אסימפטוטה אנכית

לדף זה שני חלקים:

  1. 6 שאלות ותשובות על אסימפטוטה אנכית.
  2. תרגילים.

 6 שאלות ותשובות על אסימפטוטה אנכית

נענה על השאלות הבאות:

  1. מה היא אסימפטוטה אנכית?
  2. כיצד מוצאים אסימפטוטה אנכית?
  3. כיצד יודעים אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף?
  4. כמה אסימפטוטת יכולות להיות לפונקציה אחת?
  5. מה זה "חור בפונקציה"?
  6. האם בכול פעם שפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף יש לה אסימפטוטה אנכית?

1.מה היא אסימפטוטה אנכית?
אסימפטוטה היא ישר המשיק לפונקציה כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (∞) או מינוס אינסוף.
אסימפטוטה אנכית היא אסימפטוטה המאונכת לציר ה x.
האסימפטוטה היא משוואה מהצורה x=k כאשר k הוא מספר.

2.כיצד מוצאים אסימפטוטה אנכית?
אסימפטוטה אנכית מתקבלת כאשר יש מספר המאפס את המכנה ואינו מאפס את המונה.

הסיבה לכך היא שכאשר המכנה שואף ל 0 והמונה הוא מספר ערך הפונקציה כולה שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

למשל:

המספר 0 מאפס את המכנה ולא מאפס את המונה.
לכן כאשר x קרוב מאוד למספר 0, למשל x = 0.00000001 ערך הפונקציה שואף לאינסוף.
לכן x = 0 זו אסימפטוטה של הפונקציה.

הגרף של הפונקציה והסימפטוטה שלו

דוגמה 2
מהם האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה:

המספרים x = 1,  x = -2 מאפסים את המכנה.
המספר 2- מאפס גם את המונה.
לכן רק הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

3.כיצד יודעים אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף?
על מנת לשרטט את גרף הפונקציה בסביבת האסימפטוטה עלינו לדעת אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
נדע זאת על ידי הצבה של מספרים משני צדדי האסימפטוטה.
למשל עבור הפונקציה

הישר x= 4 הוא אסימפטוטה.
על מנת לדעת אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף בסביבת האסימפטוטה נציב בפונקציה מספרים משני צדדי האסימפטוטה.
דוגמאות להצבה יכולות להיות:
x=4.1, x = 3.9

מסקנה: מצד ימין של האסימפטוטה x = 4 הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף.

נבדוק מה קורה משמאל לאסימפטוטה על ידי הצבה x = 3.9.

מסקנה: מצד שמאל של האסימפטוטה x = 4 האסימפטוטה שואפת למינוס אינסוף.

ובאמת בגרף הפונקציה ניתן לראות את הערכים השונים של הפונקציה משני צדדי האסימפטוטה.

ניתן לראות שכאשר לפונקציה יש ערכים הגדולים קצת מ 4 היא שואפת לפלוס אינסוף וכאשר הערכים קצת קטנים מ 4 היא שואפת למינוס אינסוף
ניתן לראות שכאשר לפונקציה יש ערכים הגדולים קצת מ 4 היא שואפת לפלוס אינסוף וכאשר הערכים קצת קטנים מ 4 היא שואפת למינוס אינסוף

4.כמה אסימפטוטת יכולות להיות לפונקציה אחת?
אין הגבלה למספר האסימפטוטות והוא יכול לנוע בין 0 לאינסוף.
ברוב השאלות שנפגוש נמצא 0-2 אסימפטוטות.

5.מה זה "חור בפונקציה"?
למדנו שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית כאשר עבור ערך x המכנה מתאפס אבל המונה לא מתאפס.
אבל מה קורה אם עבור ערך x המונה וגם המכנה מתאפסים?
במקרה כזה הפונקציה לא שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ולכן זו לא אסימפטוטה אנכית.
ומכוון שהמכנה מתאפס הפונקציה גם אינה מוגדרת בנקודה זו.
נקודה זו נקראת "חור" והיא מוסברת בהרחבה בדף חור בפונקציה.

6.האם בכול פעם שפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף יש לה אסימפטוטה אנכית?
לא.
על מנת שתתקבל אסימפטוטה אנכית הפונקציה צריכה לשאוף לאינסוף / מינוס אינסוף כאשר ערך הפונקציה שואף למספר מסוים.

לעומת זאת כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף אבל לא יודעים להגיד עבור איזה ערך x זה קורה אין לפונקציה אסימפטוטה אנכית.

למשל הפונקציה f(x) = x³ זו פונקציה השואפת מתי שהוא לאינסוף.
אבל האם ניתן להגיד עבור איזה x הפונקציה שואפת לאינסוף? לא ניתן ולכן אין לה אסימפטוטה.

2.תרגילים

בכול התרגילים אתם צריכים למצוא את האסימפטוטות האנכיות ולהגיד האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף משני צדדי האסימפטוטה.

תרגיל 1

פתרון

  1. הנקודה שבה היא אינה מוגדרת היא x=2.
  2. כאשר x שואף ל 2 ערך המכנה שואף ל 0 ואילו ערך המונה שואף ל 3-.
  3. לכן ערך הפונקציה כולה שואף לאינסוף (ולמינוס אינסוף).
  4. לכן x=2 זו אסימפטוטה של הפונקציה.

נבדוק בשני צדדי הישר x = 2 האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
כאשר x = 2.1

לכן מימין ל x= 2 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

כאשר x = 1.9

לכן משמאל ל x = 2 ערך הפונקציה שואף לאינסוף.

כך יראה גרף הפונקציה:

שרטוט גרף הפונקציה והאסימפטוטה

תרגיל 2

פתרון

נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
x² – 1 = 0
x² = 1
x = 1,  x = -1

x = 1 מאפס גם את את המונה.
לכן מספרים השואפים ל x = 1 לא גורמים לערכי הפונקציה לשאוף לאינסוף.

x = -1 היא האסימפטוטה של הפונקציה.
נבדוק את סימן הפונקציה כאשר x = -0.9

לכן מימין ל x = -1 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

נבדוק כאשר x = -1.1

לכן משמאל ל x = 1 הפונקציה שואפת לאינסוף.

גרף הפונקציה נראה כך:

תרגיל 3

פתרון
על מנת למצוא מתי המכנה שווה ל 0 עלינו לפתור משוואה ריבועית:
x² – 8x + 15 = 0
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.

נראה כאן טרינום.
x² – 8x + 15 = 0
x -3x – 5x + 15 = 0
x(x – 3) -5 (x – 3) = 0
x – 5) (x – 3) = 0)

המספרים שמאפסים את המכנה הם:
x = 3,  x = 5
שני המספרים הללו לא מאפסים את המונה.
לכן x = 3,  x = 5 הם אסימפטוטות.

עכשיו עלינו לבדוק האם הפונקציה חיובית או שלילית בשני צדדי האסימפטוטה.
נשים לב שהמונה בחזקת 2 ולכן תמיד חיובי (למעט x = -3).
לכן לפונקציה כולה יש את הסימן של המכנה.
נבדוק את סימן המכנה בלבד.

(x² – 8x + 15 = (x – 5) (x -3
עבור x = 5.1 המכנה חיובי, לכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף.
עבור x = 4.9 וגם x = 3.1 הביטוי x – 5 הוא שלילי וכל המכנה שלילי. לכן באזורים הללו הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
עבור x = 2.9 המכנה חיובי ולכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף באזור זה.

תרגילים עם פרמטרים

תרגיל 4
עבור הפונקציה

ידוע כי x =7 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
מצאו את a.

פתרון
אם x = 7 היא אסימפטוטה אנכית אז זה אומר שכאשר נציב x= 7  במשוואת הפונקציה נאפס את המכנה אבל לא נאפס את המונה.
כלומר, המכנה שווה ל 0 כאשר x = 7.

נציב x= 7 במכנה ונשווה ל 0.

תשובה: עבור a = 7  המכנה מתאפס ב x = 7  והמונה לא מתאפס.
לכן הפונקציה שואפת לפלוס או מינוס אינסוף במצב זה.
לכן a= 7.

תרגיל 5
עבור הפונקציה

הישרים x = 4,  x = -4 הם אסימפטוטות אנכיות.
מצאו את a.

פתרון
אם x = 4,  x = -4 הם אסימפטוטות אנכיות זה אומר שכאשר נציב את המספרים הללו במשוואת הפונקציה אנו נאפס את המכנה אבל לא נאפס את המונה.

נציב x = 4 במשוואת הפונקציה ונבנה משוואה המאפסת את המכנה.

כאשר נציב x = -4 נקבל את אותה תוצאה:

a = 16 לא מאפס את המונה. לכן זו התשובה.

תרגיל 6
עבור הפונקציה

ידוע כי x = 7 היא אסימפטוטה אנכית.
מצאו את a.

פתרון
אם x = 7  היא אסימפטוטה אנכית אז זה אומר שכאשר נציב x= 7 במשוואת הפונקציה נאפס את המכנה אבל לא את המונה.

נציב x= 7 ונבנה משוואה המאפסת את המכנה.
a² – 7 = 0
a² = 7
a = √7,   a = – √7

שני הפתרונות הללו לא מאפסים את המונה כאשר x = 7.
לכן a = √7,  או  a = – √7  הם פתרונות התרגיל.

תרגיל 7
עבור הפונקציה

הישרים x= 3,  x = 4 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.
מצאו את b,c.
כתבו את משוואת הפונקציה ללא פרמטרים.

פתרון
כאשר נציב x = 3 במכנה המכנה צריך להתאפס.
כאשר נציב x = 4 במכנה המכנה צריך להתאפס.
בצורה הזו נקבל שתי משוואות עם שני נעלמים.

עבור x = 3 נקבל במכנה:
3b + c + 9 = 0

עבור x = 4 נקבל במכנה:
4b + c + 16 = 0

נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2 ונקבל:
b + 7 = 0
b = -7

על מנת למצוא את c נציב b = -7 במשוואה 1.
c + 3*-7 + 9 = 0
c -21 + 9 = 0
c – 12 = 0
c = 12

b = -7,  c =12  מאפסים את המכנה אבל לא מאפסים את המונה, לכן זו התשובה.

הפונקציה ללא פרמטרים תראה כך:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “אסימפטוטה אנכית”

  1. אהלן תודה רבה על האתר, מסביר מעולה ונח לשימוש.
    לגבי נושא האסימפתוטטות הבנתי את ההיגיון שעומד מאחורי האסימפתוטה האנכית והאופקית , אך איני מצליח להבין את זה גרפית וכשאני מסתכל על גרף הפונקציה הרציונלית אני מתבלבל בקלות רבה ולא מבין כיצד האסימפתוטה מתבטאת בגרף, מה שאני בעצם שואל זה: לאחר שבדקתי את האסימפתוטה בין אם היא אנכית או אופקית כיצד אני אמור לצייר אותה גרפית , מהם השלבים שעליי לעשות? ומה ההיגיון שמתואר בגרף? אשמח מאוד לתשובה,
    תודה ערב נעים שיהיה .

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אתה אמור לשרטט קו ישר.
      השאלה לא ברורה לי ואיני יודע מה לענות.
      בדף זה ובדף של אסימפטוטה אופקית יש דוגמאות לאיך נראית פונקציה עם אסימפטוטה ואיך נראית האסימפטוטה של הפונקציה.
      אם תבחר שרטוט ותגיד מה לא מובן בשרטוט האסימפטוטה שבו אולי אוכל לענות.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.