נגזרת מכפלה

בדף זה נלמד לגזור פונקציה המורכבת ממכפלה של שתי פונקציות.

חלקי הדף הם:

  1. הסבר וידאו.
  2. הסבר כתוב.
  3. דוגמאות מהירות לגזירה.
  4. תרגילים.
  5. תרגילים עם פונקציות שאינן פולינום.

1.הסבר וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכיתה שלכם.

2.הסבר כתוב

כאשר יש לנו פונקציה (h (x שהיא מכפלה של שתי פונקציות.
(h (x) = f (x) * g (x
אז הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
(h ' (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

דוגמה לפונקציית מכפלה יכולה להיות:
(h (x) = 3x (2x – 1

שימו לב שלרוב (f (x), g (x יהיו נתונים לנו והדברים היחידים שיהיו חסרים להצבה יהיו (f ' (x),  g ' (x .
לכן על מנת להשתמש בנוסחה נפעל לרוב בשני שלבים:

  1. חישוב (f ' (x),  g ' (x -אלו שני הדברים החסרים לנו.
  2. הצבת כל האיברים בנוסחה.

הערה
בהרבה מהמקרים שבדף זה לא חייבים להשתמש בנוסחה הזו.
אבל אנחנו כן נשתמש בה כי בעתיד נפגוש מקרים שבהם יש חובה להשתמש בנוסחה וזו ההזמנות להכיר את הנוסחה.

במקרים פשוטים, כיצד ניתן להימנע משימוש בנוסחה?
אם הפונקציה שלנו היא:
(h (x ) = 5x² (2x – 4

ניתן לפתוח סוגריים.
h (x) = 10x³ -20x²
ועכשיו יש לנו פונקציית פולינום רגילה שניתן לגזור:
h' (x) = 30x² – 40x

אבל במקרים אחרים כמו:
h (x) = (2x + 1)4 *(3x – 4
h (x) = √x * (2x +1)²

לא ניתן לבצע את הדרך הזו ולכן עלינו ללמוד את כלל נגזרת מכפלה.

3.דוגמאות מהירות לגזירה

בחלק זה נגזור פונקציות ללא הסברים.

כל הנגזרות הם על פי הנוסחה:
(h (x) = f (x) * g (x
(h ' (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

בכול תרגילים הללו הנגזרת מופיעה באדום.

דוגמה 1
2x (x³ + 1) ] ' = 2(x³ +1) + 3x² * 2x]

דוגמה 2
x³ (2x – x 4) ] ' = 3x²(2x – x 4) + (2 – 4x³) * x³]

דוגמה 3
(3x² – 6x)* (5x² – 12x³) ] ' = (6x – 6) *(5x² – 12x³) + (10x – 36x²) * (3x² – 6x)]

4.תרגילים

מצורפים 4 תרגילים.
בתרגילים 1-3 נוח יותר לגזור על ידי פתיחת סוגריים אבל אנחנו נגזור על פי הנוסחה של נגזרת מכפלה על מנת לתרגל.

תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4

פתרון
f (x) = 5x²
f ' (x) = 10x
g (x) = 2x – 4
g ' (x ) = 2

נציב את הנתונים הללו בנוסחה.
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h (x) = 5x² (2x – 4
h ' (x) = 10x (2x – 4) + 2 * 5x²
20x² -40x + 10x² = 30x² – 40x

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכיתה שלכם.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם דרך המייל:
help@m-math.co.il

19 מחשבות על “נגזרת מכפלה”

  1. נתונה הפונקציה y=(x^2-2x)^3
    מצאתי נקודות קיצון וסרטטי את הפונקציה שואלים אותי בסעיף תוספתי

    נתונה הפונקציה h(x)=f(x)*f'(x)
    קבע על בסיס גרף הפונקציה f(x) מתי h(x) קטן מאפס
    לא מבינה את הקשר של הפונקציה f(x) לפונקציה h(x)
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ערכי ה y של h(x) הם חזקת 2 של ערכי ה y של f(x).
      אם f(x) = 3
      אז h (x) = 9
      ובתור הערה אגיד שזה לא קשור לנגזרת מכפלה.

  2. אם יש לי פונקציה P שמורכבת מf שהוא X^3 ומg שידוע שמשוואת המשיק בנקודה x=-2 היא y=5x-8 ומבקשים למצוא את משוואות המשיק של p בנקודה הזאת. איך אני אמור להתחיל? אני לא כל כך הבנתי.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עידו
      אתה אמור למצוא את נקודת ההשקה בעזרת משוואת המשיק.
      ולמצוא את שיפוע הפונקציה באותה נקודה בעזרת מציאת השיפוע של f בנקודה.
      השיפוע של P שזה מה שאתה צריך הוא חיבור השיפועים של F ו g .

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שני הביטויים שבתוך הסוגריים הם גורם משותף.
      תוציא אותם כגורם משותף ואז יש לך סוגריים כפול סוגריים.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    כיצד גוזרים פונקציית מכפלה בדרך אחרת
    שקודם גל מבצעים את המכפלה ואז גוזרים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם ניתן לבצע את הכפל אז מבצעים את הכפל ולאחר מיכן גוזרים את האיברים שהתקבלו.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.