חזקות, חוקי חזקות

בדף זה:

  1. חוקי חזקות – הסברים ודוגמאות.
  2. מינוס לפני חזקה – יש שתי אפשרויות, בחלק זה נסביר מה כל אפשרות אומרת.
  3. תרגילים טכניים – 15 תרגילים הנפתרים על ידי חוקי חזקות. 10 תרגילים הם ברמה קלה – בינונית ו- 5 תרגילים הם קשים יותר.
  4. תרגילי חשיבה – תרגילים שבהם יש צורך ביותר מחוקי חזקות על מנת להגיע לפתרון.
  5. חוקי שורשים.

מה היא חזקה?

חזקה היא כתיב מקוצר של פעולת כפל, למשל:

4*4*4*4*4 = 45.

  1. מעריך החזקה – כך נקרא המספר שנמצא למעלה (במקרה זה 5).
  2. בסיס החזקה – כך נקרא המספר שנמצא למטה (במקרה זה 4).

1. חוקי חזקות

הוידאו שלמעלה והטקסט שלמטה כוללים את אותו תוכן.

חזקות זו שפה. לפני שפותרים תרגילים צריך להכיר את חוקי השפה – חוקי החזקות מפורטים כאן :

1.  am * an = am+n

חוק זה משמש לכפל של חזקות עם בסיס זהה.
המילה החשובה היא "כפל".  טעות נפוצה היא לנסות לפתור באמצעות כלל זה ביטויי חזקות שיש בניהם חיבור או חיסור כמו am + an וזו טעות.

דוגמאות לשימוש נכון בכלל זה:

  • 36 = 34+2 = 32 * 34
  • 2x³ * 5x4 = 2*5* x3*x= 10x7

דוגמאות לטעויות:
טעות נפוצה היא להשתמש בחוק הזה עבור תרגילי חיבור או חיסור חזקות.

57 = 53 + 54
am –  an = am + n
שני הפתרונות הללו הם טעות. החוק לא מתאים לחיבור או חיסור חזקות.

2.  an)m = an*m)

חזקה של חזקה.

כאשר יש חזקה של חזקה אנו מכפילים את שני מעריכי החזקה.

  • 56 =²(5³)
  • x4)² = x4*2 = x8)

טעות נפוצה היא להתייחס אל החזקות כאל מספרים רגילים ולעלות בחזקה את החזקה, וזו טעות.

x²)3 = x²3 = x8)  וזו טעות.

3.   a*b*c)n = an*bn*cn)

חזקה של מספר איברים עם כפל בניהם.

חזקה של מספר איברים שכפל בניהם היא חזקה של כל אחד מהאיברים בנפרד.

  • xyz)³ = x³y³z³)
  • 2x)³ = 2³x³ = 8x³)

שימו לב שכאשר יש חיבור או חיסור בתוך הסוגריים לא ניתן להשתמש בחוק החזקה.

xy+z)³) לא ניתן להשתמש בכלל במקרה זה.

4.  

חזקה עם מעריך שלילי.

מעבירים את ביטוי החזקה מהמונה למכנה ומסירים את סימן המינוס.

5. 

שבר בחזקה.

כאשר יש שבר בחזקה זה כמו המונה בחזקה לחלק במכנה בחזקה.

6. 

שבר בחזקה שלילית. 

על כלל זה המונה הופך מכנה והמכנה הופך מונה ואילו מעריך החזקה משנה סימן לחיובי.

7.   

8.   

  • x2/3 = ³√x²
  • 64√³ = 64/3

חוקי חזקות הקשורים ל 0 ו 1

  1. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
    1=50=1000.
  2. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0.
    מלבד 00 שהוא לא מוגדר.
    0 = 0x.
  3. 1 בחזקת כל מספר (מלבד 0) שווה ל- 1
    1 = 1x

ריכוז חוקי חזקות

  1. am * an = am+n
  2. an)m = an * m)
  3. a*b*c)n = an*bn*cn)
  4. a-n = 1/ an
  5. a / b)n = an / bn)
  6. a / b)-n = bn / an)
  7. am / an = am-n
  8. an/m = m√a n
  9. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
    1=50=1000.
  10. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 00 שהוא לא מוגדר.
    0 = 0x.
  11. 1 = 1x

2. מינוס לפני חזקה

יש 2 צורות בהן מינוס יכול להופיע לפני חזקה.

1.כאשר המינוס נמצא בתוך הסוגריים.
וזה אומר שהמספר כולו, יחד עם המינוס מועלה בחזקה.
למשל:
8 – = 2- * 2- * 2- = ³(2-)

2. כאשר המינוס מחוץ לסוגריים
במקרה הזה רק המספר עולה בחזקה ולאחר שסיימנו את פעולת החזקה מוסיפים את הסימן מינוס.
למשל:
16- = (2*2*2*2) – = 24
8 =(8-) – =  (2- * 2- * 2-) – = ³(2-) –

3. 15 תרגילים הנפתרים על ידי חוקי חזקות

10 התרגילים הראשונים הם תרגילים ברמה קלה עד בינונית.
5 התרגילים האחרונים הם תרגילים קשים יותר.

חלק מהתרגילים כוללים רק שימוש בחוקי חזקות וחלק הם משוואות בהם צריך למצוא את x.

למשל, כיצד פותרים את המשוואה:
3x = 3²

תשובה: כאשר בסיס החזקה זהה גם מעריך החזקה צריך להיות שווה.
לכן הפתרון הוא x = 2.

תרגילים ברמה קלה – בינונית

  1. 44 * 45
  2. 4² – 3²*2
  3. x4)3 = x4+3 = x7)
  4. x*y*z)3 * x*y*z )

תרגיל 5
תרגיל חזקות

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

4x * 42 = 46

תרגיל 9

תרגיל 10

 

פתרונות

לתרגילים 1,2,4,7,9 יש גם פתרונות וידאו המופיעים לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1       = 44 * 45
נשתמש בחוק החזקה  am * an = am+n
כאשר a= 4 ונקבל:
49 = 45+4 = 44 * 45

תרגיל 2     = 4² – 3²*2
על פי סדר פעולות חשבון פעולת החזקה קודמת לפעולת הכפל.
לכן:
16 – 9*2 =  4² – 3²*2
2 = 18-16

תרגיל 3     =  x4)3 )
נשתמש בחוק החזקות 
an)m = an*m)
כאשר:
a = x,      n = 4,     m = 3
x4)3 = x4*3=x12)

תרגיל 4        x*y*z)3 * x*y*z)
נשתמש בחוק החזקות:
a*b*c)n = an*bn*cn)
ונקבל:
x3y3z3*xyz
עכשיו על פי חוק החילוף הכפל התרגיל שלנו הוא:
 = (x3* x) *(y3* y) * (z3 * z)
x4y4z4
כל התרגיל ברצף נפתר כך:
x*y*z)3 * x*y*z =x3y3zz*xyz = x4y4z4)

תרגיל 5
תרגיל חזקות

נשתמש בכלל החזקות
a / b)n = an / bn)
ונקבל:

הערה: בשלב האחרון צמצמנו מונה ומכנה בצורה הזו:
צמצום חזקות

תרגיל 6


נשתמש בחוק החזקה:


ונקבל:

תרגיל 7


נצמצם את ה xים וה yים בנפרד ונקבל:
x5 : x3 = x²
y : y ³ = 1 / y²

פתרון התרגיל

תרגיל 8
4x * 42 = 46

נשתמש בחוק החזקה:
am * an = am+n
נקבל
4x * 42 = 46
4x + 2 = 46

x + 2 = 6   / -2
x = 4

תרגיל 9

נשתמש בכלל החזקה:

3x – 2 = 32x
נפתור את המשוואה:
x – 2 = 2x
x = -2

תרגיל 10

נזכור כי:
21 = 2
נשתמש בחוק החזקה:

25n = 21-n
5n = 1 – n   / + n
6n = 1   / : 6
n = 1/6

תרגילים  קשים יותר

התרגילים הללו מכסים מגוון רחב של מצבים.
לתרגילים 1,4 יש גם פתרונות וידאו המופיעים לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

תרגיל חזקות

פתרון

תרגיל חזקות

כאשר אנו פותרים תרגיל נשאף שיהיו לנו כמה שפחות בסיסים.
נשים לב ש:
2² = 4
4(3 * 2) = 64

פתרון התרגיל

שימוש בחוקי חזקות וצמצום מונה ומכנה

שימוש בחוקי חזקות וצמצום מונה ומכנה

תרגיל 2

xa+2* ya-1*x*ya * y0.5a* x-4

פתרון

xa+2* ya-1*x*ya * y0.5a* x-4
נכפיל את ב x ב- x ואת ה y ב- y ונקבל:
xa+2* ya-1*x*ya * y0.5a* x-4
xa+2+1-4* ya-1+a+0.5a

עכשיו נחבר את המונים של כל חזקה:
xa-1* y2.5a-1

פתרון התרגיל ברצף:
xa+2* ya-1*x*ya * y0.5a* x-4 = xa+2+1-4* ya-1+a+0.5a = xa-1* y2.5a-1

תרגיל 3

פתרון
עבור המונה נשתמש בחוק החזקה:
an)m = an*m)
עבור המכנה נשתמש בחוק החזקה:

מה שהיה המכנה יופיע בפתרון באדום.
x3*3* y4*3xy
x9y12xy
x10y13

תרגיל 4

חוקי חזקות, תרגיל

פתרון

נשתמש בכלל האומר:

ונקבל:

תרגיל 5

פתרון

3x = 9
x = 3

תרגיל 6

פתרון

1 = 33n*22n * 18-n
33n*22n * 9-n* 2-n = 1
22n * 2-n * 33n *3-2n = 1
2n * 3n = 60

נשתמש בחוק החזקה:
ab)n = anbn)
n=0

שגיאות נפוצות בחזקות

השגיאות הנפוצות נובעות משימוש בחוקי חזקות כאשר אסור להשתמש בהן:

א) לא ניתן להשתמש בחוקי החזקות עבור פעולות חיבור או חיסור (כל כללי החזקות נוגעים בכפל או חילוק).
למשל התרגיל :
X5 + X3
נשאר כמו שהוא (שגיאה שכיחה =X8)

ניתן לבצע רק חיבור או חיסור של ביטויי שבהם מעריך החזקה ובסיס החזקה זהים:
x³ + x³ = 2x³
54 * 2 = 54 + 54

ב)אין חוקים היוצרים "איחוד" של ביטויים בעלי בסיס חזקה שונה.
למשל על התרגיל :
32 * 24
לא ניתן ליישם אף אחד מחוקי החזקות.

ג) הקפדה על סדר פעולות חשבון.
חזקה קודמת לכל פעולת חשבון. קודמת גם לכפל.
למשל התרגיל : 3x)2*x3)
טעות יכולה להיות 3x)2*x3= 3x5)

הפתרון הנכון: 3x)2*x3 = 9x2*x3 = 9x5)

4. תרגילי הבנה

בתרגילים הללו לא תצטרכו לבצע הרבה חישובים אבל תצטרכו לעלות על העיקרון שפותר את השאלה.
לכל התרגילים יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

1.פי כמה גדול המספר 620 מ 618?

פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נשאף להפוך את 620 לביטוי הכולל בתוכו את 618 נעשה זאת על ידי שימוש בכלל
am * an = am+n.

618 * 36 = 618 * 62 = 620

(נובע מ am * an = am+n)

תשובה: 6 20 גדול פי 36 מ 618.

2. כתבו בכתיב חזקות את המספרים הבאים:

  1. 25,000.
  2. 0.16

פתרון

52 * 103 = 25,000
42 * 10-2 = 0.16

הסבר לפתרון:

על מנת לכתוב מספרים גדולים אנו נבדוק כמה אפסים כולל המספר.
מספר האפסים יהיה החזקה של ה 10.
ובמקרה הזה 25,000 כולל 3 אפסים ולכם 10³.
לאחר מיכן נכתוב את המספר שאינו אפסים בכתיב חזקות 25= 5².

על מנת לכתוב מספרים קטנים נכתוב את המספר בכתיב חזקות 16 = 4² ולאחר מיכן נחשב בכמה מקומות צריך להזיז את הנקודה העשרונית. מספר המקומות הזה שווה לחזקה השלילית של 10 שנכתוב. במקרה זה צריך להזיז את הנקודה העשרונית שני מקומות ולכן נכפיל ב 10-2.

3. חשבו את התרגיל 2b)³ + 3b³)

פתרון
בתרגיל כזה חשוב לשים לב שלא ניתן לבצע חיבור בשלב ראשון (כי בסיסי החזקה שונים באחד הבסיס הוא b בשני הבסיס הוא 2b) אבל לאחר פתיחת הסוגריים ניתן כי יש לנו בסיסים ומעריכי חזקה זהים.

2b)³ + 3b³ = 2³b³ + 3b³ = 11b³)

4. סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם:
107 * 2,   105 * 2000,  108 * 20.

פתרון

108 * 20> 105 * 2000 > 107 * 2.

הסבר: נעביר את כל המספרים למצב בו הם כוללים 105, החזקה הקטנה שיש.
105 * 20,000 = 108 * 20.
105 * 2000 = 105 * 2000
105 * 200 = 107 * 2

בצורת הצגה זו קל לראות מי גדול ממי.

5. האם יש מקרים בהם x7 < x6 ?

פתרון

  1. עבור כל המספרים השליליים x7 הוא שלילי ו x6 חיובי (בגלל שמספר בחזקה זוגית הוא תמיד חיובי) ולכן x7 < x6.
  2. כאשר x הוא מספר בין 0 ל 1 תוצאת החזקה קטנה ככול שהחזקה גדולה יותר.
    למשל 0.01 = 0.1² ואילו 0.001 = 0.1³.
    לכן בתחום  מספרים זה x7 < x6.

הסבר: יש 4 קבוצות של מספרים שבהם יכול להיות הבדל בתשובה:

  1. x>1: בקבוצת מספרים זו  x7 > x6.
  2. x>0 וגם x<1 (כלומר x הוא שבר חיובי): בקבוצת מספרים זו  x7 < x6 כי x7 = x6 *x. וכאשר מכפילים מספר חיובי בשבר חיובי ערכו קטן. למשל 0.56 גדול יותר מ 0.56 * 0.5.
  3. x<0 וגם x>-1 (כלומר x הוא שבר שלילי).
  4. x<-1 עבור שתי קבוצות המספרים (3,4) הביטוי x6 הוא חיובי והביטוי x7 הוא שלילי.

6. מה ערכו של x במשוואה הנוכחית?

x*220 = 223  + 221

פתרון

על מנת לפתור עלינו ליצור ביטוי משתף לשלושת איברי המשוואה.
הביטוי שקל ליצור הוא 220.
נעשה זאת בעזרת הכלל am * an = am+n.

x*220 = 223 + 221 = 23220 + 2120= 8*220 + 2*220 =10*220

x=10

7. איזה מספר גדול יותר 540  או  360 ?

פתרון

לא ניתן להביא את המספרים לאותו בסיס חזקה.
אז ננסה להביא את המספרים לאותו מעריך חזקה.
מעריך החזקה ששני המערכים יכולים להגיע אליו הוא 20.

272020(33) = 360

252020 (52) = 540

360 = 2720> 2520 = 550

8. סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם:

3100 ,  1050 ,  4100

פתרון

נביא את כל המספרים למעריך חזקה 50.
950 50 (32) = 3100
ולכן 1050 > 3100

165050(42) = 4100
ולכן:4 100 > 1050

סדר המספרים הוא:
100 > 1050 > 3100

9. נתון כי 6X=4. חשבו את 62X, 6-3X.

פתרון

עלינו לבטא את 62X, 6-3X בעזרת הביטוי 6X.
נעשה זאת על ידי שימוש בחוק am * an = am+n.

62x = 6x * 6x = 4*4 = 16
62x = 16
6-3x = 6x * 6 * 6x = (1 / 6x ) * (1 / 6x) * (1 / 6x )= 0.25 * 0.25*0.25 = 1 / 64
6-3x= 1 / 64

10. נתונים הגרפים של הפונקציות 2x, 5x,  0.2x התאימו בין מספרי הגרפים לפונקציות.

הגרפים של הפונקציות

פתרון

גרף 1 הוא של 0.2x משום
שהוא הגרף היחידי שיורד.

גרף 2 הוא של 5x משום
שהוא עולה בצורה תלולה
יותר מגרף 3, שהוא של 2x.

5. חוקי שורשים

a)n = √an√)

an/m = m√a n

n(√ab) = n√a * n√b

n√(a/b) = n√a  / n√b

תרגילי שורשים

כיצד "מפרקים" ביטוי הנמצא בתוך שורש? כלומר איך הופכים ביטוי כמו 75√ לביטוי אחר?

עושים זאת על ידי מציאת מספר שיכול להיות מוכל בתוך 75 ויכול להיות לו שורש עגול.

3√5 = (3*25)√ = 75√

  1. הוציאו מספר אל מחוץ לשורש: 45√
  2. חשבו מה יותר גדול:   120√ או 5√6
  3. הפכו את התרגיל למספר אחד בתוך שורש:   = 5√ + 5√ + 5√
  4. בטלו את השורש בביטוי:  8(3√)

פתרונות

  1. 5√3 = (5*9)√= 45√
  2. 180√ = (5*36)√ =  5√6
    120√  <  5√6
  3. 45√ = 5√3 = 5√ + 5√ + 5√
  4. 81 = 34 = 38/28(3√)

תרגיל 7       8-√3
אנו יודעים כי:

8 – = ³(2-)
לכן נכתוב  ³(2-) במקום 8- בתוך השורש
2- = 3(2-)√3 =  8-√3

תשובה: 2- =  8-√3

תרגיל 8   8-√
לתרגיל זה אין פתרון משום שאין שורש זוגי למספר שלילי.

עוד באתר:

שאלה שאלות

4 תגובות בנושא “חזקות, חוקי חזקות

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      יש לך את 2³ שזה שווה 2*2*2 = 8 וכאשר מוסיפים את השלוש זה יוצא 11.
      גם מספרים מעלים בחזקה, לא רק נעלמים.
      גם כאשר יש:
      2x)³ = 8x³)
      זה חוק מספר 3.
      מקווה שעזרתי והנושא שדיברת עליו צריך להיות לך ברור ב 100% כי זה דבר יסודי בחזקות.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      אני אתן שני רמזים די גדולים:
      1) ניתן להוציא גורם משותף 3x^4.
      2) כאשר יש מכפלה של שני איברים השווים 0. לפחות אחד מהאברים שווה ל 0.
      מסתדר?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.