פונקציות ln לוגרתמית

בדף זה ובקישורים היוצאים ממנו נלמד על פונקציית לן.

הדף מתאים לתלמידי 4 יחידות בכיתה יב או תלמידי 5 יחידות המתחילים ללמוד את הנושא.
לתלמידי 5 יחידות דף נוסף פונקציית ln שאלון 582.

החלקים של דף זה הם:

1. קישורים מהם ניתן ללמוד באופן מפורט את החומר.
2. סיכום בוידאו.
3. סיכום קצר כתוב.
4. תרגילי חקירה מלאה.

1.קישורים

הנושאים בחקירת פונקציית לן הם:

1. תחום הגדרה.
2. משוואות לוגריתמיות.
3. נקודות חיתוך עם הצירים.
4. נגזרת לן 4 יחידות.
5. נגזרת לן (כולל 5 יחידות).
6. תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון.
7. מציאת משיק.
8. אסימפטוטות.
9. אינטגרל לן 4 יחידות.
10. חקירה מלאה של פונקציות.

בדף זה נעבור על רוב הנושאים הללו וניתן ללמוד אותם גם מהקישורים.

1.סיכום בוידאו

4.חקירה מלאה של פונקציית ln

בחלק זה נחקור שתי פונקציות לוגריתמיות:

f(x) = ln x

(f(x) = ln (x² + 6x – 16

 

תרגיל 1
f(x) = ln x

פתרון

תרגיל 2

(f(x) = ln (x² + 6x – 16

פתרון

5.תרגילים מהבגרות

בהמשך הדף הצעות לפתרון שאלות בנושא חקירת פונקציות לוגריתמיות.
את השאלונים ניתן למצוא על ידי חיפוש באינטרנט.

קיץ 2018 מועד א שאלה 5

חקרו את הפונקציה

א. תחום הגדרה:
– המכנה מתאפס כאשר ln(x) = 2.
נפעיל e בשני אגפי המשוואה:
e^ln(x) = e²
לפי חוקי לוגריתמים, e^ln(x) = x. לכן:
עבור x = e² הפונקציה אינה מוגדרת.

– תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
מכיוון שהפונקציה שלנו מורכבת מהפונקציה הלוגריתמית, תחום ההגדרה גם יהיה x > 0.

תחום ההגדרה הוא x > 0 , x ≠ e².

ב.
1. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x:  נפתור את המשוואה f(x) = 0
הפונקציה שונה מ – 0 לכל x בתחום הגדרתה.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר x.

ציר y: תחום ההגדרה של הפונקציה אינו כולל את הישר x = 0, כלומר את ציר y.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

תשובה: אין לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים.

2. אסימפטוטה אנכית:
המכנה מתאפס עבור x = e².
לכן, כאשר x שואף ל – e² , הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן, הישר x = e² הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

3. נקודות קיצון:

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל – 0. לכן:
2lnx – 6 = 0
2lnx = 6
lnx = 3
x = e³

נבדוק האם הנקודה אכן נקודת קיצון בעזרת טבלה.
(הערה: יש לשים לב שמתחשבים בנקודות אי ההגדרה כאשר מפצלים לתחומים!)

תשובה: נקודת מינימום: (40.171 , e³).

4. תחומי עלייה וירידה:
מצאנו בטבלה שבסעיף הקודם את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
עלייה: x > e³.
ירידה:        או   

5.

ג.  (g ' (x) = f (x.

תחום העלייה של (g(x הוא בעצם התחום בו (g ' (x חיובית.
ניתן לראות מהגרף כי (f(x חיובית עבור x > e² , ולכן גם (g ' (x חיובית עבור x > e².

לכן תחום העלייה של (g(x הוא x > e².

חורף 2018 שאלה 5

חקרו את הפונקציה

א.
1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן, תחום ההגדרה של (f(x הוא x > 0.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
2lnx + 3) / 3 = 0)
2lnx + 3 = 0
2lnx = -3
lnx = -1.5
x = e^-1.5

ציר y:  הפונקציה לא חותכת את ציר y מכיוון ש x = 0 מחוץ לתחום הגדרתה.

נקודות החיתוך: 
ציר x :
(0,e^-1.5)
ציר y : אין.

3. תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש נקודות קיצון:
f ' (x) = 2 / 3x = 0
אין x המקיים את המשוואה, ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.A
לכן הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.

על מנת לבדוק אם עולה/יורדת, נציב בנגזרת נקודה כלשהי בתחום ההגדרה:
f ' (1) = 2 / 3 > 0

כלומר, הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.
לכן, הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, כלומר לכל x > 0.

4. אסימפטוטה אנכית:
מכיוון שהפונקציה מורכבת מפונקציית ה – ln ,
הפונקציה תשאף למינוס אינסוף כאשר x שואף ל – 0.
לכן, האסימפטוטה האנכית של הפונקציה היא x = 0.

5. סקיצה של הפונקציה:

 

ב.
1. אסימפטוטות של (f ' (x :

כבר מצאנו את הנגזרת:
f ' (x) = 2/3x

אסימפטוטה אנכית:
נשים לב כי כאשר x שואף ל – 0, המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 0 – אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית:
כאשר x שואף לאינסוף, המכנה ישאף לאינסוף והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת ל – 0.
לכן y = 0 – אסימפטוטה אופקית.

2. סקיצה של (f ' (x:

ג. b > 1 הוא פרמטר.

השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.

השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

אנו כבר יודעים מהי הפונקציה הקדומה – מכיוון שאנו עושים אינטגרל על הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן הפונקציה הקדומה היא (f(x.
נפתור את האינטגרל:

נתון כי השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.
כעת נשווה בין השטח שמצאנו לבין השטח הנתון:
(2ln(b) / 3 = ln(4
לפי חוקי לוגריתמים:
(a * ln(x) = ln(x^a
לכן:
(ln(b^2/3) = ln(4
b^2/3 = 4
b = 4^3/2
b = 8

קיץ 2017 מועד א

(f (x) = ln (1+x) / (2+2x

א. תחום ההגדרה.
הפונקציה מוגדרת כאשר המכנה שונה מ 0 וגם כאשר הביטוי בתוך הלוגרתמים חיובי.
נמצא מתי המכנה שווה ל 0.
2+2x=0
2x=-2
x= -1
נמצא מתי הביטוי שבתוך הלוגרתמים חיובי.
x+1>0 /-1
x> -1
שני התנאים מתקיימים יחד כאשר x> -1
תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x> -1

ב. כאשר x שואף ל 1-  המכנה שואף ל 0 ואילו המונה שואף למספר לכן המנה המתקבלת שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.
הישר x= -1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ג. נציב x =0 בפונקציה:
f (0) = ln (1+0) / (2+2*0) = 0/ 2=0
(0, 0).
נציב f (x) =0.
ln (1+x) / (2+2x)=0
ln (1+x) =0
e⁰ = 1+x
x+1=1
x=0
תשובה: נקודת החיתוך עם הצירים היא 0,0.

ד. נקודות קיצון.
(f (x) = ln (1+x) / (2+2x
f ' (x) = ((1+x)^-1 (2+2x) – 2ln(1+x)) / (2+2x)²
נפשט את הביטוי השמאלי של הנגזרת.
x+1)^-1 * (2+2x) = (x+1)^-1*2(x+1)=2)
נציב בחזרה בנגזרת
f ' (x) = (2 – 2ln(1+x)) / (2+2x)²
הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה הנגזרת שווה ל 0 לכן נבדוק מתי מונה הנגזרת שווה ל 0.
2-2ln(1+x)=2(1-ln(1+x)=0
ln(1+x)=1
x+1 = e=2.718
x=1.718
נבדוק את סימן הנגזרת בסביבת הנקודה.
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן אינו משפיע על סימן הנגזרת. נבדוק את סימן מונה הנגזרת.
x=3
ln(1+3)+1<0-
x=1
ln(1+1)+1>0-
כך זה נראה בטבלה

	x=3	x=1.718	x=1
(f(x	יורדת	מקסימום	עולה
(f ' (x	–	0	+

נמצא את ערך הפונקציה ב x=1.718. נגיע לתוצאה מדויקת יותר עם נציב e-1 = 1.718
(f (x) = ln (1+x) / (2+2x
f (e-1) = ln e / (2+2(e-1)=1/2e
תשובה: x=1.718, y=1/2e זו נקודת המקסימום.

ה. שרטוט סקיצה

כאשר משרטטים סקיצה נעשה זאת על הסעיפים הקודמים. תחילה נשרטט את הנקודות שמצאנו ולאחר מיכן נתייחס לתחומי העליה והירידה והאסימפטוטות.

ו. שרטוט גרף הפונקציה השלילית.
בפונקציה הזו ערכי ה y הופכים את הסימן אך שומרים על הערך המוחלט שלהם.

חורף 2017 שאלה 5
בגרות 4 יחידות שאלון 482

F(x) = (lnx)² – 2ln x

סעף א.
תחום ההגדרה הוא x>0.

סעיף ב

נשווה את הנגזרת ל 0.
יש לנו שני מכפלה של שני ביטויים שעל מנת שהמכפלה תהיה שווה ל 0 לפחות אחד מהביטויים צריך להיות שווה ל 0.

Ln x -1=0
Ln x =1
x=e
(f'(x) =(2/x) *(lnx-1
הביטוי

חיובי בכול תחום ההגדרה. לכן מה שקובע את סימן הנגזרת הוא הביטוי ln x -1.
כאשר x>e הביטוי והנגזרת חיוביים.
כאשר

הביטוי והנגזרת שליליים.
לכן x=e זו נקודת מינימום.

נמצא את ערך הפונקציה בנקודה x = e.
F(e) = (ln e)² – 2ln e= 1²-2= -1
תשובה: e,-1 מינימום.

סעיף ג.
נציב f (x) = 0.
lnx)² – 2ln x=0)
ln x(ln (x) -2)=0
lnx = 0
x=1
או
ln (x)-2=0
ln x=2
x=e²
(e²,0), (1,0) – חיתוך עם ציר ה X.

סעיף ד
סקיצה של הפונקציה

סעיף ה
אנו צריכים שגרף הפונקציה יהיה חיובי וגם הפונקציה תעלה. זה קורה כאשר x>e².

סעיף ו
נקודות הקיצון מתקבלות כאשר f(x) חותכת את ציר ה x.
כאשר x=1 הפונקציה עוברת מחיוביות לשליליות לכן זו נקודת מקסימום.
כאשר x=e² הפונקציה עוברת משליליות לחיוביות ולכן זו נקודת מינימום.

קיץ 2016 שאלה 5
בגרות 4 יחידות שאלון 482

F(x)= x² – ln (x²)-3

סעיף א
תחום ההגדרה: x² צריך להיות חיובי על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת. לכן x≠0 הוא תחום ההגדרה.

סעיף ב
אסימפטוטה מתקבלת בנקודת אי ההגדרה והיא x=0.

סעיף ג
נגזור את הפונקציה.

2x²=2
x²=1
x=1 או x=-1
נמצא את סוג הקיצון בעזרת הנגזרת השנייה.

ביטוי זה חיובי לכל X לכן אלו נקודות מינימום.
נמצא את ערכי הפונקציה בנקודת הקיצון.
F(1) =-2
f(-1)=-2

סעיף ד
f(5) = x² – ln (x²)-3=18.78
סקיצה של הפונקציה היא:

סעיף ה
מכוון שבנקודות המינימום f(x)=-2 כאשר נוסיף 2 לפונקציה נקודות המינימום ישיקו לציר ה X וכל שאר הפונקציה תהיה מעל ציר ה X.
לכן לפונקציה (g(x יהיו 2 נקודות השקה עם ציר הX.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.