נגזרת שורש

בדף זה נלמד כיצד לגזור פונקציית שורש בעזרת נוסחאות.
יש דרך נוספת, שמתאימה להיות פונקציות שורש ובה הופכים את פונקציית השורש לפולינום (הסבר בקישור).

בדף זה 4 חלקים:

  1. נוסחאות הגזירה של פונקציית שורש פשוטה ומורכבת.
  2. פתרונות מהירים לתרגילים (ללא הסברים מפורטים).
  3. 5 סוגים של פונקציית שורש – וכיצד לגזור אותם.
  4. תרגילים עם פתרונות מלאים.

רמת הנגזרות בדף היא 4-5 יחידות לימוד.

1.נוסחאות גזירה

פונקציית שורש גוזרים בעזרת נוסחאות גזירה או בעזרת הפיכת השורש לחזקה.
את הפיכת השורש לחזקה נסביר בנספח שבסוף הדף.
את הגזירה בעזרת נוסחאות נסביר עכשיו.

יש שתי נוסחאות גזירה, אחת לפונקציית שורש פשוטה ואחת לפונקציית שורש מורכבת.

נוסחת הגזירה של פונקציית שורש פשוטה היא:

נגזרת פונקציית שורש
נגזרת פונקציית שורש

למשל:

פתרון
נשתמש בנוסחה:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
ונוציא את המספר 3 מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש:

דוגמה נוספת.
גזרו את הפונקציה:

פתרון
נוציא את המספר 1/6- מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש.

נוסחת הגזירה של פונקציית שורש מורכבת

נוסחה נוספת של פונקציית שורש היא כאשר בתוך השורש לא נמצא רק x, אלה נמצאת פונקציה שלמה. במקרה זה הנוסחה היא:

נגזרת שורש מורכבת

למשל עבור הפונקציה:

הנגזרת היא:

דוגמה נוספת
גזרו את הפונקציה:

פתרון
נוציא 8/3 אל מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת נגזרת שורש מורכבת.

3.פתרונות מהירים לתרגילים

בחלק זה ניתן 9 פתרונות מהירים לתרגילים.
ללא הסברים מפורטים.
לפעמים כך לומדים יותר טוב.
לאחר מיכן תרגילים עם פתרונות מפורטים.

דוגמה 1: שורש בסיסי

דוגמה 2: שורש מורכב

דוגמה 3: שורש מורכב ועוד

דוגמה 4: נגזרת מכפלה

נהפוך את הביטוי לפשוט יותר על ידי יצירת מכנה משותף לשני האיברים.
ניצור מכנה משותף על ידי הכפלת האיבר השמאלי במחנה הימני.

נפתח סוגריים ונכנס איברים

דוגמה 5: נגזרת מכפלה

ניצור מכנה משותף על ידי הכפלת הגורם השמאלי במכנה.

נפשט את הביטוי על ידי כפל וצמצום.

דוגמה 6: נגזרת מנה

דוגמה 7: נגזרת מנה שניתן לפצל

נפצל את הנגזרת:

נצמצם ונגזור כל אחד מהביטויים בנפרד.

נכתוב פשוט:

דוגמה 8: נגזרת מנה

תרגיל זה דומה מאוד לתרגיל הקודם, רק שכאן במקום לפצל פתרנו על פי נגזרת מנה.

דוגמה 9: נגזרת מנה

נפתח סוגריים וניצור מכנה משותף

נכתוב פשוט:

5 סוגים של פונקציות שורש וכיצד לגזור אותן

חילקתי את פונקציות השורש ל 5, כאשר כל פונקציה דורשת גזירה קצת אחרת.
לכל ההסברים יש הסבר כתוב והסבר בוידאו. ההסבר בוידאו מופיע לאחר ההסבר הכתוב.

  1. פונקציית שורש פשוטה.
  2. פונקציית שורש מורכבת.
  3. פונקציית מכפלה.
  4. פונקציית מנה.
  5. פונקציית מנה שבה יש "שורש גדול" על כל הפונקציה.

סוג 1
פונקציית שורש פשוטה
או פונקציית שורש כפול מספר.

גזירה
נגזור על פי הנוסחה:

נגזרת פונקציית שורש

לחצו כאן להסבר מפורט + וידאו

פתרון
יש לנו כאן שני ביטויים שניתן לגזור כל אחד מיהם בנפרד.
המספר 2 הנגזרת שלו היא 0.
הנגזרת של פונקציית השורש מתקבלת על ידי הנוסחה:

נגזרת פונקציית שורש

וכך נראית הנגזרת של התרגיל כולו:

בשורה הראשונה השתמש בכלל:
'(f(x) ± g(x) )' = f(x)' ± g(x)
בשורה השנייה השתמשנו בכלל:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)

 

סוג 2
נגזרת מורכבת עם מספר בתוך הפונקציה

נגזרת מורכבת של שורש

פתרון
זו נגזרת מורכבת.
הנוסחה לגזירת פונקציית שורש מורכבת היא:

נגזרת שורש מורכבת

ועל פי הנוסחה הנגזרת היא:

דוגמה נוספת
פונקציה ריבועית בתוך השורש

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
זוהי פונקציה מורכבת וגוזרים אותה בדיוק כמו הפונקציה הקודמת.


סוג 3
נגזרת מכפלה

פונקציה מסוג זה גוזרים בעזרת כלל המכפלה של נגזרת:
(f (x) * g (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

הנגזרת של x היא 1.
הנגזרת של (x + 2)√ היא

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

סוג 4
נגזרת מנה

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

אם קשה לכם אם החלק האחרון מבחינת השבר שהיה עם 3 בתים והפך לשבר עם שני בתים ניתן ללמוד כיצד עושים זאת בדף איך לחלק שבר בשבר.

דוגמה נוספת לנגזרת מנה
כאשר גם במונה וגם במכנה יש משתנה.
ובנוסף פונקציה השורש היא מורכבת.

הנגזרת של המונה היא 2.
הנגזרת של המכנה היא:

לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

ניצור מכנה משותף במונה (לאחר שצימצמנו את ה 2 באיבר הימני)

במונה נפתח סוגריים ובמכנה נשתמש בחוקי חזקות.

בתרגיל זה השתמשנו באלגברה קשה יחסית, חזרה תוכלו לעשות בקישורים הבאים:

סוג 5
כאשר המונה והמכנה נמצאים תחת אותו שבר

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
נציג שתי דרכים להסתכל על הפונקציה ולפתור.

דרך ראשונה
זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש

(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) 0.5  =  (x+1)2-0.5)
x+1)1.5) = 

ומתקבל לבסוף:

דרך שנייה לגזור את הפונקציה
דרך נוספת לפתרון התרגיל היא לשנות את צורת כתיבת הפונקציה ולכתוב שורש על המונה ושורש נפרד על המכנה.

מותר לנו לעשות זאת על פי חוק החזקה:

 

כאשר n במקרה שלנו הוא 1/2 (שורש).

כך קיבלנו שתי פונקציות שורש נפרדות שאנו צריכים לחשב נגזרת המנה שלהם.
הנוסחה של נגזרת מנה היא:

נגזרת מנה
נגזרת מנה

כאשר נציב בנוסחה נקבל:

ונמשיך לפתח את הנגזרת עד לקבלת ביטוי פשוט יותר.

 

5.תרגילים עם פתרונות מפורטים

בחלק זה 7 תרגילים בנושא נגזרת שורש.
תרגילים 1-3 כוללים גזירה פשוטה של פונקציית שורש או פונקציית שורש מורכבת.
תרגילים 4-5 הם מכפלה של פונקציות.
תרגיל 6 הוא נגזרת מנה.

בדף זה אנו מתאמנים על גזירה של הפונקציה.  בחקירת פונקציה אמיתית אתם תצטרכו למצוא את תחום ההגדרה לפני הגזירה. כאן נתעלם מחלק מתחם ההגדרה ורק נגזור.

התרגילים בחלק זה הם:

  1. נגזרת פונקציית שורש
  2. נגזרת פונקציית שורש
  3. נגזרת פונקציית שורש
  4. נגזרת שורש

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נפצל את הנגזרת לשני ביטויים שאחד מיהם קל לגזירה והשני עם השורש יותר קשה.

נוציא את המספר 1/5 אל מחוץ לשורש על פי הכלל
k*f(x) ') = k * f '(x))
ובנוסף נגזור את הביטוי 2x.

כל מה שנותר לנו עכשיו הוא לגזור את הביטוי x√ ואז זה אנחנו יודעים לעשות.

תרגיל 2

פתרון

פתרון בדרך 1: על ידי הוצאת 2/7 מחוץ לנגזרת

פתרון בדרך 2: על ידי נגזרת מנה

נפתח את השבר ונקבל:

פתרון בדרך 3: על ידי נגזרת פולינום
קודם כל נכתוב את הפונקציה בצורה של פולינום.

ועכשיו נגזור על פי נגזרת פולינום

תרגיל 3

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
(k*f(x) ) ' = k * f '(x )
כאשר k = -2.

לכן:

תרגיל 4
נגזרת מכפלה מורכבת

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 5x
u'(x) = 5

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.
(תזכורת : 'v * u' + u* v).

נקבל:

תרגיל 5
נגזרת מכפלה מורכבת

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :   = (u(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (u ' (x

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת :'v * u' + u* v).

נקבל:


מכנה משותף:

נזכיר כי שורש כפול עצמו זה בעצם המספר שבתוך השורש. לכן:

תרגיל 6

נגזרת שורש

פתרון
יש שתי דרכים לפתור את התרגיל הזה. כנגזרת מנה וכנגזרת פולינום.

גזירה על פי נגזרת מנה.
(f(x = 3
f ' (x) = 0
g(x) = √x
(g ' (x) = (1 /2√x

נגזרת שורש

נגזרת שורש

גזירה על פי נגזרת פולינום.
כאשר ביטוי השורש במכנה הוא ביטוי שורש יחיד (ללא פעולות חיבור או חיסור במכנה) אז בעזרת חוקי חזקות ניתן להפוך את הפונקציה לפונקציית פולינום.

תרגיל 7

פתרון
הנגזרת של המונה היא 0
הנגזרת של המכנה היא:

נציב בנוסחה לנגזרת מנה ונקבל:

נפשט את הביטוי:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “נגזרת שורש”

  1. האם אפשר בפונקציית מנה להכפיל באפס את המכנה עוד לפני שמצמצמים ואז לפתור את המונה כמו בפונקציית מכפלה??

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    בסוג 4 בתרגיל השני הגעתי בסוף לאותה תוצאה כמו שלך רק לא הבנתי בסוף שביטלת את השורש והשארת רק הסוגריים בחזקת אחד וחצי?
    ( היה לך שורש וסוגריים בשניהם היה אותו ביטוי והשארת פשוט את הסוגריים בחזקת 1.5)

  3. בתרגילים הראשונים בסעיף 4 וחמש למשל עשית מכנה משותף ולא הבנתי מהו וכיצד ביטלת את כל השורשים אשמח לתשובה תוגה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הדברים לא היו כתובים בצורה ברורה.
      כתבתי אותם מחדש.
      בעיקרון יוצרים מכנה משותף על ידי כפל של האיבר ללא מכנה במכנה המשותף (כפל במונה ובמכנה).
      אם זה עדיין לא ברור חזור אליי.
      תודה

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        לראות שהבנתי. עשיתי נגזרת רגילה של מכפלה. והשגעת לביטוי מסוים עשית לו מכנה משותף (הביטוי הראשון היה חלקי אחד פשוט אז הכפלת אותו במונה היחיד שנשאר) ואז שורש כפול שורש מתבול השורש? ואז המשכת לפתור בצורה רגילה?

        1. לומדים מתמטיקה

          נעבור על הדברים אחד אחד:
          1.עשיתי נגזרת רגילה של מכפלה – כן.

          2.ושהגעת לביטוי מסוים עשית לו מכנה משותף (הביטוי הראשון היה חלקי אחד פשוט אז הכפלת אותו במונה היחיד שנשאר) – הכפלתי את המונה והמכנה של הביטוי ללא שורש במכנה. כאשר מכפילים מונה ומכנה של מספר באותו ביטוי הערך שלו נשמר.
          למשל אם תכפיל מספר ב 4/4 או 2x/2x הערך של המספר המקורי ישאר.

          3.ואז שורש כפול שורש מתבטל השורש? כן.
          למשל שורש איקס כפול שורש איקס שווה לאיקס.
          התכונה הזו היא הרבה יותר בסיסית מהתרגיל כאן. התרגיל קשה ואילו התכונה נלמדת בכיתות של חטיבה.
          הסתכל על החוק הראשון הרשום בדף זה
          https://www.m-math.co.il/algebra/square-roots-rules/

          4.ואז המשכת לפתור בצורה רגילה? – כן.

          אם יש שאלות חזור אליי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.