נגזרת מורכבת

נגזרת מורכבת היא נגזרת של פונקציה מורכבת.
ופונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת משתי פונקציות:
למשל:

f(x) = (2x + 1)⁶

חזקת 6 זו הפונקציה החיצונית.
2x + 1 זו הפונקציה הפנימית.

בדף זה נלמד לגזור פונקציות מסוג זה.

חלקי דף זה הם:

1. הסבר וידאו.
2. נוסחה ודוגמאות.
3. נגזרת פולינום מורכבת.
4. נגזרת עם פרמטרים.
5. נגזרת פונקציית שורש
6. נגזרת פונקציה טריגונומטרית
7. נגזרת פונקציה מעריכית
8. נגזרת פונקציית ln.

הדגש הוא כמובן על פונקציית פולינום שדרכה אנו לומדים את הנגזרת המורכבת.

1.הסבר וידאו

2.נוסחה ודוגמאות

מה היא פונקציה מורכבת?
פונקציה מורכבת היא פונקציה שיש בה שתי פונקציות.
f (x) = (10x + 2)³
למשל בפונקציה הזו יש את פונקציית החזקה (³).
וגם את הפונקציה הקווית (10x + 2).

כיצד נגזור פונקציה מורכבת?

על פי כלל הגזירה הבא, שנקרא גם כלל השרשרת:

(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

במילים כלל הזה אומר שנגזור כל אחת מהפונקציות מבלי להתחשב בשנייה.

למשל עבור הפונקציה:
f (x) = (10x + 2)³

נגזור על פי החזקה ונקבל:

3(10x + 2)²

:נזכיר נגזרת חזקה היא

(xⁿ ) ' = nx^{n -1}

לאחר מיכן עלינו להכפיל בנגזרת הפנימית שבתוך הסוגריים (10x + 2).

הנגזרת של ביטוי זה היא 10, לכן התשובה הסופית היא:

f ' (x) = 3(10x + 2)² * 10 = 30(10x + 2)²

דוגמאות מהירות נוספות:

(בכול הנגזרות הנגזרות הפנימיות סומנו באדום).

דוגמה 1
f (x ) = (3 – 4x)¹⁰

הנגזרת:

(f ' (x) = 10(3 – 4x)⁹ * (-4

דוגמה 2
f (x) = (5x – 1)⁷

הנגזרת:

f ' (x) = 7(5x – 1)⁶  * 5

דוגמה 3
f (x ) = (4x³ + 2x)⁷

הנגזרת:

(f ' (x) = 7(4x³ + 2x)⁶ * (12x² + 2

דוגמה 4
f (x) = 6(4x² + 9x)³

במקרה זה ניתן להשתמש בכלל

(k * f(x) ) ' = K * f ' (x)

ולהוציא את 6 מחוץ לגזירה ולאחר מיכן להכפיל את הנגזרת שקיבלנו ב 6.

(אפשרות אחרת היא להשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה כאשר 6 זו פונקציה אחת ו:

4x² + 9x)³) זו פונקציה שנייה.

f (x) = 6(4x² + 9x)³

' [f ' (x) = 6 * [(4x² + 9x)³

(f ' (x) = 6 * 3 (4x² + 9x)² * (8x + 9

דוגמה 5

f (x) = 9x² (4x + 2)⁶

במקרה זה יש לנו מכפלה בין שתי פונקציות שאחת מהפונקציות היא פונקציה מורכבת.

לכן נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.

v * u) ' = v' * u + u' * v)

f (x) = 9x² (4x + 2)⁶

f ' (x) = 18x * (4x + 2)⁶ + 6(4x + 2)⁵ * 4 * 9x²

תשומת לב לשלושה מצבים

מצב ראשון: חזקת 2

f (x) = (2x + 3)²

האם זו פונקציה מורכבת?

כן.

האם אנו חייבים לגזור אותה על פי הכלל של נגזרת מורכבת?
לא.

איך לא?
בגלל שזו חזקת 2 ניתן לפתוח סוגריים ואז לגזור כנגזרת פשוטה.

f (x) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

f ' (x) = 8x + 12

כמובן שאם נרצה נוכל לגזור כנגזרת מורכבת כך:

f ' (x) = 2(2x + 3) * 2

f ' (x) = 4(2x + 3) = 8x + 12

אבל לרוב התלמידים נוח לפתוח סוגריים ולאחר מיכן לגזור.

מצב שני: כאשר הנגזרת הפנימית שווה ל 1

f (x) = (x – 4)³

האם זו פונקציה מורכבת?

כן, אבל אין לזה משמעות מבחינת הגזירה. מכוון שהנגזרת של הפונקציה הפנימית x – 4 היא 1.

כאשר נגזור נקבל:
f ' (x) = 3(x – 4)² * 1 = 3(x – 4)²

מצב 3: כאשר יש חזקה גבוהה בתוך הסוגריים, האם כדאי לנו לפתוח סוגריים?

האם במקרים הללו כדאי לנו לפתוח סוגריים ואז לגזור פונקציית פולינום פשוטה או לגזור את הפונקציות כמו שהם?

f(x) = (x² – 5x + 3)²

g(x) = (x³ – 4x)²

תשובה

אומנם אם נפתח סוגריים נקבל ביטויים פשוטים לגזירה.

אבל לרוב אנו רוצים לדעת מתי נגזרת שווה 0, או מתי הנגזרת חיובית או שלילית.

לכן נוח יותר לגזור כנגזרת מורכבת ולקבל כתוצאה מכפלה של ביטויים.

f(x) = (x² – 5x + 3)²

f ' (x) = 2 (x² – 5x + 3) * (2x – 5)

ועבור ביטוי זה נוח יותר לזהות מתי הוא חיובי או שלילי.

לסיכום

לכן אם זה לא גורם לכם לטעות עדיף לגזור את הביטויים הבאים בפונקציה מורכבת ולא לפתוח סוגריים.

טם תפתחו סוגריים עדיין תגיעו למשוואה שניתן לפתור אותה, רק תדרשו להוצאת גורם משותף והפתרון יהיה ארוך יותר.

3.נגזרת מורכבת של פונקציית פולינום