השלמה לריבוע

למי שאינו מכיר את הנושא אני ממליץ לשמוע את ההסבר בוידאו, הוידאו מאפשר להסביר את הדרך בצורה יותר ברורה מבכתב.

השלמה לריבוע היא דרך לפתור משוואה ריבועית.
השלמה לריבוע דורשת הבנה במתמטיקה והיא גם לא מקצרת בהרבה את התרגיל. בגלל הסיבה האחרונה אני באופן אישי מעדיף את פירוק הטרינום על מנת לפתור משוואה ריבועית.

אבל גם השלמה לריבוע צריך לדעת לצורך פתרון תרגילים מסוימים.

אתם צריכים לדעת את הנוסחאות:
a+b)²=a²+2ab+b²)
a-b)²=a²-2ab+b²)

כיצד מבצעים השלמה לריבוע?

השלמה לריבוע היא הפיכת ביטוי מהסוג:
x² + 6x – 16 = 0
לביטוי הנראה כך:
x + 3)² – 9 – 16 = 0)

לאחר מיכן נמשיך אל הפתרון:
x + 3)² -25 = 0)
x + 3)² = 25)
למשוואה הזו יש שתי פתרונות
x + 3 = -5   או    x + 3 = 5
x = -8     או    x = 2.

מהוא המפתח לביצוע השלמה לריבוע כאשר a = 1?

x² – 8x -20 = 0
השלמה לריבוע תהפוך את הביטוי הזה לביטוי מהסוג:
ax – b)² + k = 0)
כאשר a,b,k הם מספרים שאותם אנו צריכים למצוא.

המספר a נקבע על ידי המקדם של x² ולרוב הוא יהיה 1.
המספר b נקבע על ידי המקדם של x.
ואנו יודעים כי המקדם של x שווה ל 2ab- בנוסחה a-b)²=a²-2ab+b²)
קיבלנו לכן:
2ab = -8-
b = 4

במילים אחרות ופשוטות יותר ניתן לחלק את ההשלמה לריבוע ל 3 שלבים:
שלב א: השלב שדורש מחשבה
כאשר אני צריך צריך לבצע השלמה לריבוע למשוואה
x² – 8x -20 = 0
שני המספרים המעניינים אותי הם:
x² – 8x
ואני שואל את עצמי איזה ביטוי מהסוג
ax – b)²)
יכול ליצור אותם?
התשובה היא שזה הביטוי:
x – 4)²)

שלב ב: שמירה על ערך המשוואה
לאחר שיצרתי את הביטוי הזה אני צריך להוסיף מספר k שישמור על ערך המשוואה הריבועית כמו שהיא.
x – 4)² + k = x² – 8x -20)
x² – 8x + 16 + k= x² – 8x – 20
k + 16 = -20
k = -36

עכשיו אנו סיימנו את ההשלמה לריבוע ואנו יכולים לכתוב אותה במלואה.
x² – 8x -20 = (x – 4)² – 36

שלב ג: פתרון המשוואה המקורית
x² – 8x -20 = 0
x – 4)² – 36 = 0)
x – 4)²  = 36)
x – 4)²  = 6²)

למשוואה זו יש שני פתרונות:
x – 4 = 6
x = 10
או
x – 4 = -6
x = -2
תשובה:   x = 10  או   x= -2.

דרך נוספת להבנת התרגיל
זו המשוואה:
x² – 8x -20 = 0
שני המספרים המעניינים אותי הם:
x² – 8x
והם מחייבים שבתוך הסוגריים יהיה הביטוי:
x – 4)² )
כאשר נציב את הביטוי הזה במשוואה המקורית אנו נוסף לה 16.
לכן עלינו לחסר 16 על מנת שערך המשוואה ישאר כמו שהוא.
x² – 8x -20 = (x – 4)² – 16 – 20

דוגמה 2
בצעו השלמה לריבוע למשוואה:
x² +12x -1 = 0

פתרון
שני האיברים:
x² +12x
מחייבים שהביטוי בתוך הסוגריים יהיה:
x + 6 )²)

עכשיו עלינו למצוא מספר k שיקיים את המשוואה:
x + 6 )² + k = x² +12x -1)
k = -37

והמשוואה שקיבלנו היא:
x + 6 )² – 37)

דוגמאות נוספות:

x² + 8x – 6 =0  ⇒(x+4)² -16 – 6 =0

x²-20x – 3 = 0 ⇒ (x-10)² -100 – 3 = 0

x²-6x + 20 =0 ⇒ (x-3)² – 9 + 20 =0

ומה עושים לאחר מיכן?

לאחר מיכן יש משוואה ריבועית שאפשר לפתור על ידי הוצאת שורש.

בשלב זה נוציא שורש ונמצא את פתרונות המשוואה.
זכרו לשורש ריבועי יכולים להיות 2 פתרונות.
אם המשוואה היא:
x²=64
אז התשובות הן x=8 או x=-8.

תרגיל 1
x² + 18x – 40 = 0

פתרון
שני האיברים
x² + 18x
קובעים שהביטוי בתוך הסוגריים יהיה:
x + 9)²)
ועל מנת "לבטל" את ה 81 שביטוי זה מוסיף למשוואה המקורית עלינו לחסר 81.
נקבל:
x² + 18x – 40  = (x + 9)² – 81 – 40

נחזור לפתרון התרגיל.
x + 9)² – 81 – 40 = 0)
x + 9)² = 121)
למשוואה זו יש שתי פתרונות:
x + 9 = 11   או   x + 9 = -11
x = 2  או   x = -20.

תרגיל 2
x² +12x-28=0

פתרון
שני האיברים
x² +12x
קובעים שהביטוי בתוך הסוגריים יהיה:
x + 6)²)
ביטוי זה מוסיף 36 לביטוי המקורי ולכן נחסר ממנו 36.
x² +12x-28 = (x + 6)² – 36 – 28

נחזור למשוואה:
x + 6)² – 36 – 28 = 0)
x +6)² -64=0)
x+6)² = 64)

למשוואה זו שני פתרונות:
x+6=8  / -6
x=2
או
x+6 = -8 /-6
x= -14

תרגילים נוספים

  1. x²+20x+84=0
  2. x²-16x+63=0
  3. x²-12x-28=0
  4. x²-8x-48=0

פתרונות

1.בתרגיל זה b=10.
נוסיף 10²=100 לשני צידי המשוואה.
84-/x²+20x+100+84=100
x+10)²=16)
x+10=4  או x+10=-4
x=-6  או x=-14  – אלו פתרונות המשוואה.

2. x²-16x+63=0
במשוואה זו b=-8. נוסיף (-8)² = 64 לשני צידי המשוואה.
x²-16x+64+63=64 / -63
x-8)²=1)
x-8=1  או x-8=-1
x=9  או x=7   –  אלו פתרונות המשוואה.

3. x²-12x-28=0
בתרגיל זה b=-6. נוסיף (6-)²=36 לשני צידי המשוואה.
x²-12x+36-28=36 /+28
x-6)²=64)
x-6=8  או x-6=-8
x=14 או x=-2   – אלו פתרונות המשוואה.

4. x²-8x-48=0
על מנת לפתור בעזרת השלמה לריבוע עלינו לבנות בצד שמאל את הנוסחה:
a+b)²=a²+2ab+b²)
הביטוי 2ab הוא 8x-. ולכן b=-4.
b²=16
ולכן נוסיף 16 לשני צידי המשוואה.
x²-8x+16-48=16 / +48
x²-8x+16=64
x-4)²=8²=64)
x-4=8  או x-4=-8
x=12  או x=-4.
אלו פתרונות המשוואה x²-8x-48=0
ניתן לכתוב גם כך:
(x²-8x-48= (x+4) (x-12

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.