אינטגרל של פונקציות רציונליות

אינטגרל של פונקציה רציונלית ניתן לחשב בשתי דרכים:

  1. בעזרת נוסחאות.
  2. בעזרת הפיכת הפונקציה הרציונלית לפונקציית פולינום.

בדף זה אנו לומדים את הדרך של הנוסחאות.
הדרך של חישוב אינטגרל של פונקציה רציונלית בעזרת הפיכתו לפולינום נמצאת בקישור.

לדף זה 5 חלקים:

  1. סרטוני הסבר.
  2. נוסחאות.
  3. דוגמאות מהירות.
  4. תרגילים.
  5. חישוב שטחים ואינטגרל מסוים.

דפים קשורים באתר:

1.סרטוני הסבר

הסרטון הראשון מסביר כיצד לחשב אינטגרל לפונקציה רציונלית פשוטה.
הסרטון השני מספיר כיצד לחשב אינטגרל לפונקציה רציונלית מורכבת.

 2.נוסחאות

יש שתי נוסחאות.
1.נוסחה עבור פונקציה פשוטה.

למשל:

2.נוסחה עבור פונקציה מורכבת.

למשל:

סוגים של פונקציה רציונלית שאינם מתאימים לנוסחאות

שימו לב
שבשני המקרים הנוסחאות מאפשרות לנו לחשב אינטגרלים שהם:

  1. בחזקת 2 בלבד (לא ניתן חזקות אחרות).
  2. עם חזקה על המכנה ולא על חלק מאיברי המכנה.

1.כאשר יש רק מספר במכנה זו לא פונקציה רציונלית אלא פונקציה שיכולה להיות כתובה כפולינום

2.כאשר המשתנה שבמכנה הוא בחזקת 1.
במקרה זה נשתמש באינטגרל ln.
למשל:

3. כאשר החזקה שבמכנה נמצאת רק על חלק מהמכנה.
למשל:

במקרה כזה נשתמש באינטגרל של ln או באינטגרל על פי שיטת ההצבה.

4.גם במקרה ויש חזקה על כל האיברים אבל האיברים בתוך המכנה לא בתוך סוגריים זה לא ניתן לפתרון בעזרת אינטגרל של פונקציה רציונלית.

3.דוגמאות מהירות 

בחלק זה ניתן דוגמאות ללא הסברים מפורטים.
דוגמאות 1-3 הם דוגמאות לפונקציה רציונלית פשוטה ומשתמשות בנוסחה.

דוגמאות 4-5 הם של פונקציה מורכבת.

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

נצמצם מונה ומכנה.

נחשב אינטגרל לכל אחד מהביטויים בנפרד.
נשים לב שרק הביטוי השלישי הוא פונקציה רציונלית.

דוגמאות לפונקציות מורכבות

נחשב אותן על פי הנוסחה:

דוגמה 4

נוציא את ה 7 מחוץ לאינטגרל ונחשב אינטגרל לפי הנוסחה

דוגמה 5

על מנת ליצור חזקה נפרדת על המונה והמכנה נשתמש בחוק החזקות:

נקבל:

ועכשיו נפתור כמו בתרגיל הקודם.
נוציא 9 מחוץ לאינטגרל ונשתמש בנוסחה.

 

4.תרגילים

בחלק זה 6 תרגילים.
תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
בתרגילים 3-4 צריך לפרק את האינטגרל למספר אינטגרלים.
בתרגילים 5-6 מבצעים אינטגרל לפונקציה מורכבת.

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נשתמש בכלל הבא המאפשר להוציא את המספר 5- מחוץ לאינטגרל.
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

נמשיך את החישוב בעזרת הנוסחה:

תרגיל 2

פתרון
נוציא את המספר 10 מחוץ לאינטגרל.

נחשב את האינטגרל על פי הנוסחה.

תרגיל 3 

פתרון
נפרק את הביטוי לשני ביטויים, שלכל אחד מיהם בנפרד ניתן לעשות אינטגרציה.

נפשט את הביטויים ונחשב אינטגרל.

עכשיו יש לנו שני ביטויים שאנו מחשבים אינטגרל לכל אחד מיהם בנפרד.

ובסופו של דבר הפתרון הוא:

תרגיל 4

פתרון
נפרק את האינטגרל ל 3 ביטויים שונים.

נפשט את הביטויים ונחשב לכל אחד מיהם בנפרד את האינטגרל.

תרגיל 5

פתרון

יש לנו פונקציה מורכבת במכנה. לכן נשתמש בנוסחה:

כאשר:  m = 4 , n = 2.

לכן התשובה:

תרגיל 6

פתרון

לפי חוקי חזקות, מתקיים :
a / b)2 = a/ b2).
לכן:

נוציא את המספר 16 מחוץ לאינטגרל ואז נפתור על פי הנוסחה.

כאשר:  m = 2 , n = -1.

 

5.חישוב שטחים – אינטגרל מסוים

תרגיל 1
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 1/ x2 , לבין הישרים x = 1 , x = 2 , וציר x.

פתרון

השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.5

תרגיל 2
חשבו את השטח הכלוא בין הישר y = -4x + 7 , לבין הפונקציה:

פתרון

  1. נקודות החיתוך בין הפונקציות:
    ניתן לראות מהגרף כי נקודות החיתוך הן:
    x1 = 0.5 , x2 = 1
  2. חישוב השטח הכלוא:
    השטח נמצא מתחת לישר , ומעל הפונקציה.
    לכן ניתן לבטא את השטח כחיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:


    א. חישוב האינטגרל:
    ב.חישוב השטח:

תשובה: השטח הכלוא בין הפונקציות הוא 0.25

תרגיל 3

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 2.
מצאו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 2 בפונקציה.

f(2)  =  1/(2-3)2  =  1/1 = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (2 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
3(f ' (x) =  -2 /(x-3
נציב את x = 2 בנגזרת הפונקציה:
f ' (2) = -2/(-1)3 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 2*(x – 2
y – 1  = 2x – 4
y = 2x – 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (השמאלי)
השטח כלוא בין  x = 0 לבין  x = 1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא:


לכן השטח הראשון:  S1 = 1/3

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :(הימני)

השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x = 1.5) x),
לבין נקודות ההשקה ( x = 2).

השטח נמצא מתחת לפונקציה , ומעל למשיק.
לכן ניתן לבטא את השטח כחיסור בין שטח הפונקציה לבין שטח המשיק.

לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2. חישוב השטח:

לכן השטח השני : S2 = 1/12 .


סיכום: כעת רק נותר לנו לסכום את שני השטחים:

תשובה: השטח החסום : 5/12.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 מחשבות על “אינטגרל של פונקציות רציונליות”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אביה.
      קודם כל "לחפור" כאשר מדובר במתמטיקה זה דבר טוב. כאשר "חופרים" מבינים טוב יותר.
      ואני באופן אישי שמח על השאלות והערות שלך באתר.
      אז תודה והמשך לימוד מוצלח.

  1. שלום,
    אתה יכול בבקשה להסביר לי איך פתרת את האינטגרל בתרגיל 5א? זה לא היה לפי הנוסחה שכתבת לפני.
    (וסליחה שאני חופר לך, אני פשוט רוצה להבין יותר טוב את החומר…)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.