פתרון משוואה עם פרמטר

בדף זה:

  1. נלמד את השלבים לפתרון משוואה עם פרמטר.
  2. נפתור 11 תרגילים מסוגים שונים.

1.שלבים לפתרון משוואה עם פרמטר

  1. בידוד כל האיברים הכוללים את המשתנה בצד אחד של המשוואה.
  2. חילוק במקדם של המשתנה, על מנת שנישאר עם המשתנה בלבד בצד אחד של המשוואה.

דוגמה 1
2x + 2a + x= 8 – x – 2a

פתרון
שלב א: כינוס כל האיברים הכוללים משתנה בצד אחד של המשוואה
אנו רוצים שכל האיברים שכוללים את x יהיו בצד אחד של המשוואה.
2x + 2a + x= 8 – x – 2a
3x + 2a = 8 – x – 2a
4x = 8 – 4a  /:4
x = 2 – a

דוגמה 2
7x – 2a(x +1) = 3x – 2

פתרון
שלב א: כינוס כל האיברים הכוללים משתנה בצד אחד של המשוואה
אנו רוצים שכל האיברים שכוללים את x יהיו בצד אחד של המשוואה. בשביל זה נפתח סוגריים ונכנס איברים.
7x – 2ax -2a = 3x – 2
7x – 2ax – 3x = 2a + 2
4x – 2ax = 2a + 2
2x – ax = a + 1

שלב ב: הוצאת גורם משותף, וחילוק במקדם של x
נוציא גורם משותף
2x – ax = a + 1
x(2 – a) = a + 1

נחלק במקדם של x ונקבל את התשובה הסופית:

הערה
חלק מהתרגילים, כמו תרגילים 1-2 שבהמשך, פשוטים יותר ולא יכללו את כל השלבים שהיו בדוגמה הזו.

2.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילים "פשוטים".
תרגילים 3-7 דורשים פירוק לגורמים: הוצאת גורם משותף, נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק הטרינום.
תרגילים 8-10 כוללים מכנה.
תרגיל 11 כולל שני פרמטרים.

התרגילים

  1.   5x – a = 3x
  2.   3x + 4(2x – a) = 8x +2a +6
  3.   (10x – 2a = 3a(1 – x
  4.   a (x -a) -3x = -5ax
  5.   x(2a + 1) + 3x = 8
  6.   a² + 7a + 10 = xa +5x
  7.   8ax – 2a²  = 2x + 18 – 12a
  8.  
  9.  2x – a(2x +b) – 4ax = bx

הפתרונות

תרגיל 1
5x – a = 3x

פתרון
שלב א: נבודד את האיברים הכוללים משתנה בצד אחד.
5x – a = 3x  / -3x + a
2x = a

שלב ב: נחלק על מנת שמהשתנה יישאר לבד
2x = a / :2
x = 0.5a

תרגיל 2
3x + 4(2x – a) = 8x +2a +6

פתרון
נפתח סוגריים ונכנס איברים
3x +8x – 4a = 8x + 2a + 6
11x – 4a = 8x + 2a + 6
3x = 6a + 6
x = 2a + 2

תרגילים עם פירוק לגורמים

תרגיל 3 (הוצאת גורם משותף)
(10x – 2a = 3a(1 – x

פתרון
שלב א: נפתח סוגריים ונבודד את המשתנה באגף אחד של המשוואה
10x – 2a = 3a -3ax  / +3ax + 2a
10x + 3ax = 5a

שלב ב: נוציא גורם משותף ונחלק על מנת לבודד את המשתנה
x(10 + 3a) = 5a   (הוצאנו גורם משותף)

תרגיל 4 (הוצאת גורם משותף)
a (x -a) -3x = -5ax

פתרון
שלב א: נפתח סוגריים ונבודד את המשתנה באגף אחד של המשוואה
ax – a² – 3x = -5ax   / +a² +5ax
ax + 5ax – 3x = a²
6ax – 3x = a²

שלב ב: נוציא גורם משותף ונחלק על מנת לבודד את המשתנה
x (6a – 3 ) = a²   / : 6a -3

תרגיל 5 (הוצאת גורם משותף)
x(2a + 1) + 3x = 8

פתרון
ניתן לפתור את התרגיל הזה בשתי דרכים.
נתחיל בדרך הפשוטה יותר, שהיא גם ארוכה יותר.
נפתח סוגריים, נכנס איברים וכו…

x(2a + 1) + 3x = 8
2ax + x + 3x = 8
2ax + 4x = 8
ax + 2x = 4
x (a + 2) = 4

דרך שנייה
x(2a + 1) + 3x = 8
נזהה שניתן להוציא גורם משותף לשני האיברים הנמצאים באגף שמאל.
x(2a + 1 + 3) = 8
x (2a + 4) = 8

תרגיל 6 (פירוק הטרינום)
a² + 7a + 10 = xa +5x

פתרון
באגף השמאלי נבצע פירוק של טרינום.
באגף הימני נוציא גורם משותף.
a² + 7a + 10 = xa +5x
(a² +5a + 2a + 10 = x(a + 5
(a(a + 5) + 2(a + 5)= x(a + 5
(a + 5) ( a + 2) = x (a + 5)

נחלק ב a+5 על מנת לבודד את x.
(a + 5) ( a + 2) = x (a + 5)   / : (a + 5)
a + 2 = x  ⇐ זה הפתרון.

כמו כן על מנת שנוכל לחלק ב a + 5 ביטוי זה צריך להיות שונה מ 0.
לכן:
a ≠ 5
נושא זה יפורט בהרחבה בדף מספר הפתרונות של משוואה עם פרמטר.

תרגיל 7 (נוסחאות הכפל המקוצר)
8ax – 2a²  = 2x + 18 – 12a

פתרון
נבודד את המשתנה בצד שמאל של המשוואה.
8ax – 2a²  = 2x + 18 – 12a   / -2x + 2a²
8ax – 2x = 2a² – 12a +18

נשים לב שכל האיברים בצד שמאל זוגיים לכן נחלק ל 2 את כל המשוואה.
4ax -x = a² – 6a + 9
בצד שמאל נוציא גורם משותף, בצד ימין נפרק על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע.
(x (4a – 1) = (a – 3)²  / : (4a – 1

* הערה, גם מי שלא השתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע והגיע לתשובה הבאה פתר את התרגיל נכון.

תרגילים עם שברים

תרגיל 8

פתרון
נכפיל במכנה המשותף (a(x – a
(xa = 2(x – a
xa = 2x – 2a
xa – 2x = -2a
x(a – 2) = -2a

תרגיל 9

פתרון
נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר, הנוסחה להפרש ריבועי:
(a² – b² = (a + b) (a – b

נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
(x – 1 + 6(a + 3) = x(a – 3
6a + 18 – 1 = x(a – 3) – x
(6a + 17 = x (a – 3 – 1
(6a + 17 = x (a – 4

תרגיל 10 

פתרון
נכפיל במכנה המשותף שהוא (a + 5) (a+ 1) ונקבל:

(2x (a + 1) = (-ax + 2) (a + 5
2xa + 2x = -a²x – 5ax +2a + 10   / +a²x+ 5ax
a²x +2xa +5xa + 2x = 2a + 10
x (a² +7a + 2) = 2a + 10  / :a² +7a + 2

תרגיל 11 (שני פרמטרים)
2x – a(2x +b) – 4ax = bx

פתרון
2x – 2xa – ab – 4ax = bx
2x – 6ax – bx = ab
x(2 – 6a – b) = ab

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “פתרון משוואה עם פרמטר

  1. אמיתי גפן

    שלום וברכה,
    אתר מצויין. אני נעזר בו רבות. תודה רבה.
    יש טעות קטנה למעלה בתרגיל 5. במקום (a-3) בריבוע כתבת (a+3) בריבוע.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.