נגזרת מנה, נגזרת פונקציה רציונלית

בדף זה:

1. נוסחת נגזרת מנה ודוגמאות מהירות לגזירה.
2. תרגילים: נגזרת מנה עם מספר במונה.
3. תרגילים: נגזרת מנה עם פולינום במונה ובמכנה.
4. תרגילים: נגזרת מנה של פונקציית שורש.
5. העשרה: 2 דרכי קיצור שעובדות רק בחלק מהמקרים.

שם אחר לנגזרת מנה הוא "נגזרת של פונקציה רציונלית".

1.נוסחה ודוגמאות מהירות

אם נתונות לנו שתי פונקציות שהקשר בניהן הוא קשר של חילוק.

אז הנגזרת מתקבל על ידי שימוש בנוסחה.

ובמילים, נגזרת מנה שווה ל:
נגזרת המונה כפול פונקציית המכנה.
פחות :
נגזרת המכנה כפול פונקציית המונה.
חלקי:
פונקציית המכנה בריבוע.

תוכלו לזכור את הנוסחה הזו בקלות רבה יותר אם תראו את הדמיון בין המונה של נגזרת מנה לנגזרת מכפלה:

(f (x)* g (x)] ' =f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x]

המונה של נגזרת מנה זהה לנגזרת זו מלבד זה שבנגזרת מכפלה יש לנו + ובנגזרת מנה – .

דוגמאות מהירות לנגזרת

בחלק זה ניתן דוגמאות, ללא הסברים מפורטים (הסברים מפורטים יש בהמשך).
כל התרגילים נפתרים בעזרת הנוסחה שלמדנו למעלה.
בנוסחה יש פונקציות ונגזרות, את הנגזרות סימנתי באדום.

הערה

מה משמעות הסימן למעלה?
כאשר אנו רואים ביטוי בתוך סוגריים ומעליו הסימן ' זה אומר שעלינו לגזור את הביטוי שבתוך הסוגריים.

דוגמה 1
הנגזרת של המספר במונה היא 0.

נפתח סוגריים ונכנס איברים ונקבל:

דוגמה 2

במכנה נעשה שימוש בחוק החזקה a^m)ⁿ = a^m*n)

דוגמה 3

הערה
שימו לב למקרה שבו יש רק מספר במכנה.
במקרה זה ניתן גם לכתוב את השבר כפולינום ולגזור כפולינום.
אין צורך להשתמש בנוסחה לנגזרת מנה.

2.נגזרת מנה שבה יש רק מספר במונה

הנגזרת של כל מספר היא 0.
למשל אם :
f (x) = 2
אז:
f ' (x) = 0.

בכול הפתרונות מופיעה גם דרך לגזירה כפולינום. דרך שאין חובה ללמוד.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נגדיר את פונקציית המונה והנגזרת שלה.
את פונקציית המכנה והנגזרת שלה.
f (x) = 1  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0  נגזרת המונה.
g (x) = x  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 1  נגזרת המכנה.

נציב בנוסחה של נגזרת מנה ונקבל:

דרך שנייה לפתרון
אם היינו גוזרים על פי השיטה של נגזרת פולינום היינו מקבלים:

תרגיל 2

פתרון
נגדיר את פונקציית המונה והנגזרת שלה.
את פונקציית המכנה והנגזרת שלה.
f (x) = -2  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0  נגזרת המונה.
g (x) = x  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 1  נגזרת המכנה.

נציב בנוסחה של פונקציית מנה ונקבל:

דרך שנייה לפתרון
פתרון על ידי הפיכה לפונקציית פולינום נראה כך:

תרגיל 3

פתרון
f (x) = 4  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0
g (x) = x⁵  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 5x⁴

נציב בנוסחה של נגזרת מנה ונקבל:

דרך שנייה לפתרון
פתרון על ידי הפיכה לפונקציית פולינום נראה כך:

תרגיל 4

פתרון
הנוסחה שלנו היא:

f (x ) = 10
f ' (x) = 0
g (x) = 3x²
g ' (x) = 6x

נגזור את הפונקציה:

תרגיל 5

פתרון
f (x ) = -4
f ' (x) = 0
g (x) = 2x⁷
g ' (x) = 14x⁶

הערה
מדוע לא התייחסנו למצב שבו יש רק מספר במכנה? כיצד נגזור את המצב הזה?

התשובה היא שניתן לכתוב היא 0.375 = 3/8.
ואז אנו הופכים את הפונקציה לפונקציית פולינום שקל לגזור.
h (x) = 0.375 x²
h ' (x) 0.75x

זו דרך קלה בהרבה משימוש בנוסחה של פונקציית מנה.

3.נגזרת מנה שבה יש פולינומים במונה ובמכנה

חזרה על נגזרת פולינום תוכלו לעשות בקישור.

פתרונות

תרגיל 6

פתרון

f (x ) = 5x
f ' (x) = 5
g (x) = 2x³ – 6
g ' (x) = 6x²

תרגיל 7

פתרון

f (x ) = 7x² – x
f ' (x) = 14x – 1
g (x) = 1 – x³
g ' (x) = -3x²

בתרגיל זה לא נבצע פתיחת סוגריים וכו.

תרגיל 8

פתרון

תרגיל 9

פתרון

f (x ) = x² -2x + 1
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = x² + 5
g ' (x) = 2x

בשלב האחרון השתמשנו בפירוק הטרינום, זה לא הכרחי היה ניתן להשאיר את התשובה כמו שהיא בתחילת השורה האחרונה.

תרגיל 10

פתרון

תרגיל 6 (עם פרמטר וכפל במונה)

פתרון
אנחנו עדיין לא יודעים לגזור נגזרת מהסוג הזה.
עלינו להשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר ולפתוח סוגריים על מנת לגזור.

את הביטוי הזה אנו יודעים לגזור.
נתייחס לפרמטר a כאילו הוא מספר.

f (x ) = 4x² + 4xa + a²
f ' (x) = 8x + 4x
g (x) = a – x
g ' (x) = -1

4.תרגילים הכוללים נגזרת שורש

חזרה על נגזרת שורש תוכלו לעשות בקישור.

תרגיל 1

פתרון

f (x ) = 3
f ' (x) = 0
g (x) = 1 – √x
(g ' (x) = 1/(2√x

תרגיל 2

פתרון

שימוש בנגזרת מנה בפונקציה הזו ייתן תרגיל ארוך ולא לצורך.
ניתן להשתמש בשוויון:
x^0.5 = √x

ואז נשתמש בחוק החזקה האומר:
a^m : aⁿ = a^{m – n}

נהפוך את הפונקציה לפשוטה יותר:

ואז נגזור:

5.נספח: 2 אלטרנטיבות לנגזרת מנה

אם יש לכם סבלנות לדרכים שונות שיכולות לקצר לכם את הדרך בחלק מהמקרים המשיכו לקרוא.
יש מספר קיצורי דרך למספר סוגים של פונקציות רציונליות.

סוגי הפונקציות הרציונליות הן (חלוקה שלי):

שיטה זו מיועדת לתלמידי 4-5 יחידות המחפשים לפתור חלק מהתרגילים בדרך קצרה יותר.
אין חובה ללמוד את הגזירה בדרך הזו.

(a הוא מספר קבוע)
כאשר יש לנו מנה והמכנה של המנה הוא איבר בודד ניתן להפוך את הביטוי לביטוי שאינו כולל מנה אלא פולינום בלבד.
עושים זאת בעזרת כלל החזקה:

על פי כלל זה אנו נוכל לעשות את המעברים הבאים:

ואז הנגזרת היא:
f ' (x) = -2x^-3

ואז הנגזרת היא:
f ' (x) = -21x^-8

ואז הנגזרת היא:
f ' (x) = 0.75ax²

בכול המקרים הללו גזרנו על פי כלל הנגזרת של פולינום.
אם הפונקציה היא:
f(x)=xⁿ.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nx^n-1.

2. פונקציה שהמונה שלה מסובך והמכנה פשוט.

במקרה זה ניתן לפרק את הביטוי למספר שברים פשוטים ואז לגזור:

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

3. כאשר המכנה של הפונקציה אינו פשוט מומלץ לגזור על פי פונקציית מנה.

חוקי חזקות:
על מנת לפתור תרגילים הרבה פעמים נצטרך להשתמש בחוקי חזקות.
החוקים השימושיים ביותר הם:

על מנת לפתח את המכנה נשתמש בחוק האומר:
ab)ⁿ = aⁿ * bⁿ)

על מנת לצמצם בסוף התרגיל נשתמש בחוק האומר:
a^m : aⁿ = a^{m – n}.

כמו כן עליכם לדעת נגזרת מכפלה לפני שאתם לומדים את דף זה.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• נגזרת של פונקציות שונות.
• פונקציות – כיתד לחקור פונקציות שונות.