בחלק הראשון למדנו לפתור משוואות לוגריתמיות הכוללות ln.
בדף זה נלמד לפתור משוואות הכוללות log ונשתמש גם בנוסחאות נוספות.
עבור תלמידי תיכון, במיוחד ברמת 4 יחידות דף זה שימושי פחות מהדף הקודם.
חוקי הלוגרתמים שאתם צריכים לדעת
- log a(x*y) = logax + logay
- log a(x/ y) = logax – logay
- logaxn = nlogax
- alogax = x
- כלל של שינוי בסיס הלוג:
בפתרון תרגילים משתמשים הרבה בפונקציית לן, ועבורה החוקים נראים כך:
- ln(x*y) = ln x + ln y
- ln(x/ y) = ln x – ln y
- ln xn = n*ln x
- elnx = x
- אם המשוואה כולה בלן אין צורך לשנות את בסיס הלוג.
כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :
- לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר loga1 = 0.
- ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log28 = 3.
1.משוואות הנפתרות בעזרת הגדרת הלוגריתמים
במשוואת אלו יהיה לכם לוגרתמים אחד בלבד בצד אחד של המשוואה ומספר בצד השני.
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga(x) = y , אז : ay = x.
זכרו כי על פי הגדרת הלוגריתם הבסיס (a) צריך להיות גדול מ 0 ושונה מ1.
וזאת על מנת ש x יהיה חיובי.
תרגיל 1
log 3 (2x + 1) = 2
תרגיל 2
log 3 (3x + 54) = 4
פתרון
תרגיל 3
log 4 (32 + 2x) = 3
פתרון
פתרון המשוואה : x = 5
2.משוואות הנפתרות על ידי גורם משותף או משוואה ריבועית
במשוואות הללו תצטרכו להוציא גורם משותף. או שתצרכו להציב על מנת להפוך את המשוואה הלוגרתמית למשוואה ריבועית.
הכללים על פיהם עליכם לפעול:
- לבדוק האם יש גורם משתף או האם ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
- אם יש מספר לוגרתמים במשוואה עליכם לאחד איברים בעזרת הכללים הללו:
log a(x*y) = logax + logay
log a(x/ y) = logax – logay - אם יש לוגרתמים עם בסיס שונה עליכם להשתמש בנוסחה הזו על מנת ליצור בסיס זהה.
logax = logbx : logba
דוגמאות לתרגילים הנפתרים בצורה הזו:
1.משוואה הנפתרת על ידי גורם משותף
4ln x – ln²x = 0
2. משוואה הנפתרת על ידי הצבה והפיכה למשוואה ריבועית
2ln x + 8 = (lnx)²
פתרון
3.משוואות בהם צריך לאחד לוגריתמים
תרגיל 1
ln x + ln (x – 2) = 0
תרגיל 2
log3x + log9x² = 4
פתרון
המשוואה מוגדרת כאשר x > 0.
אנו רוצים להפוך את שני האיברים שבצד השמאלי לאיבר אחד.
על מנת לעשות זאת עלינו לגרום להם להיות עם אותו בסיס.
החוק הלוגרתמי שמאפשר לשנות בסיס הוא:
נשתמש בחוק זה עבור האיבר
log9x2
כמו כן בשלב השני נשתמש בחוק:
logaxn = nlogax
נציב את מה שקיבלנו במשוואה המקורית:
log3x + log9x² = 4
log3x + log3x = 4
2log3x = 4
log3x = 2
לפי הגדרת הלוגריתם, אם מתקיים loga x = y , אז : ay = x.
לכן: x = 32 = 9
פתרון המשוואה : x = 9
4.משוואות בהם הלוגריתמים מופיע בחזקה
משוואות בהם הלוגרתמים מופיע בחזקה של המשוואה, במשוואות הללו יש להוציא לוגרתמים לשני צדדי המשוואה ולהשתמש בכלל:
loga(ax) = x
תרגיל 1
פתרון
תחום הגדרה:
16x > 0
x > 0
וגם:
lg4 16x + 1 > 0
lg4 16x > – 1
16x > 4-1 = 0.25
x > 0.015625
תחום ההגדרה הוא:
x > 0.015625
פתרון המשוואה
נוציא לוגריתם בבסיס x לשני צדדי המשוואה:
מחוקי הלוגריתמים : loga(ax) = x
לכן באגף שמאל ניתן להוריד את הלוג מהחזקה.
logx x1+log 16x = 1 + log416x
נקבל:
log416x + 1 = logx 256
על-מנת ליצור בסיס משותף , נמיר את הלוגריתם בבסיס x לבסיס 4,
לפי הכלל של שינוי בסיס הלוגריתם :
logax = logbx : logba .
לכן:
log416x + 1 = log4 256 / log4 x
לפי חוקי לוגריתמים :
log a(x*y) = logax + logay
לכן באגף שמאל:
log416x = log4x + log416
נקבל:
log4x + log416 + 1 = log4 256 / log4 x
את הביטויים הבאים ניתן להפוך למספרים.
log416= log442 = 2
log4256 = log444 = 4
נציב את מה שקיבלנו:
log4x + 2 + 1 = 4 / log4 x
log4x + 3 = 4 / log4 x
נכפול ב: log4 x.
log4x)2 + 3*log4x = 4)
כעת על מנת לפתור את המשוואה נציב t = log4x
נקבל:
t2 + 3t = 4
t2 + 3t – 4 = 0
פירוק לגורמים:
t + 4) * (t – 1) = 0)
t1 = -4 , t2 = 1
לכן:
* log4x = 1
x = 41 = 4
*log4x = – 4
x = 4-4 = 1/256
פתרונות המשוואה:
x1 = 4
x2 = 1/256
עוד באתר:
מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il
מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.
היי
קודם כל תודה רבה רבה רבה בלי סוף על האתר המטורף הזה. עוזר לי המונמון וההסברים ברורים רצח.
רציתי לשאול בתרגיל 1 במשוואות שבהם צריך לאחד לוגריתמים שעשית את נוסחת משוואה ריבועית בסוף כשהיה 2^2-+2
2 ^ זה יעני שורש. ואז עשית 2^-+1. ואוקיי הבנתי שצימצת את 2 ו2 אבל למה ה2 הכי שמאלי שבמונה הפך ל1 את זה לא הבנתי. אם תוכל להסביר לי תנקססס
ועוד פעם תודה תודה תודה הייתי לגמרי מתה בלי האתר הזה. הצלת אותי כפרעליך
שלום
שורש 8 שווה 2 כפול שורש 2.
ניתן לדעת זו מהמחשבון וניתן ללמוד גם בדף
https://www.m-math.co.il/algebra/square-roots-rules-number-outside/
אני מקווה עניתי על שנקודה ששאלת.
שלום,
בסרטון נתת את התרגיל: log של 36 בסיס x = שתיים.
כשפתרת חישבת:
x^2=36
x=6
אבל למה הפתרון הוא לא x=+-6?
תודה רבה
שלום מוריה
בסיס הלוגריתם מוגדר כאשר הוא חיובי ושונה מ 1.
אם זה לא היה כך הביטוי שבתוך הלוג היה יכול להיות שלילי.
אני אכתוב את זה.
תודה.
הבנתי, תודה רבה על ההסבר!
האם ל ln ול log אותו תחום הגדרה? כי ניתן לעשות במחשבון ln של 1, אבל אם לן הוא לוג של x בסיס e, וידוע כי בלוגים איקס גדול מ-0 ושונה מ-1, אז האם ל lnx לא אמור להיות את אותו תחום הגדרה? ממה נובע השינוי בתחום?
תודה:-)
בפונקציה log אם x = 1 לא ניתן לזהות את הבסיס כי זה יכול להיות כל בסיס שונה מ 0.
לכן log לא מוגדרת במקרה זה.
ב ln הבסיס ידוע ולכן היא מוגדרת עבור x = 1.
ממש תודה על העזרה!
(log3(x^2 (הלוגריתם בבסיס 3 הכוונה)
למה תחום ההגדרה של הארגומנט הוא
x>0?
למה לא תחום של כל איקס חוץ מ0? הרי אם אני מציב משהו שלילי נניח מינוס 2, אז הוא יהיה בריבוע אז זה ייצא חיובי תמיד חוץ מ0, אני מנסה להבין למה זה לא נכון?
תודה רבה
שלום אייל
אתה צודק.
אבל אם מדובר על תרגיל באתר לא מצאתי כזה ועברתי על הדף פעמיים.
איפה התרגיל נמצא?
(אם מדובר בתרגיל 2 אז שים לב שיש שם שני ביטויים ואחד מיהם לא כולל חזקה).
הי
בכללי לא דווקא בתרגיל זה מותר לי להעביר את ה2 של החזק לפני הלוג בכל מצב?
כי אם זה משנה את תחום ההגדרה זה מורכב..
איך זה עובד?
שלום
לא ברור על איזה תרגיל מדובר
שלום
נהנתי מאוד מהאתר שלך (ועדיין)
ההסברים פשוטים ברורים ומובנים
תודה רבה!
רציתי לשאול: אם רושמים לי כתרגיל את הביטוי ln^2 x מה זה אומר לי?
שלום
תודה.
ln זה לוג עם בסיס e.
הסימן של הריבוע הוא על הלן ולא על x.
כלומר החישוב הוא ln x ולאחר שמקבלים תוצאה מעלים בריבוע.
אפשר סרטון?
נשתדל בקרוב.
מה יותר קטן?
(log√2(0.5
log2 0.5
log0.5 √2
איך פותרים את זה? (0.5, 2√ , 2, הראשונים שמופיעים אחרי log הם הבסיסים. לא יודע איך לרשום זאת במקלדת)
תודה
שלום טל
על מנת לפתור אתה יכול להשתמש במשוואה של שינוי בסיס הלוג הרשומה למעלה ולשנות את כל הבסיסים ל 2.
לאחר מיכן להשתמש בחוקי חזקות ובעובדה שהמספרים שורש 2 ו 0.5 הם חזקה של 2 (עליך לרשום אותם כחזקה של 2).
מקווה שזה עוזר, בהצלחה.