פונקציה רציונלית

בדף זה ובקישורים היוצאים מדף זה נלמד על פונקציה רציונלית.

מה היא פונקציה רציונלית?
פונקציה רציונלית היא פונקציה הכוללת משתנה (x) במכנה.

1.קישורים

הלימוד של הפונקציה הרציונלית מתחלק לשיעורים:

  1. תחום הגדרה.
  2. חיתוך עם הצירים.
  3. נגזרת פונקציה רציונלית.
  4. מתי שבר שווה 0? מתי שבר חיובי או שלילי?
  5. נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה.
  6. מציאת משוואת משיק.
  7. אסימפטוטות פונקציה רציונלית.
  8. אינטגרל פונקציה רציונלית.
  9. פונקציה רציונלית עם פרמטרים.
  10. דגשים וטיפים לחקירת הפונקציה.

2.סיכום וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

 3.חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

בחלק זה של הדף נחקור 3 פונקציות רציונליות.

כל אחת שונה מהאחרת.

תרגיל 1 מתאים ל 4 יחידות לימוד.
תרגילים 2-3 מתקרבים לרמת 5 יחידות.
לאחר שלושת התרגילים יש פתרונות מהבגרות ברמת 4 יחידות.

תרגיל 1

פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה:

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל 0.

לכן הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 0.

פתרון נקודת חיתוך עם הצירים

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

בתחום ההגדרה x ≠ 0 ולכן גם x² ≠ 0
נכפול ב x² ונקבל:

2x² – 3 = 0
2x² = 3
x² = 3/2
x = ±√1.5
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,1.5√) ,  (0 ,1.5√-).

ציר y:

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y,  נציב  x = 0 בפונקציה.

אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

פתרון עבור נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

מציאת קיצון

נבדוק מתי מתקיים :

f ‘ (x) = 0.

שבר שווה ל 0 כאשר המונה של השבר שווה ל- 0.

המונה של שבר הנגזרת הוא 6 ולכן הנגזרת אף פעם לא שווה ל 0.

לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

מציאת תחומי עלייה וירידה

הנגזרת היא:

עלינו למצוא מתי הנגזרת חיובית ומתי שלילית.

מונה הנגזרת חיובי תמיד.

לכן סימן הנגזרת הוא כסימן המכנה.

עבור x > 0 המכנה חיובי, לכן הנגזרת חיובית.

לכן הפונקציה עולה עבור x > 0.

עבור כל  x < 0 המכנה שלילי, לכן הנגזרת שלילית

לכן הפונקציה יורדת עבור x < 0.

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

נקודת האי הגדרה היא x = 0.

כאשר x שואף ל 0 השבר שואף למינוס אינסוף, המספר 2 זניח.

לכן כאשר x = 0 הפונקציה כולה שואפת למינוס אינסוף.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר  x = 0.

אסימפטוטה אופקית

נבדוק למה שואפת הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

אם הפונקציה שואפת למספר יש לנו אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף לאינסוף, השבר שואף ל 0 והפונקציה שואפת  ל – 2.

≈ 2 – 0 = 2

כאשר x שואף למינוס אינסוף השבר שואף ל 0 והפונקציה כולה שואפת ל – 2.

≈ 2 – 0 = 2

לכן y = 2 היא אסימפטוטה אופקית.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 0.

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 ,1.5√) ,  (0 ,1.5√-).

נקודות קיצון

אין

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה עבור x > 0.

הפונקציה יורדת עבור x < 0.

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית x = 0

אסימפטוטה אופקית y = 2.

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

תרגיל 2

פתרון:

פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה:

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל 0.

נבדוק עבור אילו ערכי x המכנה מתאפס:

  (1- x)2 = 0

1 – x = 0

x = 1

לכן הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 1.

פתרון נקודת חיתוך עם הצירים

נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

השבר יהיה שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס.
x2 = 0

x = 0

נשים לב כי x = 0 בתחום ההגדרה של הפונקציה ולכן נקודת החיתוך עם ציר x תהיה:

(0,0)

ציר y :

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.


לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא גם (0, 0).

פתרון עבור נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

מציאת נקודות קיצון:

נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.

נגזור את הפונקציה:

נצמצם ב –  , ונשווה ל -0.

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
2x = 0

x = 0

לכן, x = 0 נקודה חשודה לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים (כמובן שנתייחס גם לנקודת אי ההגדרה x = 1) :

  x < 0
0 < x < 1

    x > 1

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום : (0 , 0)

תחומי עלייה וירידה:
עבור x < 0 ועבור x > 1 הפונקציה יורדת.
הפונקציה עולה בתחום :

0 < x < 1

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

כאשר x שואף ל – 1  , המכנה שואף ל – 0 , והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0 (1)
לכן פונקציה זו שואפת לאינסוף כאשר x שואף ל – 1.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.


אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת למספר מסוים, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כאשר x שואף לאינסוף :

לכן כאשר x שואף לאינסוף, y = 1 אסימפטוטה אופקית.
כאשר x שואף למינוס אינסוף:

לכן  גם כאשר x שואף למינוס אינסוף, y = 1 אסימפטוטה אופקית.
לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

דרך נוספת למציאת אסימפטוטות אופקיות:

נמצא את החזקה הגדולה ביותר שמופיעה במונה ובמכנה בנפרד.

נרשום את הפונקציה, ונפתח סוגריים במכנה:

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במונה היא x2

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במכנה גם היא x2

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, ערך הפונקציה הוא חלוקה של החלק העיקרי (החזקה הגדולה) במונה בחלק העיקרי במכנה.

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מתקיים:

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 1.

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 , 0)

נקודות קיצון

נקודת מינימום : (0 , 0)

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה עבור:

  0 < x < 1

הפונקציה יורדת עבור x < 0 ועבור x > 1

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית x = 1

אסימפטוטה אופקית y = 1.

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

תרגיל 3

פתרון

פתרון תחום הגדרה

תחום הגדרה:

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל 0.

נבדוק עבור אילו ערכי x המכנה מתאפס:

x² + 7x + 10 = 0

נפתור את המשוואה באמצעות טרינום:

x2 + 5x + 2x + 10 = 0

x(x + 5) + 2(x + 5) = 0

(x + 5) (x + 2) = 0

פתרונות המשוואה הם:

x = – 5, x= – 2

אלו שני ערכי x עבורם המכנה מתאפס ולכן הפונקציה לא מוגדרת.

כלומר, הפונקציה מוגדרת לכל x, פרט ל: x = – 5, x= – 2

תחום הגדרה:

x ≠ -2 , x ≠ -5

פתרון נקודת חיתוך עם הצירים

נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

השבר מתאפס רק אם המונה שווה ל- 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים:
x² + x – 6 = 0

נפתור את המשוואה באמצעות טרינום:

x2 + 3x – 2x – 6 = 0

x(x + 3) – 2(x + 3) = 0

(x + 3) (x – 2) = 0

הפתרונות של משוואה זו הם :

x = – 3, x = 2

לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,2) ,  (0 ,3-).

ציר y:

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y,  נציב  x = 0 בפונקציה.

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (0.6- , 0).

פתרון עבור נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה:

מציאת נקודות קיצון:

נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.

נגזור את הפונקציה:


הביטוי מתאפס רק אם המונה שווה 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים באמצעות נוסחת השורשים:


הביטוי מתחת לשורש שלילי, ולכן אין פתרון למשוואה.
כלומר, הנגזרת אינה מתאפסת עבור אף x.
לכן אין נקודות קיצון.
מציאת תחומי עלייה וירידה:
נחלק לתחומים לפי תחום ההגדרה (כלומר לפי נקודות אי ההגדרה של הפונקציה – שמצאנו)

x < – 5

-5 < x < -2

x > -2

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
נסכם בטבלה:

לכן הפונקציה עולה לכל x בתחום הגדרתה.

פתרון אסימפטוטות

אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

מכיוון שיש שתי נקודות אי הגדרה, נבדוק כל אחת מהן בנפרד.

x = -2

כאשר x שואף ל 2- , המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע (4-) ולכן הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

ניתן לכתוב זאת גם כך:


לכן x = -2 אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

x = -5

כאשר x שואף ל 5- , המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע (14) ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

לכן גם x = -5 אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

לכן הישרים x = -2 , x = -5 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.


אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).

נמצא את החזקה הגדולה ביותר שמופיעה במונה ובמכנה בנפרד.

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במונה היא x2

החזקה הגדולה ביותר המופיעה במכנה גם היא x2

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, ערך הפונקציה הוא חלוקה של החלק העיקרי (החזקה הגדולה) במונה בחלק העיקרי במכנה.

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מתקיים:

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

פתרון שרטוט גרף הפונקציה

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ -2 , x ≠ -5

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 ,2) ,  (0 ,3-) , (0.6- , 0)

נקודות קיצון

אין

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה לכל x בתחום הגדרתה.

אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות x = -2 , x = -5

אסימפטוטה אופקית y = 1.

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

 

4.תרגילים מהבגרות ברמת 4 יחידות

כל התרגילים שייכים לשאלון 481 מועד א.

קיץ 2024

תשובות סופיות

סעיף א1

x ≠ ± 3

סעיף א2

y =6

x = ± 3

סעיף ב

max (0, 4)

סעיף ג

(0, 4)

(± √6, 0)

סעיף ד

סעיף ה

גרף 4

סעיף ו1

לא נכון

סעיף ו2

נכון

פתרון סעיף א1

נתונה הפונקציה:

נמצא את תחום ההגדרה:

x2 – 9 ≠ 0

x2 ≠ 9

x ≠ ± 3

פתרון סעיף א2

נמצא את האסימפטוטות של הפונקציה.

נקודות אי-ההגדרה שמצאנו בסעיף הקודם לא מאפסות מונה,

לכן אסימפטוטות אנכיות:

x = ± 3

נחפש אסימפטוטה אופקית:

איקס בריבוע בכל הפעמים שהוא מופיע בפונקציה, לכן הגבול באינסוף ומינוס אינסוף אותו דבר.

= 2 + 4 = 6

אז האסימפטוטה האופקית:

y =6

פתרון סעיף ב

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

נקודת הקיצון-

f ‘ (x) = 0

– 36x = 0

x = 0

המכנה חיובי לכל x בתחום, לכן הסימן משתנה לפי המונה.

4 3 1 0 -1 -3 -4
0 + + f ‘ (x)
\ \ / / f (x)

f ‘ (- 4) = 0.852 = (+)

f ‘ (- 1) = 0.36 = (+)

f ‘ (1) = – 0.5625 = (-)

f ‘ (4) = – 5.76 = (-)

f (0) = 4

מצאנו את נקודת הקיצון של הפונקציה:

max (0, 4)

פתרון סעיף ג

מצאנו את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

(0, 4)

נמצא את החיתוך עם ציר x:

f (x) = 0

2x2 = – 4x2 + 36

6x2 = 36

x2 = 6

x = ± √6

נקודות החיתוך:

(0, 4)

(± √6, 0)

פתרון סעיף ד

מצאנו עד כה:

ת.ה.-

x ≠ ± 3

אסימפטוטות-

y =6

x = ± 3

קיצון-

max (0, 4)

חיתוך-

(0, 4)

(± √6, 0)

תחומי עלייה וירידה נסיק מהטבלה בסעיף ב’ –

עלייה:

x < -3

-3 < x < 0

ירידה:

x > 3

0 < x < 3

נשרטט את גרף הפונקציה:

פתרון סעיף ה

נמצא איזה גרף מתאים לנגזרת.

מצאנו נקודת חיתוך עם ציר האיקס של הנגזרת (נקודות הקיצון של הפונקציה) בנקודה x = 0.

מהתבוננות בגרפים זה פוסל את גרף 2 ו-3.

בנוסף מצאנו את תחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת (עלייה וירידה של הפונקציה)-

חיובית:

x < -3

-3 < x < 0

שלילית:

x > 3

0 < x < 3

לכן גרף 1 נפסל גם כן.

אז הגרף המתאים לנגזרת הפונקציה הוא גרף 4.

פתרון סעיף ו1

“בכל נקודה בתחום x > 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f (x) הוא חיובי.”

מצאנו שהפונקציה יורדת בתחום זה, לכן שיפוע המשיק בתחום זה שלילי.

ההיגד לא נכון.

פתרון סעיף ו2

“בכל נקודה בתחום x < – 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f (x) הוא חיובי.”

מצאנו שהפונקציה עולה בתחום זה, לכן שיפוע המשיק בתחום זה חיובי.

ההיגד נכון.

חורף 2024

תשובות סופיות

סעיף א

x = 0 – max

סעיף ב

עלייה: x < 0 ו-x ≠ – 4

ירידה: x > 0 ו-x ≠ 4

סעיף ג

הביטוי השלישי

סעיף ד

(0 , 1) (√8 , 0) (-√8 , 0)

סעיף ה

סעיף ו

1/3

פתרון סעיף א

כאשר לנגזרת יש נקודת חיתוך עם ציר x לפונקציה המקורית יש נקודת קיצון.

לכן שיעור ה-x של נקודת הקיצון הוא 0 .

משמאל לנקודת הקיצון הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

מימין לנקודת הקיצון הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

ולכן x = 0 קיצון מסוג מקסימום.

פתרון סעיף ב

כאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

כאשר x < 0 ו-x ≠ – 4 הנגזרת חיובית ולכן בתחום זה הפונקציה עולה.

כאשר x > 0 ו-x ≠ 4 הנגזרת שלילית ולכן בתחום זה הפונקציה יורדת.

פתרון סעיף ג

נזהה למה שואף השבר הבא כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

לכן לפונקציות 1,3 יש אסימפטוטה y = 2.

פונקציה 1 מוגדרת לכל x לכן נפסלת.

לפונקציה 3 תחום הגדרה כמבוקש, לכן היא הפונקציה.

פתרון סעיף ד

נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0:

פתרון סעיף ה

(0 , 1)

פתרון סעיף ו

השטח המבוקש מסומן באדום.

מכוון שהשטח נמצא מתחת לציר ה x נוסיף סימן מינוס.

 

קיץ 2023

תשובות סופיות

סעיף א

x ≠ 0

סעיף ב

( -1.59 , 0)

סעיף ג

min (2 , 3)

סעיף ד

גרף 3

סעיף ה

3.5

פתרון סעיף א

תחום ההגדרה:

x ≠ 0

פתרון סעיף ב

נציב y = 0 בפונקציה על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

אנו יכולים להכפיל ב x² כי הוא שונה מ 0 בתחום ההגדרה.

נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

(-1.59 , 0)

פתרון סעיף ג

3 x = 2 1 x ≠ 0 1- x
min f (x)
+ + f ‘ (x)

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-1) = 9

f ‘ (1) = -7

f ‘ (3) = 57

נציב את ערך ה-x של נקודת הקיצון בפונקציה המקורית על מנת למצוא את ערך ה-y:

נקודת הקיצון:

min (2 , 3)

פתרון סעיף ד

גרף 3 מתאר את הפונקציה.

לפונקציה יש נקודת קיצון אחד מסוג מינימום ברביע 1 ובנוסף לפי הטבלה מהסעיף הקודם כאשר x < 0 הפונקציה עולה.

פתרון סעיף ה

נשתמש בנוסחה:

השטח המוגבל הוא 3.5

אפשרות אחרת לחישוב האינטגרל היא שימוש בנוסחה:

 

 

 

עוד באתר:

28 מחשבות על “פונקציה רציונלית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. היי ניסיתי לפתוח את העמוד של נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה בפונקציה רציונלית והוא אומר שאין עמוד כזה,
    אפשר בבקשה עזרה?
    תודה

  2. שואלת שאלה

    היי
    רציתי לדעת איך אני גוזרת פונקציה רציונלית עם 2 איברים, כמו זאת: 1 1
    ___ + ___
    x+4 x-4

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אלו שני שברים נפרדים אז גוזרים כל שבר בנפרד ומבצעים את הפעולה שבין השברים (חיבור או חיסור) גם בין שתי תוצאות הנגזרת.

  3. שלום!
    אשמח לדעת איך לענות על השאלה הבאה ומה הדרך.
    מצא נק קיצון וקבע מינימום או מקסימום.
    6^( x-6)
    ————=y
    2^(x+2)

    גזרתי לפי הנוסחה והצבתי אפס ב’y אבל לא ידעתי איך לפתור…
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לראות את המשוואה שהגעת אליה ומה בדיוק את לא מצליחה.
      אם את מנויה שלחי את הפרטים הללו במייל.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    האם יש אפשרות להראות כיצד לחקור פונקציה רציונלית ולסרטט סקיצה ללא גזירה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      גזירה היא חלק מרכזי וכמעט תמיד הכרחי בחקירת פונקציה.
      אין כרגע באתר חקירה ללא גזירה.

  5. שלוםם
    אפשר הדרכה איך מוצאים לזה נגזרת?

    y=2x^2+ax- כל זה חלקי
    x^2-7x+10

    ניסיתי מלא זמן ולא הצלחתי..

  6. שלום יש לי שאלה אתם יכולים להסביר על הזזות ומתיחות של פונקציה רציונלית?

  7. למה אי אפשר לצמצם פונקציה? בדוגמה שהסברת על החור בפונקציה שזאת היתה פונקציה קווית עם חור. למה אי אפשר לצמצם ולקבל פונק קוית רגילה בלי חור?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעיקרון פונקציה שהמכנה שלה הוא מספר היא פונקציית פולינום וניתן לפעול כאילו היא פולינום, זה מקצר את הזמן.
      ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה רציונלית וגם כאן מגיעים לתשובה הנכונה רק שלרוב זה ארוך יותר.
      אני אשתדל לכתוב דוגמה ולהוסיף כאן קישור בימים הקרובים.