אסימפטוטות

אסימפטוטה היא קו ישר המתקרב אל גרף הפונקציה בצורה שהמרחק בניהם שואף ל 0.
זה דומה מאוד למשיק, רק שמשיק ממש עובר דרך נקודה שבה עוברת הפונקציה ואילו האסימפטוטה מתקרבת עד למרחק 0 אך לא נוגעת בפונקציה.

בבית הספר התיכון נלמדים שני סוגים של אסימפטוטות:

  1. אסימפטוטה אנכית.
  2. אסימפטוטה אופקית.

כמו כן נלמדים אסימפטוטות על פי סוג הפונקציה:

אני ממליץ לכם ללמוד במדויק על הנושא שאותו אתם מעוניינים ללמוד מאחד הקישורים שלמעלה.
בהמשך הדף לימוד בסיסי של אסימפטוטה אנכית ואופקית. אבל לדעתי עדיף ללמוד את הנושאים הללו מהקישורים שלמעלה.

אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה אנכית היא אסימפטוטה המאונכת לציר ה x.
אסימפטוטה זו היא ישר מהצורה  x = k, כאשר k הוא מספר כלשהו.

הגרף האדום הוא גרף הפונקציה הגרף השחור הוא גרף האסימפטוטה x = -4
הגרף האדום הוא גרף הפונקציה הגרף השחור הוא גרף האסימפטוטה x = -4

האסימפטוטה מתקבלת כאשר יש מספר שעבורו המכנה שואף ל 0 אבל המונה לא שואף ל 0.
זה קורה בנקודות בהם הפונקציה אינה מוגדרת אך לא בכול נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת יש אסימפטוטה.
למשל:

ניתן לראות ש x = 3, x = 7 מאפסים את המכנה אבל לא מאפסים את המונה.
מכך ניתן לקבוע שהפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף כאשר x שואף ל 3 או שואף ל 7.

לכן ניתן לקבוע באופן מיידי ש x = 3, x = 7 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.

דוגמאות נוספות

כאשר x שואף ל 2 המכנה הוא מספר השואף להיות 0.
לעומת זאת ערך המונה הוא 1.
ומה ערך הפונקציה כולה?

ומה המסקנה?
מכוון שהפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף כאשר x שואף ל 2 אז הישר x= 2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

הערה: למה הכוונה x "שואף" ל 2?
הכוונה היא למספר קרוב מאוד ל 2. למשל:
2.0000000000000000000000001
או
1.9999999999999999999999999
כאשר x שואף ל 2 מדובר במספרים הקרובים ל 2 יותר מהמספרים הרשומים כאן, המספרים הללו נועדו להסביר את הסדר גודל.

כך נראה גרף הפונקציה:

גרף הפונקציה

ועוד דבר חשוב שעלינו לשים לב אליו.
בואו נסתכל שוב פעם על הפונקציה:

נשים לב שכאשר x שואף ל 2 והוא מספר גדול מ 2, למשל
x = 2.0000001
אז המונה הוא מספר חיובי והמכנה הוא מספר שלילי.
לכן ערך הפונקציה כולה הוא שלילי.
לכן כאשר x שואף ל 2 וגם x > 2 אז ערך הפונקציה שואף למינוס אינסוף.

לעומת זאת כאשר x שואף ל 2 אבל הוא מספר הקטן מ 2. למשל
1.99999999999
גם המונה וגם המכנה הם איברים חיוביים ולכן ערך הפונקציה הוא גודל חיובי ושואף לאינסוף.

דוגמה נוספת

המכנה של הפונקציה שואף ל 0 כאשר x שואף לערכים של x = 4,  x = -2.
עבור הערכים הללו המונה לא שואף שואף ל 0.
לכן הישרים x = 4,  x = -2 הם אסימפטוטות של הפונקציה.

אם נרצה לקבוע האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף בכול נקודה ונקודה עלינו לבדוק משני הצדדים של הנקודות.
המונה הוא x² ולכן הוא חיובי לכל x.
לכן סימן הפונקציה כסימן המכנה.
נבדוק את המכנה:
כאשר x > 4 המכנה כולו חיובי ולכן הפונקציה חיובית.
כאשר x קטן במעט מ 4, למשל 3.99999 אז המכנה שלילי ולכן הפונקציה שלילית.
כאשר x < -2 המכנה מורכב ממכלה של מספרים שליליים, לכן המכנה חיובי והפונקציה כולה חיובית.
כאשר x גדול במעט מ 2- המכנה כולו שלילי ולכן הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה.
גרף הפונקציה

אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר ערכי הפונקציה שואפים למספר קבוע כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
אסימפטוטה אופקית היא מהצורה y=k (כאשר k הוא מספר כלשהו).

למשל הפונקציה

שואפת לערך 3 כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
לכן y= 3 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

גרף הפונקציה באדום, הגרף y= 3 בשחור
גרף הפונקציה באדום, הגרף y= 3 בשחור

כיצד מוצאים את האסימפטוטה האופקית של פונקציה רציונלית?

על מנת להבין כיצד מוצאים אסימפטוטה אופקית נסתכל על הפונקציה:
f (x)  = xn+1 + xn
כאשר x שואף לאינסוף, האם אחד הביטויים הופך לזניח?

כן.
כאשר x שואף לאינסוף xn זניח לעומת xn+1.
אם למשל ננסה לחלק את הביטויים הללו אחד בשני נקבל:

כלומר כאשר x שואף לאינסוף xn+1 גדול פי אינסוף מ xn.

ניתן להבין זאת גם דרך דוגמה מספרית.
נציב n = 2. ונקבל:
f (x) = x³ + x²
כאשר x שואף לאינסוף:
אינסוף * אינסוף * אינסוף = x³
אינסוף * אינסוף = x²
כלומר x³ גדול פי אינסוף מ x²

לסיכום: כאשר יש לנו ביטוי עם מספר איברים שאנו רוצים לחשב את ערכו כאשר x שואף לאינסוף ניתן להתייחס רק לאיברים הכוללים את x עם החזקה הגבוהה ביותר.

אם נחזור לפונקציה:

אז במונה האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר הוא 3x².
במכנה האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר הוא x².

כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה הוא:

בפונקציה רציונלית ניתן להבחין בין שלושה מצבים:

מצב 1
ערך החזקה הגדולה ביותר שבמונה גדול מערך החזקה הגדולה ביותר שבמכנה.
במקרה הזה לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כי הפונקציה אינה שואפת למספר קבוע כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

למשל הפונקציה

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף הערך המקורב של הפונקציה הוא:
f (x) = x³ / 2x
וערך זה שואף לאינסוף ולא למספר.
כך נראה הגרף.

ניתן לראות שהפונקציה עולה או יורדת בצורה חדה בקצוות שלה.
הפונקציה לא שואפת למספר ולכן אין לה אסימפטוטה.

מצב 2
החזקה הגבוהה ביותר במונה שווה לחזקה הגבוהה ביותר במכנה.
במקרה זה האסימפטוטה היא המספר שהוא המנה של חלוקת החזקות הגבוהות ביותר.

למשל הפונקציה:

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

לכן y = -0.333 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
כך זה נראה בגרף

הישר y = -0.333 הוא הישר השחור הנמצא ליד ציר ה x
הישר y = -0.333 הוא הישר השחור הנמצא ליד ציר ה x

מצב 3
החזקה הגבוהה ביותר במונה קטנה מהחזקה הגבוהה הגבוהה ביותר במכנה.
במקרה זה האסימפטוטה היא הישר y= 0.

למשל הפונקציה

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

לסיכום:

  1. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במונה הפונקציה תשאף לאינסוף או מינוס אינסוף כאשר x שואף לאינסוף. לכן במקרה זה אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
  2. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במכנה האסימפטוטה תהיה y = 0.
  3. כאשר החזקה הגדולה ביותר שווה במונה ובמכנה האסימפטוטה תהיה המנה של שניהם.

דגש: בכול המקומות בהם כתוב "בחזקה הגדולה ביותר" הכוונה היא לחזקה הגדולה ביותר על המשתנה.

תרגילים

נפתור מספר תרגילים בנושא מציאת אסימפטוטות לפונקציה רציונלית.

תרגיל 1

פתרון
אסימפטוטות אנכיות
נקודות חשודות כאסימפטוטות אנכיות כאשר המכנה לא מוגדר.
וזה קורה כאשר x = -2.

בנקודה זו ערך המונה של הפונקציה הוא מספר ולכן x = -2 זו אסימפטוטה אנכית.

האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף
כאשר x קטן במעט מ 2- למשל 2.01-.
המונה חיובי והמכנה שלילי ולכן הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
כאשר x גדול במעט מ 2-, למשל 1.99-.
המכנה והמונה חיוביים ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.

אסימפטוטת אופקיות
האיבר עם החזקה הגדולה ביותר במונה הוא x-.
האיבר עם החזרה הגדולה ביותר במכנה הוא x.
לכן כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף ערך הפונקציה הוא 1-.
לכן y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

1-

כך נראה גרף הפונקציה:

תרגיל 2 (רמת 5 יחידות)

פתרון
אסימפטוטות אנכיות
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר x = -1, x =3.
בשתי הנקודות הללו ערך המונה הוא מספר ולכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.

ניתן לבדוק אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף על ידי הצבה:
x = 3.01,  x = 2.99
x = -0.99,  x = – 1.01
נמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הללו ולפי זה נקבע האם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
x = 3.01,  x = -0.99  הפונקציה חיובית ולכן שואפת לאינסוף.
x = 2.99,  x = -1.01  הפונקציה שלילית ולכן שואפת למינוס אינסוף.

  • שיטת הנחש היא דרך נוספת לקבוע מתי הפונקציה חיובית ומתי שלילית.

אסימפטוטת אופקיות
החזקה הגדולה ביותר במונה היא x.
החזקה הגדולה ביותר במכנה היא x².
לכן הפונקציה שואפת ל 0 כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.
לכן y= 0 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

גרף הפונקציה נראה כך:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

25 מחשבות על “אסימפטוטות”

  1. שלום
    תודה על האתר המעולה
    בקשר לאסימפטוטות אנכיות בפונקציות רציונליות עם שורש
    איך מוצאים אותן??
    ושוב תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליאל
      כמו שמוסבר בפונקציית שורש רגילה או רציונלית רגילה. אם עבור ערך x מסוים הפונקציה שואפת ל +- אינסוף זו אסימפטוטה אנכית.

  2. שלום,
    תודה על האתר וההסברים המפורטים
    רציתי לשאול מתי גרף הפונקציה נוגע באסימפטוטה ומתי לא?
    תודה!

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום
    קודם תודה על האתר כל פעם שיש לי שאלה אני נכנסת
    וההסברים המפורטים עוזרים לי מאוד
    יש לי שאלה
    מתי גרף הפונקציה יכול לגעת באסימפטוטה ומתי לא?
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה.
      גרף הפונקציה לא נוגע באסימפטוטוה אלה הפונקציה שואפת לערך של האסימפטוטה.
      יוצאת דופן היא האסימפטוטה האופקית שיכולה לחתוך את האסימפטוטה בחלק מגרף הפונקציה אבל בקצוות הפונקציה שואפת לערך שלה ולא נוגעת בפועל.

  4. אהלן נראלי שיש לך טעות בשרטוט של הפונקציה, בין האסימפטוטות היא קודם כל שואפת למינוס אינסוף ואז לאינסוף.
    ניתן לראות את זה בפשטות בנקודה של חיתוך הפונקציה בציר הוואי שהוא וואי= -3.
    בקיצור בין האסימפטוטות בדיוק אותו הדבר רק הפוך. תעדכן אם אני צודקת כי אכלתי על זה סרט איזה חצי שעה.
    בכל מקרה אתר מעולה עם הסברים מצויינים ! נהנתי ללמוד !

    1. לומדים מתמטיקה

      את צודקת יש טעות, תודה רבה על התיקון.
      הפונקציה שואפת למינוס אינסוף פעמיים.
      זה כתוב בהסבר נכון, אבל שורטט בצורה לא נכונה.
      תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נראה לי שיש לב בלבול והסינוס במכנה.

      אסימפטוטה אנכית היא כאשר המכנה שווה ל 0.
      לכן צריך להציב את הנקודה במקום x, תקבלי משוואה עם נעלם אחד a, ולפתור משוואה בה הפונקציה שווה ל 0

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      ניתן לחשב אינטגרל ולבדוק אם לפונקציה שקיבלנו יש אסימפטוטה אופקית.
      ניתן לדעת אם יש או אין אסימפטוטה.
      אבל לא ניתן לדעת את הערך המדויק של האסימפטוטה כי לא יודעים את הקבוע C.

  5. שוב שלום. שואל לגבי מצב מס׳ 2 בהסבר על אסימפטוטה אפקית : האם שני הקוים של האסימפטוטה האנכית הם בערכים של : x שווה פלוס ומינוס 1.27 ? תודה ( פשוט הערך לא מצויין בגרף )

  6. שלום שלום
    לגבי הדוגמה הראשונה שמופיעה בנושא אסימפטוטה אפקית ( מיד מתחת לסרטון ) : החזקות במונה ובמכנה זהות, אבל במכנה יש גם איבר חפשי ( 8 ). אז מה יהיה ערך הפונק, עבור x שווה אפס, אילולא היה איבר חפשי ? תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר ערכי הפונקציה שואפים למספר קבוע כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
      x = 0 רלוונטי לאסימפטוטה אנכית ולא לאסימפטוטה אופקית

      1. נכון נכון – איקס שווה אפס לא רלוונטי לאופקית. אבל אני רוצה להבין יותר עומק מה קורה במקרה בו אין איבר חופשי, ולכן מקבלים בדוגמה – אפס לחלק לאפס, תודה גדולה !

        1. לומדים מתמטיקה

          בדוגמה הראשונה שמתחת לסרטון של אסימפטוטה אופקית מקבלים 0 חלקי 8 שווה ל 0.
          כאשר המונה שווה ל 0 זה לא משנה למה שווה המכנה, כל עוד המכנה שונה מ 0.

          1. נכון – אני מבין. אבל אני משנה את השאלה – אני מבטל את האיבר החופשי. אז עכשיו גם המונה 0 וגם המכנה 0 : מה יהיה ערך הפונקציה ? תודה

              1. אה נכון – המורה לימד את זה פעם בשיעור ( נדמה לי שזה נקרא "חור" בפונק' ) – המון המון תודה !

    2. תודה על האתר וההסברים הברורים.

      תוכל להתיחס לענין אסימפטוטות משופעות ומציאת משוואת הישר של ה אסימפטוטה במצב זה?

  7. לא הבנתי מדוע בשאלה האחרונה האסמפטוטה היא תמיד שואפת לפלס אינסוף. הרי אם מציבים למשל 0.99999- יוצא שהפוקציה שואפת למינוס אינסוף( חיובי לחלק בשלילי שווה שלילי) מדוע העובדה שהמונה הוא מספר הופכת את האסימפטוטה לשואפת לאינסוף חיובי בהכרח?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום דוד
      תודה רבה על תיקון הטעות.
      ההסבר על האסימפטוטות האנכיות לא מוסבר היטב ובמקרה שכתבת הוא גם טעות.
      אתה צודק, משני צדדי האסימפטוטה האנכית הפונקציה שואפת פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף.
      ניתן לראות את זה גם בגרף שנמצא למטה.
      תודה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.