חוקי שורשים

חוקי שורשים הם המשכם הישיר של חוקי חזקות – משום שכל שורש ניתן להציג כחזקה שהיא שבר.

הדף הזה הוא דף מסכם וכולל תרגילים מכל הסוגים.

בדף זה 5 חלקים:

  1. חוקי שורשים כללים בסיסיים.
  2. חוקי שורשים תרגילים בסיסיים.
  3. חישוב שורש שאינו שני.
  4. שילוב של חוקי חזקות וחוקי שורשים.
  5. שילוב של נוסחאות הכפל המקוצר וחוקי שורשים.

חלקים 4-5 מתאימים לרמת 5 יחידות בלבד.

ניתן ללמוד את הנושאים הללו מהדף או מהקישורים שלמעלה.

1.כללים בסיסיים 

1.כיצד מחשבים שורש?

כאשר אנו רוצים לחשב שורש של מספר נשאל את עצמנו

"איזה מספר חיובי בחזקת 2 ייתן לנו את המספר שבתוך השורש?"

 1 דוגמה
√100 =

איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 100?
10
לכן 10 היא התשובה.

√100 = 10

דוגמה 2
√25 =

"איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 25"?
5

√25 = 5

זכרו: תוצאה של שורש היא תמיד מספר חיובי.

2.אין שורש למספר שלילי

למספרים שליליים אין שורש ממשי.
למשל
√-9

הוא תרגיל שאין לו תשובה.
כי אמרנו שעל מנת למצוא שורש עלינו לענות על השאלה:

"איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 9-"?

ואין מספר שבחזקת 2 נותן תוצאה שלילית.

3.ההגדרה של שורש היא חזקת 0.5 (חצי).

עליכם לדעת כי שורש שני של מספר שווה לחזקת ½.

√x = x0.5
√8 = 80.5

הדבר ישמש אותנו כדי לכתוב שורש בצורה של חזקה ואז לפתור את התרגיל בעזרת חוקי חזקות.

חוק החזקות המתאים לתרגילים הבאים הוא:
am * an = am + n

√8 * √8 = 80.5 * 80.5
80.5 + 0.5 = 81 = 8

√x * √x = x0.5 * x0.5
x0.5 + 0.5 = x1 = x

4.פעולות החזקה והשורש מבטלות אחת את השנייה

השורש והחזקה הן פעולות הפוכות שמבטלות אחת את השנייה.

ובקיצור ניתן לכתוב:

5.סדר פעולות חשבון עם שורש

אם יש מספר איברים בתוך השורש קודם מבצעים את הפעולות בתוך השורש על פי סדר פעולות חשבון.

לאחר מיכן מבצעים את פעולת השורש.

ולאחר מיכן מבצעים את 4 פעולות חשבון.

לדוגמה:

הערה
כאשר יש כפל או חילוק של שני שורשים ניתן להכניס מספר אל תוך השורש כפי שנלמד כאן.

לחצו לצפייה בחוקי שורשים נוספים למתקדמים

מצורפים כאן חוקי שורשים נוספים שמיועדים לתרגילים מתקדמים (לא בדף זה).

2.הכלל השימושי לפתרון תרגילים

הכלל השימושי של חוקי השורשים הוא הכלל הבא:

משתמשים בו על מנת להפריד בין שני ביטויים בתוך שורש (עם כפל בניהם).
למשל:

√(4x²) = √4 * √x² = 2 * x = 2x

 

כלל שימושי נוסף הוא הכלל ההפוך:

משתמשים בו כאשר יש כפל בין שני שורשים ואנו רוצים להכניס את שניהם תחת שורש יחיד.
למשל:

√x * √x = √(x * x) = √x² = x

 

שני הכללים הללו הם בעצם חוק החזקה:

(a * b)n = an * bn

תרגילים

בתרגילים הראשונים השתמשו בכלל:

√(25x²)

לחצו לצפייה בפתרון

√(25x²) = √25 * √x² = 5 * x = 5x

√(10x²)

לחצו לצפייה בפתרון

√(10x²) = √10 * √x² = √10 * x = √10x

√(100x4)

לחצו לצפייה בפתרון

√(100x4) = √100 * √x4 = 10 * x² = 10x²

 

בתרגילים הבאים השתמשו בכלל:

 

3√x * 4√x =

לחצו לצפייה בפתרון

3√x * 4√x = 3* 4 √x * √x =

12√(x * x) = 12x

√(6x) * √x

לחצו לצפייה בפתרון

√(6x) * √x = √6 * √x * √x =

√6 *x = √6 x

√(32x) * √(2x) =

לחצו לצפייה בפתרון

√(32x) * √(2x) = √32 * √x * √2 * √x

√32  * √2  * √x * √x = √(32 * 2) * √(x * x)

√64 * √x² = 8 * x

דוגמאות נוספות

דוגמאות נוספות לכלל

תוכלו למצוא בדף הוצאת מספר מהשורש.

 

דוגמאות נוספות לכלל

תוכלו למצוא בדף הכנסת מספר לתוך השורש.

3.פתרון שורש שאינו שני

את התרגילים הבאים פתרו בעזרת חוקי שורשים ומחשבון.
את תרגילים 1-2 פותרים בעזרת החוק:

את התרגיל השלישי פותרים בעזרת החוק:

תרגילים

תרגיל 1

לחצו לצפייה בפתרון

תרגיל 2

לחצו לצפייה בפתרון

תרגיל 3

לחצו לצפייה בפתרון

4.שילוב של חוקי חזקות עם שורשים

 

לחצו לצפייה בפתרון

תרגיל 1

פתרון
לחלקכם יהיה נוח לרשום את התרגיל עם חזקות בלבד וללא שורשים על מנת להגיע לתשובה הנכונה:

תרגיל מסוג זה יש שתי דרכים לפתור.
הדרך הראשונה לדעתי קלה יותר להבנה ואילו הדרך השנייה קצרה יותר בחישובים.

דרך ראשונה
בדרך זו קודם נשתמש בחוקי החזקות בתוך השורש ולאחר מיכן ניפטר מהשורש.

שלב א: נפשט את הביטויים שבתוך השורש
נשתמש בחוקי החזקות הבאים:
am)n = am * n)
a*b*c)m = am * bm * cm)

שלב ב: "ניפתר" מהשורש
נשתמש בחוק האומר:
x = x0.5
לנמשיך להשתמש בחוק
am)n = am * n)

שלב ג: נפשט את הביטוי
נשתמש בחוקים
am * an = am + n

ונפשט את התרגיל.

דרך שנייה
בדרך זו קודם "ניפתר" מהשורש ולאחר מיכן נפתח כל ביטוי.
בדרך זו פחות חישובים אבל לא תמיד היא מובנת.

שלב א: ניפתר מהשורש
על ידי שימוש בחוקים:
x = x0.5
לנמשיך להשתמש בחוק
am)n = am * n)

שלב ב: נפשט את הביטוי
על ידי שימוש בחוק
am)n = am * n)

נמשיך עם החוקים
am * an = am + n

ונגיע לתשובה.

5.חוקי שורשים ונוסחאות הכפל המקוצר

תרגילים נוספים תוכלו למצוא בקישור.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

25 מחשבות על “חוקי שורשים”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הכוונה היא שישאר a + b בצד שמאל אז זה לא נכון.
      שורש של חיבור איברים (a^2 +b^2) לא שווה לשורש של כל אחד מהאיברים בנפרד.

  1. איך מוכיחים את השוויון:
    3$3+3$24=3$81

    $-במקום הסימון של שורש (פשוט אין לי את הסימון מקווה שזה מובן)

    וגם איפה יש הסבר איך הופכים שבר שבמכנה שלו יש שורש לשבר ללא שורש במכנה?
    תודה רבה על הכל!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני מבין שבצד שמאל כתוב שורש 81 שזה 9.
      אם כך את צריכה בצד שמאל להוציא 3 גורם משותף ואז לנסות לפרק את שני השורשים שקיבלת.
      בקישור הבא יש דרכים להוציא מספר מתוך השורש.
      https://www.m-math.co.il/algebra/square-roots-rules/
      שורש במכנה זה כמו חזקת לצי במכנה והיא הופכת לחזקת מינוס חצי במונה.
      זה מוסבר בדף חוקי חזקות
      https://www.m-math.co.il/algebra/exponentiation/

  2. האתר הקבוע שאני נכנסת אליו כדי ללמוד משהו מ0 ויוצאת מפה עם 100 אחוז של הבנה!
    אלופים אלופים אלופים, תודה רבה וכל הכבוד לכם!!!!

  3. ואו אתר מושלם
    פעם ראשונה שאני רואה
    מחר יש לי מבחן יחידות רק היום התחלתי ללמוד
    פשוט מעולה
    תודה רבה

  4. אתר מדהים!!!!
    אני לומד במכינה קדם אקדמית, המורה למתמטיקה פשוט זוועה, רק מבלבל ומסרבל. האתר הזה מציל אותי במבחנים.
    אלף תודות.

    1. לומדים מתמטיקה

      הדף עוסק בשורש שני. שהוא השורש הבסיסי והשימושי ביותר.
      למספר שלילי אין שורש שני.
      כי אין מספר כפול אותו מספר שיתן מספר שלילי.
      לכן אין בדף שורש למספר שלילי.
      הדבר מוסבר בפירוט רב יותר בחוק מספר 5 בתחילת הדף.

  5. היי
    שמי טל, אני מורה למתמטיקה. כייף לראות איך האתר בנוי בצורה מסודרת ומאורגנת.
    אשמח להסבר של הדברים שכתבתם די בתחילת הדף. אני יודע שזה נכון, אבל חסר לי ההסבר למה זה נכון. אציג את זה ב3 מקומות בהם פגשתי את מה שרשמתם:

    מה הוא 9√?
    שורש 9 הוא המספר החיובי (!) שכאשר נעלה אותו בריבוע נקבל 9.

    הערה
    לתרגיל
    x = √100
    יש רק פתרון אחד (!) והוא x = 10.

    לעומת זאת לתרגיל:
    x² = 100
    יש שני (!) פתרונות
    x1 =10 או x2 = -10

    תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום טל
      זו הגדרה מתמטית, לפעמים מגדירים בצורה מסוימת על מנת שכאשר נדבר אחד עם השני נבין בדיוק במה מדובר.
      אין לזה הסבר לוגי (לא שאני יודע) אלא זו הגדרה.
      אם תרצה להרחיב בנושא אז באנגלית זה נקרא: Principal square root.
      להתראות

  6. אתר אליפות אליפות תודה רבה רבה כבר 3 שנים אני משתמשת בו והצלחתי בכל המבחנים אותו הסברים כמו בכיתה ככה שזה לא מבלבל בכלל. פשוט תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום סער
      העיקר בתרגיל הזה הוא הכנסת הביטויים אל תוך השורש וכינוס איברים בתוך השורש.
      חזקת 0.5 זה בדיוק כמו לכתוב שורש.
      הסיבה שעברתי לכתיבה בחזקה באמצע התרגיל היא שרציתי להראות את חוק החזקות שעל פיו פותרים את התרגיל.
      את התשובה הסופי כתבתי עם שורש אבל יכולתי גם לכתוב חזקת 0.5 במקום זו בדיוק אותה תשובה.
      מקווה שעניתי כל השאלה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.