פירוק לגורמים בעזרת נוסחת השורשים

לדף זה 4 חלקים

  1. הסבר כיצד לבצע פירוק לגורמים בעזרת נוסחת השורשים.
  2. מכשולים בהם ניתן להיתקל.
  3. תרגילים.
  4. דרכי קיצור לבצע פירוק לגורמים.

1.הסבר

כאשר יש לנו משוואה ריבועית אנו יכולים לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים.
למשל המשוואה:
y = x² – 5x + 6
הפתרונות שלה יהיו
x1 = 2,  x2 = 3

ואז ניתן לכתוב את המשוואה הריבועית בצורה הזו
(y = x² – 5x + 6 = (x -2) (x-3
וזה הפירוק לגורמים של המשוואה.

כלומר:
אם a,b הם פתרונות המשוואה הריבועית אז ניתן לכתוב את השוואה הריבועית כך:
(y = (x – a) (x – b

דוגמה

פרקו לגורמים את המשוואה הריבועית
y = x² -7x +12

פתרון
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

הפתרונות הם:
x1 = 4,  x2 = 3

לכן הפירוק לגורמים של המשוואה יהיה:
(y = x² -7x +12 = (x -4)(x-3

2. מכשולים בהם אתם יכולים להיתקל

1.ומה עושים אם אחד או שני הפתרונות שליליים?
למשל המשוואה:
y = x² + 2x – 15
הפתרונות שלה הם:
x1 = 5,  x2 = -3

אז נכתוב את המשוואה הריבועית בצורה הזו:
(y = x² + 2x – 15 = (x -5) (x +3

כלומר ה 3 – – הופך ל 3 +

2. ומה עושים אם למשוואה הריבועית יש פתרון יחיד?
למשל למשוואה:
y = x² +6x + 9
יש פתרון יחיד והוא:
x1 = -3
ומשוואה מסוג זה ניתן לכתוב כך:
(y = x² +6x + 9 = (x + 3) (x +3
או כך:
y = x² +6x + 9 = (x + 3)²

3. ומה עושים אם למשוואה הריבועית אין פתרונות?
משוואה שאין לה פתרונות לא ניתן לפרק לגורמים.
למשל את המשוואה:
y = x² + 2x + 20
לא ניתן לפרק לגורמים.

4. ומה עושים אם המקדם של x² הוא שלילי?
למשל המשוואה:
y = -x² -6x +16

זה תלוי בהרגל שלכם והצורה שבה פתרתם משוואות מסוג זה עד עכשיו.
אם פתרתם את המשוואה כמו שהיא עשו זאת גם עכשיו.

אם אתם, כמו רבים, נוהגים להכפיל ב 1- על מנת לפתור עשו זאת גם עכשיו.
x² -6x +16= 0  / *-1-
x² +6x -16= 0

פתרון משוואה ריבועית זו ייתן לנו:
x1 = -8,  x2 = 2
ונוכל לכתוב:
(y = -x² -6x +16 = (x +8) (x – 2

5. ומה עושים אם המקדם של x² שונה מ 1?
למשל:
y = 4x² + 12x + 9

לכן, כאשר ניתקל במשוואה כזו:
y = 4x² + 12x + 9
נבדוק אם ניתן להפוך את המקדם של x² ל 1 על ידי חילוק.
למשל את משוואה זו נחלק ב 4:
y = x² + 3x +2.25
ואז נפתור בעזרת נוסחת השורשים.

ואם זה בעייתי להפוך את המקדם של x² ל 1.
אז כנראה שזה גם בעייתי לפרק לגורמים את המשוואה הריבועית הזו.
(שורשי המשוואה אינם שלמים).

3. תרגילים

תרגיל 1
פרקו לגורמים את המשוואה הריבועית
y = x² +2x – 24

פתרון
נפתור בעזרת נוסחת השורשים:

הפתרונות הם:
x1 = 4,  x2 = -6

לכן הפירוק לגורמים של המשוואה יהיה:
(y = x² +2x – 24= (x – 4) (x + 6

תרגיל 2
y = x² +6x +10

פתרון
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

נשים לב שבתוך השורש יש לנו ביטוי השווה ל:
4 – = 40 – 36
אין שורש למספר שלילי.
לכן למשוואה הריבועית הזו אין פתרונות ולא ניתן לפרק אותה לגורמים.

תרגיל 3
y = x² +10x +25

פתרון
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

למשוואה זו פתרון יחיד:
x = -5
לכן הפירוק לגורמים יכתב כך:
y = x² +10x +25 = (x + 5)²

תרגיל 4
y = 4x² + 10x + 6

פתרון
בתרגיל זה המקדם של x² שונה מ 1.
לכן נחלק את כל המשוואה ב 4 ונקבל משוואה זהה שבה המקדם של x² הוא 1.
y = 4x² + 10x + 6
y = x² +2.5x + 1.5

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

הפירוק לגורמים של המשוואה הריבועית הוא זה:
(y = 4x² + 10x + 6 = (x+1) (x +1.5

4. דרכי קיצור לביצוע פירוק לגורמים

נוסחת השורשים מאפשרת לפתור ולבצע פירוק לגורמים לכל משוואה ריבועית שיש לה פתרון.

אבל, יש דרכים קצרות יותר לבצע פירוק לגורמים.
לדרכים הללו יש חסרונות:

  1. ניתן להשתמש בהם רק בחלק מהמשוואות הריבועיות.
  2. הם דורשות לחשוב, זו לא הצבה בנוסחה.

על כל הדרכים הללו יש פירוט בדף פתרון משוואה ריבועית בדרכי קיצור.
כאשר אציג אותם בקצרה בלבד.

משואות הנראות כך: y = x² + 3x

משוואות הנראות כך:
y = x² + 3x
כלומר משוואות ריבועיות בהם חסר האיבר החופשי c ניתן לפתור על ידי הוצאת גורם משותף.

y = x² + 3x
(y =x (x +3
וזה הפירוק לגורמים.

משוואות הנראות כך: y = x² – 16

משוואות הנראות כך
y = x² – 16
כלומר משוואות ריבועיות שבהם חסר רכיב ה b ניתן לפתור בחלק מהמקרים על ידי נוסחאות הכפל המקוצר.
(a² – b²= (a-b)*(a+b

(y = x² – 16 = (x-4) (x+4

את המשוואה
y = x² – 17
לא נוכל לפתור בצורה הזו וגם בעזרת נוסחת השורשים נתקשה לפתור.
כי למשוואה זו אין שורשים שהם מספרים שלמים.

טרינום

טרינום היא דרך מהירה יחסית לפתור משוואה ריבועית.
אבל זו דרך המחייבת למידה ולכן יש לה דף נפרד באתר: טרינום.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “פירוק לגורמים בעזרת נוסחת השורשים”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הדף נוסחת השורשים נועד ללמד את נוסחת השורשים.
      הדף הזה נועד להזכיר שניתן להשתמש בנוסחת השורשים גם כדי לבצע פירוק לגורמים.
      מי שמגיע לכאן עושה זאת לרוב דף דף פירוק לגורמים.

      הדף נוסחת השורשים ארוך בהרבה ומי שיודע אותו לא צריך ללמוד גם את הדף הזה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.