פונקציית שורש

תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x ≥ 0 .

נק’ חיתוך עם הצירים:
  ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

f(x) = √x
x = 0√
x = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא : (0 ,0).
ציר y: 

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.

f(x) = √x
f(0) = √0 = 0

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נגזור את הפונקציה:

f(x) = √x

מציאת נקודות קיצון:
נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.

השבר יהיה שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס.

המונה הוא מספר (1) ולכן לא יהיה שווה ל-0 עבור אף ערך של x.

תחומי עלייה וירידה:

על מנת לזהות את סימן הנגזרת נסתכל בנפרד על המונה והמכנה.

המונה

המונה הוא המספר 1, לכן חיובי תמיד.

המכנה

2√x ≥ 0

מכוון שהפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0 הביטוי x√ חיובי תמיד.

לכן המכנה חיובי תמיד.

מסקנה

מונה ומכנה הנגזרת חיוביים בכל תחום ההגדרה ולכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.

והפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

לכו נקודת מינימום מוחלט יהיה בנקודה הקטנה ביותר של x.

נקודה זו היא x = 0.

נמצא את ערך ה y של הקיצון המוחלט

f(0) = √0 = 0

(0,0) היא נקודת מינימום קצה.

מקסימום קצה

מכוון שהפונקציה מוגדרת עבור x ≥ 0 ומכוון שהיא עולה בכל תחום הגדרתה אין לפונקציה נקודת מקסימום קצה.

 אסימפטוטות :

אסימפטוטות אנכיות :

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

אין נקודת אי הגדרה במקרה זה אלא נקודת קצה שהיא נקודת מינימום כפי שמצאנו.

לכן אין אסימפטוטות אנכיות לפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:

כאשר x שואף לאינסוף

אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).

במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף  – הפונקציה x√ שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.

לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

דרך נימוק שנייה (לתלמידי אוניברסיטה):

f(x) = √x

כאשר x שואף למינוס אינסוף

x לא יכול לשאוף למינוס אינסוף מכיוון שתחום ההגדרה הוא x ≥ 0.

לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקיות כאשר x שואף למינוס אינסוף.

חישוב אינטגרל:
חשבו את השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה, בין הישר x = 1 לישר x = 4.

פתרון

השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

סקיצה של הפונקציה:

נשרטט את הפונקציה על פי הנתונים הבאים:

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת עבור x ≥ 0.

נקודות חיתוך עם הצירים

(0 ,0)

נקודות קיצון

(0,0) היא נקודת מינימום קצה

תחומי עלייה וירידה

הפונקציה עולה עבור x > 0.

אסימפטוטות

אין

ולכן שרטוט הפונקציה נראה כך:

1.תחום הגדרה :

תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≥ 0.

2.נקודת חיתוך עם ציר y :

תתקבל כאשר נציב x = 0 בפונקציה.

(מכיוון שעל כל ציר ה- y מתקיים x = 0)

f(0) = 4*√0 + 2 = 2

לכן נקודת החיתוך עם ציר ה – y היא (0,2).

3.נקודות קיצון:

כדי לבדוק האם קיימות נקודות קיצון – נגזור את הפונקציה, ונבדוק אם קיימים ערכי x עבורם מתקיים f ‘ (x) = 0.
הנגזרת של x√ היא   .
במקרה שלנו x√ כפול בקבוע ( המספר ‘4’), ולכן נכפול את הנגזרת ב – 4.
הנגזרת של מספר קבוע ( במקרה שלנו ‘2’) היא 0.
לכן:

אין אף ערך x עבורו f ‘ (x) = 0 .
(אם x = 0 אז המכנה שווה ל – 0, והנגזרת אינה מוגדרת.
אם x ≠ 0 , אז הנגזרת שונה מ – 0)
לכן אין נקודות קיצון.

4.האם הישר y = 3 חותך את הפונקציה? כן.

הסבר:

נבדוק האם יש ערך x המקיים f(x) = 3.
אם קיים כזה , הישר חותך את הפונקציה. אם לא קיים , אז הישר אינו חותך את הפונקציה.
(כדי שהישר והפונקציה יחתכו , חייבת להיות לשניהם נקודה משותפת).

f(x) = 4√x + 2 = 3
נעביר אגפים:

נחלק ב – 4:
x = 1/4√
נעלה בריבוע את 2 האגפים:
1/16 = x = 1²/4²
לכן קיים ערך x המקיים f(x) = 3.
לכן הישר y = 3 חותך את הפונקציה, ונקודת החיתוך היא (3, 1/16).

5.האם הפונקציה חותכת את ציר ה x?לא.
הסבר:

ציר ה – x הוא בעצם הישר y = 0.
לכן נבדוק, באותו אופן , האם הישר y = 0 חותך את הפונקציה.
f(x) = 4√x + 2 = 0
נעביר אגפים:

4 הוא מספר חיובי, ופונקציית השורש היא גם בהכרח חיובית.
כפולה של 2 מספרים חיוביים היא בהכרח חיובית.
לכן קיבלנו סתירה במשוואה.
לכן אין ערך x המקיים f(x) = 0.
לכן פונקציה אינה חותכת את ציר ה-x.

6.שרטטו את גרף הפונקציה.
ראינו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

על מנת לשרטט את הגרף, נרצה לבדוק האם הפונקציה יורדת או עולה.

על מנת לבדוק זאת, נציב נקודה כלשהי (בתחום ההגדרה) בנגזרת, ונראה האם מתקבל ערך חיובי או שלילי.

נציב x = 1  בנגזרת :

f ‘ (1)  =  2 / √1  =  2  >  0.

לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  =>  הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
כמו כן , מכיוון שמדובר בפונקציית שורש, הגרף יהיה מעוקל  ולא קו ישר.

גרף הפונקציה:

1.תחום הגדרה:

תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≥ 0.

2. נקודת חיתוך עם ציר y :

תתקבל כאשר נציב x = 0 בפונקציה.
(מכיוון שעל כל ציר ה- y מתקיים x = 0)
f (0) = 5*0 – 5*√0 + 2
f(0) = 2
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (2,0).

3. נקודות קיצון:

כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון – נגזור את הפונקציה, ונבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים f ‘ (x) = 0.
הנגזרת של מספר כפול x (במקרה שלנו – 5x) היא המספר עצמו (כלומר – 5).
הנגזרת של x√ היא   .
במקרה שלנו x√ כפול בקבוע ( המספר ‘5-‘), ולכן נכפול את הנגזרת ב – 5-.
הנגזרת של מספר קבוע ( במקרה שלנו ‘2’) היא 0.
לכן:

נשווה ל -0 :

נעביר אגף:

נחלק ב – 5:

נכפול את המשוואה במכנה:

נחלק ב – 2:
x = 1/2√
נעלה בריבוע את 2 האגפים:
x = 1²/2² = 1/4
לכן x = 1/4 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת טבלה – תחומי עליה וירידה של הפונקציה.

נפצל לתחומים לפי הנקודה החשודה:
1.  
2.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
(למשל – בתחום מספר 1 נציב x = 1/9 , בתחום מספר 2 נציב x = 1).
(הנקודות שמציבים נבחרות שרירותית, כדאי שיהיו מספרים נוחים להצבה – וחובה שיהיו בתחום הדרוש).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן יש לפונקציה נקודת קיצון אחת : נקודות מינימום – (3/4 , 1/4).

4. תחומי עליה וירידה:

נסיק מהטבלה הנ”ל:
עלייה : 
ירידה :

5. האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה x? לא.

הסבר: ראינו כי יש לפונקציה נקודת מינימום, שערך ה – y שלה הוא 3/4 (גדול מ -0).
הפונקציה יורדת לפני הנקודה , ועולה לאחר הנקודה.
לכן, לכל x יתקיים כי ערך הפונקציה גדול מ – 3/4  , ולכן גדול מ – 0.
לכן עבור אף x לא יתקיים f(x) = 0 , כלומר , גרף הפונקציה אינו חותך את ציר x.

6. גרף הפונקציה:

מצאנו את נקודת החיתוך עם ציר y , את נקודת הקיצון של הפונקציה , ואת תחומי העליה והירידה.
לכן נוכל לשרטט את גרף הפונקציה.

תחום הגדרה:

הביטוי שמתחת לשורש מוכרח להיות אי-שלילי (כלומר חיובי או אפס)

2 – x ≥ 0

-x ≥ -2

נחלק את שני אגפי האי שוויון ב 1- ונהפוך את סימן האי שוויון בהתאם:

x ≤ 2

לכן הפונקציה מוגדרת לכל x ≤ 2 .

נק’ חיתוך עם הצירים:
  ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

(f(x) = x√(2 – x

x√(2 – x) = 0
למשוואה זו יש שני פתרונות, שיתקבלו מהמשוואות:

x = 0 , √(2-x) = 0

נפתור את המשוואה הימנית:

√(2-x) = 0

√(2-x) = √0

2 – x = 0

x = 2

פתרונות המשוואה הם:

x = 2, x = 0

לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (0,0).
ציר y: 

על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.

(f(x) = x√(2-x

f(0) = 0 * √(2-0) =  0

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נגזור את הפונקציה:

(f(x) = x√(2 – x

נגזור את הפונקציה בעזרת הנוסחה של נגזרת מכפלה.
(f ‘ (x) = h ‘ (x) * g (x) + g ‘ (x) * h (x

נשווה את הנגזרת ל 0 ונכפיל במכנה המשותף:

אנו יכולים להכפיל במכנה כי המכנה שונה מ 0 בתחום ההגדרה של הנגזרת.

כמו כן נזכור כי:

√x * √x = x

ולכן גם:

נקבל מהמשוואה:

2(2 – x) – x = 0

4 – 2x – x = 0

4 – 3x = 0

4/3= x

לכן נקודה חשודה לקיצון היא x = 4/3.

הנגזרת אינה מוגדרת עבור x = 2, ולכן הנקודה שייכת לתחום ההגדרה.

נבדוק האם הנקודה היא קיצון ואת סוגה בטבלה:

לכן :
נק’ מקסימום: (1.08 , 4/3)
נק’ מינימום(קצה): (0 , 2)

עלייה: x < 4/3

ירידה: 

(f(x) = x√(2 – x

א. אנכיות 

הפונקציה מוגדרת לכל x ≤ 2 .

לפונקציה אין נקודה מדויקת שבה היא לא מוגדרת, כמו כן בסמוך ל 2 הפונקציה לא שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף, לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות 

(f(x) = x√(2 – x

אסימפטוטות אופקיות יתקבלו אם כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף הפונקציה שואפת לערך מסוים.

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה אינה מוגדרת.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הביטוי בתוך השורש שואף לאינסוף והביטוי שמחוץ לשורש שואף למינוס אינסוף.

לכן המכפלה שלהם שואפת למינוס אינסוף ואין אסימפטוטה אופקית.

נשרטט את הגרף על פי הנתונים הבאים:

הפונקציה מוגדרת לכל x ≤ 2 .

נקודות החיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (0,0).

נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

נק’ מקסימום: (1.08 , 4/3)
נק’ מינימום(קצה): (0 , 2)

עלייה: x < 4/3

ירידה: 

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

1. תחום הגדרה:
הביטוי שבתוך השורש מוכרח להיות אי-שלילי (כלומר חיובי או אפס)  .

מתנאי זה נקבל: x ≥ 0

בנוסף, מכיוון שהפונקציה היא שבר, היא תהיה מוגדרת עבור ערכי x שאינם מאפסים את המכנה.

נבדוק מתי המכנה מתאפס:

√x + 2x = 0

בתחום x ≥ 0 אליו הגענו כתחום הגדרה, ניתן לראות כי:

עבור x = 0 המכנה מתאפס, ולכן הפונקציה אינה מוגדרת.

עבור ערכי x חיוביים, המכנה הוא חיבור של שני מספרים חיוביים ולכן גם התוצאה חיובית- לא מתאפס.

לכן הפונקציה מוגדרת לכל x > 0 .

2. נק’ חיתוך עם הצירים:

ציר x :

נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

השבר שווה ל-0 רק אם המונה שווה ל 0:

3x – 2 = 0

3x = 2

לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא: 

ציר y: 

נקודת חיתוך עם ציר ה-y תתקבל כאשר x = 0.

נזכיר את תחום ההגדרה: x > 0

x = 0 נמצאת מחוץ לתחום ההגדרה ולכן אין לפונקציה חיתוך עם ציר ה y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ‘ (x) = 0.

(נגזרת של מנה בשילוב שורש)

נכפיל את הסוגריים ונקבל:

נכנס איברים וגם נצמצם x√ באיבר השלישי:

נחסר את האיבר השני מהאיבר הראשון:
(נשים לב שלשניהם יש x√ במונה).

לפי תחום ההגדרה שמצאנו בסעיף הראשון: x > 0

בתחום זה מתקיים:

√x > 0

לכן, נשים לב כי  המונה הוא חיבור של מספרים חיוביים – ולכן המונה חיובי.

כדי שהנגזרת תתאפס, המונה צריך להתאפס.

המונה חיובי ולא מתאפס ולכן הנגזרת לא מתאפסת ולכן לפונקציה אין נקודת קיצון.

תחומי עלייה וירידה

קודם לכן מצאנו שמונה הנגזרת חיובי בכל תחום ההגדרה.

מכנה הנגזרת נמצא בחזקת 2 ולכן גם הוא חיובי בכל תחום ההגדרה.

חיובי חלקי חיובי נותן חיובי והנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.

לכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

דרך פתרון נוספת

הפונקציה רציפה בתחום x > 0 וגם אין לה נקודות קיצון.

לכן הפונקציה לא משתנה מעלייה לירידה או להיפך.

נמצא את סימן הנגזרת בנקודה כלשהיא וזה יהיה סימן הנגזרת בכל התחום.

נציב x = 1:

f ‘ (1)  > 0
לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  => הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

לכן :
נק’ קיצון: אין.
עלייה: x > 0.
ירידה: אין.

4. אסימפטוטות :

א. אנכיות : 

אסימפטוטה אנכית תתקבל אם בסמוך לנקודת האי הגדרה הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

נקודת אי ההגדרה של הפונקציה היא x = 0 (בנקודה זו המכנה מתאפס והפונקציה לא מוגדרת).

כאשר x שואף ל – 0 , המכנה שואף ל-0 ואילו המונה שואף למספר קבוע (2-).

לכן כאשר x שואף ל – 0 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

דרך כתיבה נוספת

ניתן לכתוב זאת גם כך:

לכן אסימפטוטה אנכית של הפונקציה היא x = 0.

ב. אופקיות :

אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).

עבור x שואף לאינסוף:

בחישוב הגבול נתייחס למקדמים של החזקה הגבוהה ביותר של x במונה ובמכנה.

עבור המונה: המספר 2 זניח ביחס ל-3x

עבור המכנה: השורש זניח ביחס ל- 2x

לכן, כאשר x שואף לאינסוף  ניתן להתייחס לפונקציה בתור שבר של החזקה הגדולה במונה חלקי החזקה הגדולה במכנה.

כלומר, עבור x שואף לאינסוף:

לכן כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל – 1.5

לכן אסימפטוטה אופקית של הפונקציה היא y = 1.5.

נשרטט את הגרף על פי הנתונים הבאים:

הפונקציה מוגדרת לכל x > 0 .

נקודת חיתוך עם ציר x היא:

אין נקודות חיתוך עם ציר y.

נק’ קיצון: אין.
עלייה: x > 0.
ירידה: אין.

אסימפטוטה אנכית: x = 0

אסימפטוטה אופקית: y = 1.5

ולכן סקיצה של הפונקציה תראה כך:

סעיף א

b = 0.5

סעיף ב

2.5 ≥ x

סעיף ג

(0 , √5)

סעיף ד

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

סעיף ה

סעיף ו

X_max = – 10

נתונה הפונקציה:

b פרמטר חיובי.

נתון שהפונקציה חותכת את ציר האיקס בנקודה (0, 10-).

נציב ונמצא את b:

f (-10) = 0

√25 = 10b

5 = 10b

b = 0.5

אז הפונקציה היא:

תחום ההגדרה שלה לפי השורש:

5 – 2x ≥ 0

5 ≥ 2x

2.5 ≥ x

נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

f (0) = √5

(0 , √5)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

f ‘ (x) = 0

4 = 5 – 2x

2x = 1

x = 0.5

מצאנו נקודה חשודה לקיצון פנימי אחת, ובנוסף יהיה לנו קיצון בקצה תחום ההגדרה.

f ‘ (0) = 0.052 = (+)

f ‘ (1) = -0.077 = (-)

f (0.5) = 2.25

f (2.5) = 1.25

מצאנו את נקודות הקיצון:

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

נסכם את מה שמצאנו על הפונקציה:

תחום הגדרה-

2.5 ≥ x

חיתוך צירים-

(-10, 0)

(0 , √5)

קיצון-

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

נשרטט את גרף הפונקציה:

נתונה פונקציה g(x) המקיימת:

g ‘ (x) = – f (x)

נמצא את שיעור האיקס של נקודת הקיצון הפנימית של g(x) וסוגה.

נקודת הקיצון:

שיעור האיקס של נקודת הקיצון הפנימית של g(x) הוא שיעור נקודת החיתוך של f (x) עם ציר האיקס.

g ‘ (x) = – f (x) = 0

f (x) = 0

x = -10

בנקודה זו הפונקציה f (x) מחליפה סימן משלילית לחיובית.

לכן הפונקציה ( f (x) – ) ההפוכה תחליף סימן מחיובית לשלילית.

הנגזרת g ‘ (x) מחליפה בקיצון מחיוביות לשליליות, לכן g (x) מחליפה בין עלייה לירידה.

זו נקודת מקסימום.

X_max = – 10

סעיף א

x ≤ 5

סעיף ב

(0 , 0) (0 , 5)

סעיף ג

(0 , 0) min

(2√min (4 , 16

(0 , 5) min

סעיף ד

סעיף ה

c = 2.63

-2x + 10 ≥ 0

-2x ≥  -10 / : -2

x ≤ 5

נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0:

על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 0 , x = 4 , x = 5

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-1) = -25

f ‘ (2) = 20

f ‘ (4.5) = -11.25

נציב x = 4 בפונקציה המקורית בעזרת המחשבון על מנת למצוא את ערך ה-y:

2√f (4) = 16

(0 , 0) min

(2√min (4 , 16

(0 , 5) min

על מנת שגרף הפונקציה g (x) ישיק לישר y = 20 הוא צריך להשיק לאחת מנקודות הקיצון משום ששיפוע הישר הוא 0.

ה y של נקודת הקיצון היחידי שרלוונטי הוא:

22.63 = 2√y = 16

מכיוון ש c הוא פרמטר חיובי.

לכן c = 2.63 על מנת שהערך ה-y ירד ל-20.

סעיף א

b = 9

סעיף ב

x ≥ -4.5

סעיף ג 1

min ( – 2.5 , – 2.25)

max ( – 4.5 , – 1.25)

נציב את הנקודה במשוואת הפונקציה:

(8,0)

בתחום הגדרה הביטוי שבתוך השורש צריך להיות גדול או שווה ל 0:

 2x + 9 ≥ 0

2x ≥ -9

x ≥ -4.5

תחום הגדרה של המכנה שהכפלנו בו:
0 ≠ 2x + 9

2x ≠ -9

x ≠ -4.5

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-4) = -1

f ‘ (-2) = 0.236

נציב את ערכי ה-x בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:

min ( – 2.5 , – 2.25)

max ( – 4.5 , – 1.25)

נקודות הקיצון הן:

min ( – 2.5 , – 2.25)

max ( – 4.5 , – 1.25)

נציב x = 0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

(0 , – 2)

 min ( – 2.5 , – 2.25) max ( – 4.5 , – 1.25)  (0 , 2)

גרף 4 הוא גרף הנגזרת.

נקודת המינימום של הפונקציה היא נקודת החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-x והיא נמצאת בתחום x < 0 ולכן ניתן לפסול את גרפים 1 ו-3.

כאשר הפונקציה עולה הנגזרת חיובית ולהיפך, הפונקציה יורדת ואז עולה ולכן הנגזרת שלילית ואז חיובית ולכן גרף 4 יתאים.