נוסחאות הכפל המקוצר

אלו נוסחאות הכפל המקוצר:

הנוסחה להפרש ריבועים
(a² – b²= (a-b)*(a+b

דו איבר בריבוע
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

את הנוסחאות הללו ניתן ללמוד באופן יסודי בקישורים שלמעלה.

בדף זה נניח שאתם יודעים כיצד להשתמש בנוסחאות הללו ונתמקד בפתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

בדף זה 4 חלקים, ו 4 סוגים של משוואות:

1.משוואות הדורשות פתיחת סוגריים. כמו:

(x+4)²  = x² – 6

2.משוואות הדורשות סגירת סוגרים. כמו:

x² + 20x +100 = 0

3.משוואות הדורשות פירוק לגורמים וכוללות מכנה. כמו:

התרגיל

4.משוואות הדורשות גם טרינום. כמו:

תרגיל 1

 

עבור 5 יחידות יש שני דפים נוספים:

  1.  נוסחאות הכפל המקוצר עם שברים.
  2. נוסחאות הכפל המקוצר ושורשים.

1.פתרון משוואות עם פתיחת סוגריים

לכל התרגילים בחלק זה יש פתרון וידאו ופתרון כתוב.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

(x+4)²  = x² – 6

– (x – 2)²   = – (x-3) * (x+3)

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

פתרונות

תרגיל 1: פתיחת סוגריים ופתרון משוואה

x+4)²  = x² – 6)

פתרון כתוב

x+4)²  = x² – 6)
x² + 8x + 16 = x² – 6 / -x²
8x + 16 = -6  / -16
8x = -22  / :8
x = -2.75

פתרון וידאו

תרגיל 2: כמו תרגיל 1, רק כולל גם מינוס לפני פתיחת סוגריים

– (x – 2)²   = – (x-3) * (x+3)

פתרון כתוב

הכלל אומר שכאשר יש מינוס לפני סוגריים עושים את השימוש בנוסחאות הכפל המקוצר תוך שמירה על הסוגריים ולאחר מיכן מכפילים את כל האיברים שבתוך הסוגריים במינוס.

(x – 2)²  = – (x-3)(x+3) –
(x² -4x + 4)  = – (x² – 9) –
x² + 4x -4 = – x² + 9  / +x²-
4x – 4 = 9  / +4
4x = 13  / :4
x = 3.25

פתרון וידאו

תרגיל 3: פתיחת סוגריים ופתרון משוואה ריבועית

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

פתרון כתוב

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²
5x² – 2x – 4 = – (x² + 4x + 4) – 3x²
5x² – 2x – 4 = – x² – 4x – 4 – 3x²
5x² – 2x – 4 = – 4x² – 4x – 4  / +4x² + 4x + 4
9x² + 2x = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים, אני אראה כאן פתרון הנשען על הוצאת גורם משותף.
x (9x +2) = 0
x= 0
או
9x + 2 = 0  / -2
9x = -2  / :9
x = -0.222

פתרון וידאו

2.פתרון משוואות הכוללות פירוק לגורמים

פירוק לגורמים זה סגירת סוגריים.

פתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר נשען על העובדה המתמטית שאם מכפלת שני גורמים שווה ל 0 אז אחד מהגורמים צריך להיות שווה ל 0.

כלומר אם x * y = 0
אז x= 0  או y=0.

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

  1. x²-16=0
  2. x²+20x +100=0
  3. x²-2x+1=0
  4. x² +64=0 –
  5. 4x² + 8x + 4 = 0
פתרונות

תרגיל 1
x²-16=0

פתרון כתוב

x²-16=0
x-4) (x+4) =0)
x=4 או  x= – 4

פתרון וידאו

תרגיל 2
x² + 20x + 100=0

פתרון כתוב

x² + 20x + 100=0
x+10)²=0)
x+10=0 /-10
x= – 10

פתרון וידאו

תרגיל 3
x² – 2x + 1 = 0

פתרון כתוב

x² – 2x + 1 = 0
x-1)²=0)
x-1 = 0 /+1
x=1

תרגיל 4
x² +64=0 –

פתרון כתוב

נהפוך את הסדר בין x²-   ו- 64 ונקבל:

64 – x²

עכשיו הביטוי מתאים לנוסחת הכפל המקוצר הראשונה:
a + b) (a – b) = a² – b²)
x+8) (- x+8)=0)
x = 8 או  x= – 8

פתרון וידאו

תרגיל 5
4x² + 8x + 4 = 0

פתרון כתוב

את התרגיל הבא יש 2 דרכים לפתור:
4x² + 8x + 4 = 0
2x + 2) ²=0)
2x+2=0 /-2
2x= -2 /:2
x = – 1

דרך שנייה:
0 = (4x² + 8x + 4 = 4(x² + 2x + 1
x + 1)² * 4 = 0  / :4)
x + 1)² = 0)
x + 1 = 0 / -1
x = -1

3.משוואות עם שברים

המטרה שלנו במשוואות עם שברים היא לנסות לצמצם מונה ומכנה.
וניתן לחלק את המשוואות שאנו צריכים לפתור לשני סוגים:

  1. משוואות שבאופן מיידי ניתן לנסות לבצע פירוק לגורמים ולנסות לצמצם.
  2. משוואות שבהם לא ניתן באופן מיידי לבצע פירוק לגורמים. משוואות אלו יכללו לרוב סוגריים ואיבר נוסף. או שיהיו בהם מספר איברים רב ונצטרך לבצע כינוס איברים לפני הניסיון לבצע פירוק לגורמים.

דוגמה למשוואה בה צריך לבצע פעולות לפני הניסיון לצמצם.

תחום ההגדרה של המשוואה הוא x ≠ -2.

במשוואה שלמעלה אנו צריכים לכנס איברים במונה לפני שנכנס איברים.
כך ממשיכים בפתרון המשוואה:

 

גם במשוואה הבאה צריך לבצע פעולות מקדימות.
במונה צריך לכנס איברים.
במכנה צריך לפתוח סוגריים ולכנס איברים.

בביטוי שקיבלנו המכנה שווה ל 1 תמיד.
שבר מסוג זה לא יכול להיות שווה אף פעם ל 0, על מנת ששבר יהיה שווה ל 0 המונה צריך להיות 0.
תחום ההגדרה של המשוואה הוא x ≠ 4.

תרגילים

המשוואות הבאות כוללות שברים. פתרו את המשוואות הללו בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ושימו לב לתחום ההצבה.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

  1. התרגיל
  2. התרגיל
  3. תרגיל

תרגיל 1

התרגיל

פתרון כתוב

תחום ההגדרה של המשוואה הוא x ≠ 2.

פתרון התרגיל

x – 2 = 0 / +2
x = 2 זה הפתרון.

נשים לב שהפתרון שקיבלנו לא בתחום ההצבה ולכן הוא נפסל.
למשוואה זו אין פתרון.

תרגיל 2

התרגיל

פתרון כתוב

פתרון התרגיל

x – 4 = 0 / + 4
x = 4   הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x + 4)² ≠ 0)
x + 4 ≠ 0  / -4
x ≠ -4  זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 3

תרגיל

פתרון כתוב

פתרון התרגיל

x- 5 = 0  / +5
x = 5  זה הפתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה של השבר לפני הצמצום. כלומר:
x + 5) ² ≠0)
x +5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5 זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 4

פתרון כתוב

קבוצת ההצבה היא x ≠ -3.

על מנת לנסות לצמצם איברים עלינו קודם כל לפתוח סוגריים במונה ולכנס איברים.
נעשה את זה בנפרד משאר התרגיל.
x -2)² + 5 + 10x = x² -4x + 4 + 5 + 10x)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

נציב את המונה שהגענו אליו בתרגיל המקורי.

x +3 = 0
x = -3
התשובה לא נמצאת בקבוצת ההצבה ולכן למשוואה זו אין פתרון.

 

4.משוואות עם שברים ופירוק הטרינום

משוואות קשות יותר הכוללות את נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק הטרינום.

בחלק זה נפתור את התרגילים:

  1. תרגיל 1
  2. תרגיל 2
  3. תרגיל 3
  4. תרגיל מספר 4
  5. תרגיל מספר 5

תרגיל 1

תרגיל 1

פתרון כתוב

פתרון תרגיל 1

x + 8 = 0 / -8
x = -8 זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x(x+2)² ≠ 0
x ≠ 0 אפשרות ראשונה.
x + 2)² ≠ 0)
x + 2 ≠ 0  / -2
x ≠ -2
קבוצת ההצבה היא x≠ 0,  x ≠ -2

פתרון וידאו

תרגיל 2

תרגיל 2

פתרון כתוב

פתרון תרגיל 2

x + 2 = 0  / -2
x = -2  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x – 4) (x-3)  ≠ 0)
x – 4  ≠ 0  / +4
x = 4
אפשרות שנייה:
x – 3  ≠ 0  / + 3
x  ≠ 3
תשובה: קבוצה ההצבה x  ≠ 4,  x  ≠ 3

פתרון וידאו

תרגיל 3

תרגיל 3

פתרון כתוב

 

פתרון תרגיל 3

x – 5) = 0 ) –
x + 5 = 0 –
x = 5  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x + 5) (x-5)  ≠ 0)
x + 5  ≠ 0   / -5
x  ≠ -5
אפשרות שנייה:
x -5)  ≠ 0  / + 5)
x  ≠ 5

נשים לב כי הפתרון של המשוואה  x = 5 אינו  חלק מקבוצת ההצבה.
לכן אין פתרון לתרגיל.
קבוצת ההצבה היא x  ≠ 5,   x  ≠ -5.

פתרון וידאו

תרגיל 4

תרגיל מספר 4

פתרון כתוב

נחשב את גודלו של בשבר שמשמאל ולאחר מיכן נשווה אותו ל- 0.
בשבר השמאלה נפרק לגורמים.
בשבר מימין נוציא מינוס מחוץ לסוגריים.

בשבר משמאל נצמצם איברים. בשבר מימין מינוס מינוס יהפוך לפלוס.
לאחר מיכן נקבל שהמכנה של שני השברים הוא אותו מכנה, נחבר את המונים.

נחזור למשוואה שקיבלנו בהתחלה.
מצאנו כי השני השברים הנמצאים משמאל שווים ביחד ל 1.
מימין יש 0.
כלומר קיבלנו:
0 = 1
זו משוואה ללא פתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני הצמצום.
x + 5)(x-2)  ≠ 0)
וגם
x + 5)  ≠ 0)-

x + 5)(x-2)  ≠ 0)
x + 5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5
x – 2 ≠ 0  / +2
x ≠ 2

האפשרות הנוספת
x + 5) ≠ 0) –
x + 5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5
קבוצת ההצבה היא x ≠ -5,    x ≠ 2

תרגיל 5

תרגיל מספר 5

פתרון כתוב

 

פתרון תרגיל 5

בשני השברים של אגף שמאל נפרק לגורמים.
באגף ימין נוציא מינוס גורם משותף.

פתרון תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני הצמצום
x +1 ≠ 0
x – 1 ≠ 0
x – 3 ≠ 0
קבוצת ההצבה היא x ≠ 1, -1, 3

5נספח: שאלות נוספות

השאלות הללו פחות חשובות / שימושיות אך הן עדיין חלק מחומר הלימודים של כיתה ט.

1.השלימו את החלקים החסרים בביטוי המצורף בשתי דרכים שונות.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

פתרון

על מנת לעשות זאת נחפש שני מספרים שמכפלתם שווה למחצית מהמספר שהוא מקדם של x. כלומר בשאלה הראשונה נחפש שני מספרים שמכפלתם 8.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

x-8)² = x²-16x+8²)

2x – 4)² = 4x² -16x+16)

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

x+12)² =  x² +24x +144)

2x +6)² = 4x² + 24x + 36)

2. פשטו את הביטויים הבאים:

²(2√ + 8√)

²(12√ + 3√)

פתרון

p = (√8 + √2) ² = 8+ 2√2√8 +2=8+2√8*2 +2=8+2*4+2=18

p = (√3 +√12)² = 3+2√3√12+12= 3 +2√3*12+12 = 2+12+12=26

3. פשטו את התרגילים הבאים:

x + 4) (x-4) + (x+3)²)

(2x+1)² – (2x-1)-

פתרון

x + 4) (x-4) + (x+3)² = x²-16 +x²+6x+9=2x²+6x-7)

2x+1)² – (2x-1) =  – (4x² +4x+1) – 2x+1 = -4x² -4x-1-2x+1 = -4x² -6x)-

4. שטח גינה בצורת ריבוע הוא 400 מטר. מגדילים 2 צלעות נגדיות כל אחת ב 20% ומקטינים שתי צלעות נגדיות אחרות כל אחת ב 20%. כך שנוצרת גינה בצורת מלבן.
האם לאחר השינויים הללו שטח הגינה יגדל או יקטן?

פתרון

שטח ריבוע שאורך צלעו a הוא a²
a² = 400
a=20
אורך צלע הריבוע המקורית הוא 20 מטר.

24 = 1.2 *20
16 = 0.8 * 20.
צלעות המלבן הן 16,24
שטח מלבן:
384 = 16*24

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

20 מחשבות על “נוסחאות הכפל המקוצר”

  1. לא הבנתי איך בתרגיל שיש במונה (X-5) – ובמכנה (X-5), אפשר לצמצם על ידי שמחסרים את שניהם, אם במונה זה מינוס ובמכנה זה פלוס.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה כמו מינוס 4 חלקי פלוס 4.
      התשובה היא מינוס 1.
      ה 4 מצטמצם והמינוס נשאר.

      אתה יכול לראות גם מינוס לפני סוגריים כמינוס אחד כפול הסוגריים.
      ואז הסוגריים מצטמצמים ונשאר מינוס אחד.
      ברור יותר?
      והאם למדת צמצום שברים אלגבריים?
      https://www.m-math.co.il/algebra/equations/algebraic-diameter-reduction/

  2. היי(: קודם כל רציתי להגיד תודה, האתר הזה עוזר מאוד.
    ויש לי שאלה, בתרגיל 4 במשוואות עם שברים ופירוק הטרינום, בחלק הימני של התרגיל מופיע במכנה (5+X)-
    ובשלב הבא של הפיתרון הסוגריים נפתחו ונשאר רק 5+X. אז לא הבנתי למה המינוס שהיה לפני נעלם, כי אם פותחים את הסוגריים זה לא אמור היה לצאת 5-X-?

  3. שלום לך !
    ראשית, תודה רבה לך על אתר מועיל ומחכים.
    שנית, באשר לשלושת התרגילים בחלק החמישי (פתיחת סוגריים עם שברים) מדוע השארת את המכנה המשותף לאחר שכבר הכפלת את המונה במכנה המשותף?
    מה גם, אתה בטוח שאין טעות בתשובה הסופית של תרגיל מספר 2 בחלק החמישי ? איך יתכן שה-y בחזקת 7 וה- x בחזקת 6?
    תודה מראש !

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לגבי החזקה של x,y אתה צודק, תודה רבה על התיקון.
      לגבי השארת המכנה המשותף – הוא נשאר כי לא בוצעה הכפלה במכנה משותף אלא יצירת מכנה משותף למספר ביטויים.
      במשוואת מכפילים שני צדדים של משוואה במכנה משותף ואז לא נשאר מכנה.
      אבל בתרגילים כאן אין לנו משוואה ואין לנו שני צדדים. מה שיש זה ביטוי אחד שאנו צריכים לשמור על ערכו
      https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/common-diameter-with-variables/
      תודה

  4. בתרגיל שבסעיף 3 (משוואות עם שברים) יש מעבר שגוי לנוסחת כפל מקוצר (בתוך סוגריים) שאינה מתאימה לטרינום שלפני .. אשמח לדעת אם זה נכון או שאני טועה … המעבר במונה מ (Xבריבוע+4+2X) ל-(X+2)(X+2) אינו נכון ..

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עדן
      בסעיף 3 תרגיל מספר 1 אני לא רואה מעבר כפי שכתבת אלא אני רואה את המעבר הזה:
      x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2
      המעבר כפי שרשמתי כאן הוא מעבר נכון.
      המעבר שנרשם בתגובה שלך שגוי.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נפלה שם טעות בכתיבה
      התרגיל הנכון הוא:
      384 = 16 * 24
      ובמקום זה היה כתוב:
      432 = 18 * 24
      תודה רבה על תיקון הטעות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה נראה תרגיל קשה והוא לא קשור לנוסחאות הכפל המקוצר.
      אז כאשר מקבלים תרגיל קשה מנסים להתקדם איתו צעד אחר צעד ורואים מה קורה.
      לגבי הסוגריים השמאליים:
      64 = 6^2
      וגם
      64 = 2 ^8
      לכן הסוגריים השמאליים שווים ל 0 וניתן להתעלם מיהם.
      לגבי הסוגריים מימין
      1- = 9 – 8 = 2^3 – 3^2
      בחזקת 17 זה עדיין 1-.
      וכאשר נתייחס למינוס לפני הסוגריים התשובה תהיה 1.

    1. לומדים מתמטיקה

      בכיף חן.
      יש משהוא ספציפי שאת/ה צריכים הסבר עליו בנושא חוק הפילוג המורחב? אם כן כתבי אותו.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.