חיבור חזקות

חיבור חזקות וחיסור חזקות אלו הן פעולות האפשרית רק במצב אחד:
כאשר גם בסיס החזקה וגם מערך החזקה שווים.

דוגמאות:
x4 + x4 = 2x4
3x7 + 2x7 = 5x7
6x5 – 4x5 = 2x5

2*34 + 34 = 3 * 34
31 * 34 = 35
בתרגיל האחרון שהוא קשה יותר השתמשנו בשלב האחרון בחוק
am * an = am + n

מספר הסברים לאופן שבו נעשה חיבור וחיסור חזקות

56 * 7 = 56 * 3 + 56* 4
אני ממשיך לקבל שאלות למה תרגילים מסוג זה נפתרים כך, וכאשר אני נשאל אני מנסה להסביר את זה ב 3 דרכים:

1.חשבו על הוצאת גורם משותף
חשבו שבביטוי:
56 * 3 + 56* 4
יש גורם משותף שהוא 56.
נוציא גורם משותף ונפתור את התרגיל כך:
56 * 7 = (3 + 4)* 56 = 56 * 3 + 56* 4

2. הציבו משתנה
נגדיר:
t = 56
לאחר הצבה בתרגיל המקורי נקבל:
4t + 3t = 7t
שהם:
56 * 7

3.הציבו מילה אחרת
תחשבו שבמקום התרגיל:
56 * 7 = 56 * 3 + 56* 4

אתם פותרים בעיה מילולית:
"כמה הם 3 תפוחים ועוד 4 תפוחים?"
תשובה: 7 תפוחים.

 

מקרים בהם ניתן להפוך מעריך חזקה שונה למעריך חזקה שווה

במקרים מסוימים נקבל שני ביטויים שמעריך החזקה שלהם לא שווה אך נוכל ליצור מעריכי חזקה שווים.
תרגילים אלו קשים מהרגיל.
למשל:
= 3n + 3n + 1

פתרון
נשתמש בכלל am+n = am * an ונקבל:
= 3n + 3n * 3¹
3n + 3*3n  = 4*3n

דוגמה 2
= 2n+ 1 + 2n + 4

פתרון
= 2n+ 1 + 2n + 1 * 23
2n+ 1 + 2n + 1  * 8 = 9 * 2n + 1

שימו לב: מתי אסור לבצע חיבור או חיסור חזקות

חיבור חזקות וחיסור חזקות אלו הן פעולות האפשרית רק במצב אחד:
כאשר גם בסיס החזקה וגם מערך החזקה שווים.
בכול שאר המקרים אסור לבצע חיבור או חיסור חזקות.
אם זאת כאשר בסיס החזקה שווה ומעריך החזקה אינו שווה ננסה להביא למעריכי חזקה שווים.

דוגמאות למקרים שאסור לעשות חיבור / חיסור חזקות:

x4 + x2 ≠ x6
(בגלל שמעריכי החזקה לא שווים)

= y2 + x2
(בגלל שבסיסי החזקה לא שווים)

3x²y – 2x²y²
(בגלל שהחזקה של ה y היא לא אותה חזקה)

3x²y – 2x²yz
(בגלל שאלו לא ביטויים זהים, ביטוי אחד כולל את z והשני לא).

תרגילים

מצורפים 10 תרגילים.
תרגילים 6-8 יש לשנות את מעריך החזקה על מנת שניתן יהיה לבצע חיבור / חיסור.
בתרגילים 9-10 אנו משנים את בסיס החזקה על מנת לבצע חיבור וחיסור חזקות. תרגילים אלו נדירים יחסית ומומלצים רק לתלמידי 5 יחידות.
שימו לב שחלק מהתרגילים הם "מוקשים" ולא ניתן לבצע בהם חיבור או חיסור חזקות.

  1. 44 + 44* 2
  2. x3 + x2
  3. 6x4 – x4
  4. 4x3y6 – 7x3y6
  5. x3y5 + x3y6
  6. 35 + 33
  7. 2x + 2 – 2x
  8. 2x + 1 – 4*2x -1

תרגיל 1
44 + 44* 2

פתרון
44 * 3 = 44 + 44* 2

תרגיל 2
x3 + x2

פתרון
בתרגיל זה לא ניתן לעשות דבר כי מעריכי החזקה שונים.

תרגיל 3
= 6x4 – x4

פתרון
6x4 – x4  = 5x4

 תרגיל 4
= 4x3y6 – 7x3y6

פתרון
4x3y6 – 7x3y6 = -3x3y6

תרגיל 5
x3y5 + x3y6

פתרון
בתרגיל זה לא ניתן לעשות דבר כי מעריך החזקה של y שונה בשני הביטויים.

בתרגילים 6-8 יש לשנות את מעריך החזקה באחד הביטויים על מנת לבצע חיבור / חיסור

שינוי מעריך החזקה נעשה בעזרת חוק החזקה:
am+n = am * an

תרגיל 6
= 35 + 33

פתרון
נכתוב את התרגיל כך:
=3² * 33 + 33
=9 * 33 + 33
33 * 10

תרגיל 7
= 2x + 2 – 2x

פתרון
על מנת שלשני הביטיים תהיה חזקה שווה, שהיא x. נשתמש בחוק החזקה:
am+n = am * an
2x+2 = 2x * 22

ולכן התרגיל יראה כך:
= 2x + 2 – 2x = 2x * 22 – 2x
2x * 4 – 2x = 3*2x

תרגיל 8
2x + 1 – 4*2x -1

פתרון
בתרגיל זה נביא את מעריכי החזקה לחזקה המשותפת הקטנה ביותר והיא x -1
2x + 1 = 2x-1*22

ולכן פתרון התרגיל יראה כך:
2x + 1 – 4*2x -1 = 2x-1*22 – 4*2x – 1
2x -1 * 4 – 4*2x -1 = 0

תרגילים בהם אנו משנים את בסיס החזקה

התרגילים הללו מומלצים לתלמידי 5 יחידות בלבד.

שימו לב שניתן להשתמש בטכניקה הזו רק כאשר ניתן להביא את שני הבסיסים לאותו בסיס.
דוגמאות בולטות לבסיסים שניתן להביא לאותו בסיס:
2,4,8,16,32
3,9,27
5,25,125
x, 2x, 3x, 4x

תרגיל 9
= 3x)³ – (2x)³)

פתרון
נשתמש בחוק החזקה:
a*b)m = am * bm)
= 3x)³ – (2x)³)
= x³*3³ – x³*2³
27x³ – 8x³ = 19x³

תרגיל 10
= 82 – 28

פתרון
לצורך הפתרון נשתמש בחוק החזקה:
am)n = am * n)
= ²(2³) – 28
= 26 – 28
= 26 – 2² * 26
= 26 – 26 * 4
26 * 3

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “חיבור חזקות”

    1. לומדים מתמטיקה

      כיף לשמוע.
      הייתי רוצה שבשנה זו תחזק את עצמך יותר מתמיד.
      הקורונה זו הזדמנות לשפר את היכולות ביחס לכיתה.
      בהצלחה

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    תודה רבה ! התרגילים שלך ממש עוזרים ! אך רציתי לציין שבתרגיל 2 אפשר לחבר את x^2 + x ^3 על ידי פירוק וחיבור מחדש כלומר להפך את התרגיל ל x^2 + x^2 * x = 2x^3

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה על הרצון לתקן אבל החישוב שעשית לא נכון.
      זה הוצאת הגורם המשותף הנכונה.
      x^2 + x^2 * x = (x^2 + 1) * x

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.