פונקציית ln אסימפטוטות

על מנת למצוא אסימפטוטות נזכור:

אסימפטוטה אנכית היא כאשר:
עבור ערך x מסוים (למשל x = 3) הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף.

אסימפטוטה אופקית היא כאשר:
x השואף לאינסוף או מינוס אינסוף גורם לפונקציה לשאוף למספר.

בדף זה 3 חלקים:

  1. אסימפטוטה אנכית.
  2. אסימפטוטה אופקית.
  3. תרגילים.

1.אסימפטוטה אנכית

מה הם ערכי ה x שחשודים בכך שיש בהם אסימפטוטה אנכית?

יש שני סוגים של ערכי x בפונקציה לוגריתמית שעלינו לבדוק אם בהן נוצרת אסימפטוטה אנכית.

1.הנקודות שמאפסות את המכנה של הפונקציה.
זה מה שבדקנו בכל הפונקציות עד עכשיו, וצריך לבדוק זאת גם בפונקציה לוגריתמית.

2.נקודות שגורמות לביטוי בתוך הלן להיות שווה 0.

הפונקציה f(x) = ln x
מוגדרת כאשר x > 0.

סמוך לנקודה x = 0 שבה הפונקציה f(x) = ln x לא מוגדרת היא שואפת למינוס אינסוף.

לכן x = 0
זו אסימפטוטה אנכית של הפונקציה f(x) = ln x.

וכך זה עבור כל פונקציה שכוללת LN  בלבד;

כאשר הביטוי שבתוך הפונקציה שווה ל 0 הפונקציה כולה שואפת למינוס אינסוף ולכן יש לה אסימפטוטה אנכית בנקודה זו.

דוגמאות

דוגמה 1
f(x) = ln (x – 2)

x = 2 מאפס את הביטוי שבתוך הלן.
לכן סמוך ל x = 2 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף
ולכן x = 2 זו אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

דוגמה 2
f(x) = ln [(x – 3) (x + 4)]

x = 3,  x = -4 מאפסים את הביטוי שבתוך הלן.
לכן סמוך ל x = 3,  x = -4 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף
ולכן x = 3,  x = -4 אלו אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.

הערה: (שימו לב)
כאשר פונקציית ה LN משולבת עם x אחר.
למשל
f(x) = ln (x) + 2x

לא ניתן לקבוע אוטומטית שכאשר x = 0 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן לקבוע כי x = 0 היא אסימפטוטה.

במקרה שיש פונקציות משולבות של LN עם x ללא לן צריך לקבוע את ערך הפונקציה וכך לקבוע, לא ניתן לקבוע אוטומטית.

למשל, שאלה זו תיפתר כך.

x = 0  מאפס את הביטוי שבתוך הלן לכן ערך  x זה חשוד להיות אסימפטוטה אנכית.

כאשר x שואף ל 0.
ln x שואף למינוס אינסוף.
2x שואף ל 0.

הסכום של שניהם שואף למינוס אינסוף.
לכן:
x = 0  הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

דרך נוספת לכתוב את הפתרון היא זו:
f(x) = ln (x) + 2x

f(∼0) = ln (∼0) + 2*(∼0)
f(∼0) = -∞ + 0 = – ∞

 

דוגמה 2
מצאו את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0  וגם  x ≠ 2.

ערכי ה x החשודים בכך שבהם יש אסימפטוטה אנכית הם:

x = 0
כי ערך זה מאפס את מה שבתוך הלן.

x = 2
כי ערך זה מאפס את המכנה.

ערכי הפונקציה עבור x =0
המונה שואף למינוס אינסוף.
המכנה שואף למינוס 2.
לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף ו x = 0 היא אסימפטוטה של הפונקציה.

ניתן לחשב את ערך הפונקציה ב x שואף ל 0 גם כך:

ערכי הפונקציה עבור x = 2
המונה הוא מספר.
המכנה שואף ל 0.
מספר חלקי שואף ל 0 נותן  ± אינסוף.

לכן x = 2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ניתן לחשב את ערך הפונקציה ב x שואף ל 2 גם כך:

עוד באתר:

2.אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית מתקבלת אם כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף הפונקציה שואפת למספר.

הפונקציה f(x) = ln x

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה
f(x) = ln x
שואפת גם כן לאינסוף, לכן אין כאן אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף למינוס אינסוף.
הפונקציה לא מוגדרת, לכן אין כאן אסימפטוטה אופקית.

לפונקציה f(x) = ln x אסימפטוטה אופקית.

כפי שנראה בהמשך, כאשר ללן יש שילוב עם פונקציה אחרת אז יתכן ונקבל אסימפטוטה אופקית.

אם תלחצו על הסימן "+" תקבלו הסבר מפורט מדוע f(x) = ln x מתנהגת כך.
לדעתי מה שמופיע בהמשך הדף חשוב יותר מהסבר זה, לכן אני ממליץ לסיים את הנושא של אסימפטוטה אופקית ואז לחזור לכאן.

דרכי הוכחה של אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית בפונקציה לוגריתמית ניתן להוכיח בשתי דרכים:

1.הצבת ערכי x שהולכים ומתקרבים ל ± אינסוף ומראים שככל שמתקרבים מתקבלים ערכים קרובים יותר למספר מסוים.

2.הסבר מפורט של ערך המונה אל מול ערך המכנה ומדוע החילוק שלהם יוצר אסימפטוטה.

 

כאשר אם משתמשים בדרך הראשונה חשוב שתדעו

כמו כן חשוב לדעת שהפונקציה הלוגריתמית היא פונקציה שעולה מאוד לאט.
שינוי גדול בערכי x גורם לשינוי קטן בלבד על ציר ה y.

למשל, עבור x = 1,000 נקבל y = 6.9.

לכן אנו נציב בפונקציה ערכים מאוד גדולים כאשר נשאף לאינסוף.
x = 10010,  x = 10020

או מאוד קטנים כאשר x ישאף למינוס אינסוף:
x = -10010,  x = -10020

דוגמה לטבלה המתארת אסימפטוטה אופקית שהיא y =0.
בטבלה זו ניתן לראות שהשינוי בערכי ה y הוא קטן והערכים מתקרבים ל 0.

ערך x10020100101006
ערך הפונקציה0.0320.0650.108

דוגמה לטבלה שלא מתארת אסימפטוטה אופקית כי לא ניתן לדעת לאיזה מספר הפונקציה שואפת.

ערך x10020100101006
ערך הפונקציה0.31.42.1

 

דוגמאות למציאת אסימפטוטה אנכית ואופקית

דוגמה 1
מצאו אסימפטוטות אופקיות ואנכיות לפונקציה.

פתרון
נמצא קודם את תחום ההגדרה.

בגלל ln x:
x > 0

בגלל שמכנה הפונקציה צריך להיות שונה מ 0 אז:

ln x ≠ 0
x ≠ e0
x ≠ 1

תחום ההגדרה הוא
x > 0
x ≠ 1

אסימפטוטה אנכית
אסימפטוטה אנכית יכולה להתקבל בנקודות אי ההגדרה.
x = 0, x = 1

מקרה ראשון  x = 1.
פונקציה אנכית יכולה להתקבל כאשר המכנה שואף ל 0.
וזה קורה כאשר x = 1

כאשר נציב בפונקציה מספר הקרוב ל 1 נקבל:

ובמילים
כאשר x שואף ל 1 המכנה שואף ל 0 והמונה הוא מספר.
לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.

x = 1 היא אסימפטוטה

מקרה שני x = 0
כאשר x שואף ל 0.

המונה הוא מספר.
המכנה שואף למינוס אינסוף.

לכן הפונקציה שואפת ל 0.
כאשר הפונקציה שואפת ל 0 אין לה אסימפטוטה אנכית.

וכך זה נראה במשוואה:

 

אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

במינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת לכן אין מה לבדוק.

עבור פלוס אינסוף

המונה הוא מספר.
המכנה שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה שואפת ל 0.

ולכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

את האסימפטוטה האופקית ניתן לזהות גם בעזרת הצבה של ערכים גדולים מאוד המתקרבים לאינסוף.

ערך x10020100101006
ערך הפונקציה0.0320.0650.108

אנו רואים שככל שערכי x גדלים ערך הפונקציה מתקרב ל 0.

לכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית.

כך נראה גרף הפונקציה:

גרף הפונקציה f(x) = 3 / ln x
גרף הפונקציה f(x) = 3 / ln x

 

דוגמה 2 (ברמת 5 יחידות)
מצאו את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה

פתרון
תחום הגדרה
הביטוי שבתוך הלן צריך להיות גדול מ 0 ולכן:

x > 0.

המכנה צריך להיות שונה מ 0 ולכן
x – 2 ≠ 0
x ≠ 2

תחום ההגדרה
x > 0 וגם x ≠ 2.

אסימפטוטה אנכית
אסימפטוטה זו יכולה להתקבל כאשר

  • המכנה שווה ל 0. ( x = 2).
  • הביטוי בתוך הלן שווה ל 0. (x = 0).

מקרה ראשון x  = 2
במקרה זה המכנה שואף ל 0.
המונה הוא מספר.

לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף.

לכן x = 2 היא אסימפטוטה.

במשוואה זה נראה כך:
(כאשר x שואף ל 2).

מקרה שני x = 0
המונה שואף למינוס אינסוף.
המכנה שואף ל 2-.

לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.

לכן x = 0 זו אסימפטוטה של הפונקציה.

במשוואה זה נראה כך:

 

אסימפטוטה אופקית

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה לא מוגדרת.
לכן אין אסימפטוטה אופקית במקרה זה.

כאשר x שואף לאינסוף
המונה שואך לאינסוף.
גם המכנה שואף לאינסוף.

אבל x שואף חזק יותר מ ln x.
לכן הביטוי של השבר שואף ל 0.

כאשר נחסר 3 נקבל שהאסימפטוטה האופקית היא:

y = -3.

במשוואה זה נראה כך:

3.תרגילים

  1. ln 2x
  2. (ln (16 – 8x
  3. (ln (x² – 9x +14
  4. מציאת אסימפטוטות
  5. מציאת אסימפטוטה
  6. הישר x = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה  (ln (x² + a.
    מצאו את a.

פתרונות

תרגיל 1
f(x) = ln 2x

פתרון
אסימפטיטות אנכיות 
מתקבלות כאשר הביטוי שבתוך הלן שווה 0.

2x = 0
x = 0
אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקייות
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה לא מוגדרת – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

תרגיל 2
(f(x) = ln (16 – 8x

פתרון

אסימפטוטות אנכיות
מתקבלת כאשר הביטוי שבתוך השורש שווה ל 0.

16 – 8x = 0
16 = 8x
2 = x
זו האסימפטוטה האנכית

אסימפטוטות אופקייות
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה לא מוגדרת – לכן אין אסימפטוטה אופקית.

תרגיל 3

(f(x) = ln (x² – 9x + 14

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה

x² – 9x + 14 > 0
x² – 2x – 7x + 14 > 0
x(x – 2) – 7(x + 2) > 0
x – 7) (x + 2) > 0)

הפונקציה  מוגדרת כאשר:
x > 7   או  x < -2

בסמוך לנקודות האי הגדרה הביטוי
x² – 9x + 14
הוא חיובי וקרוב ל 0.

לכן הפונקציה (f(x) = ln (x² – 9x + 14 שואפת למינוס אינסוף.

x = 7,   x = -2
הם אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף לאינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln גם כן שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln  שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 4

מציאת אסימפטוטות

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
*תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן נחשוד שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר  x = 0.
נבדוק זאת:
כאשר x שואף ל – 0, פונקציית ה – ln שואפת למינוס אינסוף,
לכן המכנה ישאף למינוס אינסוף,

והביטוי      ישאף ל – 0.

לכן הפונקציה תשאף ל – 1 כאשר x שואף ל- 0. (=> אין אסימפטוטה עבור x = 0).

*כאשר x שואף ל  e-2 ,
ln x תשאף ל 2- , והמכנה ישאף ל- 0.
במונה יש מספר קבוע ולכן הביטוי והפונקציה ישאפו לאינסוף.

לכן הישר x = e-2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף ל-אינסוף, פונקציית ה – ln שואפת לאינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף,

והביטוי      ישאף ל – 0.

לכן כאשר x שואף לאינסוף – הפונקציה תשאף ל -1.

*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הפונקציה ln אינה מוגדרת.

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטות אופקית של הפונקציה.

 

תרגיל 5

מציאת אסימפטוטה

פתרון:

אסימפטוטות אנכיות :
*תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן נחשוד שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר  x = 0.
נבדוק זאת:
כאשר x שואף ל – 0, פונקציית ה – ln שואפת למינוס אינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף, והפונקציה תשאף ל – 0 .
כלומר, אין אסימפטוטה אנכית ב x = 0.

*כאשר x שואף ל – 1 , lnx שואפת ל – 0,
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף ל-אינסוף, פונקציית ה – ln שואפת לאינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף, והפונקציה תשאף ל – 0.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף – פונקצית ה ln אינה מוגדרת.

לכן הישר 0 = y  הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

 

תרגיל 6 (עם פרמטר)

הישר x = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה  (ln (x² + a.
מצאו את a.

פתרון

נסיק מהנתון – כאשר x שואף ל – 2, הפונקציה הנ"ל שואפת לאינסוף/מינוס אינסוף.
((ln(f(x שואפת לאינסוף רק כאשר (f(x שואפת לאינסוף  – אין a המקיים זאת.

((ln(f(x שואפת למינוס אינסוף כאשר (f(x שואפת ל – 0.
נרצה ש – (f(x תשאף ל – 0 כאשר x שואף ל -2.
לכן נדרוש:  

לכן :  a = – 4.

כלומר , הישר x =  2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה (ln(x2 – 4 .

עוד באתר:

נספח: מדוע ln x שואף למינוס אינסוף ב x שואף ל 0?

על מנת למצוא אסימפטוטה אנכית אנו התבססנו על כך שכאשר x = 0  הפונקציה f(x) = ln x שואפת למינוס אינסוף.
כאן ננסה להסביר למה זה כך.

הסבר
הפונקציה f(x) = ln x

מוגדרת כאשר x > 0.

ועלינו לבדוק אם הנקודה שבה הפונקציה מפסיקה להיות מוגדרת x = 0 היא אסימפטוטה אנכית.

והתשובה היא כן, x = 0 היא אסימפטוטה אנכית לפונקציה.
כי כאשר x שואף ל 0 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

נוכל להוכיח זאת על ידי שימוש בזהות הלוגריתמית:

ln x = y    ⇒    ey  = x

במשוואה ey  = x
ניתן להבין שעל מנת ש x ישאף ל 0 y צריך להיות שלילי ושואף למינוס אינסוף.

הדבר נשען גם על חוק החזקה:

נציב במשוואה ey  = x את  y = -100 על מנת להראות שככל שערכי ה y שליליים וקטנים יותר כך ערכי ה x שואפים ל 0.

כפי שאתם רואים, עבור y = -100 קיבלנו ערך x קטן מאוד.

כלומר כאשר x שואף ל 0 ערך ה y שואף למינוס אינסוף.
ולכן x = 0 היא אסימפטוטה של f(x) = ln x.

כך נראה גרף הפונקציה f(x) = ln x וניתן לראות בו ש x = 0 היא אסימפטוטה.

 

אסימפטוטה אופקית לפונקציה f(x) = ln x

את הפונקציה:
f(x) = ln x
ניתן לכתוב גם כמשוואה:

ln x = y

כאשר y מייצג את ערכי ה y של הפונקציה.

ועל פי הגדרת ה ln זו בדיוק אותה משוואה כמו:

ey = x

ובמשוואה השנייה קל לנו יותר להבין את הקשר בין x ל y.

כאשר x שואף לאינסוף y צריך גם כן לשאוף לאינסוף.
לכן בפונקציה
f(x) = ln x
כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה שואף לאינסוף.

ועבור x שואף ל 0

ey = x

כאשר x שואף ל 0 ערך ה y צריך להיות שלילי, על פי חוק החזקה:

וככל ש y ישאף יותר לאינסוף כך ey יהיה קטן יותר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “פונקציית ln אסימפטוטות”

  1. שלום,
    בדוגמא 2 בדקת אסמפטוטה אנכית, אבל הצבת אותה כמו אסמפטוטה אופקית (שואף לפלוס מינוס אינסוף). למה?
    כתבת 2 מקרים: כשאיקס=2 וכשאיקס=1.
    חישבת:
    מקרה x = 0
    המונה שואף למינוס אינסוף.
    המכנה שואף ל 2-.

    לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.

    למה המכנה שואף ל מינוס 2? במכנה יש שואף לאפס פחות 2, אבל שואף לאפס זה אינסוף, ואינסוף פחות 2 הוא זניח, ולכן יוצא שלכאורה במכנה אמור להיות אינסוף. ואם זה אינסוף, אז אני אמורה לצמצם את המונה במכנה, והתוצאה אמורה להיות 1+3-, כלומר האסמפטוטה אמורה להיות מינוס 4.
    אז למה יוצא שהאסמפטוטה היא X=0?

    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      האם את מתכוונת ל:
      f(x) = ln x / x
      ?
      אם כן אז ההצבה היא x = 0 כלומר x שווה מספר.
      זו ההצבה המתאימה לאסימפטוטה אנכית.
      עבור אופקית ההצבה היא פלוס / מינוס אינסוף.

      1. היי,
        מצטערת על הבלבול, האמת שהתכוונתי לדוגמא 2 אחרת, בה הפונקציה היא
        3- (fx=(lnx/x-2
        יצא שהאסמפטוטות האפשריות הן x=2 ו x=0. ווידאת שהן באמת אסמפטוטות על ידי הצבתן כשאיפה בפונקציה (שואף ל 2 ושואף ל 0). אבל למה התוצאה צריכה לצאת פלוס/מינוס אינסוף? הרי אמרת שההצבה המתאימה לאסימפטוטה אנכית היא x=0.
        מלבד זאת, ידוע כי מוודאים אם נקודת איקס היא אסמפטוטה אם היא מבטלת את המכנה אבל לא את המונה, ואם היא מבטלת את המונה מדובר בנקודת אי הגדרה, "חור". אז למה לחשב את כל התרגיל שעשית?

        בנוסף, שאלה שעלת לי כשהצבת את x שואף ל 0 (בפוסט הראשון של השאלה שלי):
        כתבת שהמונה שואף למינוס אינסוף, והמכנה שואף ל 2-. למה המכנה שואף למינוס 2 אם הצבת שואף ל-0 פחות 2? הרי שואף לאפס זה אינסוף, ואינסוף פחות 2 זה עדיין אינסוף.

        שאלה קטנה נוספת: כל מספר חלקי אינסוף זה אינסוף? בתרגילים שעשית זה נראה ככה, אבל מוזר לי כי ידוע שכאשר החזקה הגבוהה ביותר נמצאת במכנה, האסמפטוטה היא Y=0.

        תודה רבה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          1.אבל למה התוצאה צריכה לצאת פלוס/מינוס אינסוף?
          כי על מנת שתהיה אסימפטוטה אנכית הפונקציה צריכה לשאוף לאינסוף או מינוס אינסוף על מנת שתהיה אסימפטוטה.
          שימו לב להבדל בין אסימפטוטה אנכית לאופקית.

          2.הרי אמרת שההצבה המתאימה לאסימפטוטה אנכית היא x=0
          זה נכון לפונקציה הזו. לא לכל הפונקציות.

          3.מלבד זאת, ידוע כי מוודאים אם נקודת איקס היא אסמפטוטה אם היא מבטלת את המכנה אבל לא את המונה, ואם היא מבטלת את המונה מדובר בנקודת אי הגדרה, "חור". אז למה לחשב את כל התרגיל שעשית?

          לא ברור לי מה את מציעה לבטל.
          אבל צמצום בפונקציה לוגריתמית הוא יותר מסובך מצמצום בפונקציות אחרות.
          ln x במונה ו x במכנה – נדרש ידע של 5 יחידות כדי לדעת איך הפונקציה מתנהגת בקצוות.

          4.בנוסף, שאלה שעלת לי כשהצבת את x שואף ל 0 (בפוסט הראשון של השאלה שלי):
          את החלק הזה לא הבנתי.

          5.שאלה קטנה נוספת: כל מספר חלקי אינסוף זה אינסוף?
          כל מספר חלקי אינסוף זה 0.

          כאשר יש אינסוף חלקי אינסוף זה לא 0 והתשובה תלויה במקדמים של הביטוי ובאיזו עוצמה הביטוי שואף לאינסוף.

          1. קודם כל תודה רבה על התשובות! זה ממש עוזר לי.

            3. לא ברור לי מה את מציעה לבטל.
            אבל צמצום בפונקציה לוגריתמית הוא יותר מסובך מצמצום בפונקציות אחרות.
            ln x במונה ו x במכנה – נדרש ידע של 5 יחידות כדי לדעת איך הפונקציה מתנהגת בקצוות.

            האם יש לך קישור או הסבר קצר שמראה איך ניתן לחשב איך הפונקציה מתנהגת בקצוות? (אני פשוט בחמש יח"ל).

            4. ניסיתי עכשיו את התרגיל שוב והצלחתי, תודה!

            5. כאשר יש אינסוף חלקי אינסוף זה לא 0 והתשובה תלויה במקדמים של הביטוי ובאיזו עוצמה הביטוי שואף לאינסוף.

            מה הכוונה עוצמת הביטוי?

            תודה רבה על כל העזרה!

            1. לומדים מתמטיקה

              התשובות ל 3,5 קשורות זו לזו.
              כרגע אין לזה הסבר באתר אבל מקווה להוסיף דף בנושא בקרוב.

              f(x) = x
              g (x) = ln x
              שתיהן שואפות לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף אבל x שואפת יותר חזק, האינסוף שלה יותר גדול.
              לכן
              h(x) = x / ln x
              היא פונקציה השואפת לאינסוף ב x שואף לאינסוף.
              ו
              t(x) = ln x / x שואפת ל 0 כאשר x שואף לאינסוף.

  2. שלום, בהקשת לדף זה של אסימפטוטה אופקית לפונקציות ln , אז לא מוצג בדוגמאות דוגמא מאוד חשובה שמופיעה בהרבה שאלות ואני לא מבינה איך למצוא לה אסימפטוטה.
    נניח אני רוצה למצוא אסימפטוטה אופקית ל (ln(2x)) \ x . אם זה לא הוצג ברור אז לן של שני איקס חלקי איקס.
    מה האסימפטוטה???????
    תודה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מור
      תודה על התוספת.
      תרגילים בהם לא ניתן לצמצם מונה ומכנה נפתרים על ידי הצבה של מספרים גדולים.
      ניתן להציב:
      10,000
      50,000
      100,000
      ולראות אם ערך הפונקציה מתכנס למספר אחד. ואם כן הוא האסימפטוטה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.