תחום הגדרה פונקציית שורש

תחום ההגדרה הוא הפתרון של האי שוויון:
x – 2 ≥ 0
x ≥ 2

תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x ≥ 2.

סוג 2: שילוב של שני פונקציות שורש

(f (x) = √(x – 4) – √(5 – x

עלינו למצוא את תחום ההגדרה של כל אחת מפונקציות השורש ואז לפתור מערכת וגם.
תחום ההגדרה צריך לקיים את התנאים שנקבל גם יחד.

x - 4 ≥ 0
x ≥ 4

עבור השורש השני

אם נשרטט את תחום ההגדרה באמצעות חצים על ציר המספרים כך זה יראה:

ניתן לראות שתחום החיתוך של שתי האי שוויונות הוא:

וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה כולה.

סוג 3: משוואה ריבועית בתוך השורש
*הערה: מציאת תחום הגדרה מסוג זה דורשת פתרון אי שוויון ריבועי, חזרה על הנושא תוכלו לעשות בקישור.

(f (x) = √(x² -7x +10

עלינו לפתור את האי שוויון:

x² -7x +10 ≥ 0

זה אי שוויון ריבועי שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.

x² -7x +10 ≥ 0
x² - 2x - 5x + 10 ≥ 0
x (x - 2) - 5 (x - 2) ≥ 0
x - 2 ) (x - 5) ≥ 0)

מצד שמאל יש לנו משוואת פרבולה שהיא פרבולת מינימום ונקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 2, x = 5
לכן סקיצה של הפרבולה תראה כך:

אנו מחפשים את התחום החיובי או השווה ל 0 של הפרבולה.
על פי הגרף ניתן לראות שתחום זה הוא:
x ≤ 2 או   x ≥ 5
וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה.

לסיכום, שלבי פתרון אי שוויון ריבועי הם:

1. מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
2. קביעה האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
3. שרטוט סקיצה של הפרבולה.
4. פתרון האי שוויון על פי הגרף.

סוג 4: שילוב של פונקציית שורש ופונקציה רציונלית
כאשר יש מכנה לפונקציה עלינו למצוא את התחום שבו השורש חיובי או שווה ל 0 וגם את התחום שבו המכנה שונה מ 0.

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

x + 4 > 0
x > -4

אם לא היה מכנה תחום ההגדרה היה הפתרון של האי שוויון הזה:
x + 4 ≥ 0

דוגמה נוספת

קודם כל נבדוק מתי הביטוי שבתוך השורש חיובי או שווה ל 0.
x + 4 ≥ 0
x  ≥ -4

בשלב השני נבדוק מתי המכנה מתאפס
x + 4) -3 = 0)√
x + 4) = 3)√
x + 4 = 9
x = 5

נבדוק על ידי הצבה במשוואה שהגענו אל התשובה הנכונה.

הפתרון x = 5 נכון ועבורו המכנה שווה ל 0.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

x  ≥ -4,  x ≠ 5

סוג 5: רציונלי שבו השורש הוא על המונה והמכנה ביחד
*הערה: סוג זה מופיע בעיקר עבור תלמידי 5 יחידות ועל מנת לפתור אותו עליכם לדעת לפתור אי שוויונות עם שברים.

על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת צריכים להתקיים יחד שני תנאים:

1. המכנה שונה מ 0.
2. השבר כולו שנמצא בתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0.

התנאי הראשון: מכנה שונה מ 0
3x + 6 ≠ 0
x ≠ -2

התנאי השני: ביטוי בתוך השורש חיובי או שווה ל 0

את האי שוויון הזה פותרים על ידי הכפלה במכנה בריבוע

(3x + 6)²

(מכפילים בריבוע על מנת להיות בטוחים שמכפילים במספר חיובי ואין צורך לשנות את הכיוון של האי שוויון).

x - 1) (3x + 6) ≥ 0)
זה אי שוויון ריבועי שכבר למדנו לפתור (בסוג 3) הפתרונות שלו הם:
x ≥ 1  או   x ≤ -2

הפונקציה צריכה לקיים את שני התנאים, לכן התשובה הסופית היא:
x ≥ 1  או   x < -2

6.תרגילים נוספים

התרגילים בחלק זה הם:

1. f(x) = √x
2. (f (x) = √(-x +4
3. (4- f(x) = √(-x.
4. (f (x) = √(x² - 9
5. (f (x) = √(2x² + 4
6. (f (x) = √(x² - 10x + 16
7. (f (x) = √(-x² + 3x + 10
8. 
9. (f (x) = √(x² + 8x + 7) - √(x + 4
10. 

פתרונות

תרגיל 1
מצאו את תחום ההגדרה עבור הפונקציה f(x) = √x.

הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי. לכן
x ≥ 0
הפונקציה מוגדרת כאשר x ≥ 0

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x + 4 ≥ 0-
x ≤ 4
זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

עלינו לפתור את האי שוויון
x – 4 ≥ 0-
הפתרון הוא:
x ≤ – 4
תשובה: תחום ההגדרה הוא x ≤ – 4.

תחום ההגדרה הוא:
x² – 9 ≥ 0.
x²  ≥ 9
הפתרון של שוויון כזה הוא:
x ≥ 3  או  x ≤ -3
וזה תחום ההגדרה.

דרך אחרת לפתרון האי שוויון
x² – 9 ≥ 0
היא להתייחס אליו כאי שוויון ריבועי.
כלומר לשרטט סקיצה של פרבולה וכו…
הדרך השנייה ארוכה יותר.

הביטוי בתוך השורש מחולק לשניים.
2x² שהוא חיובי תמיד.
4 שהוא חיובי תמיד.
לכן
2x² + 4 חיובי תמיד והפונקציה מוגדרת לכל x.

תחום ההגדרה הוא:

x² – 10x + 16 ≥ 0.

נפתור את אי השוויון בעזרת פירוק טרינום.

x² – 10x + 16 ≥ 0
x – 2x – 8x + 16 ≥ 0
x (x – 2) – 8(x – 2) ≥ 0
x – 2) (x – 8) ≥ 0)

זו פרבולה עם נקודת מינימום ("מחייכת") שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 2,  x = 8
סקיצה של הפרבולה נראית כך:

אנחנו מעוניינים בחלק החיובי של הפרבולה ועל פי הגרף הוא נמצא בתחומים:
x ≥ 8  או  x ≤ 2.
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרה הוא פתרון האי שוויון של:
x² + 3x + 10 ≥ 0-.

אם נפתור את המשוואה הריבועית
x² + 3x + 10 = 0-
בעזרת נוסחת השורשים נקבל:
x₁ = -2, x₂ = 5

זאת פרבולה עם נקודת מקסימום (בוכה).
לכן סקיצה של הפרבולה נראית כך:

אנו צריכים את התחום שבו האי שיווין חיובי וזה על פי הגרף כאשר:

זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

נשים לב כי השורש נמצא במכנה, ולכן אינו יכול להתאפס.
לכן תחום ההגדרה ניתן על ידי האי שוויון
x² – 6x + 9 > 0.
חלק מאתנו מזהים שאי שוויון זה שקול לאי שוויון
x-3)² > 0)

מי שלא מזהה צריך לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת משוואה ריבועית או נוסחת השורשים.

האי שוויון
x-3)² > 0)
מתקיים עבור כל x, מלבד x= 3.
כלומר, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≠ 3.

ניתן להתייחס אל התרגיל כאילו יש לנו שתי פונקציות שאנו נמצא את תחום ההגדרה של כל אחת מיהן בנפרד ואז נעשה "וגם" לתוצאות שנקבל.

במקרה שלנו , h(x) = x² + 8x + 7.
g(x) = x + 4
לכן נדרוש : h(x) ≥ 0  וגם  g(x) ≥ 0.

נפתור את אי השוויון g(x) ≥ 0:
x + 4 ≥ 0
x ≥ – 4

כעת נתייחס לאי השוויון של  h(x) ≥ 0 .
זוהי פרבולה "מחייכת" (המקדם של x² חיובי).
שעל ידי פירוק לגורמים ניתן לכתוב אותה כך:
x+1)*(x+7) = 0)

הפתרונות הם:

x₁ = -1, x₂ = -7

לכן התחום בו (f(x חיובית ( או שווה ל – 0) הוא :

x ≥ -1  או  x ≤ -7.

כעת נמצא את החיתוך בין התחומים שמצאנו:
1. x ≥ – 4
2. x ≥ -1  או  x ≤ -7.

החיתוך הוא : x ≥ -1.
זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרה של הפונקציה      הוא:  f(x) ≥ 0.
במקרה שלנו

f(x) = -2x² + 6x – 4.
g(x) = x² + 2x – 15
לכן נדרוש :

f(x) ≥ 0  וגם  g(x) ≥ 0.

נפתור את אי השוויון:

x² + 2x – 15 ≥ 0   וגם  2x² + 6x – 4 ≥ 0-

ראשית נתייחס לאי השוויון של  (g(x.
זוהי פרבולה "מחייכת" (המקדם של x² חיובי).
לכן היא תהיה חיובית מחוץ לנקודות החיתוך שלה עם ציר x.
כלומר , אם נקודות החיתוך הן : a , b , כאשר b > a ,

אז היא תהיה חיובית בתחומים :

1. מינוס אינסוף עד a.
2. b עד אינסוף.

נמצא את נקודות החיתוך:
x² + 2x – 15 = 0

פירוק לגורמים:

x+5)*(x-3) = 0)
x₁ = -5,  x₂ = 3

לכן התחום בו (g(x חיובית ( או שווה ל – 0) הוא :
x ≥ 3  או  x ≤ -5.

כעת נתייחס לאי השוויון של (f(x:
זוהי פרבולה "עצובה" (המקדם של x² שלילי).
לכן היא תהיה חיובית בין נקודות החיתוך שלה עם ציר x.
כלומר , אם נקודות החיתוך הן : a , b , כאשר b > a ,
אז היא תהיה חיובית בתחום:  a < x < b

נמצא את נקודות החיתוך:

2x² + 6x – 4 = 0-
נכפול ב 1/2- :
x² – 3x + 2 = 0

פירוק לגורמים:
x-1)*(x-2) = 0)
x₁ = 1, x₂ = 2

לכן התחום בו (f(x חיובית ( או שווה ל – 0) הוא :

כעת נמצא את החיתוך בין התחומים שמצאנו:
1. x ≥ 3  או  x ≤ -5.
2. 

אין x המקיים את שני התחומים הנ"ל.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא אף x.