לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

נוסחאות הכפל המקוצר

80 תגובות / מתמטיקה כיתה ט

תזכורת, אלו נוסחאות הכפל המקוצר:

הנוסחה להפרש ריבועים
(a² – b² = (a – b)*(a + b

דו איבר בריבוע
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

נושאי הדף (אלו הם קישורים לחלקי הדף):

1.סיכום וידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.פתרון משוואות עם פתיחת סוגריים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

לכל התרגילים בחלק זה יש פתרון וידאו ופתרון כתוב.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

(x+4)²  = x² – 6

– (x – 2)²   = – (x-3) * (x+3)

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

פתרונות

תרגיל 1: פתיחת סוגריים ופתרון משוואה

x+4)²  = x² – 6)

פתרון כתוב

x+4)²  = x² – 6)
x² + 8x + 16 = x² – 6 / -x²
8x + 16 = -6  / -16
8x = -22  / :8
x = -2.75

פתרון וידאו

תרגיל 2: כמו תרגיל 1, רק כולל גם מינוס לפני פתיחת סוגריים

– (x – 2)²   = – (x-3) * (x+3)

פתרון כתוב

הכלל אומר שכאשר יש מינוס לפני סוגריים עושים את השימוש בנוסחאות הכפל המקוצר תוך שמירה על הסוגריים ולאחר מיכן מכפילים את כל האיברים שבתוך הסוגריים במינוס.

(x – 2)²  = – (x-3)(x+3) –
(x² -4x + 4)  = – (x² – 9) –
x² + 4x -4 = – x² + 9  / +x²-
4x – 4 = 9  / +4
4x = 13  / :4
x = 3.25

פתרון וידאו

תרגיל 3: פתיחת סוגריים ופתרון משוואה ריבועית

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

פתרון כתוב

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²
5x² – 2x – 4 = – (x² + 4x + 4) – 3x²
5x² – 2x – 4 = – x² – 4x – 4 – 3x²
5x² – 2x – 4 = – 4x² – 4x – 4  / +4x² + 4x + 4
9x² + 2x = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים, אני אראה כאן פתרון הנשען על הוצאת גורם משותף.
x (9x +2) = 0
x= 0
או
9x + 2 = 0  / -2
9x = -2  / :9
x = -0.222

פתרון וידאו

3.פתרון משוואות הכוללות פירוק לגורמים

פירוק לגורמים זה סגירת סוגריים.

מצורפים שלושה סרטונים.

הסרטון הראשון מסביר את היסודות של פירוק לגורמים עם נוסחאות הכפל המקוצר.

הסרטון השני מלמד לפתור 3 מכשולים נפוצים מאוד.

הסרטון השלישי מלבד 4 מכשולים נפוצים פחות ומיועד בעיקר לתלמידי 4-5 יחידות.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

פתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר נשען על העובדה המתמטית שאם מכפלת שני גורמים שווה ל 0 אז אחד מהגורמים צריך להיות שווה ל 0.

כלומר אם x * y = 0
אז x= 0  או y=0.

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

  1. x²-16=0
  2. x²+20x +100=0
  3. x²-2x+1=0
  4. x² +64=0 –
  5. 4x² + 8x + 4 = 0
פתרונות

תרגיל 1
x²-16=0

פתרון כתוב

x²-16=0
x-4) (x+4) =0)
x=4 או  x= – 4

פתרון וידאו

תרגיל 2
x² + 20x + 100=0

פתרון כתוב

x² + 20x + 100=0
x+10)²=0)
x+10=0 /-10
x= – 10

פתרון וידאו

תרגיל 3
x² – 2x + 1 = 0

פתרון כתוב

x² – 2x + 1 = 0
x-1)²=0)
x-1 = 0 /+1
x=1

תרגיל 4
x² +64=0 –

פתרון כתוב

נהפוך את הסדר בין x²-   ו- 64 ונקבל:

64 – x²

עכשיו הביטוי מתאים לנוסחת הכפל המקוצר הראשונה:
a + b) (a – b) = a² – b²)
x+8) (- x+8)=0)
x = 8 או  x= – 8

פתרון וידאו

תרגיל 5
4x² + 8x + 4 = 0

פתרון כתוב

את התרגיל הבא יש 2 דרכים לפתור:
4x² + 8x + 4 = 0
2x + 2) ²=0)
2x+2=0 /-2
2x= -2 /:2
x = – 1

דרך שנייה:
0 = (4x² + 8x + 4 = 4(x² + 2x + 1
x + 1)² * 4 = 0  / :4)
x + 1)² = 0)
x + 1 = 0 / -1
x = -1

4.נספח: שאלות נוספות

השאלות הללו פחות חשובות / שימושיות אך הן עדיין חלק מחומר הלימודים של כיתה ט.

1.השלימו את החלקים החסרים בביטוי המצורף בשתי דרכים שונות.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

פתרון

על מנת לעשות זאת נחפש שני מספרים שמכפלתם שווה למחצית מהמספר שהוא מקדם של x. כלומר בשאלה הראשונה נחפש שני מספרים שמכפלתם 8.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

x-8)² = x²-16x+8²)

2x – 4)² = 4x² -16x+16)

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

x+12)² =  x² +24x +144)

2x +6)² = 4x² + 24x + 36)

2. פשטו את הביטויים הבאים:

²(2√ + 8√)

²(12√ + 3√)

פתרון

p = (√8 + √2) ² = 8+ 2√2√8 +2=8+2√8*2 +2=8+2*4+2=18

p = (√3 +√12)² = 3+2√3√12+12= 3 + 12 +12 = 27

3. פשטו את התרגילים הבאים:

x + 4) (x-4) + (x+3)²)

(2x+1)² – (2x-1)-

פתרון

x + 4) (x-4) + (x+3)² = x²-16 +x²+6x+9=2x²+6x-7)

2x+1)² – (2x-1) =  – (4x² +4x+1) – 2x+1 = -4x² -4x-1-2x+1 = -4x² -6x)-

4. שטח גינה בצורת ריבוע הוא 400 מטר. מגדילים 2 צלעות נגדיות כל אחת ב 20% ומקטינים שתי צלעות נגדיות אחרות כל אחת ב 20%. כך שנוצרת גינה בצורת מלבן.
האם לאחר השינויים הללו שטח הגינה יגדל או יקטן?

פתרון

שטח ריבוע שאורך צלעו a הוא a²
a² = 400
a=20
אורך צלע הריבוע המקורית הוא 20 מטר.

24 = 1.2 *20
16 = 0.8 * 20.
צלעות המלבן הן 16,24
שטח מלבן:
384 = 16*24

80 מחשבות על “נוסחאות הכפל המקוצר”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אפשר לבצע כינוס איברים בסוגריים – הם הופכם ל 2.
      ואם לא מכפילים סוגריים בסוגריים ולא משתמשים בנוסחה.

      תגובה
  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הי מחר יש לי מיבחן במתמתיקה ואני בוכה פה שעות על זה שאני לא יודעת את החומר הפכתי את גוגל על החומר ובשום מקום לא מצאתי אתר כל כך נוח עם כל כך הרבה הסברים והכל ברור ומובן פשוט אין עליך אני יודעת הכל חחחחללללקקקק

    תגובה
  4. בנימין

    היי תודה על הסירטונים
    בסרטון 3 פתיחת סוגרים וכינוס אברים לפני פירוק לגורמים דקה שמינית
    אמרת שכשיש ” איקס בריבוע מינוס ארבע איקס פלוס ארבע שווה מינוס ארבע איקס פלוס שמונה”
    הופכים את זה “לאיקס בריבוע מינוס ארבע שווה אפס”
    מה הדרך שהשתמשת בה

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא מצאתי את המקום.
      בסרטון השלישי – כינוס איברים שמשוואה ריבועית לא מסודרת –
      יש 6:08 דקות ולא מצאתי את המקום שאתה מדבר עליו.

      תגובה
  5. קילא

    היי,
    אתר מעולה אשמח לעזרה,
    אך יש בעיה שכל התרגילים זזים—
    אניאכתו ת’תרגיל במילים מקווה שתבין…
    (2X+3)בחזקת 2 פלוס (X-4)3 בחזקת 2
    איך אני פותחת את הסוגרים ואיך אני מזהה איזה נוסחא זה?
    הרי ראשונה ושניה הם 3 איברים וההבדל הוא ה+/-
    ושלישית זה 2 איברים איך איך פותרים זאת ?
    תודה רבה!

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו הנוסחה
      a – b)²= a² – 2ab + b²)
      את קיבלת את החלק של
      a – b)²)
      כמו כן עבור הביטוי (X-4)3 בחזקת 2 את מעלה בריבוע, משאירה את התוצאה בתוך סוגריים ואז מכפילה ב 3 את הסוגריים.

      תגובה
  9. אילת

    שלום
    רציתי לדעת אם לחלק הזה יש מבחנים
    תודה רבה האתר הזה פשוט מושלם!
    אני לא מבינה מה הייתי עושה בלעדיו!!!!!

    תגובה
  12. בתיה לורנץ

    שלוםםם!
    אני רוצה להגיד שהאתר הזה עזר לי מאוד.
    אחרי שנה של למידה מרחוק זה ממש הציל אותי!!!!!!!!
    הסרטונים היו ממש ברורים ומובנים והיה קל להתרכז.
    מומלץ מאודדדד!!!!!
    תודה רבה
    בתיה לורנץ

    תגובה
  13. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    לא הבנתי מה עושים אם באחד האיברים לפני המשוואה הריבועית יוצא 0?

    תגובה
  14. שרה

    שלום יש תרגיל שבוא כתבו (2x-4)(2x+4) שווה לארבע x בריבוע -16
    אבל לא הבנתי למה כאן זה -16 ולא -16 בריבוע כמו בתרגילים הקודמים

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בשני המצבים רשום 16-, כך שלא ברור מה השאלה.
      כמו כן אם אפשר להגיד איפה בדיוק בדף נמצא התרגיל.

      תגובה
  16. פלוני

    שלום,
    אני מדברת בקשר לסרטון הראשון,
    לא הבנתי איך המורה הגיע בתרגיל האחרון ל4X
    אשמח לתשובה
    תודה

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עניתי על השאלה הזו למטה.
      או שלא זיהנו את אותו תרגיל?

      זו הייתה התשובה.
      זה תרגיל שפותחים אותו בעזרת הנוסחה לדו איבר בריבוע.
      a + b)²= a² + 2ab + b²)
      לאחר הפתיחה האיבר שמתאים ל
      2ab –
      שווה ל
      4x –
      לאחר מיכן מכפילים את מה שיש בסוגריים ב 1- ומקבלים 4x.

      תגובה
      1. דניאלה

        מה קורה לסימן לפני האיבר האמצעי בנוסחה השניה (a-b) אם 2 האיברים בסוגריים שליליים? זה חלק ממשואה כך שאין לי אפשרות להחליף סימן. ההגיון שלי אומר שיש מינוס אחד חיצוני ועוד 2 מינוסים של האיברים, ומכאן – הסימן שלילי.
        אבל הוא חיובי. ואני לא מבינה למה.
        מה שמצער אותי מאד, כי מבאס ליפול על מינוס בשאלת בגרות (807 מועד א 2020 שאלה 1 גיאומטריה אנליטית).

        ממש אודה להסבר
        זו המשוואה המלאה:

        )x-2)^ ועוד (-0.75x-6)^ = 36

        המון המון המון תודה!

        תגובה
        1. דניאלה

          כותבת גם במילים כי התבלבלו לי האותיות והסוגריים:
          איקס מינוס שתיים – בסוגריים
          ועוד
          מינוס 0.75x מינוס 6 – בסוגריים
          שווה 36

          תגובה
          1. לומדים מתמטיקה

            שלום
            את צודקת שזה מקרה מבלבל וצריך להכיר אותו לפני שפוגשים אותו במבחן.
            בדף הבא הוספתי בחלק של הנוסחה הזו את דוגמה 6, שם יש הסבר מפורט לפתרון.
            https://www.m-math.co.il/math-9th-grade/open-bracket-short-multiple-equation/

            כאן קשה לכתוב הסבר מפורט כי סדר המספרים מתבלגן.
            רק אומר שניתן לפתור בשתי דרכים:
            1. להציב בנוסחה הרגילה a = מספר שלילי.
            2.מספר שלילי בריבוע שווה למספר חיובי בריבוע ולכן ניתן להשמיט את שני המינוסים.
            ההסבר המלא בקישור.

            תגובה
            1. דניאלה

              אני פתרתי בדרך 1.
              A שלילי
              B שלילי
              כופלים במינוס שתיים לפי נוסחת דו איבר

              סהכ 3 מינוסים, ולכן התוצאה הסופית שלילית. לא מבינה איפה הטעות.

              תגובה
              1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

                סוף סוף נפל האסימון…. תודה!
                B הוא נטול סימן, כי לפי הסימן שלו נקבע הסימן של האיבר האמצעי.

                ומכאן – סהכ 2 מינוסים.

                תודה על האתר הנפלא וכמובן על היחס האישי, והוספת הדוגמא במיוחד עבורי! אין כמוך!

              2. לומדים מתמטיקה

                תודה, בהצלחה.
                ושימי לב שאם רוצים ניתן ניתן לפתור את כל סוגי פתיחת הסוגריים על פי אותה נוסחה:
                a + b)²= a² + 2ab + b²)
                רק כאשר b שלילי מציבים b שלילי והאיבר האמצעי הופך שלילי לעומת האיבר השלישי שלא משנה אם מציבים בו חיובי או שלילי.
                כלומר b הוא לא באמת נטול סימן – אלא הסימן שלו מובנה במשוואה.

      1. פלוני

        שלום,
        אני מדברת בקשר לסרטון הראשון,
        לא הבנתי איך המורה הגיעה בתרגיל האחרון ל4X
        אשמח לתשובה
        תודה

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          זה תרגיל שפותחים אותו בעזרת הנוסחה לדו איבר בריבוע.
          a + b)²= a² + 2ab + b²)
          לאחר הפתיחה האיבר שמתאים ל
          2ab –
          שווה ל
          4x –
          לאחר מיכן מכפילים את מה שיש בסוגריים ב 1- ומקבלים 4x.

          תגובה
      2. אלינוי

        היי, רציתי לשאול אם אפשר לפרק תרגיל כזה..
        מינוס 6 כפול מינוס y בחזקת 7 חלקי y בחזקת 3 ואם כן אז איך?? בבקשה אם תוכלו לעזור זה קצת דחוף

        תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא ברור מה צריך למצוא אבל דרך הפתרון היא:
      לכתוב את הביטוי
      a – b)^2)
      לפתוח את הסוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ולהציב מספרים במקום החלקים שאת הערך שלהם יודעים.
      כך ניתן למצוא את החלקים שאינם ידועים

      תגובה
  19. אנונימי

    אתר מדהים! רק שאלה: מהי הדרך לפרק לגורמים משוואה בכפל מקוצר? לדוגמה:
    X²+20x+100
    שוב, אתר מדהים ועוזר.

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום, תודה.
      התרגיל הזה הוא התרגיל השני בחלק השני של האתר.
      יש לו פתרון וידאו ופתרון כתוב.
      צפה בפתרונות הללו ואם שלב ספציפי בפתרון לא ברור חזור אליי ואנסה להסביר את השלב.

      תגובה
      1. איתי

        שלום שוב, בתרגיל זה יש רק פתרון לx ולא פירוק לגורמים.
        יש דרך מסויימת לפרק לגורמים משוואה כזו?
        תודה.

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          המעבר ממצב של 3 גורמים למצב של 2 הגורמים בתוך הסוגריים זה פירוק לגורמים.
          ניתן להתעלם מהמשך הדרך שהיא הפתרון.
          אם עדיין משהו לא ברור חזור אליי.

          תגובה
          2. נוי

            אם יש לנו^2(5x-6x-) בריבוע כאשר פותחים את הסוגריים לפי
            a – b)²= a² – 2ab + b²) האם -2ab- ייצא שלילי או לא?

            תגובה
            1. לומדים מתמטיקה

              שלום
              זה יוצא חיובי, כי מינוס מינוס זה פלוס.

              ככלל כאשר יש שני מינוסים בתוך הסוגריים התוצאה יוצאת בסוף זהה לשני פלוסים בתוך הסוגריים.

              כמו כן אם יש בתוך הסוגרים:
              5x – 6x-
              ניתן להגיע ל 11x- ואותו להעלות בריבוע.

              תגובה
  22. אסף

    לא הבנתי איך בתרגיל שיש במונה (X-5) – ובמכנה (X-5), אפשר לצמצם על ידי שמחסרים את שניהם, אם במונה זה מינוס ובמכנה זה פלוס.

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה כמו מינוס 4 חלקי פלוס 4.
      התשובה היא מינוס 1.
      ה 4 מצטמצם והמינוס נשאר.

      אתה יכול לראות גם מינוס לפני סוגריים כמינוס אחד כפול הסוגריים.
      ואז הסוגריים מצטמצמים ונשאר מינוס אחד.
      ברור יותר?
      והאם למדת צמצום שברים אלגבריים?
      https://www.m-math.co.il/algebra/equations/algebraic-diameter-reduction/

      תגובה
  23. מתכוננת

    היי(: קודם כל רציתי להגיד תודה, האתר הזה עוזר מאוד.
    ויש לי שאלה, בתרגיל 4 במשוואות עם שברים ופירוק הטרינום, בחלק הימני של התרגיל מופיע במכנה (5+X)-
    ובשלב הבא של הפיתרון הסוגריים נפתחו ונשאר רק 5+X. אז לא הבנתי למה המינוס שהיה לפני נעלם, כי אם פותחים את הסוגריים זה לא אמור היה לצאת 5-X-?

    תגובה
  24. ליאל

    שלום לך !
    ראשית, תודה רבה לך על אתר מועיל ומחכים.
    שנית, באשר לשלושת התרגילים בחלק החמישי (פתיחת סוגריים עם שברים) מדוע השארת את המכנה המשותף לאחר שכבר הכפלת את המונה במכנה המשותף?
    מה גם, אתה בטוח שאין טעות בתשובה הסופית של תרגיל מספר 2 בחלק החמישי ? איך יתכן שה-y בחזקת 7 וה- x בחזקת 6?
    תודה מראש !

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לגבי החזקה של x,y אתה צודק, תודה רבה על התיקון.
      לגבי השארת המכנה המשותף – הוא נשאר כי לא בוצעה הכפלה במכנה משותף אלא יצירת מכנה משותף למספר ביטויים.
      במשוואת מכפילים שני צדדים של משוואה במכנה משותף ואז לא נשאר מכנה.
      אבל בתרגילים כאן אין לנו משוואה ואין לנו שני צדדים. מה שיש זה ביטוי אחד שאנו צריכים לשמור על ערכו
      https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/common-diameter-with-variables/
      תודה

      תגובה
  25. עדן

    בתרגיל שבסעיף 3 (משוואות עם שברים) יש מעבר שגוי לנוסחת כפל מקוצר (בתוך סוגריים) שאינה מתאימה לטרינום שלפני .. אשמח לדעת אם זה נכון או שאני טועה … המעבר במונה מ (Xבריבוע+4+2X) ל-(X+2)(X+2) אינו נכון ..

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עדן
      בסעיף 3 תרגיל מספר 1 אני לא רואה מעבר כפי שכתבת אלא אני רואה את המעבר הזה:
      x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2
      המעבר כפי שרשמתי כאן הוא מעבר נכון.
      המעבר שנרשם בתגובה שלך שגוי.
      בהצלחה

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נפלה שם טעות בכתיבה
      התרגיל הנכון הוא:
      384 = 16 * 24
      ובמקום זה היה כתוב:
      432 = 18 * 24
      תודה רבה על תיקון הטעות.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה נראה תרגיל קשה והוא לא קשור לנוסחאות הכפל המקוצר.
      אז כאשר מקבלים תרגיל קשה מנסים להתקדם איתו צעד אחר צעד ורואים מה קורה.
      לגבי הסוגריים השמאליים:
      64 = 6^2
      וגם
      64 = 2 ^8
      לכן הסוגריים השמאליים שווים ל 0 וניתן להתעלם מיהם.
      לגבי הסוגריים מימין
      1- = 9 – 8 = 2^3 – 3^2
      בחזקת 17 זה עדיין 1-.
      וכאשר נתייחס למינוס לפני הסוגריים התשובה תהיה 1.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      בכיף חן.
      יש משהוא ספציפי שאת/ה צריכים הסבר עליו בנושא חוק הפילוג המורחב? אם כן כתבי אותו.

      תגובה

כל הזכויות שמורות ללומדים מתמטיקה 2025