אסימפטוטה אנכית

בדף זה נלמד למצוא אסימפטוטה אנכית.

איך מוצאים אסימפטוטה אנכית בפונקציה רציונלית?
אם יש ערך x שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה אז אותו ערך x הוא אסימפטוטה אנכית.

החלקים של דף זה הם:

  1. הסבר וידאו.
  2. איך מוצאים אסימפטוטה אנכית.
  3. חמש שאלות ותשובות על אסימפטוטה אנכית.
  4. תרגילים.
  5. תרגילים עם פרמטרים.

לפני שניגש לאסימפטוטה אנכית נלמד:
מתי שבר שווה לאינסוף או מינוס אינסוף?

תשובה:
כאשר במונה השבר יש מספר כלשהוא.
ובמכנה השבר יש מספר השואף ל 0.
אז השבר כולו שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

למשל השבר הבא הוא מספר גדול מאוד:

וכאשר המכנה "מתקרב יותר" ל 0 אז השבר כולו שואף לאינסוף.

האם אינסוף או מינוס אינסוף?

סימן השבר נקבע על ידי הסימנים של המונה והמכנה.

כאשר שניהם חיוביים או שניהם שליליים השבר חיובי ושואף לאינסוף.

כאשר אחד חיובי והשני שלילי סימן השבר שלילי והשבר שואף למונב אינסוף.

הערה
בתרגילים כאן בדף המטרה היא למצוא את האסימפטוטה אנכית.
בגרפים האתר יוסיף גם את גרף הפונקציה.
אתם לא צריכים לשרטט את גרף הפונקציה כאשר אתם פותרים שאלות כאן בדף.

1.הסבר וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.איך למצוא אסימפטוטה אנכית

בקצרה נאמר שאם תמצאו ערך x שמאפס את המכנה של הפונקציה ולא מאפס את המונה של הפונקציה ערך x זה הוא אסימפטוטה אנכית.

בחלק זה נלמד:

  1. מה הם התנאים לאסימפטוטה אנכית.
  2. מה היא משוואת האסימפטוטה האנכית.
  3. מה התכונה של אסימפטוטה אנכית.

1.התנאים לאסימפטוטה אנכית
אסימפטוטה אנכית מתקבלת כאשר מתקיימים שני תנאים:

  1. לפונקציה f(x) יש ערך x שעבורו הפונקציה לא מוגדרת.
    ובמקרה של פונקציה רציונלית זה אומר ערך x שעבורו המכנה שווה 0.
  2. בערכי x קרובים ל- x שאינו מוגדר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
    דבר זה מתקיים אם המונה לא מתאפס בנקודת אי ההגדרה.

את שני התנאים הללו ביחד ניתן לבטא על ידי המשפט:
יש ערך x שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה.

אם נמצא ערך x שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה אז יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית.

2.משוואת האסימפטוטה האנכית
אם שני התנאים מתקיימים והפונקציה לא מוגדרת עבור הנקודה x = k.
אז הישר x = k הוא אסימפטוטה אנכית.

3.התכונה של האסימפטוטה האנכית
כאשר ערכי ה x של הפונקציה קרובים לנקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת גרף הפונקציה כמעט ונוגע בגרף האסימפטוטה האנכית.

כלומר אסימפטוטה אנכית כמעט ומשיקה לפונקציה.

תכונה זו תהיה ברורה יותר לאחר הדוגמאות.

דוגמה 1

1.נחפש ערך שבו הפונקציה לא מוגדרת: והוא x = 8.

2.עבור x = 8 המונה לא מתאפס.
לכן סמוך ל x = 8 הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.
לכן x = 8 הוא משוואת האסימפטוטה האנכית.

לדוגמה:

הערה
בתרגילים כאן בדף המטרה היא למצוא את האסימפטוטה אנכית.
בגרפים האתר יוסיף גם את גרף הפונקציה.
אתם לא צריכים לשרטט את גרף הפונקציה כאשר אתם פותרים שאלות כאן בדף.

כך זה נראה בגרף:

באדום גרף הפונקציה, בשחור האסימפטוטה
באדום גרף הפונקציה, בשחור האסימפטוטה

דוגמה 2

x = 0 מאפס את המכנה.
x = 0 לא מאפס את המונה (ערך המונה תמיד 1).

לכן כאשר x קרוב מאוד למספר 0, למשל x = 0.00000001 ערך הפונקציה שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

לכן x = 0 זו אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
(האסימפטוטה בשחור).

הערה
בתרגילים כאן בדף המטרה היא למצוא את האסימפטוטה אנכית.
בגרפים האתר יוסיף גם את גרף הפונקציה.
אתם לא צריכים לשרטט את גרף הפונקציה כאשר אתם פותרים שאלות כאן בדף.

דוגמה 3
מהם האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה:

המספרים x = 2,  x = -6 מאפסים את המכנה.
עבור x = 2 המונה שווה 3.
עבור x = -6 ערך המונה הוא 5-.

לכן סמוך לנקודות האי הגדרה הפונקציה שואפת לאנסוף או מינוס אינסוף.

לכן x = 2,  x = -6 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.

הערה
בתרגילים כאן בדף המטרה היא למצוא את האסימפטוטה אנכית.
בגרפים האתר יוסיף גם את גרף הפונקציה.
אתם לא צריכים לשרטט את גרף הפונקציה כאשר אתם פותרים שאלות כאן בדף.

 

3.חמש שאלות ותשובות על אסימפטוטה אנכית

נענה על השאלות הבאות:

  1. מה היא אסימפטוטה אנכית?
  2. כיצד יודעים אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף?
  3. כמה אסימפטוטת יכולות להיות לפונקציה אחת?
  4. מה זה "חור בפונקציה"?
  5. האם בכול פעם שפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף יש לה אסימפטוטה אנכית?

1.מה היא אסימפטוטה אנכית?

אסימפטוטה אנכית יכולה להתקבל עבור ערך x שעבורו הפונקציה לא מוגדרת (נניח שהפונקציה לא מוגדרת עבור x = k).

אם עבור x = k הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף אז הישר x = k  הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטה אנכית היא תמיד משוואה מהצורה x = k, כלומר אסימפטוטה אנכית מקבילה לציר ה y.

התכונה של האסימפטוטה האנכית היא שכאשר ערכי ה x של הפונקציה מתקרבים מאוד ל x = k הפונקציה מתקרבת מאוד לישר x = k.
כך שהאסימפטוטה האנכית כמעט ונוגעת (משיקה) לפונקציה.

2.כיצד יודעים אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף?
על מנת לשרטט את גרף הפונקציה בסביבת האסימפטוטה עלינו לדעת אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
נדע זאת על ידי הצבה של מספרים משני צדדי האסימפטוטה.
למשל עבור הפונקציה

הישר x = 4 הוא אסימפטוטה.

על מנת לדעת אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף בסביבת האסימפטוטה נציב בפונקציה מספרים משני צדדי האסימפטוטה.

דוגמאות להצבה יכולות להיות:
x = 5, x = 3

מסקנה: מצד ימין של האסימפטוטה x = 4 הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף.

נבדוק מה קורה משמאל לאסימפטוטה על ידי הצבה x = 3.

מסקנה: מצד שמאל של האסימפטוטה x = 4 האסימפטוטה שואפת למינוס אינסוף.

ובאמת בגרף הפונקציה ניתן לראות את הערכים השונים של הפונקציה משני צדדי האסימפטוטה.

ניתן לראות שכאשר לפונקציה יש ערכים הגדולים קצת מ 4 היא שואפת לפלוס אינסוף וכאשר הערכים קצת קטנים מ 4 היא שואפת למינוס אינסוף
ניתן לראות שכאשר לפונקציה יש ערכים הגדולים קצת מ 4 היא שואפת לפלוס אינסוף וכאשר הערכים קצת קטנים מ 4 היא שואפת למינוס אינסוף

3.כמה אסימפטוטת יכולות להיות לפונקציה אחת?
אין הגבלה למספר האסימפטוטות והוא יכול לנוע בין 0 לאינסוף.

ברוב השאלות שנפגוש נמצא 0-2 אסימפטוטות.

4.מה זה "חור בפונקציה"?
למדנו שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית כאשר עבור ערך x המכנה מתאפס אבל המונה לא מתאפס.

אבל מה קורה אם עבור ערך x המונה וגם המכנה מתאפסים?

במקרה כזה הפונקציה לא שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ולכן זו לא אסימפטוטה אנכית.
ומכוון שהמכנה מתאפס הפונקציה גם אינה מוגדרת בנקודה זו.

דוגמה
מהם האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה:

המספרים x = 1,  x = -2 מאפסים את המכנה.

המספר 2- מאפס גם את המונה.

לכן רק הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

5.האם בכול פעם שפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף יש לה אסימפטוטה אנכית?
לא.
על מנת שתתקבל אסימפטוטה אנכית הפונקציה צריכה לשאוף לאינסוף / מינוס אינסוף כאשר ערך הפונקציה שואף למספר מסוים.

לעומת זאת כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף אבל לא יודעים להגיד עבור איזה ערך x זה קורה אין לפונקציה אסימפטוטה אנכית.

למשל הפונקציה f(x) = x³ זו פונקציה השואפת לאינסוף כאשר ל x יש ערכים גדולים.

אבל האם ניתן להגיד עבור איזה x הפונקציה שואפת לאינסוף? לא ניתן ולכן אין לה אסימפטוטה.

הפונקציה x בשלישית, שואפת לאינסוף אבל אין לה אסימפטוטה
הפונקציה x בשלישית, שואפת לאינסוף אבל אין לה אסימפטוטה

4.תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים.
תרגילים 4-7 הם תרגילים עם פרמטרים.

בכול התרגילים אתם צריכים למצוא את האסימפטוטות האנכיות ולהגיד האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף משני צדדי האסימפטוטה.

תרגיל 1

פתרון

  1. הנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת היא x = 2.
  2. ב x = 2 המונה לא מתאפס.
  3. לכן x = 2 זו אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

נבדוק בשני צדדי הישר x = 2 האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
כאשר x = 2.1

לכן מימין ל x= 2 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

כאשר x = 1.9

לכן משמאל ל x = 2 ערך הפונקציה שואף לאינסוף.

כך יראה גרף הפונקציה:

שרטוט גרף הפונקציה והאסימפטוטה

תרגיל 2

פתרון

נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
x² – 1 = 0
x² = 1
x = 1,  x = -1

x = 1 מאפס גם את את המונה.
לכן מספרים השואפים ל x = 1 לא גורמים לערכי הפונקציה לשאוף לאינסוף.

x = -1 היא האסימפטוטה של הפונקציה.
נבדוק את סימן הפונקציה כאשר x = -0.9

לכן מימין ל x = -1 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

נבדוק כאשר x = -1.1

לכן משמאל ל x = 1 הפונקציה שואפת לאינסוף.

גרף הפונקציה נראה כך:

תרגיל 3

פתרון
על מנת למצוא מתי המכנה שווה ל 0 עלינו לפתור משוואה ריבועית:
x² – 8x + 15 = 0
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.

נראה כאן טרינום.
x² – 8x + 15 = 0
x -3x – 5x + 15 = 0
x(x – 3) -5 (x – 3) = 0
x – 5) (x – 3) = 0)

המספרים שמאפסים את המכנה הם:
x = 3,  x = 5
שני המספרים הללו לא מאפסים את המונה.
לכן x = 3,  x = 5 הם אסימפטוטות אנכיות.

עכשיו עלינו לבדוק האם הפונקציה חיובית או שלילית בשני צדדי האסימפטוטה.
נשים לב שהמונה בחזקת 2 ולכן תמיד חיובי (למעט x = -3).
לכן לפונקציה כולה יש את הסימן של המכנה.
נבדוק את סימן המכנה בלבד.

(x² – 8x + 15 = (x – 5) (x -3
עבור x = 5.1 המכנה חיובי, לכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף.
עבור x = 4.9 וגם x = 3.1 הביטוי x – 5 הוא שלילי וכל המכנה שלילי. לכן באזורים הללו הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
עבור x = 2.9 המכנה חיובי ולכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף באזור זה.

גרף הפונקציה נראה ככה :

5.תרגילים עם פרמטרים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il

מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.

34 מחשבות על “אסימפטוטה אנכית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

  1. כשנותנים לי פונ מנה עם סעיפי הבנה.
    לדוגמה f(x)+|f(x)|=y.
    איך אני אמורה לחשב את האסימפטוטות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את אמורה להתייחס אל חיבור הפונקציות כאל פונקציה אחת, ולמצוא את האסימפטוטות על פי הכללים שנלמדו.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אם יש פונקציית מנה עם מספר חופשי
    האם המספר החופשי הוא אסימפטוטה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר המכנה הוא מספר , זו לא פונקציה רציונלית אלא פונקציית פולינום.
      רק כאשר המכנה כולל משתנה הפונקציה היא רציונלית.
      כמו כן במקרה שנכתב בשאלה הפונקציה מוגדרת לכל x ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אין x במכנה יש רק מספרים וניתן לחשב את הערך שלהם.
      במקרה כזה ברוב המוחלט (או כל הבעיות* של הבעיות בפועל המכנה לא יתאפס.

  3. המשיק לגרף הפונקציה ( פונקציית מנה שיש במכנה x בריבוע + ax – 4) בנקודה x = 1 מאונך לציר ה- y.
    מצא את a ואת תחום ההגדרה של הפונקציה. אפשר בבקשה הסבר של הסעיף הזה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה אומר שב x= 1 שיפוע המשיק והפונקציה הוא 0.
      תגזור את הפונקציה ותציב בה x = 1 והמשוואה שתתקבל צריכה להיות שווה ל 0.

  4. שאלה אחרונה, הישר x = -1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. ( פונקציית מנה עם פרמטר a).
    א. מצא את a ואת תחום ההגדרה של הפונקציה. איך אני מוצא את a?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם x = -1 אסימפטוטה זה אומר שהמכנה שווה 0 ב x = -1.
      תציב את ערך זה במכנה ותקבל משוואה.

  5. שלום אי אני יודע מתי האסימפטוטה האנכית היא מעל הגרף או מתחת לגרף והאם שזה קשור לנקודת מינימום\מקסימום שבאמצע?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני לא מכיר התייחסות למעל או מתחת הגרף באסימפטוטה אנכית.
      ומכוון שהאסימפטוטה מקבלת באי הגדרה אין לפונקמיה קיצון.
      לדעתי אתה מתבלבל אם ציר ההסימטריה בפרבולה שזה דבר אחר.

  6. פשוט אין מילים על האתר הפצצה הזה!!!!
    אם תרצה שאמליץ עליך באיזה מקום תכתוב איפה,ואמליץ בשמחה!

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה רבה אפורה :) שמח שהאתר עוזר והמלצות עוזרות לי מאוד.
      כל מקום בו אלו שמקבלים את ההודעה לומדים מתמטיקה (תלמידים) או מכירים לומדי מתמטיקה (כמו הורים) יכל ללעזור.
      למשל שיתוך קישור בקבוצת ווטסאפ של הכיתה יכל לעזור.

  7. היי, רציתי לשאול, הייכן אתה מציב את המספרים השואפים ל-0 כשחילקת אותם חיובי חלקי שלילי וכדומה.
    אגב, אתר מצויין, עזר לי מאוד!
    תודה מראש:)

            1. לומדים מתמטיקה

              אני לא מתערב במבחנים שאני לא ראיתי.
              אם יש הוראות למבחן אז צריך לפעול לפיהן.
              התשובה שלי הייתה לגבי:
              איך מוצאים אסימפטוטה אנכית?
              1.מציבים את ערך ה x שבו הפונקציה לא מוגדרת בפונקציה ורואים לאן הפונקציה שואפת.
              2. וניתן גם הדרך שהצעת: מציבים ערך סמוך לנקודת האי הגדרה במקום ה x ורואים האם הפונקציה שואפת לאינסוף.

  8. היי, קודם כל תודה רבה על האתר! הדבר היחיד שמחזיק אותי בחמש יחל כרגע.
    רציתי לשאול אם תוכל לרשום לי באיזה מקרים:
    1. אין לפונצקיה אסימפטוטות אנכיות
    2. יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית אחת
    3. יש לפונקציה שתי אסימפטוטות אנכיות

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אסימפטוטה אנכית מתקבלת כאשר עבור ערך x ידוע, למשל x = 2 הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף.
      1.אין אסימפטוטה – כאשר זה לא קורה אף פעם (וזה כולל מקרים שבהם הפונקציה מוגדרת בכל תחומה).
      2.אסימפטוטה יחידה – כאשר זה קורה פעם אחת. שתי אסימפטוטות כאשר זה קורה פעמיים.
      בפונקציה רציונלית אסימפטוטה יחידה קוראת כאשר יש נקודת אי הגדרה אחת. אבל זה לא תמיד כך ולא הייתי ממליץ להבין בדרך הזו, דרך ההבנה הרצוי היא מה שרשום למעלה.
      בהצלחה.

  9. שלום, וואי איזה אתר!!
    אלופים!!
    כמה עזרתם לי!!!
    ושאלה קטנה, החומר הזה, הוא של 4 יחידות או 5?
    תודה ולילה טוב!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה :)
      הייתי אומר שעד תרגיל 4 זה 4 יחידות ותרגילים 5-7 הם כבר 5.
      תלמידי 5 נדרשים גם לתרגילים קשים יותר.

  10. היי, דבר ראשון רציתי להגיד שאתם עושים אחלה של עבודה, הכל מממש מובן.
    אולם יש לי שאלה, בין אם זה אסיפטוטה אנכית או אופקית, איך אני יודע איך הם יראו בגרף? ודבר שני איך אני יודע אם בגרף היא קטועה או רציפה?

    תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אתה צריך לחקור את הפונקציה על מנת לדעת איך היא נראית. לבדוק לאלו ערכים הפונקציה שואפת.
      המושג אסימפטוטה קטועה לא מוכר לי, אתה צריך להבהיר למה הכוונה.

  11. היי קודם כל תודה על האתר.
    רציתי לשאול אם בחקירת פונקציות כשאני רואה פונקצית מנה שיש במכנה X או x בשניה זה בטוח אסימפטוטה או שאני יעשה כל פעם נקודות חיתוך וכו'
    ואגב בקשר לתגובה האחרונה אותנו למדו למצוא אסימפטוטה בדרך שונה:לגזור את הפונקציה לעשות טבלה כמו של מציאת נקודת קיצון 1-\0\1 ומציבים בנגזרת וכך אם התוצאה חיובית בשתיהם זה יהיה ברביע השני והרביעי(אם הרביעים הולכים נגד כיוון השעון אני לא זוכרת)אם שניהם שלילים זה ברביע הראשון והשלישי ואם אחד שלילי אחד חיובי אז בודקים עפ"י ערכי x האים כשה x =1 זה חיובי\שלילי וכך משרטטים הגרף

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם רואים x בריבוע במכנה זה לא בטוח אסימפטוטה.
      למשל במקרה שבו המככנה הוא איקס בריבוע ועוד 1 המכנה הוא חיובי תמיד והפונקציה מוגדרת תמיד ללא אסומפטוטה.
      כמו כן יתכן מצב של חור המוסבר כאן (הוא לא מופיע בהרבה שאלות).
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/asymptote-hole/

      בנוגע לדרך הפתרון לכי אם הדרך שנוחה לך. אני לא הבנתי לגמרי את הדרך.
      שימי לב שפונקציה יכולה להיות עולה ולשאוף לאינסוף או למינוס אינסוף. אין מצב יחיד במקרה זה.

  12. אהלן תודה רבה על האתר, מסביר מעולה ונח לשימוש.
    לגבי נושא האסימפתוטטות הבנתי את ההיגיון שעומד מאחורי האסימפתוטה האנכית והאופקית , אך איני מצליח להבין את זה גרפית וכשאני מסתכל על גרף הפונקציה הרציונלית אני מתבלבל בקלות רבה ולא מבין כיצד האסימפתוטה מתבטאת בגרף, מה שאני בעצם שואל זה: לאחר שבדקתי את האסימפתוטה בין אם היא אנכית או אופקית כיצד אני אמור לצייר אותה גרפית , מהם השלבים שעליי לעשות? ומה ההיגיון שמתואר בגרף? אשמח מאוד לתשובה,
    תודה ערב נעים שיהיה .

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אתה אמור לשרטט קו ישר.
      השאלה לא ברורה לי ואיני יודע מה לענות.
      בדף זה ובדף של אסימפטוטה אופקית יש דוגמאות לאיך נראית פונקציה עם אסימפטוטה ואיך נראית האסימפטוטה של הפונקציה.
      אם תבחר שרטוט ותגיד מה לא מובן בשרטוט האסימפטוטה שבו אולי אוכל לענות.

      1. היי רציתי לשאול אם אסימפטוטה מופיעה רק בפונקצית מנה כאילו אם אני רואה פונקציה שהיא לא מנה זה בטוח לא אסימפטוטה?