לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

פונקציה רציונלית

בדף זה ובקישורים היוצאים מדף זה נלמד על פונקציה רציונלית.

מה היא פונקציה רציונלית?
פונקציה רציונלית היא פונקציה הכוללת משתנה (x) במכנה.

החלקים של דף זה הם:

  1. קישורים – בהם תמצאו הסברים ותרגילים.
  2. סרטוני וידאו מסכמים – העברים על כל החומר.
  3. חקירות מלאות של פונקציות – מיועד למי שכבר למד את החומר.

1.קישורים

הלימוד של הפונקציה הרציונלית מתחלק לשיעורים:

  1. תחום הגדרה.
  2. חיתוך עם הצירים.
  3. נגזרת פונקציה רציונלית.
  4. מתי שבר שווה 0? מתי שבר חיובי או שלילי?
  5. נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה.
  6. מציאת משוואת משיק.
  7. אסימפטוטות פונקציה רציונלית.
  8. אינטגרל פונקציה רציונלית.
  9. פונקציה רציונלית עם פרמטרים.
  10. דגשים וטיפים לחקירת הפונקציה.

2.סיכום וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

 3.חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

בחלק זה של הדף נחקור 3 פונקציות רציונליות.

כל אחת שונה מהאחרת.

תרגיל 1 מתאים ל 4 יחידות לימוד.
תרגילים 2-3 מתקרבים לרמת 5 יחידות.
לאחר שלושת התרגילים יש פתרונות מהבגרות ברמת 4 יחידות.

תרגיל 1

פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה:

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל 0.

לכן הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 0.

פתרון נקודת חיתוך עם הצירים

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

בתחום ההגדרה x ≠ 0 ולכן גם x² ≠ 0
נכפול ב x² ונקבל:

2x² – 3 = 0
2x² = 3
x² = 3/2
x = ±√1.5
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,1.5√) ,  (0 ,1.5√-).

ציר y:

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y,  נציב  x = 0 בפונקציה.

אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

פתרון עבור נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

מציאת קיצון

נבדוק מתי מתקיים :

f ' (x) = 0.

שבר שווה ל 0 כאשר המונה של השבר שווה ל- 0.

המונה של שבר הנגזרת הוא 6 ולכן הנגזרת אף פעם לא שווה ל 0.

לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

מציאת תחומי עלייה וירידה

הנגזרת היא:

עלינו למצוא מתי הנגזרת חיובית ומתי שלילית.

מונה הנגזרת חיובי תמיד.

לכן סימן הנגזרת הוא כסימן המכנה.

עבור x > 0 המכנה חיובי, לכן הנגזרת חיובית.

לכן הפונקציה עולה עבור x > 0.

עבור כל  x < 0 המכנה שלילי, לכן הנגזרת שלילית

לכן הפונקציה יורדת עבור x < 0.

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

נקודת האי הגדרה היא x = 0.

כאשר x שואף ל 0 השבר שואף למינוס אינסוף, המספר 2 זניח.

לכן כאשר x = 0 הפונקציה כולה שואפת למינוס אינסוף.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר  x = 0.

אסימפטוטה אופקית

נבדוק למה שואפת הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

אם הפונקציה שואפת למספר יש לנו אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף לאינסוף, השבר שואף ל 0 והפונקציה שואפת  ל – 2.

≈ 2 – 0 = 2

כאשר x שואף למינוס אינסוף השבר שואף ל 0 והפונקציה כולה שואפת ל – 2.

≈ 2 – 0 = 2

לכן y = 2 היא אסימפטוטה אופקית.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 0.

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 ,1.5√) ,  (0 ,1.5√-).

נקודות קיצון

אין

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה עבור x > 0.

הפונקציה יורדת עבור x < 0.

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית x = 0

אסימפטוטה אופקית y = 2.

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

תרגיל 2

פתרון:

פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה:

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל 0.

נבדוק עבור אילו ערכי x המכנה מתאפס:

  (1- x)2 = 0

1 – x = 0

x = 1

לכן הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 1.

פתרון נקודת חיתוך עם הצירים

נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

השבר יהיה שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס.
x2 = 0

x = 0

נשים לב כי x = 0 בתחום ההגדרה של הפונקציה ולכן נקודת החיתוך עם ציר x תהיה:

(0,0)

ציר y :

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.


לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא גם (0, 0).

פתרון עבור נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

מציאת נקודות קיצון:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.

נגזור את הפונקציה:

נצמצם ב –  , ונשווה ל -0.

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
2x = 0

x = 0

לכן, x = 0 נקודה חשודה לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים (כמובן שנתייחס גם לנקודת אי ההגדרה x = 1) :

  x < 0
0 < x < 1

    x > 1

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום : (0 , 0)

תחומי עלייה וירידה:
עבור x < 0 ועבור x > 1 הפונקציה יורדת.
הפונקציה עולה בתחום :

0 < x < 1

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

כאשר x שואף ל – 1  , המכנה שואף ל – 0 , והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0 (1)
לכן פונקציה זו שואפת לאינסוף כאשר x שואף ל – 1.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.


אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת למספר מסוים, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כאשר x שואף לאינסוף :

לכן כאשר x שואף לאינסוף, y = 1 אסימפטוטה אופקית.
כאשר x שואף למינוס אינסוף:

לכן  גם כאשר x שואף למינוס אינסוף, y = 1 אסימפטוטה אופקית.
לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

דרך נוספת למציאת אסימפטוטות אופקיות:

נמצא את החזקה הגדולה ביותר שמופיעה במונה ובמכנה בנפרד.

נרשום את הפונקציה, ונפתח סוגריים במכנה:

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במונה היא x2

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במכנה גם היא x2

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, ערך הפונקציה הוא חלוקה של החלק העיקרי (החזקה הגדולה) במונה בחלק העיקרי במכנה.

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מתקיים:

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 1.

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 , 0)

נקודות קיצון

נקודת מינימום : (0 , 0)

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה עבור:

  0 < x < 1

הפונקציה יורדת עבור x < 0 ועבור x > 1

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית x = 1

אסימפטוטה אופקית y = 1.

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

תרגיל 3

פתרון

פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה:

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל 0.

נבדוק עבור אילו ערכי x המכנה מתאפס:

x² + 7x + 10 = 0

נפתור את המשוואה באמצעות טרינום:

x2 + 5x + 2x + 10 = 0

x(x + 5) + 2(x + 5) = 0

(x + 5) (x + 2) = 0

פתרונות המשוואה הם:

x = – 5, x= – 2

אלו שני ערכי x עבורם המכנה מתאפס ולכן הפונקציה לא מוגדרת.

כלומר, הפונקציה מוגדרת לכל x, פרט ל: x = – 5, x= – 2

תחום הגדרה:

x ≠ -2 , x ≠ -5

פתרון נקודת חיתוך עם הצירים

נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

השבר מתאפס רק אם המונה שווה ל- 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים:
x² + x – 6 = 0

נפתור את המשוואה באמצעות טרינום:

x2 + 3x – 2x – 6 = 0

x(x + 3) – 2(x + 3) = 0

(x + 3) (x – 2) = 0

הפתרונות של משוואה זו הם :

x = – 3, x = 2

לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,2) ,  (0 ,3-).

ציר y:

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y,  נציב  x = 0 בפונקציה.

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (0.6- , 0).

פתרון עבור נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה:

מציאת נקודות קיצון:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.

נגזור את הפונקציה:


הביטוי מתאפס רק אם המונה שווה 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים באמצעות נוסחת השורשים:


הביטוי מתחת לשורש שלילי, ולכן אין פתרון למשוואה.
כלומר, הנגזרת אינה מתאפסת עבור אף x.
לכן אין נקודות קיצון.
מציאת תחומי עלייה וירידה:
נחלק לתחומים לפי תחום ההגדרה (כלומר לפי נקודות אי ההגדרה של הפונקציה – שמצאנו)

x < – 5

-5 < x < -2

x > -2

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
נסכם בטבלה:

לכן הפונקציה עולה לכל x בתחום הגדרתה.

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

מכיוון שיש שתי נקודות אי הגדרה, נבדוק כל אחת מהן בנפרד.

x = -2

כאשר x שואף ל 2- , המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע (4-) ולכן הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

ניתן לכתוב זאת גם כך:


לכן x = -2 אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

x = -5

כאשר x שואף ל 5- , המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע (14) ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

לכן גם x = -5 אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

לכן הישרים x = -2 , x = -5 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.


אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).

נמצא את החזקה הגדולה ביותר שמופיעה במונה ובמכנה בנפרד.

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במונה היא x2

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במכנה גם היא x2

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, ערך הפונקציה הוא חלוקה של החלק העיקרי (החזקה הגדולה) במונה בחלק העיקרי במכנה.

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מתקיים:

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ -2 , x ≠ -5

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 ,2) ,  (0 ,3-) , (0.6- , 0)

נקודות קיצון

אין

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה לכל x בתחום הגדרתה.

אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות x = -2 , x = -5

אסימפטוטה אופקית y = 1.

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

 

4.תרגילים מהבגרות ברמת 4 יחידות

קיץ 2018 שאלה 6

חקרו את הפונקציה

א.
1. תחום הגדרה:
עבור x = 3  המכנה מתאפס. חילוק באפס היא פעולה שאינה מוגדרת.
לכן עבור x = 3 הפונקציה אינה מוגדרת.
תחום ההגדרה: x ≠ 3.

2. אסימפטוטות:

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור  x = 3 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 3 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף :
במנה – המונה יהיה מספר קבוע בעוד שהמכנה ישאף לאינסוף, לכן המנה תשאף ל – 0.
המספר 4 אינו תלוי ב- x ולכן הפונקציה כולה תשאף ל – 4.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן  y = 4 היא אסימפטוטה אופקית.

3. תחומי עלייה וירידה:

את תחומי העליה והירידה נבדוק בעזרת טבלה.
על מנת לדעת לאילו תחומים עלינו לחלק, נצטרך לבדוק האם יש נקודות קיצון, ואם כן – מה שיעוריהן.
לכן נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נחלק את המונה והמכנה ב- (3-x).
(נוכל לעשות זאת מכיוון שהביטוי x-3 אינו מתאפס בכל תחום הגדרתה של הפונקציה.)

הנגזרת אינה מתאפסת בתחום ההגדרה של הפונקציה. לכן אין נקודות חשודות לקיצון.
נחלק לתחומים לפי נקודת אי ההגדרה של הפונקציה – x = 3.

לכן התשובה:
עליה: x < 3
ירידה: x > 3

4. סקיצה:

ב.
השטח המוגבל שאנו נדרשים לחשב:

השטח נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:
(נהפוך את השבר לפולינום לפי חוקי חזקות)

תשובה לסעיף ב' : השטח הכלוא שווה 4.5 יחידות ריבועיות.

ג. g(x) = f(x) – 4
עבור (g(x נוכל לבצע חיסור שטחים, מכיוון שהיא מורכבת מ -2 פונקציות :
1. (f(x שכבר חישבנו – השטח הכלוא שווה 4.5.
2. המספר הקבוע '4'.
כלומר:

מה שנותר לחשב זה האינטגרל הפשוט על המספר הקבוע 4.

ולכן: (נבצע את החיסור)
g(x) dx = 4.5 – 4 = 0.5∫

תשובה לסעיף ג' : השטח הכלוא שווה 0.5 יחידות ריבועיות.

חורף 2018 תרגיל 6

 , כאשר a פרמטר.

א.
1. תחום הגדרה:
עבור x = 1  המכנה מתאפס. חילוק באפס היא פעולה שאינה מוגדרת.
לכן עבור x = 1 הפונקציה אינה מוגדרת.
תחום ההגדרה: x ≠ 1.

2. אסימפטוטות:

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור  x = 1 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 1 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל :  a + 0/1 , כלומר ל: a.
(הפרמטר a אינו תלוי ב- x , לכן גם כאשר x שואף לאינסוף הוא יישאר)
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן  y = a היא אסימפטוטה אופקית.

3. נקודות קיצון:

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

נחלק את המונה והמכנה ב – (1-x).
(מותר לעשות זאת  – כי אנו יודעים שהביטוי 1-x  שונה מ -0  עבור כל x בתחום ההגדרה)

נכנס איברים ונשווה ל – 0:

המכנה שונה מ-0 עבור כל x בתחום ההגדרה.
לכן המנה שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל – 0.
4x – 4 = 0-
4x = 4-
x = -1

לכן x = -1 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון לפי תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

נפצל ל – 3 תחומים:
(חשוב לזכור כי מפצלים לתחומים גם לפי נקודת אי ההגדרה של הפונקציה)
1. 
2. 
3. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן הנקודה x = -1 היא נקודת מינימום.

נמצא את שיעור ה- y שלה ע"י הצבת x = -1 בפונקציה:


תשובה: נקודת הקיצון של הפונקציה היא : (x,y) = (-1, a – 1) , נקודת מינימום.

4. תחומי עליה וירידה:

מצאנו בסעיף 3 את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

תשובה:
עלייה:   
ירידה:      או   

ב. נתון שלפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה היא  y = -3.
מצאנו בסעיף א' כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = a.
לכן בהכרח מתקיים a = -3.

ג.    

  1. נקודות חיתוך עם ציר y :
    על מנת למצוא אותן,  נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
    f (0) = 0/1 – 3
    f(0) = -3
    לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא: (3- , 0)

2. סקיצה:

ד. ניתן לראות מהשרטוט כי עבור k = -4 הישר יחתוך את הפונקציה בנק' אחת בלבד (שהיא נקודת הקיצון).
עוד ניתן לראות כי גם עבור k = -3 תהיה רק נקודת חיתוך אחת.
זאת מכיוון ש y = -3 היא אסימפטוטה אופקית, ולכן הפונקציה לא תקבל ערך זה פרט לנקודת החיתוך שלה עם ציר y.

תשובה: k = -3, k = -4.

 

חורף 2017 תרגיל 6

הפונקציה
הפונקציה

סעיף א
תחום ההגדרה – המכנה צריך להיות שונה מ 0.
2x+4=0 / -4
2x=-4 / :2
x=-2
הפונקציה מוגדרת לכל X כך ש X≠-2

סעיף ב
חיתוך עם הצירים.
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה X נציב Y=0.

נכפיל במכנה 2x + 4 ונקבל:
x-2=0   /+2
x=2
תשובה: נקודת החיתוך עם ציר ה X היא (2,0).

על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה Y נציב X=0.

y = -2 : 4 = -0.5
נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0.5-, 0).

חלק 3 סעיף א – מציאת אסימפטוטות
כאשר X שואף ל 2 המונה שואף ל 4 והמכנה ל 0. לכן X=-2 היא אסימפטוטה אנכית.

כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המכנה גדול פי 2 מהמונה ולכן Y= 0.5 היא אסימפטוטה אופקית.

חלק 4 סעיף א – נקודות קיצון ותחומי עליה / ירידה
נגזור את הפונקציה על פי נגזרת של פונקציית מנה.
הפונקציה

מונה הנגזרת שווה ל 8, לכן הנגזרת לא מתאפסת ואין לפונקציה נקודות קיצון.

תחומי עליה ירידה

המונה והמכנה של הנגזרת תמיד חיוביים ולכן הנגזרת תמיד חיובית והפונקציה עולה לכול X.

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

 

סעיף ב
מכוון ששני המשיקים מקבילים אז השיפועים של שני המשיקים שווים (וגם שני ערכי נגזרת הפונקציה בנקודות הללו).
נקודת החיתוך עם ציר ה X היא: (2,0).

נציב את ערך נגזרת זה על מנת לראות באיזו עוד נקודה (P) השיפוע הוא 1/8.

2x+4)²=4x²+16x+16 = 8²)
4x²+16x-48=0 /:4
x²+4x-12=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק טרינום.
x² – 2x + 6x – 12 = 0
x (x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x+6)(x-2)=0)
x=2 או x=-6.
x = -6 בנקודה P.

נמצא את ערך ה Y על ידי הצבה x = -6.

סעיף ג
האסימפטוטה של (F(X היא y=0.5 לכן צריך להוריד את ערך הפונקציה ב 0.5 על מנת שהאסימפטוטה תתלכד עם ציר ה X.
לכן C=-0.5.

קיץ 2016 תרגיל 6

הפונקציה:
הפונקציה

סעיף א
תחום ההגדרה – המכנה צריך להיות שונה מ 0.
(x-1)²=0 /√
x-1=0 /+1
x=1
הפונקציה מוגדרת לכל X כך ש x≠1.

ב. לפונקציה יש קיצון ב x=3 כלומר הנגזרת מתאפסת בנקודה זו.

= (x²-2x+1)* -4 -2(xm-4x²-m+4x)
= 4x²+8x-4-2xm+8x²+2m-8x
4x²-2xm+2m-4
הנגזרת מתאפסת כאשר מונה הנגזרת מתאפס. נציב x=3 ונמצא את ערך ה m שמאפס.
4*3²-2*3m+2m-4=0
-4m=-32/:-4
m=8

סעיף ג
חלק ראשון – אסימפטוטות

כאשר X שואף ל 1 המכנה שואף ל 0 ואילו המונה ל 1. לכן ערך הפונקציה שואף לאינסוף.
x=1 היא אסימפטוטה אנכית.
כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המכנה שואף לאינסוף בריבוע ואילו המונה לאינסוף. לכן הפונקציה שואפת ל 0 כאשר X שואף ל +- אינסוף.
הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.

סעיף ג  חלק שני – חיתוך עם הצירים.
נציב X=0

הנקודה (0,8) היא נקודת חיתוך עם ציר ה Y.

נציב y=0.

הנקודה (2,0) היא נקודת חיתוך עם ציר ה X.

חלק שלישי סעיף ג – נקודות קיצון

הנגזרת מתאפסת כאשר המונה מתאפס:
4x² -16x+12=0 /:4
x²-4x+3=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק הטרינום
x² – x – 3x + 3 = 0
x (x – 1) – 3 (x – 1) = 0
x-3)(x-1)=0)
x=3 או x=1.
כאשר X=1 הפונקציה אינה מוגדרת.

עבור X=3 נמצא את ערך הנגזרת בסביבת הנקודה.
כאשר X=2 ערך הנגזרת שלילי.
כאשר X=4 ערך הנגזרת חיובי.
לכן זו נקודת מינימום.

נמצא את ערך ה Y.

הנקודה (4-, 3) היא נקודת מינימום.

סעיף ג – חלק רבעי
כבר מצאנו בבדיקת נקודת המינימום כי:

3<x   הפונקציה עולה.

נבדוק מה קורה כאשר x=1.
הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה עולה כאשר x<1.

סעיף ד
סקיצה

סקיצה של הפונקציה

סעיף ה
הנגזרת חיובית כשהפונקציה עולה וזה קורה עבור 3<x – ואז (f(x שלילי.
וגם עבור x<1 ואז f(x)>0. התשובה: x<1.

עוד באתר:

28 מחשבות על “פונקציה רציונלית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. היי ניסיתי לפתוח את העמוד של נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה בפונקציה רציונלית והוא אומר שאין עמוד כזה,
    אפשר בבקשה עזרה?
    תודה

  2. שואלת שאלה

    היי
    רציתי לדעת איך אני גוזרת פונקציה רציונלית עם 2 איברים, כמו זאת: 1 1
    ___ + ___
    x+4 x-4

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אלו שני שברים נפרדים אז גוזרים כל שבר בנפרד ומבצעים את הפעולה שבין השברים (חיבור או חיסור) גם בין שתי תוצאות הנגזרת.

  3. שלום!
    אשמח לדעת איך לענות על השאלה הבאה ומה הדרך.
    מצא נק קיצון וקבע מינימום או מקסימום.
    6^( x-6)
    ————=y
    2^(x+2)

    גזרתי לפי הנוסחה והצבתי אפס ב'y אבל לא ידעתי איך לפתור…
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לראות את המשוואה שהגעת אליה ומה בדיוק את לא מצליחה.
      אם את מנויה שלחי את הפרטים הללו במייל.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    האם יש אפשרות להראות כיצד לחקור פונקציה רציונלית ולסרטט סקיצה ללא גזירה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      גזירה היא חלק מרכזי וכמעט תמיד הכרחי בחקירת פונקציה.
      אין כרגע באתר חקירה ללא גזירה.

  5. שלוםם
    אפשר הדרכה איך מוצאים לזה נגזרת?

    y=2x^2+ax- כל זה חלקי
    x^2-7x+10

    ניסיתי מלא זמן ולא הצלחתי..

  6. שלום יש לי שאלה אתם יכולים להסביר על הזזות ומתיחות של פונקציה רציונלית?

  7. למה אי אפשר לצמצם פונקציה? בדוגמה שהסברת על החור בפונקציה שזאת היתה פונקציה קווית עם חור. למה אי אפשר לצמצם ולקבל פונק קוית רגילה בלי חור?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעיקרון פונקציה שהמכנה שלה הוא מספר היא פונקציית פולינום וניתן לפעול כאילו היא פולינום, זה מקצר את הזמן.
      ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה רציונלית וגם כאן מגיעים לתשובה הנכונה רק שלרוב זה ארוך יותר.
      אני אשתדל לכתוב דוגמה ולהוסיף כאן קישור בימים הקרובים.