נגזרת מכפלה

בדף זה נלמד לגזור פונקציה המורכבת ממכפלה של שתי פונקציות.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. דוגמאות מהירות לגזירה.
4. תרגילים.
5. תרגילים עם פונקציות שאינן פולינום.

1.הסבר וידאו

2.הסבר כתוב

כאשר יש לנו פונקציה (h (x שהיא מכפלה של שתי פונקציות.

(h (x) = f (x) * g (x

אז הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:

(h ‘ (x) = f ‘ (x) * g (x) + g ‘ (x) * f (x

דוגמה לפונקציית מכפלה יכולה להיות:

(h (x) = 3x (2x – 1

שימו לב שלרוב (f (x), g (x יהיו נתונים לנו והדברים היחידים שיהיו חסרים להצבה יהיו (f ‘ (x),  g ‘ (x .

לכן על מנת להשתמש בנוסחה נפעל לרוב בשני שלבים:

1. חישוב (f ‘ (x),  g ‘ (x אלו שני הדברים החסרים לנו.
2. הצבת כל האיברים בנוסחה.

הערה
בהרבה מהמקרים שבדף זה לא חייבים להשתמש בנוסחה הזו.
אבל אנחנו כן נשתמש בה כי בעתיד נפגוש מקרים שבהם יש חובה להשתמש בנוסחה וזו ההזמנות להכיר את הנוסחה.

במקרים פשוטים, כיצד ניתן להימנע משימוש בנוסחה?
אם הפונקציה שלנו היא:

(h (x ) = 5x² (2x – 4

ניתן לפתוח סוגריים.

h (x) = 10x³ -20x²

ועכשיו יש לנו פונקציית פולינום רגילה שניתן לגזור:

h’ (x) = 30x² – 40x

אבל במקרים אחרים כמו:

(h (x) = (2x + 1)⁴ *(3x – 4

h (x) = √x * (2x +1)³

לא ניתן לבצע את הדרך הזו ולכן עלינו ללמוד את כלל נגזרת מכפלה.

3.דוגמאות מהירות לגזירה

בחלק זה נגזור פונקציות ללא הסברים.

כל הנגזרות הם על פי הנוסחה:

(h (x) = f (x) * g (x

(h ‘ (x) = f ‘ (x) * g (x) + g ‘ (x) * f (x

בכול תרגילים הללו הנגזרת מופיעה באדום.

דוגמה 1

2x (x³ + 1) ] ‘ = 2(x³ +1) + 3x² * 2x]

דוגמה 2

x³ (2x – x ⁴) ] ‘ = 3x²(2x – x ⁴) + (2 – 4x³) * x³]

דוגמה 3

(3x² – 6x)* (5x² – 12x³) ] ‘ = (6x – 6) *(5x² – 12x³) + (10x – 36x²) * (3x² – 6x)]

4.תרגילים

מצורפים 5 תרגילים.

בתרגילים 1-3 נוח יותר לגזור על ידי פתיחת סוגריים אבל אנחנו נגזור על פי הנוסחה של נגזרת מכפלה על מנת לתרגל.

תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4