לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

פונקציית ln אסימפטוטות

דף זה הוא ברמת 4 יחידות, תלמידי 5 יחידות צריכים ללמוד דברים נוספים.

על מנת למצוא אסימפטוטות נזכור:

אסימפטוטה אנכית היא כאשר:

עבור ערך x מסוים (למשל x = 3) הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף.

אסימפטוטה אופקית היא כאשר:

x השואף לאינסוף או מינוס אינסוף גורם לפונקציה לשאוף למספר.

בדף זה ארבע חלקים:

  1. אסימפטוטה אנכית.
    א.מה הם ערכי ה x שחשודים בכך שיש בהם אסימפטוטה אנכית?
    ב.דוגמאות למציאת אסימפטוטה אנכית
  2. אסימפטוטה אופקית.
    א.הפונקציה f(x) = ln x
    ב.דרכי הוכחה של אסימפטוטה אופקית.
  3. דוגמאות למציאת אסימפטוטה אנכית ואופקית.
  4. תרגילים.

1.אסימפטוטה אנכית

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

ב.דוגמאות למציאת אסימפטוטה אנכית

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.אסימפטוטה אופקית

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

3.דוגמאות למציאת אסימפטוטה אנכית ואופקית

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.תרגילים

בחלק זה נמצא אסימפטוטה אופקית ואנכית ל 6 פונקציות.

  1. ln 2x
  2. (ln (16 – 8x
  3. (ln (x² – 9x +14
  4. מציאת אסימפטוטות
  5. מציאת אסימפטוטה
  6. הישר x = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה  (ln (x² + a.
    מצאו את a.

פתרונות

תרגיל 1
f(x) = ln 2x

פתרון
אסימפטיטות אנכיות 
מתקבלות כאשר הביטוי שבתוך הלן שווה 0.

2x = 0
x = 0
אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקייות
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה לא מוגדרת – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

תרגיל 2
(f(x) = ln (16 – 8x

פתרון

אסימפטוטות אנכיות
מתקבלת כאשר הביטוי שבתוך השורש שווה ל 0.

16 – 8x = 0
16 = 8x
2 = x
זו האסימפטוטה האנכית

אסימפטוטות אופקייות
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה לא מוגדרת – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

תרגיל 3

(f(x) = ln (x² – 9x + 14

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה

x² – 9x + 14 > 0
x² – 2x – 7x + 14 > 0
x(x – 2) – 7(x + 2) > 0
x – 7) (x + 2) > 0)

הפונקציה  מוגדרת כאשר:
x > 7   או  x < -2

בסמוך לנקודות האי הגדרה הביטוי
x² – 9x + 14
הוא חיובי וקרוב ל 0.

לכן הפונקציה (f(x) = ln (x² – 9x + 14 שואפת למינוס אינסוף.

x = 7,   x = -2
הם אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף לאינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln גם כן שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln  שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 4

מציאת אסימפטוטות

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

9 מחשבות על “פונקציית ln אסימפטוטות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. שלום,
    בדוגמא 2 בדקת אסמפטוטה אנכית, אבל הצבת אותה כמו אסמפטוטה אופקית (שואף לפלוס מינוס אינסוף). למה?
    כתבת 2 מקרים: כשאיקס=2 וכשאיקס=1.
    חישבת:
    מקרה x = 0
    המונה שואף למינוס אינסוף.
    המכנה שואף ל 2-.

    לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.

    למה המכנה שואף ל מינוס 2? במכנה יש שואף לאפס פחות 2, אבל שואף לאפס זה אינסוף, ואינסוף פחות 2 הוא זניח, ולכן יוצא שלכאורה במכנה אמור להיות אינסוף. ואם זה אינסוף, אז אני אמורה לצמצם את המונה במכנה, והתוצאה אמורה להיות 1+3-, כלומר האסמפטוטה אמורה להיות מינוס 4.
    אז למה יוצא שהאסמפטוטה היא X=0?

    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      האם את מתכוונת ל:
      f(x) = ln x / x
      ?
      אם כן אז ההצבה היא x = 0 כלומר x שווה מספר.
      זו ההצבה המתאימה לאסימפטוטה אנכית.
      עבור אופקית ההצבה היא פלוס / מינוס אינסוף.

      1. היי,
        מצטערת על הבלבול, האמת שהתכוונתי לדוגמא 2 אחרת, בה הפונקציה היא
        3- (fx=(lnx/x-2
        יצא שהאסמפטוטות האפשריות הן x=2 ו x=0. ווידאת שהן באמת אסמפטוטות על ידי הצבתן כשאיפה בפונקציה (שואף ל 2 ושואף ל 0). אבל למה התוצאה צריכה לצאת פלוס/מינוס אינסוף? הרי אמרת שההצבה המתאימה לאסימפטוטה אנכית היא x=0.
        מלבד זאת, ידוע כי מוודאים אם נקודת איקס היא אסמפטוטה אם היא מבטלת את המכנה אבל לא את המונה, ואם היא מבטלת את המונה מדובר בנקודת אי הגדרה, "חור". אז למה לחשב את כל התרגיל שעשית?

        בנוסף, שאלה שעלת לי כשהצבת את x שואף ל 0 (בפוסט הראשון של השאלה שלי):
        כתבת שהמונה שואף למינוס אינסוף, והמכנה שואף ל 2-. למה המכנה שואף למינוס 2 אם הצבת שואף ל-0 פחות 2? הרי שואף לאפס זה אינסוף, ואינסוף פחות 2 זה עדיין אינסוף.

        שאלה קטנה נוספת: כל מספר חלקי אינסוף זה אינסוף? בתרגילים שעשית זה נראה ככה, אבל מוזר לי כי ידוע שכאשר החזקה הגבוהה ביותר נמצאת במכנה, האסמפטוטה היא Y=0.

        תודה רבה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          1.אבל למה התוצאה צריכה לצאת פלוס/מינוס אינסוף?
          כי על מנת שתהיה אסימפטוטה אנכית הפונקציה צריכה לשאוף לאינסוף או מינוס אינסוף על מנת שתהיה אסימפטוטה.
          שימו לב להבדל בין אסימפטוטה אנכית לאופקית.

          2.הרי אמרת שההצבה המתאימה לאסימפטוטה אנכית היא x=0
          זה נכון לפונקציה הזו. לא לכל הפונקציות.

          3.מלבד זאת, ידוע כי מוודאים אם נקודת איקס היא אסמפטוטה אם היא מבטלת את המכנה אבל לא את המונה, ואם היא מבטלת את המונה מדובר בנקודת אי הגדרה, "חור". אז למה לחשב את כל התרגיל שעשית?

          לא ברור לי מה את מציעה לבטל.
          אבל צמצום בפונקציה לוגריתמית הוא יותר מסובך מצמצום בפונקציות אחרות.
          ln x במונה ו x במכנה – נדרש ידע של 5 יחידות כדי לדעת איך הפונקציה מתנהגת בקצוות.

          4.בנוסף, שאלה שעלת לי כשהצבת את x שואף ל 0 (בפוסט הראשון של השאלה שלי):
          את החלק הזה לא הבנתי.

          5.שאלה קטנה נוספת: כל מספר חלקי אינסוף זה אינסוף?
          כל מספר חלקי אינסוף זה 0.

          כאשר יש אינסוף חלקי אינסוף זה לא 0 והתשובה תלויה במקדמים של הביטוי ובאיזו עוצמה הביטוי שואף לאינסוף.

          1. קודם כל תודה רבה על התשובות! זה ממש עוזר לי.

            3. לא ברור לי מה את מציעה לבטל.
            אבל צמצום בפונקציה לוגריתמית הוא יותר מסובך מצמצום בפונקציות אחרות.
            ln x במונה ו x במכנה – נדרש ידע של 5 יחידות כדי לדעת איך הפונקציה מתנהגת בקצוות.

            האם יש לך קישור או הסבר קצר שמראה איך ניתן לחשב איך הפונקציה מתנהגת בקצוות? (אני פשוט בחמש יח"ל).

            4. ניסיתי עכשיו את התרגיל שוב והצלחתי, תודה!

            5. כאשר יש אינסוף חלקי אינסוף זה לא 0 והתשובה תלויה במקדמים של הביטוי ובאיזו עוצמה הביטוי שואף לאינסוף.

            מה הכוונה עוצמת הביטוי?

            תודה רבה על כל העזרה!

            1. לומדים מתמטיקה

              התשובות ל 3,5 קשורות זו לזו.
              כרגע אין לזה הסבר באתר אבל מקווה להוסיף דף בנושא בקרוב.

              f(x) = x
              g (x) = ln x
              שתיהן שואפות לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף אבל x שואפת יותר חזק, האינסוף שלה יותר גדול.
              לכן
              h(x) = x / ln x
              היא פונקציה השואפת לאינסוף ב x שואף לאינסוף.
              ו
              t(x) = ln x / x שואפת ל 0 כאשר x שואף לאינסוף.

  2. שלום, בהקשת לדף זה של אסימפטוטה אופקית לפונקציות ln , אז לא מוצג בדוגמאות דוגמא מאוד חשובה שמופיעה בהרבה שאלות ואני לא מבינה איך למצוא לה אסימפטוטה.
    נניח אני רוצה למצוא אסימפטוטה אופקית ל (ln(2x)) \ x . אם זה לא הוצג ברור אז לן של שני איקס חלקי איקס.
    מה האסימפטוטה???????
    תודה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מור
      תודה על התוספת.
      תרגילים בהם לא ניתן לצמצם מונה ומכנה נפתרים על ידי הצבה של מספרים גדולים.
      ניתן להציב:
      10,000
      50,000
      100,000
      ולראות אם ערך הפונקציה מתכנס למספר אחד. ואם כן הוא האסימפטוטה.
      בהצלחה