לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

נגזרת מורכבת

נגזרת מורכבת היא נגזרת של פונקציה מורכבת.
ופונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת משתי פונקציות:
למשל:

f(x) = (2x + 1)6

חזקת 6 זו הפונקציה החיצונית.
2x + 1 זו הפונקציה הפנימית.

בדף זה נלמד לגזור פונקציות מסוג זה.

חלקי דף זה הם:

  1. הסבר וידאו.
  2. נוסחה ודוגמאות.
  3. נגזרת פולינום מורכבת.
  4. נגזרת עם פרמטרים.
  5. נגזרת פונקציית שורש
  6. נגזרת פונקציה טריגונומטרית
  7. נגזרת פונקציה מעריכית
  8. נגזרת פונקציית ln.

הדגש הוא כמובן על פונקציית פולינום שדרכה אנו לומדים את הנגזרת המורכבת.

1.הסבר וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.נוסחה ודוגמאות

מה היא פונקציה מורכבת?
פונקציה מורכבת היא פונקציה שיש בה שתי פונקציות.
f (x) = (10x + 2)³
למשל בפונקציה הזו יש את פונקציית החזקה (³).
וגם את הפונקציה הקווית (10x + 2).

כיצד נגזור פונקציה מורכבת?

על פי כלל הגזירה הבא, שנקרא גם כלל השרשרת:

(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

במילים כלל הזה אומר שנגזור כל אחת מהפונקציות מבלי להתחשב בשנייה.

למשל עבור הפונקציה:
f (x) = (10x + 2)³

נגזור על פי החזקה ונקבל:

3(10x + 2)²

:נזכיר נגזרת חזקה היא

(xn ) ' = nxn -1

לאחר מיכן עלינו להכפיל בנגזרת הפנימית שבתוך הסוגריים (10x + 2).

הנגזרת של ביטוי זה היא 10, לכן התשובה הסופית היא:

f ' (x) = 3(10x + 2)² * 10 = 30(10x + 2)²

דוגמאות מהירות נוספות:

(בכול הנגזרות הנגזרות הפנימיות סומנו באדום).

דוגמה 1
f (x ) = (3 – 4x)10

הנגזרת:

(f ' (x) = 10(3 – 4x)9 * (-4

דוגמה 2
f (x) = (5x – 1)7

הנגזרת:

f ' (x) = 7(5x – 1)6  * 5

דוגמה 3
f (x ) = (4x3 + 2x)7

הנגזרת:

(f ' (x) = 7(4x3 + 2x)6 * (12x² + 2

דוגמה 4
f (x) = 6(4x² + 9x)³

במקרה זה ניתן להשתמש בכלל

(k * f(x) ) ' = K * f ' (x)

ולהוציא את 6 מחוץ לגזירה ולאחר מיכן להכפיל את הנגזרת שקיבלנו ב 6.

(אפשרות אחרת היא להשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה כאשר 6 זו פונקציה אחת ו:

4x² + 9x)³) זו פונקציה שנייה.

f (x) = 6(4x² + 9x)³

' [f ' (x) = 6 * [(4x² + 9x)³

(f ' (x) = 6 * 3 (4x² + 9x)² * (8x + 9

דוגמה 5

f (x) = 9x² (4x + 2)6

במקרה זה יש לנו מכפלה בין שתי פונקציות שאחת מהפונקציות היא פונקציה מורכבת.

לכן נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.

v * u) ' = v' * u + u' * v)

f (x) = 9x² (4x + 2)6

f ' (x) = 18x * (4x + 2)6 + 6(4x + 2)5 * 4 * 9x²

תשומת לב לשלושה מצבים

מצב ראשון: חזקת 2

f (x) = (2x + 3)²

האם זו פונקציה מורכבת?

כן.

האם אנו חייבים לגזור אותה על פי הכלל של נגזרת מורכבת?
לא.

איך לא?
בגלל שזו חזקת 2 ניתן לפתוח סוגריים ואז לגזור כנגזרת פשוטה.

f (x) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

f ' (x) = 8x + 12

כמובן שאם נרצה נוכל לגזור כנגזרת מורכבת כך:

f ' (x) = 2(2x + 3) * 2

f ' (x) = 4(2x + 3) = 8x + 12

אבל לרוב התלמידים נוח לפתוח סוגריים ולאחר מיכן לגזור.

מצב שני: כאשר הנגזרת הפנימית שווה ל 1

f (x) = (x – 4)³

האם זו פונקציה מורכבת?

כן, אבל אין לזה משמעות מבחינת הגזירה. מכוון שהנגזרת של הפונקציה הפנימית x – 4 היא 1.

כאשר נגזור נקבל:
f ' (x) = 3(x – 4)² * 1 = 3(x – 4)²

מצב 3: כאשר יש חזקה גבוהה בתוך הסוגריים, האם כדאי לנו לפתוח סוגריים?

האם במקרים הללו כדאי לנו לפתוח סוגריים ואז לגזור פונקציית פולינום פשוטה או לגזור את הפונקציות כמו שהם?

f(x) = (x² – 5x + 3)²

g(x) = (x³ – 4x)²

תשובה

אומנם אם נפתח סוגריים נקבל ביטויים פשוטים לגזירה.

אבל לרוב אנו רוצים לדעת מתי נגזרת שווה 0, או מתי הנגזרת חיובית או שלילית.

לכן נוח יותר לגזור כנגזרת מורכבת ולקבל כתוצאה מכפלה של ביטויים.

f(x) = (x² – 5x + 3)²

f ' (x) = 2 (x² – 5x + 3) * (2x – 5)

ועבור ביטוי זה נוח יותר לזהות מתי הוא חיובי או שלילי.

לסיכום

לכן אם זה לא גורם לכם לטעות עדיף לגזור את הביטויים הבאים בפונקציה מורכבת ולא לפתוח סוגריים.

טם תפתחו סוגריים עדיין תגיעו למשוואה שניתן לפתור אותה, רק תדרשו להוצאת גורם משותף והפתרון יהיה ארוך יותר.

3.נגזרת מורכבת של פונקציית פולינום

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

29 מחשבות על “נגזרת מורכבת”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא ברור מה כתוב כאן.
      יתכן שזו נגזרת מורכבת.
      אם את מנויה צרי קשר בוואטסאפ.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שורש x שווה ל x בחזקת חצי.
      כותבים את זה כך ומצמצמים מונה ומכנה.

  1. דבר ראשון תודה רבה, האתר עוזר מאוד!
    דבר שני, איך אני אמורה למצוא קיצון לפונקציה:
    (x-3) ברבעית 16- ?
    נ.ב הפונקציה מוגדרת לכל x,
    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לגזור על פי הנוסחה הנלמדת בדף זה.
      אם תוכלי להיות יותר מדויקת בשאלה.

  2. הבנתי איך עושים נגזרת של פונקציה מורכבת
    אבל מה אני עושה אם הפונקציה הזאתי היא רק מונה או מכנה
    ואז אני צריכה לעשות נגזרת ופעם אחת גם להשאיר את זה כמו שזה
    נגיד שבר X בשנייה חלקי (X+1) ברביעית
    איך עושים את הנגזרת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר יש מנה גוזרים על פי נגזרת רציונלית.
      ואת הנגזרת של המכנה את מוצאת על פי נגזרת מורכבת.
      למרות שבקרה שלך הנגזרת הפנימית של x + 1 היא 1, כלומר לא משנה את התוצאה הסופית.

  3. יש לי משוואה (X-a) בחזקת 2 כפול e בחזקת X.. (אינלי מושג איך עושים את זה במחשב..)
    נתון לי שיש לפונקציה הזאת נק' קיצון כשX=1. אני צריכה למצוא את a.. רציתי לגזור ולהשוות ל0 אבל הם אמרו שיש 2 פתרונות ויצא לי רק 1.. (השאלה- הספר של יואל גבע שאלון 805 עמוד 318 תר' 22 סעיף א.) אשמח לעזרה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      דרך הפתרון היא לגזור, להציב בנגזרת x = 1 ולהשוות את הנגזרת ל 0.
      אם עשית כך ולא קיבלת את התוצאה כנראה שיש לך טעות חישוב או טעות בגזירה.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    צריך עזרה
    שיפוע המשיק לפונקציה
    (2X+3) בחזקת 4 הוא -8
    איך מוצאים את משוואת המשיק?

  5. היי, תודה רבה!
    לאחר שגזרתי את הפונקציה המורכבת, ולדוגמה יצא לי f ' (x) = 7(5x – 1)6 * 5
    ומבקשים ממני למצוא את שיעורי נקודות הX על גרף הפונקציה שY'=0 או שמבקשים ממני למתוא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה, לשרטט אותה וכדו'… כיצד אני פותר אותה? יש עמוד באתר שמסביר על ה"בקשות" האלו?
    תודה רבה!

  6. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי מה קורה כאשר יש רק איקס בחזקת
    שתיים ( בסוגריים ) במה אנחנו מכפילים?

  7. זינה דרורי

    שלום רב. התכנים מאוד מסעיים. בבקשה עזרה בגזירת פונקציה מורכבת x בחזקת (x+1). הבנתי שצריך להפעיל את הln על שני האגפים , אך לא מצליחה להבין איך

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הפונקציה הזו לא כלולה בחומר לבגרות ולכן גם לא כלולה בתכני האתר.
      בנוסף, לא ברור על אלו שני צדדים מדובר.