נגזרת מנה, נגזרת פונקציה רציונלית

בדף זה:

1. הסבר וידאו.
2. נוסחת נגזרת מנה ודוגמאות מהירות לגזירה.
3. תרגילים: נגזרת מנה עם מספר במונה.
4. תרגילים: נגזרת מנה עם פולינום במונה ובמכנה.
5. תרגילים: נגזרת מנה של פונקציית שורש.
6. העשרה: 2 דרכי קיצור שעובדות רק בחלק מהמקרים.

שם אחר לנגזרת מנה הוא "נגזרת של פונקציה רציונלית".

1.הסבר וידאו

2.נוסחה ודוגמאות מהירות

אם נתונות לנו שתי פונקציות שהקשר בניהן הוא קשר של חילוק.

אז הנגזרת מתקבל על ידי שימוש בנוסחה.

ובמילים, נגזרת מנה שווה ל:
נגזרת המונה כפול פונקציית המכנה.
פחות :
נגזרת המכנה כפול פונקציית המונה.
חלקי:
פונקציית המכנה בריבוע.

תוכלו לזכור את הנוסחה הזו בקלות רבה יותר אם תראו את הדמיון בין המונה של נגזרת מנה לנגזרת מכפלה:

(f (x)* g (x)] ' =f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x]

המונה של נגזרת מנה זהה לנגזרת זו מלבד זה שבנגזרת מכפלה יש לנו + ובנגזרת מנה – .

דוגמאות מהירות לנגזרת

3.נגזרת מנה שבה יש רק מספר במונה

הנגזרת של כל מספר היא 0.
למשל אם :
f (x) = 2
אז:
f ' (x) = 0.

בכול הפתרונות מופיעה גם דרך לגזירה כפולינום. דרך שאין חובה ללמוד.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נגדיר את פונקציית המונה והנגזרת שלה.
את פונקציית המכנה והנגזרת שלה.
f (x) = 1  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0  נגזרת המונה.
g (x) = x  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 1  נגזרת המכנה.

נציב בנוסחה של נגזרת מנה ונקבל:

דרך שנייה לפתרון
אם היינו גוזרים על פי השיטה של נגזרת פולינום היינו מקבלים:

תרגיל 2

פתרון
נגדיר את פונקציית המונה והנגזרת שלה.
את פונקציית המכנה והנגזרת שלה.
f (x) = -2  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0  נגזרת המונה.
g (x) = x  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 1  נגזרת המכנה.

נציב בנוסחה של פונקציית מנה ונקבל:

דרך שנייה לפתרון
פתרון על ידי הפיכה לפונקציית פולינום נראה כך:

תרגיל 3

פתרון
f (x) = 4  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0
g (x) = x⁵  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 5x⁴

נציב בנוסחה של נגזרת מנה ונקבל:

דרך שנייה לפתרון
פתרון על ידי הפיכה לפונקציית פולינום נראה כך:

תרגיל 4

פתרון
הנוסחה שלנו היא:

f (x ) = 10
f ' (x) = 0
g (x) = 3x²
g ' (x) = 6x

נגזור את הפונקציה:

תרגיל 5

פתרון
f (x ) = -4
f ' (x) = 0
g (x) = 2x⁷
g ' (x) = 14x⁶

הערה
מדוע לא התייחסנו למצב שבו יש רק מספר במכנה? כיצד נגזור את המצב הזה?

התשובה היא שניתן לכתוב היא 0.375 = 3/8.
ואז אנו הופכים את הפונקציה לפונקציית פולינום שקל לגזור.
h (x) = 0.375 x²
h ' (x) 0.75x

זו דרך קלה בהרבה משימוש בנוסחה של פונקציית מנה.

4.נגזרת מנה שבה יש פולינומים במונה ובמכנה

חזרה על נגזרת פולינום תוכלו לעשות בקישור.

פתרונות