דגשים וטיפים לפונקציה רציונלית 4 יחידות

• בדף פונקציה רציונלית והקישורים היוצאים ממנו למדנו את היסודות של פונקציה רציונלית.

בדף זה נענה על מספר שאלות של פונקציה רציונלית ברמת 4 יחידות.

השאלות מחולקות לנושאים הבאים:

1. תחום הגדרה ותחומי עלייה וירידה.
2. הישר y = k.
3. הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.
4. אסימפטוטות.
5. אינטגרלים.

1.תחום הגדרה ותחומי עלייה וירידה

בחלק זה נלמד שלושה דברים:

1.הבעה באמצעות פרמטר של תחום ההגדרה.
2.דרך קיצור לקביעת סימן הנגזרת.
3.כיצד קובעים את תחומי העלייה והירידה לפונקציה עם קיצון פנימי וללא קיצון פנימי.

תרגיל 1 (תחום הגדרה עם פרמטר)

עבור הפונקציה:

1. הביעו באמצעות a את תחום ההגדרה.
2. ידוע כי x = 3 היא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. מצאו את a.

פתרון
על מנת למצוא את תחום ההגדרה עליכם להשוות את המכנה ל 0.

x² + 2a = 0

זכרו כי למשוואה זו יש שני פתרונות ולא פתרון יחיד.

x = √(-2a)
x =  -√(-2a)

עבור שני הערכים הללו הפונקציה לא מוגדרת.

חלק שני: x = 3 אסימפטוטה

המשמעות של אסימפטוטה ב x = 3 היא שעבור x = 3 המכנה שווה ל 0.

כי כאשר לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית הפונקציה לא מוגדרת.

על מנת למצוא את a נציב x = 3 במכנה ונשווה ל 0.

3² + 2a = 0
2a = -9
a = -4.5

נושא 2: דרך קיצור לקביעת סימן הנגזרת

2.הרבה פעמים בפונקציה רציונלית מכנה הנגזרת הוא חזקה זוגית.
במקרה זה ניתן לקבוע את סימן הנגזרת על ידי הצבה במונה בלבד.

זו הנוסחה של נגזרת פונקציה רציונלית:

הנוסחה שמה את המכנה בחזקת 2.

לכן אנו נקבל מכנה שהוא חיובי בכל תחום הגדרת הפונקציה.

כאשר אנו נרצה לדעת אם ערך הנגזרת חיובי או שלילי על מנת לקבוע בעזרת טבלה מינימום / מקסימום או תחומי עלייה וירידה נוכל לעשות זאת על ידי הצבה במונה בלבד.

כי כאשר המכנה חיובי תמיד סימן השבר נקבע על ידי המונה בלבד.

נדגיש כי כאשר אנו מציבים במונה הנגזרת במצב זה נקבל את סימן הנגזרת ולא ערך הנגזרת.

כאשר נציב רק במונה נצטרך לנמק:

1. המכנה בחזקת 2 ולכן חיובי בכל תחום הגדרת הפונקציה.
2. כאשר המכנה של שבר חיובי סימן השבר נקבע על ידי המונה בלבד.
3. נציב את ערך ה x במונה בלבד ונקבל את סימן הנגזרת כולה.

דוגמה:

והנגזרת היא:

מכנה הנגזרת תמיד חיובי ולכן לא משפיע על סימן השבר.
לכן סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה בלבד.

לעומת זאת (מקרה אחר)
בפונקציות שהנגזרת שלהם כוללת איבר נוסף לא ניתן להתעלם מהמכנה על מנת לקבוע את סימן הנגזרת.

לדוגמה:

והנגזרת היא:

במקרה זה סימן הנגזרת לא נקבע רק על ידי מונה השבר, כי בנגזרת יש איבר נוסף.

לכן במקרה זה עלינו להציב בנגזרת כולה על מנת לזהות את סימן הנגזרת.

נושא שלישי: קביעות תחומי העלייה והירידה של פונקציה

פונקציות הכוללות נקודות קיצון ונקודות אי הגדרה
כאשר הפונקציה כוללת נקודות קיצון ונקודות אי ההגדרה ניצור תחומים שהגבולות שלהם הם הנקודות הללו ונבדוק את ערך הנגזרת בגל תחום.

דוגמה
x = 1,  x = 6   נקודות קיצון.
x = 0,  x = 9   נקודות אי הגדרה
אז התחומים יהיו:

x < 0
0 < x < 1
1 < x < 6
6 < x < 9
x > 9

על מנת להבין טוב יותר יכולנו לשרטט על ציר המספרים את נקודות הקיצון ונקודות אי ההגדרה.
נקודה – מסמנת קיצון.
קו – מסמן אי הגדרה.

 

פונקציות הכוללות רק תחומי אי הגדרה ולא כוללות קיצון

אם פונקציה כוללת רק נקודות אי הגדרה אז הגבולות של התחומים נקבעים על פי נקודות האי הגדרה.

דוגמה
x = -3,  x = 1 נקודות אי הגדרה של פונקציה.

אז התחומים שבהם נבדוק את ערך הנגזרת הם:

x < -3
– 3 < x < 1
x > 1

 

כיצד בודקים עם הפונקציה עולה או יורדת בתחום?

בוחרים ערך x השייך לתחום ומציבים אותו בנגזרת.

מה שנקבל עבור ערך x הזה נכון לגבי כל התחום מבחינת עלייה או ירידה.

מדוע מה שנכון עבור ערך x יחיד נכון לכל התחום?
משום שפונקציה יכולה להשתנות מעלייה  לירידה רק בנקודות קיצון או בנקודות אי הגדרה.

ניתן לראות זאת גם בגרף.
הפונקציה הבאה לא מוגדרת ב x = 0.

אם נסתכל לדוגמה על גרף הפונקציה:
f(x) = 1 / x²

ונסתכל על התחום
x > 0
נראה שלא שבכל ערך x שנבחר נקבל פונקציה יורדת.

ובתחום x < 0 בכל ערך x שנבחר נקבל פונקציה עולה.