אינטגרל של פונקציית שורש

דף זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.

לתלמידי 4 יחידות יש דף נפרד: אינטגרל שורש על פי נוסחה.

דף זה נועד ללמד אותכם מהיסוד אינטגרל של פונקציית שורש.

החלקים של הדף הם:

1. הסבר וידאו לשתי השיטות לחישוב אינטגרל.
2. הסבר כתוב לשתי השיטות לחישוב אינטגרל.
   א.שיטה ראשונה: הפיכת השורש לפולינום.
   ב.שיטה שנייה: בעזרת נוסחאות.
3. 8 דוגמאות מהירות לפתרון תרגילים.
4. 12 תרגילים מכל הסוגים.
5. אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית.

 

1.סרטון הסבר

בוידאו הבא נסביר את שתי השיטות לחישוב אינטגרל שורש.

2. שתי שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציית שורש

יש שתי שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציית שורש.

בשיטה הראשונה נהפוך את האינטגרל לפולינום.
היתרונות של שיטה זו הם:

1. השיטה נשענת על ידע קודם בחישוב אינטגרל של פולינום. לא נצטרך לזכור דברים חדשים.
2. מתאימה להרבה מאוד סוגים של אינטגרלים, כולל כאשר השורש נמצא במונה (דבר שלא ניתן לחישוב בעזרת נוסחאות).

בשיטה השנייה נחשב על פי נוסחאות:

1. היתרון: מתבססת על נוסחאות, ואם תזכרו את הנוסחאות תוכלו לפתור אינטגרלים בקלות (הנוסחאות לא נמצאות בדף הבחינה).
2. החיסרון: ניתן להשתמש בה רק עבור שורש הנמצא במכנה.

א.שיטה ראשונה: הפיכת השורש לחזקה

בשיטה הראשונה אנו משתמשים בכך שפעולת השורש היא בעצם העלאה בחזקת  1/2.
x = x^0.5√
ולכן כל שורש אנו יכולים לכתוב כפולינום.

ולחשב אינטגרל לפולינום אנו כבר יודעים.

דוגמה 1

 

דוגמה 2 (הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל).
בתרגיל השני אנו נוציא מספר מחוץ לאינטגרל:

 

דוגמה 3 (השורש במכנה)

בשלב שלמעלה הוצאנו את המספר מחוץ לאינטגרל.

בשלב השני עלינו לכתוב את השורש כחזקה, נעשה זאת גם בעזרת חוק החזקה:

נפתור כך:

תזכורת - נוסחה לאינטגרל של פולינום: (הפרמטר n הוא לא בהכרח מספר שלם)

נוסחה נוספת  הנדרשת רק ברמת 5 יחידות לאינטגרל לפונקציית פולינום מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא ישר:
(ניתן ללמוד כאן אינטגרל של פונקציה מורכבת)

 

שלבים בביצוע האינטגרל:
1. אם יש במונה מספר איברים , מפרקים את המונה לאיברים בודדים.
2. נמיר את השורש לחזקת 1/2. (או מינוס חצי)
3. נפתור את האינטגרל בדומה לפולינום.

ב.שיטה שנייה: בעזרת נוסחאות

• את שיטה זו ניתן ללמוד ולתרגל גם בדף נפרד המלמד רק אותה: אינטגרל שורש בעזרת נוסחאות.

נוסחת הנגזרת של שורש היא:

מנוסחה זו ניתן להגיע לנוסחת האינטגרל הבאה:

ולפתור כך אינטגרל:

נוסחה שנייה היא למקרה שהביטוי שבתוך השורש כולל מספר:

למשל:

באתר תוכלו ללמוד גם על:

• אינטגרל מסוים וחישוב שטח פונקציית שורש - זה הצעד הבא, הגבר הבא שאתם צריכים לדעת לאחר שאתם מסיימים כאן.
• אינטגרלים מסוגים נוספים.
• חקירת פונקציית שורש.

3.דוגמאות מהירות

בחלק זה 8 דוגמאות מהירות לאינטגרל של שורש.
אלו דוגמאות ללא הסברים.
דוגמאות 1-4 יפתרו בעזרת הנוסחה.
דוגמאות 5-8 יפתרו בעזרת הפיכה לפולינום.

4.תרגילים

בחלק זה 12 תרגילים. התרגילים מיועדים למי שמעוניין ללמוד אינטגרל על ידי הפיכה לפולינום ולשלב למידה של אינטגרל בעזרת נוסחאות.

• מי שרוצה ללמוד רק אינטגרל שורש בעזרת נוסחאות יעשה זאת כאן.

התרגילים שנפתור הם:

א.פונקציה פשוטה עם שורש במונה

ב.פונקציה מורכבת עם שורש במונה

ג.פונקציה פשוטה עם שורש במכנה

את התרגילים הללו נפתור בשתי שיטות.

ד.פונקציה מורכבת עם שורש במונה

נפתור בשתי שיטות.

הערות:
בכל התרגילים כאשר יש אינטגרל של מספר כפול פונקציה אני מוציא את המספר מחוץ לאינטגרל בצורה הזו:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫
אני עושה זאת על מנת להיצמד לנוסחאות ולתת פתרון מובן.

אבל אין חובה מתמטית לעשות את זה. אם אתם יודעים / רגילים לפתור ללא הוצאת הקבוע k ניתן לעשות זאת.

כמו כן על מנת לקצר את השורות העמוסות לא כתבתי תמיד dx.

א.אינטגרלים של פונקציות שורש פשוטות במונה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

ב.אינטגרלים של פונקציות שורש מורכבות במונה

את האינטגרלים הללו מי שמבין טוב נגזרת של פונקציה מורכבת יכול לעשות בעזרת ההיגיון.
מי שלא צריך להשתמש בנוסחה (כאשר a = 1):

ניתן גם להשתמש בנוסחה הזו של אינטגרל של פונקציה מורכבת:

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

ג.אינטגרלים עם שורש במכנה

את האינטגרלים הבאים ניתן לפתור בשתי דרכים.

1. על ידי הפיכת השורש לפולינום.
2. בעזרת שתי הנוסחאות:

תרגיל 8

תרגיל 9

ד.תרגילים עם פונקציית שורש מורכבת במכנה

תרגיל 10 

תרגיל 11

תרגיל 12

עוד באתר:

• אינטגרל מסוים וחישוב שטחים לפונקציית שורש.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

5.אינטגרל של פונקציית שורש כפול הנגזרת הפנימית

חלק זה מיועד לתלמידי 5 יחידות. הוא נלמד בפירוט בדפים הבאים:

• אינטגרל של פונקציה מורכבת.
• אינטגרל של פונקציה על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית.

לפעמים נצטרך לבצע אינטגרל לפונקציה המוכפלת בנגזרת הפנימית שלה.
במקרה זה כלל האינטגרל אומר:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x∫

תרגיל 1

פתרון
נשים לב שבמונה יש את הנגזרת הפנימית שיש במכנה.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה והפתרון הוא:

תרגיל 2

פתרון
נשים לב שבמונה יש לנו את הנגזרת הפנימית של השורש.
לכן הפתרון הוא:

תרגיל 3

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
כרגע יש לנו במונה sin x, כלומר זו לא בדיוק הנגזרת הפנימית.
על מנת שיהיה לנו 2sinx נוציא את המספר 1/2 מחוץ לאינטגרל.
ונקבל:

עכשיו המונה הוא בדיוק הנגזרת הפנימית וניתן להשתמש בנוסחה.