נוסחאות הכפל המקוצר

אלו נוסחאות הכפל המקוצר:

1. (a² – b²= (a-b)*(a+b – נוסחה להפרש ריבועים.
2. a + b)²= a² + 2ab + b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
3. a – b)²= a² – 2ab + b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.
4. נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה שלישית (לא כולם צריכים).

את שלושת הנוסחאות הללו למדנו באופן יסודי בשני דפים נפרדים.

1. נוסחה להפרש ריבועים (נוסחה מספר 1).
2. דו איבר בריבוע (נוסחאות 2-3).

בדף זה נניח שאתם יודעים כיצד להשתמש בנוסחאות הללו ונתמקד בפתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

בדף זה 5 חלקים, ו 5 סוגים של משוואות:

1. משוואות הדורשות פתיחת סוגריים.
2. משוואות הדורשות סגירת סוגרים. סגירת סוגריים זה פירוק לגורמים.
3. משוואות הדורשות פירוק לגורמים וכוללות מכנה.
4. משוואת הכוללות מכנה ומשלבות בין נוסחאות הכפל המקוצר לבין פירוק הטרינום.
5. פתיחת סוגריים על פי נוסחאות הכפל המקוצר כאשר האיברים שבתוך הסוגריים הם שבר.

1.פתרון משוואות עם פתיחת סוגריים

בחלק זה נפתור את התרגילים:

1. x+4)²  = x² – 6)
2. (x – 2)²   = – (x-3)(x+3) –
3. 5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

תרגיל 1: פתיחת סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר ופתרון משוואה רגילה

x+4)²  = x² – 6)

פתרון

x+4)²  = x² – 6)
x² + 8x + 16 = x² – 6 / -x²
8x + 16 = -6  / -16
8x = -22  / :8
x = -2.75

תרגיל 2: כמו תרגיל 1, רק כולל גם מינוס לפני פתיחת סוגריים

(x – 2)²   = – (x-3)(x+3) –

פתרון
הכלל אומר שכאשר יש מינוס לפני סוגריים עושים את השימוש בנוסחאות הכפל המקוצר תוך שמירה על הסוגריים ולאחר מיכן מכפילים את כל האיברים שבתוך הסוגריים במינוס.

(x – 2)²  = – (x-3)(x+3) –
(x² -4x + 4)  = – (x² – 9) –
x² + 4x -4 = – x² + 9  / +x²-
4x – 4 = 9  / +4
4x = 13  / :4
x = 3.25

תרגיל 3: פתיחת סוגריים ופתרון משוואה ריבועית

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

פתרון

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²
5x² – 2x – 4 = – (x² + 4x + 4) – 3x²
5x² – 2x – 4 = – x² – 4x – 4 – 3x²
5x² – 2x – 4 = – 4x² – 4x – 4  / +4x² + 4x + 4
9x² + 2x = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים, אני אראה כאן פתרון הנשען על הוצאת גורם משותף.
x (9x +2) = 0
x= 0
או
9x + 2 = 0  / -2
9x = -2  / :9
x = -0.222

• עוד באתר: מתמטיקה לכיתה ט, נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

2.פתרון משוואות הכוללות פירוק לגורמים

פירוק לגורמים זה סגירת סוגריים.

פתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר נשען על העובדה המתמטית שאם מכפלת שני גורמים שווה ל 0 אז אחד מהגורמים צריך להיות שווה ל 0.

כלומר אם x * y = 0
אז x= 0  או y=0.

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

1. x²-16=0
2. x²+20x +100=0
3. x²-2x+1=0
4. x² +64=0 –
5. 4x² + 8x + 4 = 0

פתרונות

תרגיל 1
x²-16=0
x-4) (x+4) =0)
x=4 או  x= – 4

תרגיל 2
x²+20x +100=0
x+10)²=0)
x+10=0 /-10
x= – 10

תרגיל 3
x²-2x+1=0
x-1)²=0)
x-1 = 0 /+1
x=1

תרגיל 4
x² +64=0 –
נהפוך את הסדר בין x²-   ו- 64 ונקבל:

עכשיו הביטוי מתאים לנוסחת הכפל המקוצר הראשונה:
a + b) (a – b) = a² – b²)
x+8) (- x+8)=0)
x = 8 או  x= – 8

תרגיל 5
את התרגיל הבא יש 2 דרכים לפתור:
4x² + 8x + 4 = 0
2x + 2) ²=0)
2x+2=0 /-2
2x= -2 /:2
x = – 1

דרך שנייה:
0 = (4x² + 8x + 4 = 4(x² + 2x + 1
x + 1)² * 4 = 0  / :4)
x + 1)² = 0)
x + 1 = 0 / -1
x = -1

3.משוואות עם שברים

המטרה שלנו במשוואות עם שברים היא לנסות לצמצם מונה ומכנה.
וניתן לחלק את המשוואות שאנו צריכים לפתור לשני סוגים:

1. משוואות שבאופן מיידי ניתן לנסות לבצע פירוק לגורמים ולנסות לצמצם.
2. משוואות שבהם לא ניתן באופן מיידי לבצע פירוק לגורמים. משוואות אלו יכללו לרוב סוגריים ואיבר נוסף. או שיהיו בהם מספר איברים רב ונצטרך לבצע כינוס איברים לפני הניסיון לבצע פירוק לגורמים.

דוגמה למשוואה בה צריך לבצע פעולות לפני הניסיון לצמצם.

תחום ההגדרה של המשוואה הוא x ≠ -2.

במשוואה שלמעלה אנו צריכים לכנס איברים במונה לפני שנכנס איברים.
כך ממשיכים בפתרון המשוואה:

גם במשוואה הבאה צריך לבצע פעולות מקדימות.
במונה צריך לכנס איברים.
במכנה צריך לפתוח סוגריים ולכנס איברים.

בביטוי שקיבלנו המכנה שווה ל 1 תמיד.
שבר מסוג זה לא יכול להיות שווה אף פעם ל 0, על מנת ששבר יהיה שווה ל 0 המונה צריך להיות 0.
תחום ההגדרה של המשוואה הוא x ≠ 4.

תרגילים

המשוואות הבאות כוללות שברים. פתרו את המשוואות הללו בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ושימו לב לתחום ההצבה.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

תחום ההגדרה של המשוואה הוא x ≠ 2.

x – 2 = 0 / +2
x = 2 זה הפתרון.

נשים לב שהפתרון שקיבלנו לא בתחום ההצבה ולכן הוא נפסל.
למשוואה זו אין פתרון.

תרגיל 2

פתרון

x – 4 = 0 / + 4
x = 4   הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x + 4)² ≠ 0)
x + 4 ≠ 0  / -4
x ≠ -4  זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 3

פתרון תרגיל 1

x- 5 = 0  / +5
x = 5  זה הפתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה של השבר לפני הצמצום. כלומר:
x + 5) ² ≠0)
x +5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5 זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 4

פתרון
קבוצת ההצבה היא x ≠ -3.

על מנת לנסות לצמצם איברים עלינו קודם כל לפתוח סוגריים במונה ולכנס איברים.
נעשה את זה בנפרד משאר התרגיל.
x -2)² + 5 + 10x = x² -4x + 4 + 5 + 10x)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

נציב את המונה שהגענו אליו בתרגיל המקורי.

x +3 = 0
x = -3
התשובה לא נמצאת בקבוצת ההצבה ולכן למשוואה זו אין פתרון.

4.משוואות עם שברים ופירוק הטרינום

משוואות קשות יותר הכוללות את נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק הטרינום.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

x + 8 = 0 / -8
x = -8 זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x(x+2)² ≠ 0
x ≠ 0 אפשרות ראשונה.
x + 2)² ≠ 0)
x + 2 ≠ 0  / -2
x ≠ -2
קבוצת ההצבה היא x≠ 0,  x ≠ -2

תרגיל 2

פתרון

x + 2 = 0  / -2
x = -2  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x – 4) (x-3)  ≠ 0)
x – 4  ≠ 0  / +4
x = 4
אפשרות שנייה:
x – 3  ≠ 0  / + 3
x  ≠ 3
תשובה: קבוצה ההצבה x  ≠ 4,  x  ≠ 3

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

x – 5) = 0 ) –
x + 5 = 0 –
x = 5  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x + 5) (x-5)  ≠ 0)
x + 5  ≠ 0   / -5
x  ≠ -5
אפשרות שנייה:
x -5)  ≠ 0  / + 5)
x  ≠ 5

נשים לב כי הפתרון של המשוואה  x = 5 אינו  חלק מקבוצת ההצבה.
לכן אין פתרון לתרגיל.
קבוצת ההצבה היא x  ≠ 5,   x  ≠ -5.

תרגיל 4

פתרון תרגיל 4
נחשב את גודלו של בשבר שמשמאל ולאחר מיכן נשווה אותו ל- 0.
בשבר השמאלה נפרק לגורמים.
בשבר מימין נוציא מינוס מחוץ לסוגריים.

בשבר משמאל נצמצם איברים. בשבר מימין מינוס מינוס יהפוך לפלוס.
לאחר מיכן נקבל שהמכנה של שני השברים הוא אותו מכנה, נחבר את המונים.

נחזור למשוואה שקיבלנו בהתחלה.
מצאנו כי השני השברים הנמצאים משמאל שווים ביחד ל 1.
מימין יש 0.
כלומר קיבלנו:
0 = 1
זו משוואה ללא פתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני הצמצום.
x + 5)(x-2)  ≠ 0)
וגם
x + 5)  ≠ 0)-

x + 5)(x-2)  ≠ 0)
x + 5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5
x – 2 ≠ 0  / +2
x ≠ 2

האפשרות הנוספת
x + 5) ≠ 0) –
x + 5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5
קבוצת ההצבה היא x ≠ -5,    x ≠ 2

תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

בשני השברים של אגף שמאל נפרק לגורמים.
באגף ימין נוציא מינוס גורם משותף.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני הצמצום
x +1 ≠ 0
x – 1 ≠ 0
x – 3 ≠ 0
קבוצת ההצבה היא x ≠ 1, -1, 3

5.פתיחת סוגריים עם שברים

בחלק זה נפתור 3 תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים המורכבות מאיברים עם שברים.
את התשובה הסופית נציג כשבר יחיד, לאחר יצירת מכנה משותף בין כל השברים.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

תרגיל 1

פתרון
נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע ונפתח את הסוגריים.

הסיבה ש 400x² הוא המכנה המשותף היא בגלל שעבור המספרים 16,20,25 המכנה המשותף הוא 400.
ו x² הוא גורם המופיע במכנה.
עוד על מכנה משותף תוכלו ללמוד בדף:

1. מכנה משותף – מכנה משותף של מספרים.
2. חיבור וחיסור שברים אלגבריים – מכנה משותף כאשר המכנה הוא מספר.

תרגיל 2

פתרון
נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע ונפתח את הסוגריים.

נפשט את שלושת הביטויים

ניצור מכנה משותף:

תרגיל 3

פתרון

6.שאלות נוספות

השאלות הללו פחות חשובות / שימושיות אך הן עדיין חלק מחומר הלימודים של כיתה ט.

1.השלימו את החלקים החסרים בביטוי המצורף בשתי דרכים שונות.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

פתרון

על מנת לעשות זאת נחפש שני מספרים שמכפלתם שווה למחצית מהמספר שהוא מקדם של x. כלומר בשאלה הראשונה נחפש שני מספרים שמכפלתם 8.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

x-8)² = x²-16x+8²)

2x – 4)² = 4x² -16x+16)

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

x+12)² =  x² +24x +144)

2x +6)² = 4x² + 24x + 36)

2. פשטו את הביטויים הבאים:

²(2√ + 8√)

²(12√ + 3√)

פתרון

p = (√8 + √2) ² = 8+ 2√2√8 +2=8+2√8*2 +2=8+2*4+2=18

p = (√3 +√12)² = 3+2√3√12+12= 3 +2√3*12+12 = 2+12+12=26

3. פשטו את התרגילים הבאים:

x + 4) (x-4) + (x+3)²)

(2x+1)² – (2x-1)-

פתרון

x + 4) (x-4) + (x+3)² = x²-16 +x²+6x+9=2x²+6x-7)

2x+1)² – (2x-1) =  – (4x² +4x+1) – 2x+1 = -4x² -4x-1-2x+1 = -4x² -6x)-

4. שטח גינה בצורת ריבוע הוא 400 מטר. מגדילים 2 צלעות נגדיות כל אחת ב 20% ומקטינים שתי צלעות נגדיות אחרות כל אחת ב 20%. כך שנוצרת גינה בצורת מלבן.
האם לאחר השינויים הללו שטח הגינה יגדל או יקטן?

פתרון

שטח ריבוע שאורך צלעו a הוא a²
a² = 400
a=20
אורך צלע הריבוע המקורית הוא 20 מטר.

24 = 1.2 *20
16 = 0.8 * 20.
צלעות המלבן הן 16,24
שטח מלבן:
384 = 16*24