נגזרת מורכבת

נגזרת מורכבת היא נגזרת של פונקציה מורכבת.
ופונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת משתי פונקציות:
למשל:

f(x) = (2x + 1)⁶

חזקת 6 זו הפונקציה החיצונית.
2x + 1 זו הפונקציה הפנימית.

בדף זה נלמד לגזור פונקציות מסוג זה.

חלקי דף זה הם:

1. הסבר וידאו.
2. נוסחה ודוגמאות.
3. נגזרת פולינום מורכבת.
4. נגזרת עם פרמטרים.
5. נגזרת פונקציית שורש
6. נגזרת פונקציה טריגונומטרית
7. נגזרת פונקציה מעריכית
8. נגזרת פונקציית ln.

הדגש הוא כמובן על פונקציית פולינום שדרכה אנו לומדים את הנגזרת המורכבת.

1.הסבר וידאו

2.נוסחה ודוגמאות

מה היא פונקציה מורכבת?
פונקציה מורכבת היא פונקציה שיש בה שתי פונקציות.
f (x) = (10x + 2)³
למשל בפונקציה הזו יש את פונקציית החזקה (³).
וגם את הפונקציה הקווית (10x + 2).

כיצד נגזור פונקציה מורכבת?
על פי כלל הגזירה הבא, שנקרא גם כלל השרשרת:

(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

במילים כלל הזה אומר שנגזור כל אחת מהפונקציות מבלי להתחשב בשנייה.
למשל עבור הפונקציה:
f (x) = (10x + 2)³
נגזור על פי החזקה ונקבל:

3(10x + 2)²

:נזכיר נגזרת חזקה היא
(xⁿ ) ' = nx^{n -1}

לאחר מיכן עלינו להכפיל בנגזרת הפנימית שבתוך הסוגריים (10x + 2).
הנגזרת של ביטוי זה היא 10, לכן התשובה הסופית היא:

f ' (x) = 3(10x + 2)² * 10 = 30(10x + 2)²

דוגמאות מהירות נוספות:
(בכול הנגזרות הנגזרות הפנימיות סומנו באדום).

דוגמה 1
f (x ) = (3 – 4x)¹⁰
הנגזרת:
(f ' (x) = 10(3 – 4x)⁹ * (-4

דוגמה 2
f (x) = (5x – 1)⁷
הנגזרת:
f ' (x) = 7(5x – 1)⁶  * 5

דוגמה 3
f (x ) = (4x³ + 2x)⁷
הנגזרת:
(f ' (x) = 7(4x³ + 2x)⁶ * (12x² + 2

דוגמה 4
f (x) = 6(4x² + 9x)³

במקרה זה ניתן להשתמש בכלל

ולהוציא את 6 מחוץ לגזירה ולאחר מיכן להכפיל את הנגזרת שקיבלנו ב 6.
(אפשרות אחרת היא להשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה כאשר 6 זו פונקציה אחת ו  4x² + 9x)³) זו פונקציה שנייה.

' [f ' (x) = 6 * [(4x² + 9x)³
(f ' (x) = 6 * 3 (4x² + 9x)² * (8x + 9

דוגמה 5
f (x) = 9x² (4x + 2)⁶
במקרה זה יש לנו מכפלה בין שתי פונקציות שאחת מהפונקציות היא פונקציה מורכבת.
לכן נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.
v * u) ' = v' * u + u' * v)
f ' (x) = 18x * (4x + 2)⁶ + 6(4x + 2)⁵ * 4 * 9x²

תשומת לב לשני מצבים

מצב ראשון: חזקת 2
f (x) = (2x + 3)²
האם זו פונקציה מורכבת?
כן.
האם אנו חייבים לגזור אותה על פי הכלל של נגזרת מורכבת?
לא.

איך לא?
בגלל שזו חזקת 2 ניתן לפתוח סוגריים ואז לגזור כנגזרת פשוטה.
f (x) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
f ' (x) = 8x + 12

כמובן שאם נרצה נוכל לגזור כנגזרת מורכבת כך:
f ' (x) = 2(2x + 3) * 2
f ' (x) = 4(2x + 3) = 8x + 12

מצב שני: כאשר הנגזרת הפנימית שווה ל 1
f (x) = (x – 4)³
האם זו פונקציה מורכבת?
כן, אבל אין לזה משמעות מבחינת הגזירה. מכוון שהנגזרת של הפונקציה הפנימית x – 4 היא 1.
כאשר נגזור נקבל:
f ' (x) = 3(x – 4)² * 1

3.נגזרת מורכבת של פונקציית פולינום