נגזרת ln

בדף זה:

1. נוסחאות הגזירה של פונקציית LN.
2. דוגמאות לנגזרות לן נפוצות.
3. 5 תרגילים של נגזרת לן "פשוטה".
4. 8 תרגילים של נגזרת לן מורכבת.

1.נוסחאות גזירה

בדף זה נפתור תרגילי גזירת פונקציית ln.
5 תרגילים של פונקציית ln רגילה ו- 8 תרגילים של פונקציית ln מורכבת.

 נגזרת הפונקציה lnx:

נגזרת פונקציית ln מורכבת:

• נושאים נוספים בחקירת פונקציית ln בקישור.

2.דוגמאות לנגזרת ln

בחלק זה ניתן ללמוד כיצד גוזרים על ידי התבוננות ב 6 סוגים נפוצים של נגזרת ln.

1.פונקציית ln כפול קבוע

2.חזקה על הביטוי הפנימי שבתוך ה ln

3.פונקציה מורכבת בתוך ה ln

4. חזקה על ה ln עצמו

5.נגזרת מכפלה

5.גם חזקה על ה ln וגם פונקציה מורכבת בתוך ה ln

6. נגזרת מנה של פונקציית ln

3.תרגילים: נגזרת לן פשוטה

בחלק זה תרגילי גזירה של פונקציית לן פשוטה ופונקציית לן מורכבת.

התרגילים בחלק של פונקציית הלן הפשוטה הם:

1. ln (x) + 5x²
2. 4ln x 
3. x² * ln x
4. 
5. 

התרגילים בחלק של הפונקציה המורכבת הם:

1. (ln (9 – 3x
2. ln x²
3. ln x)²)
4. (ln x)√
5. 
6. 
7. (ln (e^x +1
8. ln sin²x

פתרונות

תרגיל 1
ln (x) + 5x²

פתרון

הנגזרת של lnx היא .
לכן:

תרגיל 2
4ln x

פתרון
הנגזרת של lnx היא .
המקדם של lnx הוא מספר קבוע ('4').
נוסחה לנגזרת מסוג זה :
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
לכן:

תרגיל 3
x² * ln x

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = x²
u'(x) = 2x

השנייה : v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.
(תזכורת : (f (x) * g (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x).

תרגיל 4

פתרון
זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = x
u'(x) = 1

השנייה(במכנה) :    v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 5

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 1 – ln x
u'(x) = -1/x

השנייה(במכנה) :   v(x) = 2 + ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :

פתיחת סוגריים ומכנה משותף :

כינוס איברים וסידור השבר :

4.גזירת פונקציות ln מורכבות

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

נוכל להסיק מהנוסחה הנ"ל:

תרגילים

1. (ln (9 – 3x
2. (ln (x²
3. ln x)²)
4. (ln x)√
5. 
6. 
7. (ln (e^x +1
8. ln sin²x

פתרונות

תרגיל 1
(ln (9 – 3x

פתרון

במקרה שלנו : f(x) = 9 – 3x
f ' (x) =  -3
לכן :

תרגיל 2
ln x²

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : f(x) = x²
f ' (x) =  2x
לכן:

תרגיל 3
ln x)²)

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
f ' (x) = 2x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]לכן נקבל:

תרגיל 4
(ln x)√

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא פונקציית השורש. (נסמן (f(x )
f ' (x) = 1 / 2√x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

לכן נקבל:

תרגיל 5

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   f(x) = 4 / x+3
=  (f ' (x

לכן נקבל : 

סידור השבר וצמצום :

תרגיל 6

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   

לכן נקבל:

תרגיל 7
(ln (e^x +1

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : f(x) = e^x + 1
f ' (x) = e^x
לכן :

תרגיל 8
ln sin²x

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : f(x) = sin²x
f ' (x) = 2sinx * cosx
לכן :

עוד באתר:

• פונקציית לן – תחומי חקירה נוספים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• נגזרת של פונקציות שונות.