לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

הוצאת גורם משותף

45 תגובות / אלגברה

על מנת להצליח בנושא גורם משותף עליכם לדעת:

  1. פתיחת סוגריים (לדעת ב 100%).
  2. כפל חזקות ברמה בסיסית (הכרת הנוסחה  am+n = am * an.).

בדף זה 7 חלקים:

  1. וידאו מסכם.
  2. דוגמאות והסבר להוצאת גורם משותף.
  3. האם להוציא מינוס כגורם משותף.
  4. מכשולים בהוצאת גורם משותף.
  5. תרגילים.

חלקים נוספים בדף שהם מעבר לנדרש כידע ראשוני:
8.פתרון משוואות בעזרת גורם משותף.
9.צמצום שברים בעזרת גורם משותף.

1.וידאו מסכם

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.הסבר ודוגמאות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

הוצאת גורם משותף שהוא משתנה

הוצאת גורם משותף שהוא משתנה מבוססת על חוק חזקות האומר:

am+n = am * an

בעזרת חוק חזקות זה אנו יכולים לרשום למשל:

x5 = x3 * x2

כלל מעשי להוצאת משתנה כגורם משותף הוא:

  1. ניתן להוציא משתנה כגורם משותף רק אם המשתנה נמצא בכל הביטויים.
  2. אם המשתנה נמצא בכל הביטויים אז החזקה הקטנה ביותר של המשתנה היא הגורם המשותף.

למשל לביטוי הבא אין גורם משותף שהוא משתנה כי המשתנה x לא קיים בכל הביטויים.

2x4 – 7x²- 9

ואילו בביטוי הבא x3 הוא הגורם המשותף כי x נמצא בכל הביטויים וחזקת 3 היא החזקה הקטנה ביותר שלו.

2x4 – 7x3 + 10x7

דוגמה 1

2x4 – 7x²

הסבר

למספרים אין גורם משותף שלם.

החזקה הקטנה של המשתנים היא x² לכן היא הגורם המשותף.

(2x4 – 7x² = x²(2x² – 7

לצורך ההסבר, אם נרצה לראות בצורה מפורטת יותר ש x² הוא גורם משותף נראה זאת כך:

2x4 – 7x² = 2x² * x² – 7* x²

(x²(2x² – 7 =

דוגמה 2
5x6  + 8x4

הסבר

למספרים אין גורם משותף שלם.

החזקה הקטנה ביותר היא x4 לכן הוא הגורם המשותף:

(5x6  + 8x4 = x4 (5x² + 8

לצורך ההסבר, אם נרצה לראות בצורה מפורטת יותר ש x4 הוא גורם משותף נראה זאת כך:

(5x2 * x4 + 8 * x4 = x4 (5x² + 8

דוגמה 3 (גורם משותף שהוא מספר)

3x2 + 6a2

הסבר

הגורם המשתף של המספרים הוא 3.

עבור המשתנים אין גורם משותף.

3x2 + 6a2 = 3(x2 + 2a2)

לצורך ההסבר, אם נרצה לראות בצורה מפורטת יותר ש 3 הוא גורם משותף נראה זאת כך:

(3x2 + 3*2a2 = 3(x2 + 2a2

דוגמה 4 (שלושה איברים)

2a5 + 8a6 + 4a3

הסבר

a³ הוא הגורם המשותף של החזקות.

2 הוא הגורם המשותף של המספרים.

2a3  הוא הגורם המשותף.

(2a5 + 8a6 + 4a3 = 2a3 (a2 + 4a3 + 2

לצורך ההסבר, אם נרצה לראות בצורה מפורטת יותר ש 2a3 הוא גורם משותף נראה זאת כך:

2a3 * a2  +  2a3 * 4a3   +  2 * 2a3

דוגמה 5

הוציאו גורם משותף לשלושת האיברים בתרגיל הבא:

x3 + x2 + 7

הסבר

בתרגיל זה לא ניתן להוציא גורם משותף לשלושת האיברים.

כי באיבר האחרון אין x, ועל מנת להוציא גורם משותף האיבר צריך להיות משותף לכל האיברים.

3.מכשול

כאשר בתוך הסוגריים נשאר המספר 1

דוגמה 1
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:

x3 + 2x5

פתרון

x³ היא החזקה המשותפת.

לכן אנו יכולים לכתוב את התרגיל גם כך:

x3 * 1 + x3 * 2x2

אנו רואים ה x3 משותף לשני האיברים לכן ניתן להוציא אותו כגורם משותף.

(x3 + 2x5  = x3 (1 + 2x2

כיצד נדע שהגענו לתשובה הנכונה?

אם נפתח סוגריים נגיע אל הביטוי המקורי:

x3 (1 + 2x2 ) = x3 + 2x5

*הערה
יש תלמידים שלא ברור להם למה אנו צריכים את המספר 1 בביטוי כאן:

(x3 (1 + 2x2

והתשובה היא שאם נשמיט את ה 1 כאשר נפתח סוגריים לא נחזור לביטוי המקורי.

x3 * ( 2x2 ) =  x5

זו תשובה שגויה.

ה 1 קיים כי:

x3 * 1 = x3

דוגמה 2

הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:

x – x10

פתרון

אנו יודעים כי:

x = x1

x1 היא החזקה המשותפת. לכן ניתן לכתוב את התרגיל המקורי כך:

x1 – x1 * x9

אנו רואים כי הגורם המשותף הוא x1

(x1 * 1 – x1 * x9 = x1 (1 – x9

דוגמאות מהירות להוצאת גורם משותף

בחלק זה דוגמאות ללא הסברים.

דוגמה 1

2x4 + 3x2 = x2 * 2x2 + x2 * 3
(x2(2x2 + 3

דוגמה 2

4x5 + 8x2 = 4x² *x² + 4x² *2
(4x² (x³ + 2

דוגמה 3

6x10 – 2x12 =3 * 2x10 – x² * 2x10
(2x10(3 – x²

דוגמה 4

4x³ – 8x5 = 4x³ * 1 – 4x³ * 2x²
(4x³(1 – 2x²

5.תרגילים

  1. 3x4 + 6x2
  2. 3x³- 3x
  3. 10x4– 2x5
  4. 7x² + 21x²-
  5. 20x³ -12x3– 8x5
  6. 6x²y3 – 3x²y

פתרונות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

6.תרגילים: פתרון משוואות בעזרת הוצאת גורם משותף

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

7.תרגילים הכוללים צמצום שברים

תרגילים 1-4 כוללים הוצאת מספר כגורם משותף.

תרגילים 5-7 כוללים הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף.

תרגילים 8-11 כוללים הוצאת גורם משותף של 3 איברים.

1.צמצום שברים אלגבריים

2.צמצום שברים אלגבריים

3.צמצום שברים אלגבריים

4.

5.צמצום שברים אלגבריים

6. צמצום שברים אלגבריים

7. צמצום שברים אלגבריים

8.

9.

10.

11.

פתרונות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

עוד באתר:

45 מחשבות על “הוצאת גורם משותף”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין הגדרה מילונית של גורם משותף.
      אבל 1 הוא גורם משותף של כל שני איברים.
      וזו כמובן שאלה יותר תיארוטית ממעשית.

      תגובה
  4. שימי

    איך ניתן להכפיל משוואה בגורם משותף. אולי הביטוי שווה לאפס?
    וכמו כן איך ניתן לחלק משוואה בגורם משותף אולי הביטוי שווה לאפס

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר מכפילים צריך לקבוע שהביטוי שמכפילים בו שונה מ 0, והאיקס המתאים לא יכול להיות פתרון.
      למשל אם צריך להכפיל ב
      x – 1
      אז קובעים שביטוי זה שונה מ 0 ו:
      x = 1
      לא יכול להיות פתרון

      תגובה
  5. ולדי

    היי,אם יש לי y’=4x³-4x=0 הרי יש לי בשלישית ואיך אני פותר , יצא לי 0=(x³-x)4 כיצד אני ממשיך מכאן?

    תגובה
  6. ינון גולדשטיין

    הי שמוציאים את הסימן מינוס גורם משותף אפשר להוציא בכל ביטוי כי למעשה כל מספר מתחלק במינוס? איך זה עובד עם המינוס ?
    תודה !

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשר להוציא מינוס בכל מצב – והשאלה אם זה משרת אותנו.
      הדבר מוסבר בחלק השלישי של הדף.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה קשורה לנושא צמצום שברים אלגבריים.
      את המכנה ניתן לכתוב כ x כפול x ואז לצמצם x.
      נשארים עם 2 חלקי x.
      זה מצטמצם כי:
      1. יש כפל בין כל האיברים במונה וכפל בין כל האיברים במכנה
      2. אחד האיברים במונה ובמכנה הוא x.
      הסבר נוסף כאן:
      https://www.m-math.co.il/algebra/equations/algebraic-diameter-reduction/

      תגובה
  8. נועה ביתן

    שלום :)
    יש לי פונקציה : fx= tan^2x-tan^2x • sin^2x
    ניסיתי לפשט אותה, (הכל בריבוע ועם איקס)
    Sin/ cos – sin/cos• sin
    עכשיו השאלה שלי היא אם אני יכולה להוציא גורם משותף?
    תודה!

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא בטוח שאני קורא נכון את מה שכתוב כאן ולא רוצה להטעות.
      אבל אם יש סינוס בכל המונים ניתן להוציא אותו.
      כמו כן הייתי בודק את האפשרות לכתוב את התרגיל המקורי עם מכנה יחיד – ומשם להוציא גורם משותף.

      תגובה
      1. נועה ביתן

        כאילו sin / cos-cos•1?
        ומה זה אומר מכנה יחיד ? אני יכולה לשים שם רק 1 לא? אז עדיין אין לי מה להוציא משותף
        שוב תודה

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          אני לא מבין את סדר הדברים ומה תוצאה של מה. לכן אענה רק על מה הכוונה מכנה יחיד
          זו הפונקציה המקורית
          tan^2x-tan^2x • sin^2x
          יש בה שני ביטויים שהמכנה שלהם הוא cos בריבוע.
          לכן ניתן לכתוב אותם עם קו שבר יחיד כאשר במכנה יש cos בריבוע.

          תגובה
  9. בת שבע

    דבר ראשון אני רוצה לאמר תודה רבה! האתר עוזר לי מאוד!
    ודבר שני- ראיתי שיש טעות ב “דוגמאות מהירות להוצאת גורם משותף”, דוגמה 2:
    האגפים שם לא שווים, אם פותרים את התרגיל רואים שהאגף הימני לא שווה לאגף השמאלי.

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הדוגמה הזו

      4x^5 + 8x^2 = 4x² *x² + 4x² *2
      (4x² (x³ + 2

      היא דוגמה נכונה.
      אם פותחים את הסוגריים שבסוף מקבלים את הביטוי שבהתחלה.

      תגובה
      1. אורי

        שלום

        קודם כל אלף תודות האתר מדהיייייים , אני לא מבין איך הפתרון הזה נכון

        לא אמור להיות 4x^2(x^3*2)
        אשמח להסבר
        נ.ב – אפשר שעורים פרטיים אצלך ? אני מאזור מטה יהודה
        תודה אורי

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          תודה על המחמאות, אני לא נותן שיעורים פרטיים.
          לא הבנתי על איזה תרגיל מדובר, אם תוכל לכתוב את מספרו וגם לכתוב איזה שלב בפתרון אינו מובן.

          תגובה
  10. משה

    בחלק 2 בדף זה (הוצאת גורם כשיש 2 סוגריים עם סימנים הופכיים) בסוף הדוגמה כתוב: “לכן נכתוב כך:
    ((x)+ 4– )(x) – 3*(x – 4) + x (4 – x) = 3* (x – 4)
    ((x) + 3) * (x- 4)=
    ולא הבנתי בתוצאה הסופית למה לכפול את (x-4) ב ((x) + 3) ולא ב ((x) – 3) הרי שלב קודם הסימן של הx מחוץ לסוגריים היה –
    (סליחה על הסוגריים המיותרים באיקסים שבתרגיל פשוט בלעדיהם האיקסים קפצו לתחילת השורה..)

    תגובה
  11. טל

    ערב טוב
    בהוצאת גורם משותף ל 3 איברים
    תרגיל 10
    הוצאת גורם משותף איקס וואי
    במחובר השלישי לאחר הפירוק רשמת מינוס שלוש וואי
    רציתי לדעת איך זה מתבצע כי לפי מה שהבנתי האיקס אמור להיכפל במינוס מכיוון שהוא נמצא לפני הוואי
    תודה מראש

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר מבצעים כפל אין חשיבות לסדר בו כופלים.
      למשל:
      x * y * (-1) = y * (-1) * x
      לכן אם יש ביטוי xy וכופלים אותו ב (-) ניתן לרשום את התוצאה כ xy- או yx-.

      תגובה
  12. ניר

    הי .
    בתרגיל המכיל מספרים אני יכול להוציא גורם משותף מספר חיובי ומספר שלילי . באחד הספרים ראיתי שצריך להוציא את הגורם הכי גדול . זה אומר שאם אני מתלבט להוציא 2 או מינוס שתיים בתרגיל מסויים שהוא הגורם משותף אני מוציא 2 ? כי 2 יותר גדול ממינוס 2 או שזה לא משנה ?
    מה שאומר שתמיד אני אוציא מספרים חיוביים כי הם יותר גדולים משליליים או שלא הבנתי בדיוק מה זה הגורם הגדול ביותר .
    מה הכוונה לגורם גדול ביותר ?
    תודה מראש !

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ניר
      הכוונה היא שצריך להוציא את המספר הכי גדול בערך המוחלט.
      כלומר זה לא משנה אם תוציא את 2 או 2-.
      לכן, אתה צריך להוציא כגורם משותף מספרים חיוביים ושליליים ולא רק חיוביים.

      תגובה
  14. מאיר

    מסתבך לי תמיד הוצאת גורם משותף עם חזקה בריבוע, איך אתה מוציא את זה? למשל בתרגילים 5 6 בדף זה, אם אני לא יודע כמה הוא X איך אני יכול להוציא החוצה?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      1.כאשר יש x על כל האיברים ה x שיוצא החוצה הוא ה x אם החזקה הקטנה ביותר.
      2.כאשר x הוא לא על כל האיברים ה x לא יוצא כגורם משותף.
      הוצאת גורם משותף מבוססת על כפל חזקות. אם תבין את זה זה יקל עליך
      https://www.m-math.co.il/math-9th-grade/multiplying-exponents/
      אם התשובה לא עזרה חזור אליי.

      תגובה
      1. מאיר

        כפל חזקות והוצאת גורם משותף אני יודע, מה שהתכוונתי זה למקרים שיש במשוואה X ו-X^2, [כמו בתרגיל 5 של השברים בדף הזה] ואני רואה שמוציאים אותו בX גורם משותף, ואני לא מבין איך זה יוצא, כי X^2 זה לא 2X, אלא מספר כלשהו שאיני יודע מהו והוא נכפל בעצמו, ולכאורה אין לי שום דרך לדעת מה הוא ה-X?!

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          אתה לא יודע את הערך המספרי של מה שאתה מוציא אלא אתה יודע שגודלו x.
          כמו שבפתרון משוואה עם נעלם אחד לפעמים מוסיפים 2x לשני צדדי המשוואה, לא יודעים בדיוק כמה מוסיפים אלא יודעים שהגודל הוא 2x.
          אם זה מה שאמרת, לא בטוח שהבנתי.

          תגובה
          1. מאיר

            אכתוב את הדוגמא שהסתבכתי בה,בתרגיל 5 למעלה – הוצאת גורם משותף בשברים.
            (3X+6X^2 = 3x(1+2X
            איך ה- 6X^2 נהפך להנ”ל?

            תגובה
            1. מאיר

              היה חסר לי כינוס איברים עם חזקות ולכן לא הבנתי את הנ”ל.
              תודה רבה לך אני לומד באופן עצמאי וממש מחכים מהאתר שלך, האתר הזה מדהים ועוד יותר מדהים שכל החומר בחינם.

              תגובה
              1. נועם אללי

                את/ה בעצם מפרק/ת את המשוואה ומחבר/ת אותה מחדש ואז יוצא לך 3 * 2 * x * x
                3 * 2 זה 6 ו x * x זה x^2 את/ה מכפיל את שניהם כי יש ביניהם כפל ויוצא לך 6x^2 מקווה שעזרתי😁

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תחום הצבה במשוואה או באי שוויון אלו הם קבוצת מספרים אשר ניתן להציב אותם במשואה והמשוואה תהיה מוגדרת.

      מתי משוואה לא מוגדרת? למשל עם מכנה המשוואה שווה ל 0. זה הופך את המשוואה ללא מוגדרת.

      איך מוצאים את תחום ההצבה? במשוואות הראשונות שלומדים בכיתה ח משווים את המכנה ל 0. כאשר x גורם למכנה להיות שווה ל 0 זה ערך שלא נמצא בתחום ההצבה.
      מידע מפורט יותר ודוגמאות תמצאי בקישור
      https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/domain-of-equation/
      מקווה שעזרתי

      תגובה

כל הזכויות שמורות ללומדים מתמטיקה 2025