חזקות

מה היא חזקה?

חזקה היא כתיב מקוצר של פעולת כפל, למשל:

4*4*4*4*4 = 45.

  1. מעריך החזקה – כך נקרא המספר שנמצא למעלה (במקרה זה 5).
  2. בסיס החזקה – כך נקרא המספר שנמצא למטה (במקרה זה 4).

חוקי חזקות

חזקות זו שפה. לפני שפותרים תרגילים צריך להכיר את חוקי השפה – חוקי החזקות הם מפורטים כאן :

אם נוח לכם ללמוד את החוקים על ידי וידאו אז תמצאו את הוידאו בסוף החוקים.

1.  am * an = am+n

חוק זה משמש לכפל של חזקות עם בסיס זהה.
המילה החשובה היא "כפל".  טעות נפוצה היא לנסות לפתור באמצעות כלל זה ביטויי חזקות שיש בניהם חיבור או חיסור כמו am + an וזו טעות.

דוגמאות לשימוש נכון בכלל זה:

  • 36 = 34+2 = 32 * 34
  • 2x³ * 5x4 = 2*5* x3*x= 10x7

2.  an)m = an*m)

חזקה של חזקה.

כאשר יש חזקה של חזקה אנו מכפילים את שני מעריכי החזקה.

  • 56 =²(5³)
  • x4)² = x4*2 = x8)

טעות נפוצה היא להתייחס אל החזקות כאל מספרים רגילים ולעלות בחזקה את החזקה, וזו טעות.

x²)3 = x²3 = x8)  וזו טעות.

3.   a*b*c)n = an*bn*cn)

חזקה של מספר איברים שכפל בניהם.

חזקה של מספר איברים שכפל בניהם היא חזקה של כל אחד מהאיברים בנפרד.

  • xyz)³ = x³y³z³)
  • 2x)³ = 2³x³ = 8x³)

שימו לב שכאשר יש חיבור או חיסור בתוך הסוגריים לא ניתן להשתמש בכלל.

xy+z)³) לא ניתן להשתמש בכלל במקרה זה.

4.   a-n = 1/ an

חזקה עם מעריך שלילי.

מעבירים את ביטוי החזקה מהמונה למכנה ומסירים את סימן המינוס.

  • 10² / 1 = 10-2
  • 3x-7 = 3 / x7

5. a / b)n = an / bn)

שבר בחזקה.

כאשר יש שבר בחזקה זה כמו המונה בחזקה לחלק במכנה בחזקה.

  • x / y )8 = x8 / y8)

6. a / b)-n = bn / an)

שבר בחזקה שלילית. 

על כלל זה המונה הופך מכנה והמכנה הופך מונה ואילו מעריך החזקה משנה סימן לחיובי.

  • x / y)-7 = y7 / x7)

7.   am / an = am – n

  • y8 / y3 = y8-3 = y5
  • 35x4y2 / x5y233 = 35-3x4-5y2-2 = 32x-1y0 = 9 / x

8.   an/m = m√a n

  • x2/3 = ³√x²
  • 64√³ = 64/3

חוקי חזקות הקשורים ל 0 ו 1

  1. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
    1=50=1000.
  2. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 00 שהוא לא מוגדר.
    0 = 0x.
  3. 1 = 1x

ריכוז חוקי חזקות

  1. am * an = am+n
  2. an)m = an * m)
  3. a*b*c)n = an*bn*cn)
  4. a-n = 1/ an
  5. a / b)n = an / bn)
  6. a / b)-n = bn / an)
  7. am / an = am-n
  8. an/m = m√a n
  9. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
    1=50=1000.
  10. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 00 שהוא לא מוגדר.
    0 = 0x.
  11. 1 = 1x

וידאו: חוקי חזקות

הוידאו חוזר על על מה שכתוב בטקסט למעלה.

תרגילים ראשוניים

  1. 44 * 45
  2. 4² – 3²*2
  3. x4)3 = x4+3 = x7)
  4. x*y*z)3 * x*y*z )
  5. x / y)5 * (y / x)3)
  6. (64  / 28 ) * ( 43 / 34)
  7. 8-√3
  8. 8-√4

פתרונות

  1. 49 = 45+4 = 44 * 45
  2. 2 = 18-16 = 16 – 9*2 =  4² – 3²*2
  3. x4)3 = x4+3=x7)
  4. 2a)3 + 2a2 = 2³a² + 2a² = 8a² + 2a² = 10a²)
  5. x*y*z)3 * x*y*z =x3y3zz*xyz = x4y4z4)
  6. x / y)5 * (y / x)3) = x5y3 / y5x3 = x2 / y2)
  7. (64  / 28 )* ( 43 / 34)
  8. 2- = 3(2-)√3 =  8-√3
  9. 8-√ לתרגיל זה אין פתרון משום שאין שורש זוגי למספר שלילי.

צורות שונות בהם מינוס יכול להופיע בסמוך לחזקה:

1. כאשר המינוס בתוך הסוגריים אז המספר כולל את המינוס (החזקה היא גם על המינוס).

למשל:
8 – = 2- * 2- * 2- = ³(2-)

2. כאשר המינוס מחוץ / ללא לסוגריים החזקה היא לא על המינוס אלא רק על המספר.

16- = (2*2*2*2) – = 24
8 =(8-) – =  (2- * 2- * 2-) – = ³(2-) –

 

תרגילי הבנה

בתרגילים הללו לא תצטרכו לבצע הרבה חישובים אבל תצטרכו לעלות על העיקרון שפותר את השאלה.

1.פי כמה גדול המספר 620 מ 618?

פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נשאף להפוך את 620 לביטוי הכולל בתוכו את 618 נעשה זאת על ידי שימוש בכלל
am * an = am+n.

618 * 36 = 618 * 62 = 620

(נובע מ am * an = am+n)

תשובה: 6 20 גדול פי 36 מ 618.

2. כתבו בכתיב חזקות את המספרים הבאים:

  1. 25,000.
  2. 0.16

פתרון

52 * 103 = 25,000
42 * 10-2 = 0.16

הסבר לפתרון:

על מנת לכתוב מספרים גדולים אנו נבדוק כמה אפסים כולל המספר.
מספר האפסים יהיה החזקה של ה 10.
ובמקרה הזה 25,000 כולל 3 אפסים ולכם 10³.
לאחר מיכן נכתוב את המספר שאינו אפסים בכתיב חזקות 25= 5².

על מנת לכתוב מספרים קטנים נכתוב את המספר בכתיב חזקות 16 = 4² ולאחר מיכן נחשב בכמה מקומות צריך להזיז את הנקודה העשרונית. מספר המקומות הזה שווה לחזקה השלילית של 10 שנכתוב. במקרה זה צריך להזיז את הנקודה העשרונית שני מקומות ולכן נכפיל ב 10-2.

3. חשבו את התרגיל 2b)³ + 3b³)

פתרון
בתרגיל כזה חשוב לשים לב שלא ניתן לבצע חיבור בשלב ראשון (כי בסיסי החזקה שונים באחד הבסיס הוא b בשני הבסיס הוא 2b) אבל לאחר פתיחת הסוגריים ניתן כי יש לנו בסיסים ומעריכי חזקה זהים.

2b)³ + 3b³ = 2³b³ + 3b³ = 11b³)

4. סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם:
107 * 2,   105 * 2000,  108 * 20.

פתרון

108 * 20> 105 * 2000 > 107 * 2.

הסבר: נעביר את כל המספרים למצב בו הם כוללים 105, החזקה הקטנה שיש.
105 * 20,000 = 108 * 20.
105 * 2000 = 105 * 2000
105 * 200 = 107 * 2

בצורת הצגה זו קל לראות מי גדול ממי.

5. האם יש מקרים בהם x7 < x6 ?

פתרון

  1. עבור כל המספרים השליליים x7 הוא שלילי ו x6 חיובי (בגלל שמספר בחזקה זוגית הוא תמיד חיובי) ולכן x7 < x6.
  2. כאשר x הוא מספר בין 0 ל 1 תוצאת החזקה קטנה ככול שהחזקה גדולה יותר.
    למשל 0.01 = 0.1² ואילו 0.001 = 0.1³.
    לכן בתחום  מספרים זה x7 < x6.

הסבר: יש 4 קבוצות של מספרים שבהם יכול להיות הבדל בתשובה:

  1. x>1: בקבוצת מספרים זו  x7 > x6.
  2. x>0 וגם x<1 (כלומר x הוא שבר חיובי): בקבוצת מספרים זו  x7 < x6 כי x7 = x6 *x. וכאשר מכפילים מספר חיובי בשבר חיובי ערכו קטן. למשל 0.56 גדול יותר מ 0.56 * 0.5.
  3. x<0 וגם x>-1 (כלומר x הוא שבר שלילי).
  4. x<-1 עבור שתי קבוצות המספרים (3,4) הביטוי x6 הוא חיובי והביטוי x7 הוא שלילי.

6. מה ערכו של x במשוואה הנוכחית?

x*220 = 223  + 221

פתרון

על מנת לפתור עלינו ליצור ביטוי משתף לשלושת איברי המשוואה.
הביטוי שקל ליצור הוא 220.
נעשה זאת בעזרת הכלל am * an = am+n.

x*220 = 223 + 221 = 23220 + 2120= 8*220 + 2*220 =10*220

x=10

7. איזה מספר גדול יותר 540  או  360 ?

פתרון

לא ניתן להביא את המספרים לאותו בסיס חזקה.
אז ננסה להביא את המספרים לאותו מעריך חזקה.
מעריך החזקה ששני המערכים יכולים להגיע אליו הוא 20.

272020(33) = 360

252020 (52) = 540

360 = 2720> 2520 = 550

8. סדרו את המספרים הבאים על פי גודלם:

3100 ,  1050 ,  4100

פתרון

נביא את כל המספרים למעריך חזקה 50.

950 50 (32) = 3100

ולכן 1050 > 3100

165050(42) = 4100

ולכן:4 100 > 1050

סדר המספרים הוא:

100 > 1050 > 3100

9. נתון כי 6X=4. חשבו את 62X, 6-3X.

פתרון

עלינו לבטא את 62X, 6-3X בעזרת הביטוי 6X.
נעשה זאת על ידי שימוש בחוק am * an = am+n.

62x = 6x * 6x = 4*4 = 16
62x = 16
6-3x = 6x * 6 * 6x = (1 / 6x ) * (1 / 6x) * (1 / 6x )= 0.25 * 0.25*0.25 = 1 / 64
6-3x= 1 / 64

10. נתונים הגרפים של הפונקציות 2x, 5x,  0.2x התאימו בין מספרי הגרפים לפונקציות.

הגרפים של הפונקציות

פתרון

גרף 1 הוא של 0.2x משום
שהוא הגרף היחידי שיורד.

גרף 2 הוא של 5x משום
שהוא עולה בצורה תלולה
יותר מגרף 3, שהוא של 2x.

וידאו: פתרון תרגילים 1-5

שגיאות שכיחות בחזקות

שגיאות שכיחות בחזקות מבוססות על שימוש בחוקי חזקות כאשר אסור להשתמש בהם, שני המקרים השכיחים :

א) לא ניתן להשתמש בחוקי החזקות עבור פעולות חיבור או חיסור (כל כללי החזקות נוגעים בכפל או חילוק).

למשל התרגיל :
X5 + X3
נשאר כמו שהוא (שגיאה שכיחה =X8)

ניתן לבצע רק חיבור או חיסור של ביטויי שבהם מעריך החזקה ובסיס החזקה זהים:
x³ + x³ = 2x³
54 * 2 = 54 + 54

מתי ניתן לחבר או לחסר חזקות

מתי ניתן לחבר או לחסר חזקות

ב)אין חוקים היוצרים "איחוד" של ביטויים בעלי בסיס חזקה שונה.

למשל על התרגיל :
32 * 24
לא ניתן ליישם אף אחד מחוקי החזקות.

ג) הקפדה על סדר פעולות חשבון.

חזקה קודמת לכל פעולת חשבון. קודמת גם לכפל.

למשל התרגיל : 3x)2*x3)

טעות יכולה להיות 3x)2*x3= 3x5)

הפתרון הנכון: 3x)2*x3 = 9x2*x3 = 9x5)

תרגילים טכניים

על מנת לפתור את התרגילים הללו תצטרכו להשתמש בחוקי החזקות.
התרגילים הללו מכסים מגוון רחב של מצבים ולא חוזרים על עצמם.

  1. xa+2* ya-1*x*ya * y0.5a* x-4
  2. x2 / xm
  3. 6x5*y / 2x3y3
  4. x3y4)3 / (xy)-1)

חוקי חזקות, תרגיל

פתרונות

  1. xa+2* ya-1*x*ya * y0.5a* x-4 = xa+2+1-4* ya-1+a+0.5a = xa-1* y2.5a-1
  2. x2 / xm = x2-m
  3. 6x5*y / 2x3y33x2 / y2
  4. x3y4)3 / (xy)-1 = x9y12* xy = x10*y13)

פתרון חוקי חזקות

  • תרגילים טכניים נוספים בדף חוקי חזקות תרגילים.

חוקי שורשים

a)n = √an√)

an/m = m√a n

n(√ab) = n√a * n√b

n√(a/b) = n√a  / n√b

 

תרגילי שורשים

כיצד "מפרקים" ביטוי הנמצא בתוך שורש? כלומר איך הופכים ביטוי כמו 75√ לביטוי אחר?

עושים זאת על ידי מציאת מספר שיכול להיות מוכל בתוך 75 ויכול להיות לו שורש עגול.

3√5 = (3*25)√ = 75√

  1. הוציאו מספר אל מחוץ לשורש: 45√
  2. חשבו מה יותר גדול:   120√ או 5√6
  3. הפכו את התרגיל למספר אחד בתוך שורש:   = 5√ + 5√ + 5√
  4. בטלו את השורש בביטוי:  8(3√)

פתרונות

  1. 5√3 = (5*9)√= 45√
  2. 180√ = (5*36)√ =  5√6
    120√  <  5√6
  3. 45√ = 5√3 = 5√ + 5√ + 5√
  4. 81 = 34 = 38/28(3√)

 

 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.