כפל חזקות

בדף זה נלמד את החוק הראשון של החזקות:
am * an = am + n

לדף 2 חלקים.

  1. תקציר.
  2. תרגילים.

1.תקציר

התקציר מורכב מ 3 חלקים:

  1. הסבר של החוק.
  2. שגיאות נפוצות.
  3. סוגים בולטים של תרגילים.
הסבר והוכחה לחוק

החוק הראשון של החזקות אומר:
am * an = am + n

כלומר אם יש לנו כפל של שתי חזקות עם בסיס זהה אנו נחבר את החזקות.
למשל:
27 = 23+4 = 24 * 23
x5 * x2 = x2+5 = x7

למה החוק הזה נכון?

נראה את זה גם דרך התרגיל:
 = 24 * 23
אנו יודעים כי:
2 * 2 * 2 = 23
2 * 2 * 2 * 2  = 24

לכן ניתן לכתוב:
(2 * 2 * 2 * 2 ) * (2 * 2 * 2) = 24 * 23
יש לנו כפל של 7 פעמים 2. ולכן התשובה היא:
27

שימו לב שהחוק הזה עובד גם על כפל של 3 חזקות עם בסיס זהה:
910 = 92+5+3 = 93 * 95 * 92

שלוש שגיאות נפוצות

1.שימו לב שהחוק אומר לחבר את מעריכי החזקה ולא להכפיל.
טעות נפוצה היא להכפיל את מעריכי החזקה.
x3 * x2 = x3*2 = x6  זו טעות.
x3 * x2 = x3 +2 = x5  זה נכון.

2.לא ניתן לבצע חיבור או חיסור של חזקות
= 54 + 52
זה תרגיל שלא ניתן לפתור באמצעות החוק שלמדנו בדף זה.

3. בסיס החזקה חייב להיות שווה על מנת להשתמש בחוק.
= 43 * 35
זה תרגיל שלא ניתן לפתור בעזרת החוק.

סוגים בולטים של תרגילים:

דוגמה 1 (הבסיס הוא מספר)
= 44 * 45

פתרון
49 = 44+5  = 44 * 45

דוגמה 2 (משתנה בבסיס החזקה).
x9 * x3

פתרון
x9 * x= x3 + 9 = x12

דוגמה 3 (שלושה איברים)
a4 *a2 * a7

פתרון
a4 *a2 * a7  = a4+2+7 = a13

דוגמה 4 (כולל מספרים כמקדמים)
= 5x4 * 3x3

פתרון
בשאלות המשלבות מספרים נכפיל את המספרים בנפרד ואת המשתנים בנפרד.
5 * 3 * x4 * x3  = 15x7

דוגמה 5 (כולל משתנים במעריך החזקה)
= ax * a1.5x

פתרון
ax * a1.5x = ax + 1.5x = a2.5x

דוגמה 6 (הביעו באמצעות, קשה יחסית)
נתון כי:
4x = a
הביעו באמצעות a את:
4x + 1
4x – 1

פתרון
(לאחר הפתרון הכתוב יש גם הסבר וידאו לתרגיל).
בתרגיל זה ניקח את הנוסחה המקורית:
am * an = am + n
ונשתמש בה בכיוון ההפוך:
am + n = am * an

4x + 1
על מנת לעשות זאת עלינו לכתוב ביטוי הנראה כך:
4x + 1 = 4x * b
הפירוק של 4x + 1 נראה כך:
4x + 1 = 4x * 41 = 4 * 4x = 4a

4x – 1
על מנת לעשות זאת עלינו לכתוב ביטוי הנראה כך:
4x – 1 = 4x * b
הפירוק של 4x – 1 נראה כך:
4x – 1 = 4x * 4-1 = 4: 4 = 0.25a

דוגמה נוספת
נתון
7x- 2 = a
הביעו באמצעות a את 7x +4.

פתרון
7x + 4 = 7x – 2  * 76 = 76 * a

תרגילים

מצורפים 12 תרגילים:

  1.   =  64 * 65
  2.   =  810 * 8
  3.   = x3 * x 9 
  4. 3a4  * 4b3 * 2a3
  5.   = 3at * 2a3t
  6.   = x5 * 4xm * 5x2
  7.   = x10 * x4 * 43 * 42
  8.   = 3xm * 2ym * y2 * 5x2m

תרגיל 12
ידוע כי 6x = 10.
מצאו את הערך של הביטויים הבאים:

  1. 6x – 4
  2. 6x + 1
  3. 6x – 2 (סעיף זה דורש היכרות עם הנוסחאות של חזקה שלילית).

פתרונות

תרגיל 1
=  64 * 65

פתרון
69 = 65+4 = 64 * 65

תרגיל 2
=  810 * 8

פתרון
אנו יודעים כי:
81 = 8
לכן ניתן לכתוב את התרגיל כך:
811 = 81+10 =  810 * 81

תרגיל 3
 x3 * x 9 

פתרון
x3 * x 9  = x3+9 = x12

תרגיל 4
3a4  * 4b3 * 2a3

פתרון
3a4  * 4b3 * 2a3 = 3*4*2*a4*a3* b3
24a7b3

תרגיל 5

פתרון
מכוון ש:
10 = 6 + 4
המספר החסר הוא 6.

210 = 26 * 24

תרגיל 6

פתרון
מכוון ש:
5 = 6 + 5
המספר החסר הוא 5.

x5 * x6 = x11

תרגיל 7

פתרון
מכוון ש:
10 = 6 + 2 + 2
המספר החסר הוא 2.

x2 * x2 * x6 = x10

 

תרגיל 8
= 3at * 2a3t

פתרון
3at * 2a3t = 3*2at+3t = 6a4t

תרגיל 9
= x5 * 4xm * 5x2

פתרון
 x5 * 4xm * 5x2 = 4 * 5x5+2+m = 20x7+m

תרגיל 10
= x10 * x4 * 43 * 42

פתרון
x10 * x4 * 43 * 42 = x10+4 * 43+2 = x14 * 45

תרגיל 11
= 3xm * 2ym * y2 * 5x2m

פתרון
נשתמש בחוק החילוף של הכפל ונכתוב את התרגיל כך:
xm * x2m * ym * y2 *3*2*5
ביטוי זה שווה ל:
30xm + 2m * ym+2 = 30x3m * ym+2

תרגיל 12
ידוע כי 6x = 10.
מצאו את הערך של הביטויים הבאים:

  1. 6x – 4
  2. 6x + 1
  3. 6x – 2 (סעיף זה דורש היכרות עם הנוסחאות של חזקה שלילית).

פתרון
הרעיון הכללי של כל הסעיפים הוא להביע את הביטויים שהתבקשנו לחשב בעזרת 6x, שלא תהיה חזקה אחרת בביטוי שנקבל.

כמו כן שימו לב שלא מבקשים מאיתנו למצוא את x, אלה מבקשים מאיתנו למצוא כמה הביטוי כולו
(למשל  6x + 1 )שווה.

סעיף א: הערך של  6x – 4
אנו יודעים כי:
6x = 10.
נוכל להציב זאת בביטוי אותו אנו רוצים לחשב ולהגיע למספר.

6x – 4 = 10 – 4 = 6

סעיף ב: הערך של  6x + 1
כרגע יש לנו x + 1 בחזקה. זה לא טוב לנו, אנו רוצים שיהיה בחזקה רק x.
נשתמש בחוק החזקה:
 am + n = am * an

ונקבל:
6x + 1 = 6x * 61 = 10 * 6 = 60

סעיף ג: הערך של 6x – 2
כרגע יש לנו x – 2 בחזקה. זה לא טוב לנו, אנו רוצים שיהיה בחזקה רק x.
נשתמש בחוק החזקה:
 am + n = am * an

ונקבל:

 

 עוד באתר:

נספח: הוצאת גורם משותף באמצעות החוק

בעזרת חוק החזקה
am * an = am + n
אנו יכולים להסביר את ההיגיון מאחורי הוצאת גורם משותף שהוא אחד הכלים הבסיסיים בנושא של פירוק לגורמים.

x5 + x3
בעזרת החוק אנו יכולים לכתוב:
x5 = x3 * x2 

והתרגיל יראה כך:
x3 * x2 + x3
אנו רואים כי x3 הוא גורם משותף:
(x3 * x2 + x3 = x3 (x2 + 1

דוגמאות נוספות להוצאת מכנה משותף

(x4 – x2 = x2 * x2 – x2 = x2 (x2 – 1

(4x7 + 2x3 = 4x3 * x4 + 2x3 = 2x3(2x4 + 1

3x6 + 9x4 + 6x2 = 3x2 * x4 + 9x2 * x2 + 6x2
(3x2 (x4 + 3x2 +2

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “כפל חזקות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.