פונקציית שורש

בדף זה נלמד לחקור את פונקציית השורש.

  1. תחום הגדרה.
  2. נגזרת.
  3. מציאת משיק.
  4. נקודות קיצון.
  5. פתרון תרגילים מהבגרות.

1. תחום הגדרה

פונקציית שורש מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי.

תרגיל 1
מצאו את תחום ההגדרה עבור הפונקציה f(x) = √x.

פתרון
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי. לכן
x > 0
הפונקציה מוגדרת כאשר x>0

תרגיל 2
מצאו את תחום ההגדרה עבור הפונקציה  (4- f(x) = √(-x.

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון
x – 4 >0-
הפתרון הוא:
x < – 4
תשובה: תחום ההגדרה הוא x < – 4.

תרגיל 3 (אי שוויון ריבועי)
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה
(f (x) = √(x² -7x +10

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון:
x² -7x +10 > 0
בעזרת פירוק הטרינום נגיע ל:
x – 2 ) (x – 5) >0)
האי שוויון הזה מתקיים כאשר:
x >2 וגם x >5
x> 5

או:
x < -2 וגם x < 5
x < 2
תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x < 2 או x> 5

2. נגזרת פונקציית שורש

הנגזרת של פונקציית שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

כאשר יש פונקציה בתוך השורש הנגזרת היא:

נגזרת פונקציית שורש מורכבת

תרגילים לדוגמה בגזירת פונקציית שורש

תרגיל 1

פתרון

*הנגזרת של x√ היא   .
*הנגזרת של קבוע כפול פונקציה של x היא:
,
כאשר במקרה שלנו  k = 5.
*הנגזרת של מספר היא 0.
לכן:

תרגיל 2

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
, כאשר k = -2.

לכן:

f(x)=√x

f(x)=√x

f(x)=1/√x

f(x)=1/√x

3. מציאת משיק לפונקציית שורש

תרגיל 1
מצאו את המשיק לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
בנקודה y=4.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 4.

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
2x – 1 = 4²
2x – 1 = 16
2x = 17
x = 8.5
לכן נקודת ההשקה היא (4, 8.5).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 8.5.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 8.5.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = 1/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = 1/4*(x – 8.5
y  – 4  =  1/4*x – 17/8
y   =  1/4*x + 15/8

4. נקודות קיצון פנימיות

נקודות קיצון פנימיות מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל 0. על מנת לוודא שזו אכן נקודות קיצון ובאיזה סוג קיצון מדובר יש לבדוק את הנגזרת השנייה או לבחון את סביבת הנקודה.

שימו לב: לא משנה מה שואלים אותכם; נקודות קיצון, עליה ירידה וכו. בכול מקרה עליכם לבדוק קודם כל את תחום ההגדרה של הפונקציה.

נקודת קיצון בקצוות

אזכיר כיצד מוצאים נקודת קיצון בקצוות:

  1. עושים את כל השלבים למציאת נקודת קיצון מקומי.
  2. מציבים את ערכי הקצה של הפונקציה (ערכים של ה – x) במשוואת הפונקציה.
  3. משווים את הערכים שקיבלנו עם ערכי המינימום מקסימום מקומיים. אם אחד הערכים שקיבלנו גדול יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מקסימום מוחלט. אם אחד הערכים שקיבלנו קטן יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מינימום מוחלט.

עבור הפונקציה 3x²-2√x תחום ההגדרה הוא x≥0 כלומר הקצה הוא x=0. עבור ערך זה f(0)=0.
נקודה זו יותר גבוהה מנקודת המינימום של הפונקציה אך לא ניתן לקבוע כי זו נקודת מקסימום מוחלט כי אנו לא יודעים מה היא נקודת המקסימום של הפונקציה.

5. פתרון תרגילים מהבגרות

חורף 2017 שאלה 7 שאלון 481

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.