משוואה ריבועית: קורס בנושא משוואה ריבועית

בדף זה נלמד מהיסוד ועד הרמה הגבוהה את הנושא של משוואה ריבועית.
הדף מחולק ל 3 חלקים:

  1. הקורס.
  2. סיכום קצרצר.
  3. 15 תרגילים מסכמים.

1.הקורס

קורס זה מחולק ל 3 חלקים ויש בו הרבה נושאים.
לאלו ממכם שרוצים לדעת את עיקר החומר אבל קצרים בזמן אני אמליץ כאן גם על קורס מקוצר:

  1. נוסחת השורשים.
  2. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  3. דו איבר בריבוע.
  4. משוואה ריבועית לא מסודרת.
  5. פירוק הטרינום.
  6. 4 שיטות לפתרון מקוצר של משוואה ריבועית.
  7. נושאים מתקדמים בהתאם לצורך.

ולקורס המלא:

1.דברים יסודיים
בחלק זה נלמד על נוסחת השורשים שהיא הדרך המרכזית לפתרון משוואה ריבועית.
בסוף החלק נלמד לפתור משוואות ריבועיות לא מסודרות. אלו משוואות הנחשבות קשות אם אתם רק מתחילים ללמוד את החומר אבל בסופו של דבר תלמידים בכול הרמות צריכים לדעת לפתור אותן.

  1. נוסחת השורשים – פתרון משוואה ריבועית בעזרת נוסחה.
  2. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית והמשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
  3. משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים – ואיך ניתן לפתור אותם בדרך קצרה.
  4. דו איבר בריבוע.
  5. כינוס איברים עם נוסחאות הכפל המקוצר.
  6. משוואה ריבועית לא מסודרת.

2.דרכי פתרון נוספות של משוואה ריבועית
פירוק הטרינום הוא נושא הכרחי וחשוב מאוד לתלמידי 4-5 יחידות.
השלמה לריבוע פחות.

  1. פירוק הטרינום – דרך אלגנטית ומהירה לפתרון משוואה ריבועית, אך לא ניתן לבצע אותה בכול המשוואות הריבועיות.
  2. השלמה לריבוע – דרך נוספת לפתרון משוואה ריבועית. דורשת ידע ולא מתאימה לכל המשוואות הריבועית.
  3. 4 שיטות לפתרון מקוצר של משוואה ריבועית.

3.נושאים מתקדמים יותר
בחלק זה נושאים מתקדמים יותר.
למדו אותם בהתאם לנדרש ממכם.

  1. בעיות מילוליות הכוללות משוואה ריבועית.
  2. משוואה ריבועית עם שברים.
  3. משוואה ריבועית עם פרמטר.
  4. חיתוך של פרבולה וישר.
  5. פרבולה עם אף פתרון או עם אינסוף פתרונות.
  6. אי שוויונים ריבועיים.

ובנוסף:

2.סיכום קצרצר

1.המבנה של משוואה ריבועית
משוואה ריבועית היא משוואה הנראית כך:
ax² + bx + c = 0
כאשר b,c יכולים להיות כל מספר.
ו a חייב להיות שונה מ 0 על מנת שהמשוואה הריבועית תישאר עם x².

2.נוסחת השורשים
זו דרך לפתור משוואה ריבועית.
יתרונה שהיא פותרת כל משוואה ריבועית.
חסרונה – שהיא ארוכה יחסית.

בשיטת נוסחת השורשים אנו מציבים את הרכיבים a,b,c בנוסחה ומקבלים פתרונות.

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

3.מספר הפתרונות של משוואה ריבועית
נשים לב שבנוסחת השורשים יש במונה שורש.
אנו יודעים שלביטוי שלילי אין שורש.
לכן כאשר:
b² – 4ac < 0 אין פתרון.
b² – 4ac = 0 פתרון יחיד.
b² – 4ac > 0 שני פתרונות.

4.פרמטרים חסרים
כאשר הפרמטר b= 0.
נקבל משוואה הדומה לזו:
x² – 16 = 0
נפתור על ידי העברת אגפים:
x² = 16
x = ± 4

כאשר הפרמטר c= 0.
נקבל משוואה הדומה לזו:
x² – 3x = 0
משוואות מסוג זה נפתור על ידי הוצאת גורם משותף.
x(x – 3) = 0
x = 0 או   x = 3.

5.פתרון משוואות לא מסודרות
כאשר נקבל משוואה ריבועית הנראית כך:
3x + (x – 4)² = 5x
סדר הפעולות לפתרון יהיה:
1.פתיחת סוגריים.
2.כינוס כל האיברים בצד אחד.
3.פתרון רגיל.

3x + (x – 4)² = 5x
3x + x² – 8x + 16 = 5x
x² -5x + 16 = 5x
x² – 10x + 16 = 0
כאשר נפתור את המשוואה נקבל:
x = 2 או x = 8.

דרכי פתרון נוספות של משוואה ריבועית

טרינום היא דרך חשובה מאוד לפתרון משוואה ריבועית.
היא חשובה משום שהיא קצרה בהרבה מנוסחת השורשים.
חסרונה הוא שהיא פותרת רק חלק מהמשוואות.
הדרך הכרחית לתלמידי 4-5 יחידות לימוד.

דרכי פתרון נוספות ופחות חשובות הן השלמה לריבוע, ופתרון משוואה שמשנה הצדדים שלה יש חזקה ריבועית.
למשל:
x  + 1)² = 4²)

3.תרגילים

בחלק זה 15 תרגילים מסכמים.
1-5 אלו הם היסודות.
6-9 משוואות ריבועיות לא מסודרות.
10-12 פתרון בעזרת טרינום.
13-15 תרגילים קשים יותר.

מיד לאחר התרגילים יש את התרגילים + הפתרונות המלאים.

  1. x² – 6x +1 = 0
  2. 4x² – 7x = 2x² + x
  3. x² + 2 = 0  מבלי לפתור קבעו כמה פתרונות יש.
  4. 5x²-80=0   פתרו ללא נוסחת השורשים.
  5. 4x²+10x=0  פתרו ללא נוסחת השורשים.
  6. 4x² – 7x = 2x² + x
  7. x- 2)² = x² – 6x + 1)
  8. x+4)²+22x+5x²-100=0)
  9. (x + 5)² = (x + 2) (x + 7)
  10. x² +8x -20=0  פתרו בעזרת טרינום.
  11. x² – 9x + 14 = 0   פתרו בעזרת טרינום.
  12. 4x² + 12x + 7 = 0-  פתרו בעזרת טרינום.

משווואות ריבועיות נוספות

13.  x³ + 4x² – 12x  = 0

14.

15.

תרגיל 1
פתרו את המשוואה הריבועית
x² – 6x +1 = 0

פתרון
הפרמטרים של המשוואה הריבועית הזו הם:
a = 1,  b = -6,  c = 1
נציב בנוסחת השורשים:
פתרון התרגיל

תרגיל 2
פתרו את המשוואה הריבועית
4x²-7x+2=0-

פתרון
הפרמטרים הם:
a=-4, b=-7, c=2
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

תשובה: x1 = -2,   x2 = 0.25.

תרגיל 3
מבלי לפתור קבעו כמה פתרונות יש למשוואה x² + 2 = 0

פתרון
מספר הפתרונות של המשוואה נקבע על פי הביטוי
b² – 4ac
במקרה זה b = 0.

מצאנו כי  b² – 4ac < 0  ולכן למשוואה זו אין פתרונות.

דרך שנייה לפתרון
x² הוא ביטוי חיובי או שווה ל 0 לכל ערך של x.
2 הוא ביטוי חיובי.
לכן החיבור של שני הביטויים הוא חיובי.

תרגיל 4
פתור את המשוואה הריבועית 5x²-80=0

פתרון

5x²-80=0  / +80
5x²=80  / :5
x²=16
x1 =4 , x2 =-4

תרגיל 5
פתרו את המשוואה הריבועית 4x²+10x=0.

פתרון
4x²+10x=0
x(4x+10)=0

האפשרויות לפתרון המשוואה הם
x=0   או
4x+10=0
x=-2.5
תשובה
x=0 או x=-2.5

תרגיל 6
4x² – 7x = 2x² + x

פתרון
נכנס את כל האיברים לצד אחד.
4x² – 7x = 2x² + x    / -2x² – x
2x² -8x = 0
נחלק את שני צדדי המשוואה ב 2.
x² – 4x = 0

הפרמטר c חסר, נפתור בעזרת הוצאת גורם משותף x.
x (x – 4) = 0
x = 0 או x- 4 =0
x = 0 או x = 4

תרגיל 7
x- 2)² = x² – 6x + 1)

פתרון
נפתח סוגריים:
x² – 4x + 4 = x² – 6x + 1
נשים לב שיש מספר שווה של x² משני צדדי המשוואה הריבועית.
לכן להפוך את המשוואה למשוואה שאינה ריבועית.
x² – 4x + 4 = x² – 6x + 1  /  -x²
4x + 4 = -6x + 1    / +6x – 4-
2x = -3   / :2
x = -1.5

תרגיל 8
x+4)²+22x+5x²-100=0)

פתרון
נפתח סוגריים ונכנס איברים.
x+4)²+22x+5x²-100=0)
x²+8x+22x+16+5x²-100=0
6x²+30x-84=0  /:6
x² +5x-14=0
x² -2x + 7x – 14 = 0
x (x -2) + 7(x -2) = 0
x + 7) (x -2) = 0)
פתרון x = -7 או x = 2

תרגיל 9
(x + 5)² = (x + 2) (x + 7)

פתרון
עבור הצד השמאלי של המשוואה נפתח סוגריים בעזרת הנוסחה.
a+b)²= a²+2ab+b²)

x²  +10 x + 25 = x² +7x + 2x + 14
x²  +10 x + 25 = x² +9x + 14  / – x² – 9x – 25
x = -11
פתרון x = -11

את תרגילים 10-15 יש לפתור בעזרות

תרגיל 10
פתרו בעזרת טרינום.
x² +8x -20=0

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 20- וסכומם 8.
מספרים שמכפלתם 20 הם:
20  ,1
10,  2
5,   4
על מנת שהסכום יהיה 8, נשנה את סימן של המספרים 10, 2 ל  10,  2-.
10,  2- הם המספרים שחיפשנו.

שלב ב: המשך פירוק הטרינום
x² +8x -20=0
x² – 2x + 10x – 20=0
x(x-2) + 10(x-2)=0
x+10) (x-2)=0)

שלב ג: פתרון המשוואה שקיבלנו
יש לנו שני איברים שמכפלתם 0.
במקרה הזה אחד מיהם לפחות צריך להיות שווה 0.
x-2=0  או x+10=0
x=2  או x=-10
פתרונות המשוואה הם: x= -10,  x=2

תרגיל 11
פתרו בעזרת טרינום.
x² – 9x + 14 = 0

פתרון
שלב א: שני מספרים שמכפלתם 14 וסכומם 9-.
שני מספרים שמכפלתם 14 יכולים להיות
1,14
2,7
מבניהם המספרים 2- , 7- גם סכומם 9-.

שלב ב: פירוק הטרינום
x² – 9x + 14 = 0
x² – 2x – 7x + 14 = 0
x(x – 2) – 7(x -2) = 0
x – 7) (x – 2) = 0)

x – 7 = 0
x = 7
או
x – 2 = 0
x = 2

תרגיל 12
4x² + 12x + 7 = 0-

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 28- וסכומם 12.
שני מספרים שמכפלתם 28 יכולים להיות
1,28
2,14
4,7
מבניהם הזוג שנותן סכום 12 הוא 14, 2-.

שלב ב: פירוק הטרינום
4x² + 12x + 7 = 0-
4x² + 14x – 2x + 7 = 0-
2x(7 – 2x) + 1(7 – 2x) = 0
2x + 1) (7 – 2x) = 0)

2x + 1 = 0
x = – 0.5
או
2x + 7 = 0-
x = – 3.5

תרגילים נוספים

תרגיל 13
x³ + 4x² – 12x  = 0

פתרון
ראשית נוציא x גורם משותף:
x(x² + 4x – 12) = 0

נבצע פירוק טרינום לביטוי שבתוך הסוגריים:
x (x² + 6x – 2x – 12) = 0
x[x(x + 6) -2(x+6] = 0
x (x – 2) (x + 6) = 0

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 0
x = 2
x = – 6

תרגיל 14

פתרון
דבר ראשון עלינו למצוא את תחום ההצבה.
תחום ההצבה x≠ -2  כי המכנה צריך להיות שונה מ 0.
(x-4)² / (x+2) = 0  / (x+2)
x-4)² =0)
פתרון x=4

תרגיל 15

פתרון
נכפיל מונה ובמונה ומכנה במכנה ונקבל:

נצמצם ב x ונקבל:
8x² = 200  / :8
x² = 25
x = 5  או x = -5.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

14 thoughts on “משוואה ריבועית: קורס בנושא משוואה ריבועית

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      זו המשוואה של הצגה קודקודית.
      y = a(x -p)² + c
      על מנת לכתוב פרבולה בהצגה הזו צריך לדעת שלושה דברים
      a,p,c
      a הוא המקדם של x בריבוע. במקרה שלך 4.
      p הוא ערך ה x של הקודקוד.
      לכן את צריכה למצוא את ערך ה x של הקודקוד בעזרת הנוסחה מינוס בי חלקי שני איי.
      c הוא ערך ה y של הקודקוד ואותו את יכולה למצוא על ידי הצבה של ערך ה x במשוואת הפרבולה.
      הסבר נוסף תוכלי למצוא כאן:
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/three-forms-of-parabola/
      מקווה שעזרתי

  1. גבריאל

    תודה רבה למרות שהבנתי את הנושא בכיתה אני שמח שיש אנשים כמוך שנמצאים פה ועוזרים לילדים אחרים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום גיא.
      לא, זה לא תרגיל לפתור בעזרת טרינום.
      ואיך ניתן לדעת?
      יש שתי דרכים.
      על מנת לפרק לטרינום ביטוי כזה עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 20 וסכומם 15-.
      שני מספרים שלמים שמכפלתם 20 יכולים להיות
      20, 1
      10, 2
      5, 4
      (לכל הזוגות הללו ניתן לתת גם גרסה שלילית למשל 5-, 4-)
      אבל אף אחד מהזוגות סכומו הוא לא 15-.
      לכן אין טרינום המורכב ממספרים שלמים.
      דרך שנייה לדעת האם ניתן לפרק לטרינום היא לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים והמספרים שהתקבלו בפתרון הם הפירוק של הטרינום.
      גם בדרך זו נמצא שאין מספרים שלמים המפרקים את הטרינום.
      דף שאולי יכול לעזור הוא "פירוק הטרינום כאשר a שונה מ 1"
      http://www.m-math.co.il/algebra/trinum-a/
      מקווה שעזרתי

  2. יעל

    אני קוראת ורואה את הסרטונים ואני כן מבינה יותר טוב אבל עדיין קשה לי להבין ויש לי עוד מאת מבחן שיחלק אותי לכמה יחידות אני הולכת ואי לא רוצה ללכת לשלוש יחידות… ואני לא מבינה מה המורה רוצה ממני בשיעורים ורק פה אני עוד איכשהו מצליחה להבין אבל לא עד הסוף..מה אני יעשה…?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום יעל.
      אני מצטער על המצב.
      אני יכול רק להגיד איך אני יכול לעזור לך כאן, ואתן את העזרה הזאת בשמחה רבה.
      אם את לא מבינה משהו את יכולה לשאול אותי כאן, רצוי שהשאלה תהיה מדויקת. למשל "בהסבר על פתרון בעזרת טרינום אני לא מבינה את השלב השני" או "השלב השלישי בתרגיל 5 לא ברור… "
      את יכולה לשאול כמה שאלות שאת רוצה ואני אשתדל לענות ובמהירות, לרוב תוך מספר שעות או פחות.
      אני מבין שמדובר בהרבה שאלות מצידך ושזה ידרוש זמן – אבל כך אני יכול לעזור וכאמור אעשה זאת בשמחה.
      מחכה לשמוע ממך.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום רחל.
      במקרה זה את צריכה להוציא x כגורם משותף ואז לפתור את המשוואה הריבועית שנשארה בפנים.
      X^3+X^2-12x = x(x^2 +x – 12) = x(x-3) (x+4) = 0
      הפתרונות הם x=0, x=3, x = -4.

      אני השתמשתי בפירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך ניתן לפתור בכול דרך אחרת.

      אם לא היה ניתן להוציא x כגורם משותף (למשל במקרה X^3+X^2-12) לא היה ניתן לפתור במסגרת חומר הלימודים את המשוואה, כי משוואות ממעלה שלישית לא נלמדות.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.