נגזרת ln

בדף זה:

  1. נוסחאות הגזירה של פונקציית LN.
  2. דוגמאות לנגזרות לן נפוצות.
  3. 5 תרגילים של נגזרת לן "פשוטה".
  4. 8 תרגילים של נגזרת לן מורכבת.

1.נוסחאות גזירה

בדף זה נפתור תרגילי גזירת פונקציית ln.
5 תרגילים של פונקציית ln רגילה ו- 8 תרגילים של פונקציית ln מורכבת.

 נגזרת הפונקציה lnx:

נגזרת פונקציית ln מורכבת:

נגזרת מורכבת LN

2.דוגמאות לנגזרת ln

בחלק זה ניתן ללמוד כיצד גוזרים על ידי התבוננות ב 6 סוגים נפוצים של נגזרת ln.

1.פונקציית ln כפול קבוע

2.חזקה על הביטוי הפנימי שבתוך ה ln

3.פונקציה מורכבת בתוך ה ln

4. חזקה על ה ln עצמו

5.נגזרת מכפלה

5.גם חזקה על ה ln וגם פונקציה מורכבת בתוך ה ln

6. נגזרת מנה של פונקציית ln

3.תרגילים: נגזרת לן פשוטה

בחלק זה תרגילי גזירה של פונקציית לן פשוטה ופונקציית לן מורכבת.

התרגילים בחלק של פונקציית הלן הפשוטה הם:

  1. ln (x) + 5x²
  2. 4ln x 
  3. x² * ln x

התרגילים בחלק של הפונקציה המורכבת הם:

  1. (ln (9 – 3x
  2. ln x²
  3. ln x)²)
  4. (ln x)√
  5. (ln (ex +1
  6. ln sin²x

פתרונות

תרגיל 1
ln (x) + 5x²

פתרון

הנגזרת של lnx היא .
לכן:

תרגיל 2
4ln x

פתרון
הנגזרת של lnx היא .
המקדם של lnx הוא מספר קבוע ('4').
נוסחה לנגזרת מסוג זה :
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
לכן:

תרגיל 3
x² * ln x

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = x²
u'(x) = 2x

השנייה : v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.
(תזכורת : (f (x) * g (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x).

תרגיל 4

פתרון
זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = x
u'(x) = 1

השנייה(במכנה) :    v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 5

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 1 – ln x
u'(x) = -1/x

השנייה(במכנה) :   v(x) = 2 + ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :

פתיחת סוגריים ומכנה משותף :

כינוס איברים וסידור השבר :

4.גזירת פונקציות ln מורכבות


נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

נוכל להסיק מהנוסחה הנ"ל:

תרגילים

  1. (ln (9 – 3x
  2. (ln (x²
  3. ln x)²)
  4. (ln x)√
  5. (ln (ex +1
  6. ln sin²x

פתרונות

תרגיל 1
(ln (9 – 3x

פתרון
נגזרת מורכבת LN
במקרה שלנו : f(x) = 9 – 3x
f ' (x) =  -3
לכן :

תרגיל 2
ln x²

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :
נגזרת מורכבת LN

במקרה שלנו : f(x) = x²
f ' (x) =  2x
לכן:

תרגיל 3
ln x)²)

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
f ' (x) = 2x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]לכן נקבל:

תרגיל 4
(ln x)√

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא פונקציית השורש. (נסמן (f(x )
f ' (x) = 1 / 2√x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

לכן נקבל:

תרגיל 5

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :
נגזרת מורכבת LN

במקרה שלנו :   f(x) = 4 / x+3
=  (f ' (x

לכן נקבל : 

סידור השבר וצמצום :

תרגיל 6

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   

לכן נקבל:

תרגיל 7
(ln (ex +1

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :
נגזרת מורכבת LN

במקרה שלנו : f(x) = ex + 1
f ' (x) = ex
לכן :

תרגיל 8
ln sin²x

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :
נגזרת מורכבת LN

במקרה שלנו : f(x) = sin²x
f ' (x) = 2sinx * cosx
לכן :

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “נגזרת ln”

  1. רבקי אסלן

    היי אני רוצה להגיד שאתה מסביר מעולה והכל מובן וזה עוזר ממש תודה רבה .😊

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    לא ראיתי שכתוב איך לגזור lnx עם חזקה על כל הנוסחה בשניה
    תודה:)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      דוגמה מספר 3 בתחילה הדף היא חזקה שלישית על כל ה ln, מאוד דומה.

    1. לומדים מתמטיקה

      ln 2 זה מספר והנגזרת שלו היא 0.
      אם התכוונת ל 2ln x
      אז הנגזרת של זה היא 2 חלקי איקס

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.