לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

נגזרת שורש

בדף זה נלמד כיצד לגזור פונקציית שורש בעזרת נוסחאות.
יש דרך נוספת, שמתאימה לגזירת פונקציות שורש ובה הופכים את פונקציית השורש לפולינום (הסבר בקישור).

החלקים של דף זה הם:

  1. נוסחאות הגזירה של פונקציית שורש פשוטה ומורכבת.
  2. סרטוני הסבר.
  3. פתרונות מהירים לתרגילים (ללא הסברים מפורטים).
  4. 5 סוגים של פונקציית שורש – וכיצד לגזור אותם.
  5. תרגילים עם פתרונות מלאים.

רמת הנגזרות בדף היא 4-5 יחידות לימוד, עבור 3 יחידות יש דף נפרד.

1.נוסחאות גזירה

פונקציית שורש גוזרים בעזרת נוסחאות גזירה או בעזרת הפיכת השורש לחזקה.
את הפיכת השורש לחזקה נסביר בנספח שבסוף הדף.
את הגזירה בעזרת נוסחאות נסביר עכשיו.

יש שתי נוסחאות גזירה, אחת לפונקציית שורש פשוטה ואחת לפונקציית שורש מורכבת.

נוסחת הגזירה של פונקציית שורש פשוטה היא:

נגזרת פונקציית שורש
נגזרת פונקציית שורש

למשל:

f(x) = 3√x

פתרון
נשתמש בנוסחה:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
ונוציא את המספר 3 מחוץ לנגזרת.

(3√x) ' = 3 * (√x) '

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש:

הערה: 
בפועל צורת הכתיבה היא לכתוב ישר את הפתרון, כך:

דוגמה נוספת.
גזרו את הפונקציה:

פתרון
נוציא את המספר 1/6- מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש.

בפועל נכתוב את הפתרון בצורה קצרה, כך:

נוסחת הגזירה של פונקציית שורש מורכבת

נוסחה נוספת של פונקציית שורש היא כאשר בתוך השורש לא נמצא רק x, אלה נמצאת פונקציה שלמה. במקרה זה הנוסחה היא:

נגזרת שורש מורכבת

למשל עבור הפונקציה:

הנגזרת היא:

דוגמה נוספת
גזרו את הפונקציה:

פתרון
נוציא 8/3 אל מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת נגזרת שורש מורכבת.

2.דוגמאות לגזירה בוידאו

הסרטון הראשון מסביר את הנגזרות הבסיסיות.
הסרטון השני מסביר את נגזרת מכפלה ונגזרת מנה.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3.פתרונות מהירים לתרגילים

בחלק זה ניתן 17 פתרונות מהירים לתרגילים.
ללא הסברים מפורטים.
לפעמים כך לומדים יותר טוב.
לאחר מיכן תרגילים עם פתרונות מפורטים.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

4. חמש סוגים של פונקציות שורש וכיצד לגזור אותן

חילקתי את פונקציות השורש ל 5, כאשר כל פונקציה דורשת גזירה קצת אחרת.
לכל ההסברים יש הסבר כתוב והסבר בוידאו. ההסבר בוידאו מופיע לאחר ההסבר הכתוב.

  1. פונקציית שורש פשוטה.
  2. פונקציית שורש מורכבת.
  3. פונקציית מכפלה.
  4. פונקציית מנה.
  5. פונקציית מנה שבה יש "שורש גדול" על כל הפונקציה.

סוג 1
פונקציית שורש פשוטה
או פונקציית שורש כפול מספר.

גזירה
נגזור על פי הנוסחה:

נגזרת פונקציית שורש

אנו יכולים לגזור כל איבר בנפרד:

נגזור:

לחצו כאן להסבר מפורט + וידאו

פתרון
יש לנו כאן שני ביטויים שניתן לגזור כל אחד מיהם בנפרד.
המספר 2 הנגזרת שלו היא 0.
הנגזרת של פונקציית השורש מתקבלת על ידי הנוסחה:

נגזרת פונקציית שורש

וכך נראית הנגזרת של התרגיל כולו:

בשורה הראשונה השתמש בכלל:
'(f(x) ± g(x) )' = f(x)' ± g(x)
בשורה השנייה השתמשנו בכלל:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)

 

סוג 2
נגזרת מורכבת עם מספר בתוך הפונקציה

נגזרת מורכבת של שורש

פתרון
זו נגזרת מורכבת.
הנוסחה לגזירת פונקציית שורש מורכבת היא:

נגזרת שורש מורכבת

ועל פי הנוסחה הנגזרת היא:

דוגמה נוספת
פונקציה ריבועית בתוך השורש

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
זוהי פונקציה מורכבת וגוזרים אותה בדיוק כמו הפונקציה הקודמת.


סוג 3
נגזרת מכפלה

פונקציה מסוג זה גוזרים בעזרת כלל המכפלה של נגזרת:
(f (x) * g (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

נסמן את הנגזרות באדום:

זו הייתה פעולת הגזירה.
אבל כדי להשתמש בנגזרת למציאת נקודות קיצון עלינו לפשט את הנגזרת.

ניצור בין שני הביטויים מכנה משותף.

 

תרגיל נוסף:

פונקציה מסוג זה גוזרים בעזרת כלל המכפלה של נגזרת:
(f (x) * g (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

הנגזרת של x היא 1.
הנגזרת של (x + 2)√ היא

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

 

סוג 4
נגזרת מנה

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

אם קשה לכם אם החלק האחרון מבחינת השבר שהיה עם 3 בתים והפך לשבר עם שני בתים ניתן ללמוד כיצד עושים זאת בדף איך לחלק שבר בשבר.

דוגמה נוספת לנגזרת מנה
כאשר גם במונה וגם במכנה יש משתנה.
ובנוסף פונקציה השורש היא מורכבת.

הנגזרת של המונה היא 2.
הנגזרת של המכנה היא:

לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

ניצור מכנה משותף במונה (לאחר שצימצמנו את ה 2 באיבר הימני)

במונה נפתח סוגריים ובמכנה נשתמש בחוקי חזקות.

בתרגיל זה השתמשנו באלגברה קשה יחסית, חזרה תוכלו לעשות בקישורים הבאים:

סוג 5
כאשר המונה והמכנה נמצאים תחת אותו שבר
סוג זה מתאים ל 5 יחידות בלבד.

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
זוהי פונקציה מורכבת.
כאשר הפונקציה החיצונית היא פונקציית השורש.

והפונקציה הפנימית היא פונקציית המנה.

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש

(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) 0.5  =  (x+1)2-0.5)
x+1)1.5) = 

ומתקבל לבסוף:

 

5.תרגילים עם פתרונות מפורטים

בחלק זה 7 תרגילים בנושא נגזרת שורש.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

עוד באתר:

42 מחשבות על “נגזרת שורש”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אפשר לצמצם בנגזרת מספרים? לדוגמא יש לי במונה 2x-5 ובמכנה את ה2 כפול השורש,אפשר לצמצם את ה2?

        1. לומדים מתמטיקה

          מותר לצמצם ככה – מה שנשאר במונה לאחר הצמצום הוא:
          x – 2.5
          ובמכנה ישאר השורש.
          אם את מנויה את יכולה לשלוח צילום של הפתרון שלך.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          דרך ראשונה וקצרה
          לכתוב את הפונקציה כ x בחזקת 1.5 ולגזור כפולינום.
          דרך שנייה
          הנגזרת של x היא 1.
          הנגזרת של שורש x כתובה כאן בדף.
          ואז מציבים את הנגזרות הללו בנוסחה של נגזרת מכפלה.

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      לא,
      אם יש נגיד שתיים כפול איקס אז אפשר אבל אם יש לך משוואה שכוללת יותר מסתם כפל אז אי אפשר
      בגדול חייב שיהיה במונה משוואה רק עם כפל (בלי חיבור או חיסור וכולי)

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        נכון, תודה על תשומת הלב.
        כאשר אמרתי שנתן לצמצם הכוונה הייתה שמצמצמים את ה 2 וגם מצמצמם ב 5.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כדאי לכתוב את זה כחזקה – x בחזקת רבע ואז לגזור.
      אפשרות מסובכת יותר היא לגזור כפונקציה מורכבת.

  2. היי,
    שאלה לגבי התרגיל עם השורש הגדול שבסרטון, למה בסוף הביטוי X-1 בחזקת 1.5 ?
    אני יודעת ששורש נהפך לחזקת 0.5 מה שאומר הבסיסים דומים אבל החזקה שונה ניתן לחבר חזקות, זה לא צריך לצאת 2.5?

  3. היי רציתי לשאול איך גוזרים משוואה שבה לפני השורש יש סוגרים, לדוגמא: )x-4) בסוגריים ואז כפול שורש איקס פלוס ארבע

  4. רק רוצה להגיד שההסברים שלך מעולים ושהאתר שלל לימד אותי המון חומר שלא הצלחתי ללמוד בבית ספר,תודה:)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעזרת חוקי חזקות ניתן לכתוב כל שורש כחזקה ואז לגזור את הפונקציה כפולינום.

  5. היי רציתי בבקשה לשאול מה קורה כשיש לי מנה כשבמחנה יש לי שורש על האיקס אבל אז עוד מספר משוחרר לדוג x+3 (חלקי)
    1+x√
    תודה מראש

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את גוזרת את המונה. כאשר גוזרים את השורש בנפרד ואת המספר בנפרד.
      ואז מצבה בנוסחה של נגזרת מנה.
      בתחילת הדף יש דוגמאות, זה מאוד דומה לדוגמה 10.

  6. שורש על איקס פחות 6
    x-6 שורשy=x+2
    אני צריך לדעת נק קיצון
    ואין שום דוגמא לתרגיל כזה באתר
    אשמח לתשובה
    תודהההה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בחלק של הדוגמאות המהירות נגזרת מספר אחת היא הנגזרת של שורש איקס פחות אחד

  7. שלום. אני לומדת מספר של יואל גבע (5 יחידות כרך ד' כיתה י"א [ירוק כהה] ).
    המורה שלי שלחה לנו קישור ללמוד מכאן ולענות על תרגילים בספר.
    דבר ראשון תודה על ההסבר והדוגמאות!
    דבר שני, בפתרונות בספר – הפתרון הסופי של נגזרת מכפלה\מנה היא אבר אחד (של שבר, מונה חלקי מכנה)
    (-ולא אבר אחד (של שבר) ואז ± אבר נוסף.)
    האם אתה יכול להסביר בבקשה איך עובד החיבור הזה?- (פעם זה ניראה הכפלה של האיבר השני, פעם זה ניראה חיבור סתמי למונה, לא הצלחתי לבנות לזה נוסחה כלשהי)
    תודה רבה מראש!
    אם יש צורך אני יכולה לצרף דוגמא…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את יכולה לראות שבנוסחה של נגזרת מנה יש שני איברים במונה.
      שני האיברים הללו יכולים להפוך ל 1 אם:
      1.אחד האיברים שווה ל 0.
      2.ניתן לבצע כינוס איברים.
      3.הנגזרת הזו לא מחושבת על פי הנוסחה של נגזרת מנה.

      שליחת דוגמה בהחלט יכולה לעזור.
      בהצלחה

    2. אלישבע דוד

      שלום,
      ראשית ברצוני לציין כי ההסברים שלך מבוארים בצורה קצרה וקולעת.
      שנית, לא מצאתי הסבר שמדב על מקרה בו יש לי חזקה על השורש 5 (חזקה) שורש X.
      תודה רבה.

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        כאשר יש חזקה על השורש צריך להפוך את הביטוי לחזקה בלבד ולגזור כפולינום.
        עושים זאת בעזרת התייחסות אל השורש כאל חזקת 0.5.
        דף קשה יחסית של שילובים בין שורשים לחזקות:
        https://www.m-math.co.il/algebra/square-roots-rules-with-exponents/
        גזירה של פונקציית שורש כחזקה
        https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/square-root-function-derivative-by-exponent/

  8. שלום, קודם כל רציתי לומר שאני מאוד אוהבת את האתר שלכם והוא עוזר לי מאוד אז תודה על כך.
    שנית, יש לי תרגיל שאני לא מצליחה כבר הרבה זמן וזה ממש דחוף לי לפתור אותו משום שאני חייבת להגיש היום. לכן אני אשמח אם תוכלו לפתור לגמרי (תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות הקיצון וסוגן, תחומי עלייה וירידה וגרך הפונקציה).
    f(x)=x• √ p-x זה התרגיל
    תודה מראש :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תארי לעצמך שהיינו פותרים תרגילים במלואם – הרי זה מה שהיינו עושים כל היום.
      באתר יש חומר לימוד שממנו תוכלי לענות, ואם לא תספיקי למחר אני מצטער אבל מקווה שבעבודה הבאה יהיה טוב יותר.
      אם יש שאלות ספציפיות על החומר באתר נענה.

  9. האם אפשר בפונקציית מנה להכפיל באפס את המכנה עוד לפני שמצמצמים ואז לפתור את המונה כמו בפונקציית מכפלה??

  10. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    בסוג 4 בתרגיל השני הגעתי בסוף לאותה תוצאה כמו שלך רק לא הבנתי בסוף שביטלת את השורש והשארת רק הסוגריים בחזקת אחד וחצי?
    ( היה לך שורש וסוגריים בשניהם היה אותו ביטוי והשארת פשוט את הסוגריים בחזקת 1.5)

  11. בתרגילים הראשונים בסעיף 4 וחמש למשל עשית מכנה משותף ולא הבנתי מהו וכיצד ביטלת את כל השורשים אשמח לתשובה תוגה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הדברים לא היו כתובים בצורה ברורה.
      כתבתי אותם מחדש.
      בעיקרון יוצרים מכנה משותף על ידי כפל של האיבר ללא מכנה במכנה המשותף (כפל במונה ובמכנה).
      אם זה עדיין לא ברור חזור אליי.
      תודה

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        לראות שהבנתי. עשיתי נגזרת רגילה של מכפלה. והשגעת לביטוי מסוים עשית לו מכנה משותף (הביטוי הראשון היה חלקי אחד פשוט אז הכפלת אותו במונה היחיד שנשאר) ואז שורש כפול שורש מתבול השורש? ואז המשכת לפתור בצורה רגילה?

        1. לומדים מתמטיקה

          נעבור על הדברים אחד אחד:
          1.עשיתי נגזרת רגילה של מכפלה – כן.

          2.ושהגעת לביטוי מסוים עשית לו מכנה משותף (הביטוי הראשון היה חלקי אחד פשוט אז הכפלת אותו במונה היחיד שנשאר) – הכפלתי את המונה והמכנה של הביטוי ללא שורש במכנה. כאשר מכפילים מונה ומכנה של מספר באותו ביטוי הערך שלו נשמר.
          למשל אם תכפיל מספר ב 4/4 או 2x/2x הערך של המספר המקורי ישאר.

          3.ואז שורש כפול שורש מתבטל השורש? כן.
          למשל שורש איקס כפול שורש איקס שווה לאיקס.
          התכונה הזו היא הרבה יותר בסיסית מהתרגיל כאן. התרגיל קשה ואילו התכונה נלמדת בכיתות של חטיבה.
          הסתכל על החוק הראשון הרשום בדף זה
          https://www.m-math.co.il/algebra/square-roots-rules/

          4.ואז המשכת לפתור בצורה רגילה? – כן.

          אם יש שאלות חזור אליי.