משוואות לוגריתמיות חלק שני

בחלק הראשון למדנו לפתור משוואות לוגריתמיות הכוללות ln.

בדף זה נלמד לפתור משוואות הכוללות log ונשתמש גם בנוסחאות נוספות.

עבור תלמידי תיכון, במיוחד ברמת 4 יחידות דף זה שימושי פחות מהדף הקודם.

חוקי הלוגרתמים שאתם צריכים לדעת

1. log _a(x*y) = log_ax + log_ay
2. log _a(x/ y) = log_ax – log_ay
3. log_axⁿ = nlog_ax
4. a^log_ax = x
5. כלל של שינוי בסיס הלוג:

בפתרון תרגילים משתמשים הרבה בפונקציית לן, ועבורה החוקים נראים כך:

1. ln(x*y) = ln x + ln y
2. ln(x/ y) = ln x – ln y
3. ln xⁿ = n*ln x
4. e^lnx = x
5. אם המשוואה כולה בלן אין צורך לשנות את בסיס הלוג.

כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :

1. לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר log_a1 = 0.
2. ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log₂8 = 3.

1.משוואות הנפתרות בעזרת הגדרת הלוגריתמים

במשוואת אלו יהיה לכם לוגרתמים אחד בלבד בצד אחד של המשוואה ומספר בצד השני.
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים log_a(x) = y , אז :  a^y = x.

זכרו כי על פי הגדרת הלוגריתם הבסיס (a) צריך להיות גדול מ 0 ושונה מ1.
וזאת על מנת ש x יהיה חיובי.

תרגיל 1

log ₃ (2x + 1) = 2

תרגיל 2

log ₃ (3^x + 54) = 4

פתרון

תרגיל 3

log ₄ (32 + 2^x) = 3

פתרון

פתרון המשוואה : x = 5

2.משוואות הנפתרות על ידי גורם משותף או משוואה ריבועית

במשוואות הללו תצטרכו להוציא גורם משותף. או שתצרכו להציב על מנת להפוך את המשוואה הלוגרתמית למשוואה ריבועית.

הכללים על פיהם עליכם לפעול:

1. לבדוק האם יש גורם משתף או האם ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
2. אם יש מספר לוגרתמים במשוואה עליכם לאחד איברים בעזרת הכללים הללו:
   log _a(x*y) = log_ax + log_ay
   log _a(x/ y) = log_ax – log_ay
3. אם יש לוגרתמים עם בסיס שונה עליכם להשתמש בנוסחה הזו על מנת ליצור בסיס זהה.
   log_ax = log_bx : log_ba

דוגמאות לתרגילים הנפתרים בצורה הזו:

1.משוואה הנפתרת על ידי גורם משותף

4ln x – ln²x = 0

2. משוואה הנפתרת על ידי הצבה והפיכה למשוואה ריבועית

2ln x + 8 = (lnx)²

פתרון

3.משוואות בהם צריך לאחד לוגריתמים

תרגיל 1

ln x + ln (x – 2) = 0

תרגיל 2

log₃x + log₉x² = 4

פתרון

המשוואה מוגדרת כאשר x > 0.

אנו רוצים להפוך את שני האיברים שבצד השמאלי לאיבר אחד.
על מנת לעשות זאת עלינו לגרום להם להיות עם אותו בסיס.

החוק הלוגרתמי שמאפשר לשנות בסיס הוא:

נשתמש בחוק זה עבור האיבר
log₉x²
כמו כן בשלב השני נשתמש בחוק:
log_axⁿ = nlog_ax

נציב את מה שקיבלנו במשוואה המקורית:
log₃x + log₉x² = 4
log₃x + log₃x = 4
2log₃x = 4
log₃x = 2
לפי הגדרת הלוגריתם, אם מתקיים log_a x  = y , אז :  a^y = x.
לכן: x = 3² = 9
פתרון המשוואה : x = 9

4.משוואות בהם הלוגריתמים מופיע בחזקה

משוואות בהם הלוגרתמים מופיע בחזקה של המשוואה, במשוואות הללו יש להוציא לוגרתמים לשני צדדי המשוואה ולהשתמש בכלל:
log_a(a^x) = x

תרגיל 1

פתרון

תחום הגדרה:
16x > 0
x > 0
וגם:
lg₄ 16x + 1 > 0
lg₄ 16x  > – 1
16x > 4^-1 = 0.25
x > 0.015625

תחום ההגדרה הוא:
x > 0.015625

פתרון המשוואה
נוציא לוגריתם בבסיס x לשני צדדי המשוואה:

מחוקי הלוגריתמים : log_a(a^x) = x

לכן באגף שמאל ניתן להוריד את הלוג מהחזקה.
log_x x^{1+log 16x} = 1 + log₄16x

נקבל:
log₄16x + 1 = log_x 256

על-מנת ליצור בסיס משותף , נמיר את הלוגריתם בבסיס x לבסיס 4,
לפי הכלל של שינוי בסיס הלוגריתם :
log_ax = log_bx : log_ba  .
לכן:
log₄16x + 1 = log₄ 256 / log₄ x

לפי חוקי לוגריתמים :
log _a(x*y) = log_ax + log_ay

לכן באגף שמאל:
log₄16x = log₄x + log₄16

נקבל:
log₄x + log₄16 + 1 = log₄ 256 / log₄ x

את הביטויים הבאים ניתן להפוך למספרים.
log₄16= log₄4² = 2
log₄256 = log₄4⁴ =  4

נציב את מה שקיבלנו:
log₄x + 2 + 1 = 4 / log₄ x
log₄x + 3 = 4 / log₄ x

נכפול ב: log₄ x.
log₄x)² + 3*log₄x = 4)

כעת על מנת לפתור את המשוואה נציב t = log₄x
נקבל:

t² + 3t = 4
t² + 3t – 4 = 0
פירוק לגורמים:
t + 4) * (t – 1) = 0)
t₁ = -4 , t₂ = 1

לכן:
* log₄x = 1
x = 4¹ = 4
*log₄x = – 4
x = 4^-4 = 1/256

פתרונות המשוואה:

x₁ = 4
x₂ = 1/256

עוד באתר:

• פונקציית ln.
• משוואות מעריכיות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.