משוואות לוגריתמיות חלק שני

בחלק הראשון למדנו לפתור משוואות לוגריתמיות הכוללות ln.

בדף זה נלמד לפתור משוואות הכוללות log ונשתמש גם בנוסחאות נוספות.

עבור תלמידי תיכון, במיוחד ברמת 4 יחידות דף זה שימושי פחות מהדף הקודם.

חוקי הלוגרתמים שאתם צריכים לדעת

  1. log a(x*y) = logax + logay
  2. log a(x/ y) = logax – logay
  3. logaxn = nlogax
  4. alogax = x
  5. כלל של שינוי בסיס הלוג:

בפתרון תרגילים משתמשים הרבה בפונקציית לן, ועבורה החוקים נראים כך:

  1. ln(x*y) = ln x + ln y
  2. ln(x/ y) = ln x – ln y
  3. ln xn = n*ln x
  4. elnx = x
  5. אם המשוואה כולה בלן אין צורך לשנות את בסיס הלוג.

כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :

  1. לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר loga1 = 0.
  2. ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log28 = 3.

1.משוואות הנפתרות בעזרת הגדרת הלוגריתמים


במשוואת אלו יהיה לכם לוגרתמים אחד בלבד בצד אחד של המשוואה ומספר בצד השני.
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga(x) = y , אז :  ay = x.

זכרו כי על פי הגדרת הלוגריתם הבסיס (a) צריך להיות גדול מ 0 ושונה מ1.
וזאת על מנת ש x יהיה חיובי.

תרגיל 1

log 3 (2x + 1) = 2

לחצו לצפייה בפתרון

תחום הגדרה:
2x + 1 > 0
x > -0.5

נשתמש בהגדרת הלוגריתם,
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga( f(x) ) = y , אז :  (ay = f(x.
במקרה שלנו –
* a = 3
* y = 2
* f(x) = 2x + 1

לכן מתקיים :
3² = 2x + 1
2x + 1 = 9
2x = 8
x = 4

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

תרגיל 2

log 3 (3x + 54) = 4

פתרון

לחצו לצפייה בפתרון

תחום ההגדרה:

3x + 54 > 0
שני הביטויים חיוביים תמיד ולכן הסכום שלהם חיובי תמיד

המשוואה מוגדרת לכל x.

נשתמש בהגדרת הלוגריתם,
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga( f(x) ) = y , אז :  (ay = f(x.
במקרה שלנו –
* a = 3
* y = 4
* f(x) = 3x + 54

לכן מתקיים:
3x + 54  =  34
3x + 54 = 81
3x = 27
פתרון המשוואה : x = 3
(מכיוון ש:  33 = 27)

תרגיל 3

log 4 (32 + 2x) = 3

פתרון

לחצו לצפייה בפתרון

32 + 2x  > 0
שני הביטויים חיוביים תמיד ולכן הסכום שלהם חיובי תמיד

המשוואה מוגדרת לכל x.

נשתמש בהגדרת הלוגריתם,
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga( f(x) ) = y , אז :  (ay = f(x.
במקרה שלנו –
* a = 4
* y = 3
* f(x) = 32 + 2x

לכן מתקיים:
43  = 32 + 2x
2x + 32 = 64
2x = 32
נוציא log בבסיס 2 לשני האגפים.
log2(2x) = log232
* loga(ax) = x
לכן:
x = log232 = 5

פתרון המשוואה : x = 5

2.משוואות הנפתרות על ידי גורם משותף או משוואה ריבועית

במשוואות הללו תצטרכו להוציא גורם משותף. או שתצרכו להציב על מנת להפוך את המשוואה הלוגרתמית למשוואה ריבועית.

הכללים על פיהם עליכם לפעול:

  1. לבדוק האם יש גורם משתף או האם ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
  2. אם יש מספר לוגרתמים במשוואה עליכם לאחד איברים בעזרת הכללים הללו:
    log a(x*y) = logax + logay
    log a(x/ y) = logax – logay
  3. אם יש לוגרתמים עם בסיס שונה עליכם להשתמש בנוסחה הזו על מנת ליצור בסיס זהה.
    logax = logbx : logba

דוגמאות לתרגילים הנפתרים בצורה הזו:

1.משוואה הנפתרת על ידי גורם משותף

4ln x – ln²x = 0

לחצו לצפייה בפתרון

תחום הגדרה
x > 0.

נוכל להוציא גורם משותף מחוץ לסוגריים – ln x.
lnx ( 4 – lnx) = 0
למשוואה מסוג זה ישנם 2 פתרונות:
*     ln x = 0
x = 1
*   0 = (ln x – 4)
ln x = 4
נפעיל e בחזקת 2 האגפים.
elnx = e4
*חוקי לוגריתמים : elnx = x
x = e4

לכן הפתרונות : x1 = 1,   x2 = e4

2. משוואה הנפתרת על ידי הצבה והפיכה למשוואה ריבועית

2ln x + 8 = (lnx)²

פתרון

לחצו לצפייה בפתרון

תחום הגדרה
x > 0.

הפונקציות הלוגריתמיות מוגדרות כאשר
x > 0

נציב t = lnx.
ואז מתקיים:
2t + 8 = t²
t² – 2t – 8 = 0
פירוק לגורמים:
t – 4)*(t + 2) = 0)
לכן : t1 = 4,   t2 = -2.

כעת נחזור להצבה המקורית : t = lnx
1. ln x = 4
על פי הגדרת הלוגריתמים נקבל:
x = e4

2. אפשרות שנייה:
ln x = -2
על פי הגדרת הלוגריתמים נקבל:
x = e-2

לכן הפתרונות:   x1 = e4 , x2 = e-2

3.משוואות בהם צריך לאחד לוגריתמים

תרגיל 1

ln x + ln (x – 2) = 0

לחצו לצפייה בפתרון

תחום הגדרה
x > 0  וגם x -2 > 0

x > 2
הוא תחום ההגדרה.

הפונקציות הלוגריתמיות מוגדרות כאשר x > 2.

מחוקי הלוגריתמים : log a(x*y) = logax + logay
לכן נוכל לכתוב את המשוואה כך:
ln [ x*(x-2) ] = 0

נשתמש בהגדרת הלוגריתם שאומרת:

loga( f(x) ) = y     ⇒ ay = f(x)

לכן:
x*(x – 2) =e0 = 1
x*(x-2) = 1
x2 – 2x = 1
x2 – 2x – 1 = 0
נפתור את המשוואה:



*  x = 1 – √2 הוא מספר שלילי. (2√ גדול מ -1)
לכן הוא אינו בתחום ההגדרה של המשוואה הלוגריתמית הזו. (תחום ההגדרה – x > 2)

לכן פתרון המשוואה :   x = 1 + √2

 

תרגיל 2

log3x + log9x² = 4

פתרון

המשוואה מוגדרת כאשר x > 0.

אנו רוצים להפוך את שני האיברים שבצד השמאלי לאיבר אחד.
על מנת לעשות זאת עלינו לגרום להם להיות עם אותו בסיס.

החוק הלוגרתמי שמאפשר לשנות בסיס הוא:

נשתמש בחוק זה עבור האיבר
log9x2
כמו כן בשלב השני נשתמש בחוק:
logaxn = nlogax

נציב את מה שקיבלנו במשוואה המקורית:
log3x + log9x² = 4
log3x + log3x = 4
2log3x = 4
log3x = 2
לפי הגדרת הלוגריתם, אם מתקיים loga x  = y , אז :  ay = x.
לכן: x = 32 = 9
פתרון המשוואה : x = 9

4.משוואות בהם הלוגריתמים מופיע בחזקה

משוואות בהם הלוגרתמים מופיע בחזקה של המשוואה, במשוואות הללו יש להוציא לוגרתמים לשני צדדי המשוואה ולהשתמש בכלל:
loga(ax) = x

תרגיל 1

פתרון

תחום הגדרה:
16x > 0
x > 0
וגם:
lg4 16x + 1 > 0
lg4 16x  > – 1
16x > 4-1 = 0.25
x > 0.015625

תחום ההגדרה הוא:
x > 0.015625

פתרון המשוואה
נוציא לוגריתם בבסיס x לשני צדדי המשוואה:

מחוקי הלוגריתמים : loga(ax) = x

לכן באגף שמאל ניתן להוריד את הלוג מהחזקה.
logx x1+log 16x = 1 + log416x

נקבל:
log416x + 1 = logx 256

על-מנת ליצור בסיס משותף , נמיר את הלוגריתם בבסיס x לבסיס 4,
לפי הכלל של שינוי בסיס הלוגריתם :
logax = logbx : logb .
לכן:
log416x + 1 = log256 / log4 x

לפי חוקי לוגריתמים :
log a(x*y) = logax + logay

לכן באגף שמאל:
log416x = log4x + log416

נקבל:
log4x + log416 + 1 = log256 / log4 x

את הביטויים הבאים ניתן להפוך למספרים.
log416= log442 = 2
log4256 = log444 =  4

נציב את מה שקיבלנו:
log4x + 2 + 1 = 4 / log4 x
log4x + 3 = 4 / logx

נכפול ב: logx.
log4x)2 + 3*log4x = 4)

כעת על מנת לפתור את המשוואה נציב t = log4x
נקבל:

t2 + 3t = 4
t2 + 3t – 4 = 0
פירוק לגורמים:
t + 4) * (t – 1) = 0)
t1 = -4 , t2 = 1

לכן:
* log4x = 1
x = 41 = 4
*log4x = – 4
x = 4-4 = 1/256

פתרונות המשוואה:

x1 = 4
x2 = 1/256

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

13 מחשבות על “משוואות לוגריתמיות חלק שני”

  1. שלום,
    בסרטון נתת את התרגיל: log של 36 בסיס x = שתיים.
    כשפתרת חישבת:
    x^2=36
    x=6
    אבל למה הפתרון הוא לא x=+-6?
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      בסיס הלוגריתם מוגדר כאשר הוא חיובי ושונה מ 1.
      אם זה לא היה כך הביטוי שבתוך הלוג היה יכול להיות שלילי.
      אני אכתוב את זה.
      תודה.

      1. הבנתי, תודה רבה על ההסבר!
        האם ל ln ול log אותו תחום הגדרה? כי ניתן לעשות במחשבון ln של 1, אבל אם לן הוא לוג של x בסיס e, וידוע כי בלוגים איקס גדול מ-0 ושונה מ-1, אז האם ל lnx לא אמור להיות את אותו תחום הגדרה? ממה נובע השינוי בתחום?
        תודה:-)

        1. לומדים מתמטיקה

          בפונקציה log אם x = 1 לא ניתן לזהות את הבסיס כי זה יכול להיות כל בסיס שונה מ 0.
          לכן log לא מוגדרת במקרה זה.
          ב ln הבסיס ידוע ולכן היא מוגדרת עבור x = 1.

  2. (log3(x^2 (הלוגריתם בבסיס 3 הכוונה)

    למה תחום ההגדרה של הארגומנט הוא
    x>0?
    למה לא תחום של כל איקס חוץ מ0? הרי אם אני מציב משהו שלילי נניח מינוס 2, אז הוא יהיה בריבוע אז זה ייצא חיובי תמיד חוץ מ0, אני מנסה להבין למה זה לא נכון?

    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אייל
      אתה צודק.
      אבל אם מדובר על תרגיל באתר לא מצאתי כזה ועברתי על הדף פעמיים.
      איפה התרגיל נמצא?
      (אם מדובר בתרגיל 2 אז שים לב שיש שם שני ביטויים ואחד מיהם לא כולל חזקה).

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום
    נהנתי מאוד מהאתר שלך (ועדיין)
    ההסברים פשוטים ברורים ומובנים
    תודה רבה!
    רציתי לשאול: אם רושמים לי כתרגיל את הביטוי ln^2 x מה זה אומר לי?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה.
      ln זה לוג עם בסיס e.
      הסימן של הריבוע הוא על הלן ולא על x.
      כלומר החישוב הוא ln x ולאחר שמקבלים תוצאה מעלים בריבוע.

  4. מה יותר קטן?
    (log√2(0.5
    log2 0.5
    log0.5 √2
    איך פותרים את זה? (0.5, 2√ , 2, הראשונים שמופיעים אחרי log הם הבסיסים. לא יודע איך לרשום זאת במקלדת)
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום טל
      על מנת לפתור אתה יכול להשתמש במשוואה של שינוי בסיס הלוג הרשומה למעלה ולשנות את כל הבסיסים ל 2.
      לאחר מיכן להשתמש בחוקי חזקות ובעובדה שהמספרים שורש 2 ו 0.5 הם חזקה של 2 (עליך לרשום אותם כחזקה של 2).
      מקווה שזה עוזר, בהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.