פונקציית שורש

בדף זה נלמד לחקור את פונקציית השורש בעזרת השיעורים הבאים:

  1. שיעור 1: משוואות עם שורש.
  2. שיעור 2: תחום הגדרה.
  3. שיעור 3: נגזרת.
  4. שיעור 4: מציאת משיק.
  5. שיעור 5: נקודות קיצון.
  6. שיעור 6: אינטגרל של פונקציות שורש.

בהמשך הדף שני חלקים:

  1. חקירה מלאה של  פונקציות כהכנה לבגרות.
  2. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

חקירה מלאה של פונקציית שורש

בחלק זה נחקור חקירה מלאה של 3 פונקציות שורש.
תרגיל מספר 1 הוא חקירה של פונקציית השורש הפשוטה ביותר.
תרגילים 2-3 הם חקירת פונקציית שורש ברמה של הבגרות.

שלושת הפונקציות הם:

f(x) = √x
(f(x) = x√(2-x

תרגיל 1
f(x) = √x

1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x ≥ 0 .

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
x = 0√
x = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא : (0 ,0).

ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 1 / 2√x = 0
הנגזרת שונה מ – 0 לכל x.
(נשים לב כי הנגזרת אינה מוגדרת עבור x = 0)
לכן נקודה חשודה לקיצון היא  x = 0.

הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה. (סימן הנגזרת אינו משתנה).
נציב נקודה כלשהי על מנת לבדוק האם מדובר בעלייה או בירידה.
f ' (1) = 1 / 2√1 = 1/2
לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  => הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

לכן נקודת הקצה (0,0) היא נקודת מינימום קצה.

לכן :
נק' קיצון: מינימום קצה: (0,0)
עלייה: x ≥ 0.
ירידה: אין.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות
: אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

5. חישוב אינטגרל:
חשבו את השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה, בין הישר x = 1 לישר x = 4.

פתרון

השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

 

סקיצה של הפונקציה:

 

 

תרגיל 2
(f(x) = x√(2-x

1. תחום הגדרה:
הביטוי שמתחת לשורש מוכרח להיות אי-שלילי (כלומר חיובי או אפס)  .
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x ≤ 2 .

2. נק' חיתוך עם הצירים:
 ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
x√(2-x) = 0
x1 = 0 , x2 = 2
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (0,0).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
(נגזרת של מכפלה בשילוב שורש)

נכפול את שני אגפי המשוואה במכנה: 

3x + 4 = 0-
x = 4/3

לכן נקודה חשודה לקיצון היא x = 4/3.
הנגזרת אינה מוגדרת עבור x = 2, ולכן גם היא נקודה חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים: (נזכור כי תחום ההגדרה הוא x ≤ 2 ).
א. 
ב. x < 4/3
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן :
נק' מקסימום: (1.08 , 4/3)
נק' מינימום(קצה): (0 , 2)
עלייה: x < 4/3
ירידה: 

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות
: אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 3

1. תחום הגדרה:
הביטוי שמתחת לשורש מוכרח להיות אי-שלילי (כלומר חיובי או אפס)  .
עבור x = 0 המכנה מתאפס – ולכן הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x > 0 .

2. נק' חיתוך עם הצירים:
 ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
הביטוי שווה ל-0 רק אם המכנה מתאפס. לכן:
3x – 2 = 0
x = 2/3
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא: (0 , 2/3) 

ציר y:   הישר x = 0 (כלומר ציר y) נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
(נגזרת של מנה בשילוב שורש)

הנגזרת שונה מ -0 לכל x בתחום ההגדרה.
לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה. (סימן הנגזרת אינו משתנה).
נציב נקודה כלשהי על מנת לבדוק האם מדובר בעלייה או בירידה.
f ' (1)  > 0
לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  => הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

לכן :
נק' קיצון: אין.
עלייה: x > 0.
ירידה: אין.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כאשר x שואף ל – 0 , המכנה שואף ל-0 ואילו המונה שואף למספר קבוע (2-)
לכן כאשר x שואף ל – 0 הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
לכן אסימפטוטה אנכית של הפונקציה היא x = 0.
ב. אופקיות
: אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
-עבור x שואף לאינסוף: בחישוב הגבול נתייחס למקדמים של החזקה הגבוהה ביותר של x.
(במקרה שלנו – חזקה 1 – כלומר המקדמים של x).
לכן כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל – 3/2,
לכן אסימפטוטה אופקית של הפונקציה היא y = 3/2.

 

פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות

קיץ 2018 תרגיל 7

חקרו את הפונקציה:

א. תחום הגדרה (כתלות בפרמטר a):
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי.
כלומר:
x + a ≥ 0
x ≥ -a

ב. הנקודה (2,24) נמצאת על גרף הפונקציה.
לכן מתקיים: f(2) = 24.
נציב במשוואת הפונקציה:


נחלק ב – 8:
3 = (2+a)√
נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
a + 2 = 9
a = 7

ג.

  1. נקודות חיתוך עם הצירים:
    ציר x:
    נפתור את המשוואה f(x) = 0
    x3 * √(x+7) = 0
    *x3 = 0
    x1 = 0
    *x+7) = 0)√
    x2 = -7ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
    f(0) = 0

לכן נקודות החיתוך הן:
ציר x:
(0,0), (7,0-)
ציר y:
(0,0)

2. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.
נגזור לפי נגזרת של מכפלה:

מכנה משותף:

המנה שווה ל – 0 רק כאשר המונה מתאפס:
7x3 + 42x2 = 0
נוציא גורם משותף:
x2 * (7x + 42) = 0
x1 = 0, x2 = -6 
נקודות חשודות לקיצון.
בנוסף, עבור x = -7 הנגזרת אינה מוגדרת – ולכן היא גם חשודה לקיצון.

נבדוק האם אלו נקודות קיצון לפי תחומי עליה וירידה:

**נשים לב כי x = 0 איננה נקודת קיצון, מכיוון שלפניה ואחריה הפונקציה עולה.
(כלומר הנגזרת אינה משנה את סימנה בנקודה x = 0).

לכן, נקודות הקיצון הן:
מקסימום: (7,0-)
מינימום: (216- , 6-)

3. סקיצה:

4. תחומי חיוביות ושליליות:
ניתן לראות לפי הסקיצה:
חיוביות: x > 0
שליליות:  

ד.  g(x) = f(x) + c , כאשר c הוא פרמטר.

אנו רוצים שגרף הפונקציה (g(x ישיק לציר x.
כלומר, נרצה ששיעור ה -y של נקודת המינימום יהיה 0.
על מנת שזה יקרה, נצטרך להוסיף ל- (f(x קבוע שערכו 216.
(מכיוון ששיעור ה-y הנוכחי של נקודת המינימום הוא 216-).

לכן c = 216.

 

חורף 2018 תרגיל 7

חקירת הפונקציה:

א.
1. תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי.
כלומר:

נעביר אגף:
x2 ≤ 49
משוואה זו מתקיימת עבור:

לכן זהו תחום ההגדרה.

2. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.
נגזור לפי נגזרת מורכבת של שורש.

המנה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.
**נשים לב כי המכנה מתאפס עבור x = ± 7 , ואז הנגזרת איה מוגדרת. לכן אלו גם נקודות חשודות לקיצון.

נבדוק האם הן נקודות קיצון לפי תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

נפצל ל – 2 תחומים:
1. 
2. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

(הנקודות x = ±7 הן נקודות קצה, ולכן ניתן לקבוע האם הן מינימום או מקסימום לפי התחום שלצידן)

תשובה:
מקסימום: (0,7)
מינימום: (7,0) , (7,0-)

3. סקיצה:

ב. 

  1. אסימפטוטות: (מאונכות לציר x)
    אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
    עבור  x = ± 7 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
    כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
    לכן הישרים x = ± 7 הם אסימפטוטות אנכיות של נגזרת הפונקציה.
  2. תחומי חיוביות ושליליות:
    מצאנו בסעיף א' את תחומי העלייה והירידה, שהם נובעים מתחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת.
    לכן:
    חיוביות:   
    שליליות:   
  3.  סקיצה של הנגזרת:

 

ג. חישוב השטח הכלוא:
זהו השטח שנדרש לחשב:

השטח מוגבל מלמעלה ע"י פונקציית הנגזרת, ומהצדדים ע"י הישרים x = -6, x = 0.
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

אין צורך לפתור את האינטגרל, מכיוון שאנו יודעים שפונקציה זו היא הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן אנו יודעים מהי הפונקציה הקדומה.
לכן מתקיים:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 3.39  יחידות ריבועיות.

חורף 2017 שאלה 7 שאלון 481

סעיף א
לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ערך הנגזרת הוא 0, ועל פי הגרף זה קורה כאשר X=3.

חלק שני – מציאת פרמטר.
(f(x)=√(-x²+bx+16
נגזור את הפונקציה

הנגזרת מתאפסת כאשר מונה הנגזרת מתאפס וכאשר X=3.
נציב x = 3 במונה הנגזרת ונקבל.

תשובה: b=6.

סעיף ב
(f(x)=√(-x²+6x+16
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי או שווה ל 0.
x²+6x+16≥0 / *-1-
x²-6x-16≤0
זה אי שוויון ריבועי שנפתור בעזרת פירוק הטרינום.
x-8)(x+2)≤0)
זו פרבולה מחייכת עם שני נקודות חיתוך כאשר X=8, X=-2
האי שוויון מתקיים כאשר

וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה.

נקודות קיצון
נקודת הקיצון הפנימית מתקבלת כאשר X=3.
f(3)=√(-3 ²+6*3+16)=√25=5
(3,5) – קיצון פנימי מקסימום.
קיצון בקצוות יכול להתקבל כאשר:
x=-2
f(-2)=√(-(-2) ²+6*-2+16)=√0
(-2,0) – מינימום בקצה.
x=8
f(8)=√(-8²+6*8+16)=√0
(8,0) – מינימום בקצה.

סעיף ד.
שרטוט גרף

גרף הפונקציה

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.