פונקציית שורש

בדף זה נלמד לחקור את פונקציית השורש בעזרת השיעורים הבאים:

1. הקדמה: היכרות עם פונקציית שורש.
2. שיעור 1: אלגברה בסיסית לפונקציית שורש.
3. שיעור 2: משוואות עם שורש.
4. שיעור 3: תחום הגדרה.
5. שיעור 4: נגזרת.
6. שיעור 5: מציאת משיק.
7. שיעור 6: נקודות קיצון.
8. שיעור 7: אסימפטוטות 4 יחידות   או   אסימפטוטות 5 יחידות.
9. שיעור 8: שאלות עם פרמטרים.
10. שיעור 9: התאמה בין גרף פונקציה למשוואת פונקציה.
11. שיעור 10: אינטגרל של פונקציית שורש על פי נוסחה (מתאים ל 4-5 יחידות)
12. שיעור 11: אינטגרל של פונקציות שורש (דרך נוספת, רק ל 5 יחידות).

בהמשך הדף 3 חלקים:

1. סיכום קצר של נושא פונקציות השורש.
2. חקירה מלאה של  פונקציות כהכנה לבגרות.
3. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות ברמת 4 יחידות (פתרונות לתלמידי 5 יחידות בדף פונקציית שורש 5 יחידות).

סיכום קצר של פונקציות שורש

תחום הגדרה

פונקציית השורש מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש חיובי או שווה ל 0.

דוגמה 1
(f (x) = √(x – 2

פתרון
תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי שבתוך השורש חיובי או שווה ל 0.
לכן האי שוויון שלנו הוא:
x – 2 ≥ 0
x ≥ 2
תשובה: תחום ההגדרה הוא x ≥ 2.

דוגמה 2
אם הפונקציה כוללת גם מכנה עלינו לבדוק שהמכנה שונה מ 0.
למשל:

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא קבוצת המספרים העונה על שני התנאים.
x ≠ 4 על מנת שהמכנה לא יתאפס.
x  ≥ 0  על מנת שהביטוי בתוך פונקציית השורש יהיה חיובי.
ותחום ההגדרה הסופי הוא x  ≥ 0  וגם x ≠ 4.

דוגמה 3
(f (x) = √(x² – 16

החלק שבתוך השורש צריך להיות חיובי.
לכן נפתור את המשוואה:
x² -16 ≥ 0
זה אי שוויון ריבועי.
ניתן לפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים.
או להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר.
(a² – b²= (a-b)*(a+b

נקבל:
x² -16 ≥ 0
x – 4) (x +4) ≥ 16)
זו פרבולה עם נקודת מינימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x₁ = 4, x₂ = -4
כך נראה גרף הפרבולה:

ניתן לראות בגרף שהפרבולה חיובית והאי שוויון מתקיים כאשר:
x ≥ 4  או   x ≤ -4
ולכן תחום ההגדרה הוא x ≥ 4  או   x ≤ -4

חלק ממכם יכולים לפתור את האי שוויון הריבועי גם בצורה הזו:
x² -16 ≥ 0
x² ≥ 16
x ≥ 4  או   x ≤ -4
תשובה: תחום ההגדרה הוא x ≥ 4  או   x ≤ -4

נקודות חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה x
עבור נקודת החיתוך עם ציר ה x מציבים f (x) = 0.
במקרים בהם יש לנו פונקציה עם מכנה המשוואה מתקיימת כאשר המונה שווה ל 0.
למשל הפונקציה:

חותכת את ציר ה x כאשר המונה שווה ל 0:
x + 1 = 0.
(ואין צורך להתייחס למכנה כאשר מציבים f (x) = 0).

חיתוך עם ציר ה y
מוצאים נקודות חיתוך עם ציר ה y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה.

לחלק מפונקציות השורש אין נקודת חיתוך עם ציר ה y.
זה קורה כאשר x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה
למשל הפונקציה:
(f (x) = √(x – 1
מוגדרת כאשר:
x ≥ 1
ולכן אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה y.

נגזרת פונקציית שורש

נוסחאות הגזירה של פונקציית שורש הן:

למשל:

ועבור פונקציית שורש מורכבת:

למשל:

הנגזרת היא:

דרך נוספת
דרך נוספת לגזירת פונקציית שורש היא הפיכת השורש לפולינום
x = x^0.5√
ואז לגזור כפולינום
x^0.5) ' = 0.5x^-0.5)

• דף נגזרת פונקציית שורש כולל מידע מורחב מאוד על שתי הדרכים לגזירת פונקציית שורש.

נקודות קיצון

דוגמאות למציאת נקודות קיצון בקישור.

אסימפטוטות פונקציית שורש

• אסימפטוטות פונקציית שורש מידע נוסף.

אינטגרלים של פונקציית שורש

• אינטגרלים של פונקציית שורש מידע נוסף.

פונקציית שורש חיובית או שלילית תמיד

לפעמים נצטרך להוכיח שפונקציית שורש חיובית או שלילית תמיד.
לפעמים יבקשו להוכיח שהפונקציה היא כזו ולפעמים יבקשו להוכיח שהנגזרת היא חיובית / שלילית תמיד.

לצורך הוכחה זו נשתמש בתכונה הבאה:
ביטוי שהוא שורש הוא חיובי תמיד, כי זו ההגדרה של שורש.
למשל הפונקציה
f(x) = √x
היא פונקציה חיובית תמיד (או שווה ל 0 עבור x = 0).

כמו כן ביטוי הוא חיובי תמיד כאשר המכנה והמונה שלו חיוביים או שהמכנה והמונה שלו שליליים.
למשל הביטוי הזה הוא חיובי תמיד. כי גם המונה וגם המכנה שלו חיוביים תמיד.

שאלה נוספת
נתונה הפונקציה:

עבור איזה ערך של a הפונקציה חיובית תמיד?

פתרון
הביטוי הכולל שורש חיובי או שווה ל 0.
לכן עלינו להבטיח ש:
a – 6
הוא ביטוי חיובי.
a – 6 > 0
a > 6 ואז הביטוי חיובי תמיד.

חקירה מלאה של פונקציית שורש

בחלק זה נחקור חקירה מלאה של 3 פונקציות שורש.
תרגיל מספר 1 הוא חקירה של פונקציית השורש הפשוטה ביותר.
תרגילים 2-3 הם חקירת פונקציית שורש ברמה של הבגרות.

שלושת הפונקציות הם:

f(x) = √x
(f(x) = x√(2-x

תרגיל 1
f(x) = √x

1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x ≥ 0 .

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
x = 0√
x = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא : (0 ,0).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 1 / 2√x = 0
הנגזרת שונה מ – 0 לכל x.
(נשים לב כי הנגזרת אינה מוגדרת עבור x = 0)
לכן נקודה חשודה לקיצון היא  x = 0.

הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה. (סימן הנגזרת אינו משתנה).
נציב נקודה כלשהי על מנת לבדוק האם מדובר בעלייה או בירידה.
f ' (1) = 1 / 2√1 = 1/2
לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  => הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

לכן נקודת הקצה (0,0) היא נקודת מינימום קצה.

לכן :
נק' קיצון: מינימום קצה: (0,0)
עלייה: x ≥ 0.
ירידה: אין.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

5. חישוב אינטגרל:
חשבו את השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה, בין הישר x = 1 לישר x = 4.

פתרון

השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

סקיצה של הפונקציה:

תרגיל 2
(f(x) = x√(2-x

1. תחום הגדרה:
הביטוי שמתחת לשורש מוכרח להיות אי-שלילי (כלומר חיובי או אפס)  .
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x ≤ 2 .

2. נק' חיתוך עם הצירים:
 ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
x√(2-x) = 0
x₁ = 0 , x₂ = 2
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (0,0).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
נגזור את הפונקציה בעזרת הנוסחה של נגזרת מכפלה.
(f ' (x) = h ' (x) * g (x) + g ' (x) * h (x
כאשר:
h (x) = x
h ' (x) = 1

נשים לב ש (g (x זו פונקציה מורכבת ולכן הנגזרת הפנימית שלה היא:

על פי הנוסחה של נגזרת מכפלה נקבל כי:

נכפול את שני אגפי המשוואה במכנה: 

3x + 4 = 0-
x = 4/3

לכן נקודה חשודה לקיצון היא x = 4/3.
הנגזרת אינה מוגדרת עבור x = 2, ולכן גם היא נקודה חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים: (נזכור כי תחום ההגדרה הוא x ≤ 2 ).
א. 
ב. x < 4/3
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן :
נק' מקסימום: (1.08 , 4/3)
נק' מינימום(קצה): (0 , 2)
עלייה: x < 4/3
ירידה: 

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

תרגיל 3

1. תחום הגדרה:
הביטוי שמתחת לשורש מוכרח להיות אי-שלילי (כלומר חיובי או אפס)  .
עבור x = 0 המכנה מתאפס – ולכן הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x > 0 .

2. נק' חיתוך עם הצירים:
 ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
הביטוי שווה ל-0 רק אם המכנה מתאפס. לכן:
3x – 2 = 0
x = 2/3
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא: (0 , 2/3) 
ציר y:   הישר x = 0 (כלומר ציר y) נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
(נגזרת של מנה בשילוב שורש)

נכפיל את הסוגריים ונקבל:

נכנס איברים וגם נצמצם x√ באיבר השלישי:

נחסר את האיבר השני מהאיבר הראשון:
(נשים לב שלשניהם יש x√ במונה).

הנגזרת שונה מ -0 לכל x בתחום ההגדרה.
לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה. (סימן הנגזרת אינו משתנה).
נציב נקודה כלשהי על מנת לבדוק האם מדובר בעלייה או בירידה.
f ' (1)  > 0
לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  => הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

לכן :
נק' קיצון: אין.
עלייה: x > 0.
ירידה: אין.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כאשר x שואף ל – 0 , המכנה שואף ל-0 ואילו המונה שואף למספר קבוע (2-)
לכן כאשר x שואף ל – 0 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
לכן אסימפטוטה אנכית של הפונקציה היא x = 0.
ב. אופקיות : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
-עבור x שואף לאינסוף: בחישוב הגבול נתייחס למקדמים של החזקה הגבוהה ביותר של x.
(במקרה שלנו – חזקה 1 – כלומר המקדמים של x).
לכן כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל – 3/2,
לכן אסימפטוטה אופקית של הפונקציה היא y = 3/2.

פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות

קיץ 2018 תרגיל 7

חקרו את הפונקציה:

א. תחום הגדרה (כתלות בפרמטר a):
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי.
כלומר:
x + a ≥ 0
x ≥ -a

ב. הנקודה (2,24) נמצאת על גרף הפונקציה.
לכן מתקיים: f(2) = 24.
נציב במשוואת הפונקציה:


נחלק ב – 8:
3 = (2+a)√
נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
a + 2 = 9
a = 7

ג.

1. נקודות חיתוך עם הצירים:
   ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0
   x³ * √(x+7) = 0
   *x³ = 0
   x₁ = 0
   *x+7) = 0)√
   x₂ = -7ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
   f(0) = 0

לכן נקודות החיתוך הן:
ציר x:
(0,0), (7,0-)
ציר y:
(0,0)

2. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.
נגזור לפי נגזרת של מכפלה:

מכנה משותף:

המנה שווה ל – 0 רק כאשר המונה מתאפס:
7x³ + 42x² = 0
נוציא גורם משותף:
x² * (7x + 42) = 0
x₁ = 0, x₂ = -6  נקודות חשודות לקיצון.
בנוסף, עבור x = -7 הנגזרת אינה מוגדרת – ולכן היא גם חשודה לקיצון.

נבדוק האם אלו נקודות קיצון לפי תחומי עליה וירידה:

**נשים לב כי x = 0 איננה נקודת קיצון, מכיוון שלפניה ואחריה הפונקציה עולה.
(כלומר הנגזרת אינה משנה את סימנה בנקודה x = 0).

לכן, נקודות הקיצון הן:
מקסימום: (7,0-)
מינימום: (216- , 6-)

3. סקיצה:

4. תחומי חיוביות ושליליות:
ניתן לראות לפי הסקיצה:
חיוביות: x > 0
שליליות:  

ד.  g(x) = f(x) + c , כאשר c הוא פרמטר.

אנו רוצים שגרף הפונקציה (g(x ישיק לציר x.
כלומר, נרצה ששיעור ה -y של נקודת המינימום יהיה 0.
על מנת שזה יקרה, נצטרך להוסיף ל- (f(x קבוע שערכו 216.
(מכיוון ששיעור ה-y הנוכחי של נקודת המינימום הוא 216-).

לכן c = 216.

חורף 2018 תרגיל 7

חקירת הפונקציה:

א.
1. תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי.
כלומר:

נעביר אגף:
x² ≤ 49
משוואה זו מתקיימת עבור:

לכן זהו תחום ההגדרה.

2. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.
נגזור לפי נגזרת מורכבת של שורש.

המנה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.
**נשים לב כי המכנה מתאפס עבור x = ± 7 , ואז הנגזרת איה מוגדרת. לכן אלו גם נקודות חשודות לקיצון.

נבדוק האם הן נקודות קיצון לפי תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

נפצל ל – 2 תחומים:
1. 
2. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

(הנקודות x = ±7 הן נקודות קצה, ולכן ניתן לקבוע האם הן מינימום או מקסימום לפי התחום שלצידן)

תשובה:
מקסימום: (0,7)
מינימום: (7,0) , (7,0-)

3. סקיצה:

ב. 

1. אסימפטוטות: (מאונכות לציר x)
   אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
   עבור  x = ± 7 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
   כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
   לכן הישרים x = ± 7 הם אסימפטוטות אנכיות של נגזרת הפונקציה.
2. תחומי חיוביות ושליליות:
   מצאנו בסעיף א' את תחומי העלייה והירידה, שהם נובעים מתחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת.
   לכן:
   חיוביות:   
   שליליות:   
3.  סקיצה של הנגזרת:
   
   

ג. חישוב השטח הכלוא:
זהו השטח שנדרש לחשב:

השטח מוגבל מלמעלה ע"י פונקציית הנגזרת, ומהצדדים ע"י הישרים x = -6, x = 0.
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

אין צורך לפתור את האינטגרל, מכיוון שאנו יודעים שפונקציה זו היא הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן אנו יודעים מהי הפונקציה הקדומה.
לכן מתקיים:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 3.39  יחידות ריבועיות.

חורף 2017 שאלה 7 שאלון 481

סעיף א
לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ערך הנגזרת הוא 0, ועל פי הגרף זה קורה כאשר X=3.

חלק שני – מציאת פרמטר.
(f(x)=√(-x²+bx+16
נגזור את הפונקציה

הנגזרת מתאפסת כאשר מונה הנגזרת מתאפס וכאשר X=3.
2x – b = 0-
נציב x = 3 במונה הנגזרת ונקבל:
b – 2*3 = 0-
b – 6 = 0-
b = -6-
b = 6
תשובה: b=6.

סעיף ב
(f(x)=√(-x²+6x+16
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי או שווה ל 0.
x²+6x+16≥0 / *-1-
x²-6x-16≤0
זה אי שוויון ריבועי שנפתור בעזרת פירוק הטרינום.
x-8)(x+2)≤0)
זו פרבולה מחייכת עם שני נקודות חיתוך כאשר X=8, X=-2
האי שוויון מתקיים כאשר

וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה.

נקודות קיצון
נקודת הקיצון הפנימית מתקבלת כאשר X=3.
f(3)=√(-3 ²+6*3+16)=√25=5
(3,5) – קיצון פנימי מקסימום.
קיצון בקצוות יכול להתקבל כאשר:
x=-2
f(-2)=√(-(-2) ²+6*-2+16)=√0
(-2,0) – מינימום בקצה.
x=8
f(8)=√(-8²+6*8+16)=√0
(8,0) – מינימום בקצה.

סעיף ד.
שרטוט גרף

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.