²).
מכפלה של ביטוי חיובי בביטוי שלילי היא שלילית תמיד.

מסקנה: הביטוי משמאל (x²) חיובי תמיד הביטוי מצד ימין שלילי תמיד (עבור כל ערך של a).
לכן הביטויים הללו לא יכולים להיות שווים.
שלילי ≠ חיובי.

תרגילים

בכול התרגילים כאן x הוא המשתנה ו a הוא הפרמטר.
שימו לב שבין התרגילים "שתול" תרגיל שאין לא פתרון.

בכול התרגילים הניחו  a≠ 0.

  1.   x² = 16a²
  2.   5x² = 500a²
  3.   x² = -25a²
  4.   x² =10a²
  5.   x² = a² + 6a + 9
  6.   x² = a² – 8ax + 16

פתרונות

תרגיל 1
x² = 16a²

פתרון
x = 4a  או x = -4a

תרגיל 2
5x² = 500a²

פתרון
5x² = 500a²
נחלק את את המשוואה ב 5, עלינו לעשות זאת לפני שמוצאים שורש.
x² = 100a²
x = 10a  או  x = -10a

תרגיל 3
x² = -25a²

פתרון
לתרגיל זה אין פתרון. מכוון ש:
הביטוי x² חיובי תמיד.
והביטוי 25a²- שלילי תמיד (כי a² חיובי תמיד, לעומת 25- ששלילי תמיד).

מספר חיובי לא יכול להיות שווה לשלילי לכן למשוואה אין פתרון.

הפתרון היחידי שהיה להתקבל למשוואה הזו הוא:
x =0, a = 0
אך בתחילת אמרו לנו ש a ≠ 0, ולכן פתרון זה לא יכול להתקבל.
(ההוראה שהפרמטר a שונה מ 0 היא הוראה נפוצה בתרגילים).

תרגיל 4
x² =10a²

פתרון
x = a*√10  או x = – a*√10

תרגיל 5
x² = a² + 6a + 9

פתרון
נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
נקבל:
x² = a² + 6a + 9 = (a + 3)²
x²  = (a + 3)²
x = a + 3
או
x = -(a +3) = – a – 3
תשובה:
x = a + 3   או  x = – a – 3

תרגיל 6
x² = a² – 8a + 16

פתרון
נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע:
a² – 2ab + b² = (a – b)²
נקבל:
x² = a² – 8ax + 16 = (a – 4)²
x² =  (a – 4)²
x = a – 4
או
(x = – (a – 4
x = – a + 4
תשובה:
x = a – 4  או  x = – a + 4

3.פתרון משוואות עם נוסחת השורשים

בחלק מהמשוואות הריבועיות אנו נשתמש בנוסחת השורשים על מנת לפתור.

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

כאשר נעשה זאת נתייחס אל הפרמטר כאל מספר לכל דבר.

תרגיל 1
ax² + 6ax -2.75a = 0

פתרון
נציב את המספרים והפרמטר בנוסחת השורשים.

נבצע פעולות חשבון בתוך השורש.

נמצא את פתרונות המשוואה:

תרגיל 2
x² – ax – 0.5a – 0.25 = 0

פתרון
נציב את המספרים והפרמטר בנוסחת השורשים.

נבצע פעולות חשבון בתוך השורש.

נמצא את פתרונות המשוואה:

תרגיל 3
9x² + 6ax +a² = 0

פתרון
נציב את המספרים הללו בנוסחת השורשים ונקבל:

המשך הפתרון נראה כך:

תשובה: x = -0.33a

*הערה: אם היינו מקבלים ביטוי שלילי בתוך השורש משמעות הדבר הייתה שאין למשוואה פתרון.

*הערה: את התרגיל הזה נפתור גם בדרך מהירה יותר, ראו תרגיל 3 בחלק הבא.

4.פתרון משוואות בעזרת הנוסחה לדו איבר בריבוע

את התרגילים הבאים ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים, כפי שפתרנו את התרגילים הקודמים.
אבל יש דרך קלה יותר, והיא לשים לב שהם מתאימים לנוסחה של דו איבר בריבוע:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

בעזרת הנוסחאות הללו נוכל לפתור את התרגילים בדרך קצרה וקלה בהרבה.
התרגילים שנפתור הם:

  1.   x² + 10ax + 25a² = 0
  2.   x² – 20ax + 100a² = 0
  3.   9x² + 6ax +a² = 0

תרגיל 1
x² + 10ax + 25a² = 0

פתרון
על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע נוכל לכתוב:
x² + 10ax + 25a² = (x + 5a)² = 0
x + 5a)² = 0)
נוציא שורש לשני צדדי המשוואה:
x + 5a = 0
x = – 5a

תרגיל 2
x² – 20ax + 100a² = 0

פתרון
על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע נוכל לכתוב:
x² – 20ax + 100a² = (x – 10a)² = 0
(x – 10a)² = 0)
x – 10a = 0
x = 10a

תרגיל 3
9x² + 6ax +a² = 0

פתרון
המשוואה הזו מתאימה לביטוי
a+b)²= a²+2ab+b²)
9x² + 6ax +a² = (3x +a)² =0

את המשוואה האחרונה ניתן לפתור בקלות יחסית בצורה הזו:
3x +a)² =0)
נוציא שורש.
3x + a =0  / -a
3x = – a  / : 3
x = – 0.33a

5.מספר הפתרונות של משוואה ריבועית עם פרמטר

על מנת להצליח בחלק זה עליכם לדעת  לפתור אי שוויונות ריבועיים בהם x בחזקת אחד חסר.

דוגמה 1
y = x² – ax + 9
עבור אלו ערכי a למשוואה הריבועית יש 2 פתרונות?

פתרון
למשוואה הריבועית יש שני פתרונות כאשר המשוואה הבאה מתקיימת:
a)² – 4 * 1 * 9 > 0-)
a² – 36 > 0
a² > 36

אי שוויון זה מתקיים כאשר
a > 6   או   a < -6

דוגמה 2
עבור אלו ערכים למשוואה הריבועית
2x² + 4x + a = 0
אין אף פתרון

פתרון
למשוואה אין אף פתרון כאשר:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “משוואה ריבועית עם פרמטר”

  1. שלום
    יש לי משוואה ריבועית עם פרמטר ואני לא יודעת איך פותרים אותה:
    x^2-(3a+4)x+12a=0
    אם אפשר להראות לי דרך פיתרון.
    תודה רבה על הכל!!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      דרך הפתרון היא נוסחת השורשים והיא מוסברת בדף.
      שימו לב שלאיבר b יש מינוס, כלומר המינוס הוא חלק מ b.

      1. תודה רבה. האתר הזה מושלם!!!
        איפה יש הסבר על משוואות ריבועיות עם שני פרמטרים?
        אם אפשר לתת לי קישור. תודה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.