נגזרת מורכבת

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נגזרת מורכבת עבור:

1. פונקציית פולינום
2. נגזרת פולינום מורכבת.
3. פונקציית שורש
4. פונקציה טריגונומטרית
5. פונקציה מעריכי
6. פונקציית ln.

הדגש הוא כמובן על פונקציית פולינום שדרכה אנו לומדים את הנגזרת המורכבת.

נוסחה ודוגמאות

מה היא פונקציה מורכבת?
פונקציה מורכבת היא פונקציה שיש בה שתי פונקציות.
f (x) = (10x + 2)³
למשל בפונקציה הזו יש את פונקציית החזקה (³).
וגם את הפונקציה הקווית (10x + 2).

כיצד נגזור פונקציה מורכבת?
על פי כלל הגזירה הבא, שנקרא גם כלל השרשרת:

(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

במילים כלל הזה אומר שנגזור כל אחת מהפונקציות מבלי להתחשב בשנייה.
למשל עבור הפונקציה:
f (x) = (10x + 2)³
נגזור על פי החזקה ונקבל:

3(10x + 2)²

:נזכיר נגזרת חזקה היא
(xⁿ ) ' = nx^{n -1}

לאחר מיכן עלינו להכפיל בנגזרת הפנימית שבתוך הסוגריים (10x + 2).
הנגזרת של ביטוי זה היא 10, לכן התשובה הסופית היא:

f ' (x) = 3(10x + 2)² * 10 = 30(10x + 2)²

דוגמאות מהירות נוספות:
(בכול הנגזרות הנגזרות הפנימיות סומנו באדום).

דוגמה 1
f (x ) = (3 – 4x)¹⁰
הנגזרת:
(f ' (x) = 10(3 – 4x)⁹ * (-4

דוגמה 2
f (x) = (5x – 1)⁷
הנגזרת:
f ' (x) = 7(5x – 1)⁶  * 5

דוגמה 3
f (x ) = (4x³ + 2x)⁷
הנגזרת:
(f ' (x) = 7(4x³ + 2x)⁶ * (12x² + 2

דוגמה 4
f (x) = 6(4x² + 9x)³

במקרה זה ניתן להשתמש בכלל

ולהוציא את 6 מחוץ לגזירה ולאחר מיכן להכפיל את הנגזרת שקיבלנו ב 6.
(אפשרות אחרת היא להשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה כאשר 6 זו פונקציה אחת ו  4x² + 9x)³) זו פונקציה שנייה.

' [f ' (x) = 6 * [(4x² + 9x)³
(f ' (x) = 6 * 3 (4x² + 9x)² * (8x + 9

דוגמה 5
f (x) = 9x² (4x + 2)⁶
במקרה זה יש לנו מכפלה בין שתי פונקציות שאחת מהפונקציות היא פונקציה מורכבת.
לכן נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.
v * u) ' = v' * u + u' * v)
f ' (x) = 18x * (4x + 2)⁶ + 6(4x + 2)⁵ * 4 * 9x²

תשומת לב לשני מצבים

מצב ראשון: חזקת 2
f (x) = (2x + 3)²
האם זו פונקציה מורכבת?
כן.
האם אנו חייבים לגזור אותה על פי הכלל של נגזרת מורכבת?
לא.

איך לא?
בגלל שזו חזקת 2 ניתן לפתוח סוגריים ואז לגזור כנגזרת פשוטה.
f (x) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
f ' (x) = 8x + 12

כמובן שאם נרצה נוכל לגזור כנגזרת מורכבת כך:
f ' (x) = 2(2x + 3) * 2
f ' (x) = 4(2x + 3) = 8x + 12

מצב שני: כאשר הנגזרת הפנימית שווה ל 1
f (x) = (x – 4)³
האם זו פונקציה מורכבת?
כן, אבל אין לזה משמעות מבחינת הגזירה. מכוון שהנגזרת של הפונקציה הפנימית x – 4 היא 1.
כאשר נגזור נקבל:
f ' (x) = 3(x – 4)² * 1

תרגילים

1.נגזרת מורכבת של פונקציית פולינום

תרגילים 1-5 הם תרגילים "רגילים".
תרגילים 6-8 משלבים נגזרת מכפלה ונגזרת מנה.

בחלק זה התרגילים הם:

1. f (x ) = (x + 5)⁴
2. f (x ) = (3 – x)⁷
3. f (x ) = (5x – 2)³
4. f (x ) = (4x³ + 2x)⁷
5. f (x) = (5 – 3x⁵)^-6
6. f (x) = 2x (3x -1)²
7. (f (x) = (4- x)³ * (2x -1
8. 

פתרונות

תרגיל 1
f (x ) = (x + 5)⁴

פתרון
הנגזרת היא:
f ' (x) = 4(x + 5)³ * 1
f ' (x) = 4(x + 5)³

תרגיל 2
f (x ) = (3 – x)⁷

פתרון

f ' (x) = 7(3 -x)⁶ * (-1)= -7(3 -x)⁶

תרגיל 3
f (x ) = (5x – 2)³

פתרון

f ' (x) = 3(5x – 2)² * 5= 15(5x – 2)²

תרגיל 4
f (x ) = (4x³ + 2x)⁷

פתרון

(f ' (x) = 7(4x³ + 2x)⁶ * (12x²  + 2

תרגיל 5 (חזקה שלילית)
f (x) = (5 – 3x⁵)^-6

פתרון
(f ' (x) = -6(5 – 3x⁵)^-7 * (-15x⁴
f ' (x) = 90x⁴* (5-3x⁵)^-7

נגזרת מורכבת המשלבת נגזרת מכפלה

תרגילים 6-7 משלבים נגזרת מכפלה עם נגזרת מורכבת.
תרגיל 8 משלב נגזרת מנה עם נגזרת מורכבת.

תרגיל 6
f (x) = 2x (3x -1)²

פתרון
הנוסחה של נגזרת מכפלה היא:
'v * u' + u* v

נניח ש:
v (x) = 2x
v ' (x) =2
u (x) = (3x -1)²
(u ' (x) = 2(3x -1)*3 = 6(3x -1

נציב את הנתונים הללו בנוסחה ונקבל:
'v * u' + u* v
f ' (x) = 2x * 6(3x -1) + 2(3x -1)²
(f ' (x) =12x (3x -1) + 2(9x² -6x +1
f ' (x) = 36x² -12x +18x² -12x +2
f ' (x) = 54x² -24x + 2

תרגיל 7
(f (x) = (4- x)³ * (2x -1
(מכוון שנגזרת זו כוללת חזקת 3 אין צורך לפשט את הנגזרת עד הסוף).

פתרון
נגדיר:
v (x) =(4-x)³
v ' (x) = 3(4 – x)² *-1 = -3(4 – x)²
u  (x) = 2x -1
u ' (x) = 2

נציב את הנתונים בנוסחה:
'v * u' + u* v
ונקבל:
(f ' (x) = (4 -x)³ *2 -3(4 – x) ² * (2x -1
נפתח סוגריים על פי הנוסחה לחזקה שלישית (לא חובה לדעת, מבחינת ההבנה של נגזרת מורכבת ניתן לעצור את התרגיל כאן).
a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
(f ' (x) = (64 – 48x + 12x² – x³) *2 – 3(16 -8x + x²) * (2x -1
(f ' (x) =  128 – 96x +24x² – 2x³ +(- 48 +24x -3x²) (2x – 1
f ' (x) =  128 – 96x +24x² – 2x³ -96x +48x² – 6x³ + 48 -24x+3x²
f ' (x) = -5x³ + 75x² -216x + 176

תרגיל 8

פתרון
הנוסחה של נגזרת מנה היא:

f (x) = (5x -1)²
f ' (x) = 2 (5x -1) *5 = 10(5x -1) = 50x -10
g (x) = 2x
g ' (x) = 2

נציב את הנתונים בנוסחה ונקבל:

נמשיך לפתח את הנגזרת ונקבל:

2.נגזרת מורכבת עם פרמטרים

1. f (x ) = (ax – 3a)⁶
2. f (x ) = (ax² – x)⁷
3. f (x ) = (4x³ + 2ax)⁷
4. f (x) = 6x² (5ax + 4)²
5. (f (x) = (10 – ax)² * (3x – 6a

בכול הפתרונות נציג את השלב הראשון של גזירת הפונקציה אך לא נמשיך לפתיחת סוגריים וכינוס איברים.

פתרונות

תרגיל 1
f (x ) = (ax – 3a)⁶

פתרון
f ' (x) = 6(ax – 3a)⁵ * a
(הערה: הביטוי 3a הוא מספר ולכן הנגזרת שלו היא 0).

תרגיל 2
f (x ) = (ax² – x)⁷

פתרון
(f ' (x) = 7(ax² -x) * (2ax – 1

תרגיל 3
f (x ) = (4x³ + 2ax)⁷

פתרון
(f ' (x) = 7 (4x³ + 2ax)⁷ * (12x² + 2a

תרגיל 4
f (x) = 6x² (5ax + 4)²

פתרון
נשתמש בכלל המכפלה.
f ' (x) = 12x (5ax + 4)² + 2(5ax + 4) * 6x²

תרגיל 5
(f (x) = (10 – ax)² * (3x – 6a

פתרון
f ' (x) = 2(10 -ax) * (-a) * (3x – 6a) + 3(10 – ax)²

3.נגזרת מורכבת של פונקציית שורש

• חזרה על נגזרת פונקציית שורש תוכלו לעשות בקישור.

התרגילים בחלק זה הם:

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x] כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .

לכן:

תרגיל 2

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x] כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = x² + 6x – 4
g ' (x) = 2x + 6
לכן:

4.נגזרת מורכבת של פונקציה טריגונומטרית

• חזרה בנושא נגזרת טריגונומטרית כולל תרגילים נוספים בנושא נגזרת טריגונומטרית מורכבת תמצאו בקישור.

התרגילים בחלק זה הם:

1. (h (x) = sin ³ (x
2. (h (x) = cos(-6x
3. 
4. (cos (1/x

פתרונות

תרגיל 1
(h (x) = sin ³ (x

פתרון
f (x) = sinx
f ' (x) = cos x
g (x) = ³

ביצוע הגזירה:
h (x) = sin ³ (x)
h' (x) = 3sin² x * (-cos x)
-3sin²x cos x

תרגיל 2
(h (x) = cos(-6x

פתרון
f (x) = cos x
f ' (x) = -sin x
g (x ) = -6x
g ' (x) = -6

גזירת הפונקציה
(h (x) = cos(-6x
(h ' (x) = – 6 [-sin (-6x)] = 6sin(-6x

תרגיל 3

[sin (4x³ + 3x²)] '

פתרון

נוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

כאשר:
f(x) = sinx
f ' (x) = cosx

g(x) = 4x³ + 3x²
g ' (x) = 12x² + 6x

לכן התשובה:

[sin (4x³ + 3x²)] ' = cos (4x³ + 3x²) * (12x² + 6x)

תרגיל 4

(cos (1/x

פתרון

במקרה זה, 2 הפונקציות הן :
1. f(x) = cosx
2. g(x) = 1/x

הנגזרת של (g(x :   (לפי נגזרת של מנה של פולינומים)

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

לכן:

5.נגזרת מורכבת של פונקציה מעריכית

חזרה בנושא נגזרת פונקציה מעריכית תוכלו לעשות בקישור.

תרגיל 1
h (x) = e^{2x – 5}

פתרון
f (x ) = e^y
f ' (x)  = e^y
g (x) = 2x – 5
g ' (x) = 2

גזירת הפונקציה
h (x) = e^{2x – 5}
h ' (x) = 2e^{2x – 5}

6.נגזרת מורכבת של פונקציית ln

חזרה בנושא נגזרת ln כולל תרגילים נוספים של נגזרת ln מורכבת תמצאו בקישור.

חשבו את הנגזרת:

פתרון

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

כאשר:
g(x) = x² + 3x
g ' (x) = 2x + 3

לכן התשובה: 
 

תרגיל 2
חשבו את הנגזרת:

פתרון

נוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

כאשר:
(g(x) = ln(2x+4
(f(x היא פונקציית החזקה (העלאה בריבוע)

את (f(x ניתן לגזור כמו פולינום : הנגזרת של x² היא 2x.

את (g(x נגזור לפי נגזרת מורכבת של lnx :

כאשר :
h(x) = 2x + 4
h ' (x) = 2

לכן:

תשובה:

עוד באתר:

• מבחן בנושא נגזרת מורכבת
• פונקציות – חקירה של פונקציות מסוגים שונים.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.