הוצאת גורם משותף

על מנת להצליח בנושא גורם משותף עליכם לדעת:

  1. פתיחת סוגריים (לדעת ב 100%).
  2. כפל חזקות ברמה בסיסית (הכרת הנוסחה  am+n = am * an.).

בדף זה 4 חלקים:

  1. דוגמאות והסבר להוצאת גורם משותף.
  2. תרגילים: גורם משותף שהוא מספר.
  3. תרגילים: גורם משותף שהוא משתנה.
  4. תרגילים: מכנה משותף שהוא משתנה ומספר ביחד.

חלקים נוספים בדף שהם מעבר לנדרש כידע ראשוני:
5.פתרון משוואות בעזרת גורם משותף.
6.צמצום שברים בעזרת גורם משותף.

1.הסבר ודוגמאות

הוצאת גורם משותף שהוא משתנה מבוססת על חוק חזקות האומר:
am+n = am * an

בעזרת חוק חזקות זה אנו יכולים לרשום למשל:
x5 = x3 * x2

דוגמה 1
2x4 – 7x²

פתרון
כאשר כל האיברים כוללים משתנה הגורם המשותף הוא החזקה הקטנה ביותר של המשתנה.
במקרה זה החזקה הקטנה היא 2.
לכן נרשום את התרגיל כך:
(2x² * x² – 7* x² = x²(2x² – 7

דוגמה 2
5x6  + 8x4

פתרון
הגורם המשותף הוא החזקה הקטנה ביותר x4.
(5x2 * x4 + 8 * x4 = x4 (5x² + 8

דוגמה 3 (גורם משותף שהוא מספר)
3x2 + 6a2

פתרון
אנו יכולים לרשום את התרגיל גם כך:
3x2 + 3*2a2
אנו רואים ש 3 הוא הגורם המשותף ולכן ניתן לכתוב:

(3x2 + 3*2a2 = 3(x2 + 2a2

דוגמה 4 (שלושה איברים)
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:
2a5 + 8a6 + 4a3

פתרון
נכתוב את התרגיל כך:
2a3 * a2  +  2a3 * 4a3   +  2 * 2a3
הגורם המשותף הוא:
2a3
והתרגיל לאחר הוצאת הגורם המשותף נראה כך:
(2a3 (a2 + 4a3 +2

דוגמה 5
הוציאו גורם משותף לשלושת האיברים בתרגיל הבא:
x3 + x2 + 7

פתרון
בתרגיל זה לא ניתן להוציא גורם משותף לשלושת האיברים.
כי באיבר האחרון אין x, ועל מנת להוציא גורם משותף האיבר צריך להיות משותף לכל האיברים.

כאשר בתוך הסוגריים נשאר המספר 1

דוגמה 1
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:
x3 + 2x5

פתרון
אנו יכולים לכתוב את התרגיל גם כך:
x3 * 1 + x3 * 2x2
אנו רואים ה x3 משותף לשני האיברים לכן ניתן להוציא אותו כגורם משותף.
(x3 (1 + 2x2

כיצד נדע שהגענו לתשובה הנכונה?
אם נפתח סוגריים נגיע אל הביטוי המקורי:
x3 (1 + 2x2 ) = x3 + 2x5

*הערה
יש תלמידים שלא ברור להם למה אנו צריכים את המספר 1 בביטוי כאן:
(x3 (1 + 2x2
והתשובה היא שאם נשמיט את ה 1 כאשר נפתח סוגריים לא נחזור לביטוי המקורי.
x3 * ( 2x2 ) =  x5
זו תשובה שגויה.
ה 1 קיים כי:
x3 * 1 = x3

דוגמה 2
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:
x – x10

פתרון
אנו יודעים כי:
x = x1
נכתוב את התרגיל המקורי כך:
x1 – x1 * x9

אנו רואים כי הגורם המשותף הוא x1
(x1 * 1 – x1 * x9 = x1 (1 – x9

לתשומת לבכם

התרגיל הראשון היה:
x3 + x5
והמכנה המשותף היה:
x3

התרגיל השני:
x – x10
והמכנה המשותף היה:
x

התרגיל הרביעי היה:
2a5 + 8a6 + 4a3
והמכנה המשותף היה:
2a3

שימו לב שבכל התרגילים המכנה המשותף הוא החזקה הנמוכה ביותר המופיעה בתרגיל.
כלל זה נכון תמיד.

דוגמאות מהירות להוצאת גורם משותף

בחלק זה דוגמאות ללא הסברים.

דוגמה 1
2x4 + 3x2 = x2 * 2x2 + x2 * 3
(x2(2x2 + 3

דוגמה 2
4x5 + 8x2 = 4x² *x² + 4x² *2
(4x² (x³ + 2

דוגמה 3
6x10 – 2x12 =3 * 2x10 – x² * 2x10
(2x10(3 – x²

דוגמה 4
4x³ – 8x5 = 4x³ * 1 – 4x³ * 2x²
(4x³(1 – 2x²

2.תרגילים: הוצאת גורם משותף שהוא מספר

  1. 5x+15
  2. 6-4x
  3. 4x+4y-8
  4. 6x-3y+9
  5. 2x-10y-6-

פתרונות

תרגיל 1
5x+15

פתרון
(5x+15 = 5(x+3

תרגיל 2
6-4x

פתרון
(6-4x= 2(3 – 2x

תרגיל 3
4x+4y-8

פתרון
(4x + 4y – 8 = 4 (x + y – 2

תרגיל 4
6x-3y+9

פתרון
(6x – 3y + 9 = 3(-y + 2x + 3

3.תרגילים: הוצאת גורם משותף שהוא משתנה

  1. x² + x
  2. x³ + x6
  3. x7 – x6 + x
  4. x³a² + x4a6 – x²a³-
  5. x7y5 – x10

פתרונות

תרגיל 1
x² + x

פתרון
(x²+x = x(x+1

תרגיל 2
x3+x6

פתרון
(x3+x6 = x³ (1+x³

תרגיל 3
x7 – x6 + x

פתרון
(x7-x6 + x= x(x6– x5+1

תרגיל 4
x³a² + x4a6 – x²a³-

פתרון
(x³a² + x4a6 – x²a³ = x²a²( -x + x²a4 – a-

תרגיל 5
x7y5 – x10

פתרון
(x7y5 – x10y³ = x7y³ (y²-x³

4.תרגילים: הוצאת גורם משותף של מספרים ומשתנים ביחד

  1. 3x³- 3x
  2. 10x4– 2x5
  3. 7x² + 21x²-
  4. 20x³ -12x3– 8x5

פתרונות

תרגיל 1
3x³ – 3x

פתרון
(3x³ – 3x = 3x(x²-1

תרגיל 2
10x4– 2x

פתרון
(10x4– 2x5 = 2x4 (5 – x

תרגיל 3
7x²+21x²-

פתרון
מכוון שלשני האיברים יש את אותו בסיס חזקה ואותו מעריך חזקה אז תרגיל זה אינו הוצאת גורם משותף אלא חיסור איברים.

7x²+21x² = 14x²-

תרגיל 4
20x³-12x3– 8x5

פתרון
(20x³ – 12x3– 8x5 = 4x³ (5 – 3 – 2x²)= 4x³(2 – 2x²

תרגיל 5
20x³ -12x3– 8x5

פתרון
20x³ -12x3– 8x= 8x³ – 8x5
(8x³ (1 – x²

5.תרגילים: פתרון משוואות בעזרת הוצאת גורם משותף

הקדמה
כאשר יש מכפלת שני מספרים או משתנים שמכפלתם שווה ל 0.
אז אחד מיהם צריך להיות 0 כדי שהמשוואה תהיה נכונה.

כלומר אם:
x * y = 0
אז או ש x = 0 או ש y = 0.

לא בטוחים?
נסו לחשוב על שני מספרים שאינם 0 ומכפלתם 0.

תרגילים

  1. x(x+4)=0
  2. 3x -12x²=0
  3. 18x² – 6x=0
  4. 3x² + 4x = 6x

פתרונות

תרגיל 1
x(x+4)=0

פתרון
x(x+4)=0
x=0
או x+4=0
x=-4.

תרגיל 2
3x-12x²=0

פתרון
3x-12x²=0
3x(1-4x)=0
3x=0
x=0
או
1-4x=0
x=0.25

תרגיל 3
9x²-5x=0

פתרון
9x²-5x=0
x(9x-5)=0
x=0
או
9x-5=0
9x=5
x=5/9,

תרגיל 4
3x² + 4x = 6x

פתרון
נכנס איברים לצד אחד.
3x² + 4x – 6x = 0
3x² – 2x = 0
x(3x – 2) = 0

x =0
או
3x – 2 = 0
3x = 2
x = 0.66

6.תרגילים הכוללים צמצום שברים

תרגילים 1-4 כוללים הוצאת מספר כגורם משותף.
תרגילים 5-7 כוללים הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף.
תרגילים 8-11 כוללים הוצאת גורם משותך של 3 איברים.

1.צמצום שברים אלגבריים

2.צמצום שברים אלגבריים

3.צמצום שברים אלגבריים

4.

5.צמצום שברים אלגבריים

6. צמצום שברים אלגבריים

7. צמצום שברים אלגבריים

8.

9.

10.

11.

פתרונות

תרגיל 1

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

מוציאים 4 כמבנה משותף במונה, מצמצמים ב- 2

מוציאים 4 כמבנה משותף במונה, מצמצמים ב- 2

תרגיל 2

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

מוצאים 5 מכנה משותף ומצמצמים

מוצאים 5 מכנה משותף ומצמצמים

תרגיל 3

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

מוציאים 6 כגורם משותף ומצמצמים

מוציאים 6 כגורם משותף ומצמצמים

תרגיל 4

פתרון

מוציאים 4 כמכנה משותף ומצמצמים

מוציאים 4 כמכנה משותף ומצמצמים

תרגילים הדורשים הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף

תרגיל 5

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

הוצאת 3x כמכנה משותף וצמצום

הוצאת 3x כמכנה משותף וצמצום

תרגיל 6

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

הוצאת x בריבוע כגורם משותף וצמצום ב- x

הוצאת x בריבוע כגורם משותף וצמצום ב- x

תרגיל 7

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

הוצאת 12x כגורם משותף וצמצום ב- 6x-

הוצאת 12x כגורם משותף וצמצום ב- 6x-

הוצאת גורם משותף ל 3 איברים

תרגיל 8

פתרון

תרגיל 9

פתרון

תרגיל 10

פתרון

תרגיל 11

פתרון

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 thoughts on “הוצאת גורם משותף

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      תחום הצבה במשוואה או באי שוויון אלו הם קבוצת מספרים אשר ניתן להציב אותם במשואה והמשוואה תהיה מוגדרת.

      מתי משוואה לא מוגדרת? למשל עם מכנה המשוואה שווה ל 0. זה הופך את המשוואה ללא מוגדרת.

      איך מוצאים את תחום ההצבה? במשוואות הראשונות שלומדים בכיתה ח משווים את המכנה ל 0. כאשר x גורם למכנה להיות שווה ל 0 זה ערך שלא נמצא בתחום ההצבה.
      מידע מפורט יותר ודוגמאות תמצאי בקישור
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/domain-of-equation/
      מקווה שעזרתי

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.