נגזרת שורש

נשתמש בנוסחה:

[k *f (x) ] ‘ = k * [ f (x) ] ‘ = kf ‘ (x)

ונוציא את המספר 3 מחוץ לנגזרת.

(3√x) ‘ = 3 * (√x) ‘

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש:

הערה: 
בפועל צורת הכתיבה היא לכתוב ישר את הפתרון, כך:

נוציא את המספר 1/6- מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש.

בפועל נכתוב את הפתרון בצורה קצרה, כך:

נוציא 8/3 אל מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת נגזרת שורש מורכבת.

אפשרות ראשונה היא להתייחס לתרגיל כמכפלה של שתי פונקציות.

נמצא את הנגזרת של כל אחת מהפונקציות:

ועכשיו נציב בנוסחה של נגזרת מכפלה ונקבל:

אפשרות אחרת

כאשר יש לנו נגזרת של מספר כפול פונקציה אנו יכולים להוציא את המספר מחוץ לנגזרת ולגזור רק את הפונקציה.
על פי הכלל:

[k * f(x) ] ‘ = k * f ‘ (x)

וכך הכלל הזה יראה בתרגיל שלנו:

שימו לב שהכלל נכון רק עבור מספרים, לא ניתן להוציא משתנים אל מחוץ לנגזרת.

זו מכפלה של פונקציות.

לא ניתן להוציא את 5x מחוץ לנגזרת, חייבים לגזור את הפונקציה על פי נגזרת מכפלה.

נמצא את הנגזרת של כל אחת מהפונקציות.

נציב בנוסחה של נגזרת מכפלה ונקבל:

נהפוך את הביטוי לפשוט יותר על ידי יצירת מכנה משותף לשני האיברים.
ניצור מכנה משותף על ידי הכפלת האיבר השמאלי במחנה הימני.

נפתח סוגריים ונכנס איברים

ניצור מכנה משותף על ידי הכפלת הגורם השמאלי במכנה.

נפשט את הביטוי על ידי כפל וצמצום.

מכוון שיש לנו x בכל אחד מהאיברים במונה ובמכנה ניתן לפצל את הנגזרת ולקבל שני ביטויים פשוטים יותר לגזירה.:

נצמצם ונגזור כל אחד מהביטויים בנפרד.

נכתוב פשוט:

• כיצד יוצרים מכנה משותף במונה / מכנה הוא דף המסביר להתמודד עם שברים הבנויים מ 3 או 4 “קומות”.

תרגיל זה דומה מאוד לתרגיל הקודם, רק שכאן במקום לפצל פתרנו על פי נגזרת מנה.

נפשט את הביטוי על ידי יצירת מכנה משותף במונה.

נכתוב את השבר עם קו שבר אחד ונכנס איברים.

נצמצם בשורש x.

לפני שנציב בנוסחה נמצא את הנגזרת של המונה והמכנה.

נגזרת מונה:

נגזרת מכנה:

ועכשיו אנו יכולים להציב בנוסחה של נגזרת מנה ולגזור את הפונקציה:

נגזור על פי נוסחה לנגזרת מכפלה:

ניצור מכנה משותף ונפשט.

נפתח סוגריים וניצור מכנה משותף

נכתוב פשוט:

נגזור על פי הנוסחה:

אנו יכולים לגזור כל איבר בנפרד:

נגזור:

זו נגזרת מורכבת.

הנוסחה לגזירת פונקציית שורש מורכבת היא:

ועל פי הנוסחה הנגזרת היא:

זוהי פונקציה מורכבת וגוזרים אותה בדיוק כמו הפונקציה הקודמת.

פונקציה מסוג זה גוזרים בעזרת כלל המכפלה של נגזרת:
(f (x) * g (x) = f ‘ (x) * g (x) + g ‘ (x) * f (x

נסמן את הנגזרות באדום:

זו הייתה פעולת הגזירה.
אבל כדי להשתמש בנגזרת למציאת נקודות קיצון עלינו לפשט את הנגזרת.

ניצור בין שני הביטויים מכנה משותף.

פונקציה מסוג זה גוזרים בעזרת כלל המכפלה של נגזרת:
(f (x) * g (x) = f ‘ (x) * g (x) + g ‘ (x) * f (x

הנגזרת של x היא 1.
הנגזרת של (x + 2)√ היא

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

אם קשה לכם אם החלק האחרון מבחינת השבר שהיה עם 3 בתים והפך לשבר עם שני בתים ניתן ללמוד כיצד עושים זאת בדף איך לחלק שבר בשבר.

הנגזרת של המונה היא 2.
הנגזרת של המכנה היא:

לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

ניצור מכנה משותף במונה (לאחר שצימצמנו את ה 2 באיבר הימני)

במונה נפתח סוגריים ובמכנה נשתמש בחוקי חזקות.

בתרגיל זה השתמשנו באלגברה קשה יחסית, חזרה תוכלו לעשות בקישורים הבאים:

• כיצד לפתור שבר משולש.
• כיצד למצוא מכנה משותף לשבר חלקי במונה או במכנה.

זוהי פונקציה מורכבת.
כאשר הפונקציה החיצונית היא פונקציית השורש.

והפונקציה הפנימית היא פונקציית המנה.

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]’ = f ‘ (g(x)) * g ‘ (x]

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש

(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) ^0.5  =  (x+1)^2-0.5)
x+1)^1.5) = 
ומתקבל לבסוף: