הערה
לפני שאתם פותרים משוואה לוגריתמית עליכם למצוא את תחום ההגדרה.
במידה והייתם צריכים למצוא את x, אז בסוף התרגיל עליכם לבדוק אם הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.
סרטון
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים. לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
1.כיצד לפתור משוואות לן בסיסיות
הגדרת הלן / לוג
ln, log אלו הן פונקציות, ולפונקציות יש הגדרות למה הן עושות.
למשל פונקציית הסינוס מוגדרת כניצב שמול הזווית חלקי הייתר.
ואם אנו מקבלים פונקציה לוגריתמית כזו:
logab= c
אז ההגדרה שלה אומרת שהמשוואה השקולה היא:
ac = b
ואם המשוואה היא:
ln x = 10
אז המשוואה השקולה היא:
e10 = x
כיצד לפתור משוואות
נבדיל בין שני סוגים של משוואות עם ln
1.כאשר בתוך ה ln יש מספר
למשל:
ln 4 = x
במקרה זה ניחשב במחשבון למה שווה ln 4 :
ln 4 = 1.39
ונפתור כך:
ln 4 = x
1.39 = x
כאשר בתוך ה ln יש משתנה
כאשר ה x נמצא בתוך הלן, למשל:
ln x = 3
אנו צריכים להוציא את ה x “מתוך הלן”.
נתקלנו בכך גם בעבר במשוואות טריגונמטריות כמו:
sin (x + 10) = 0.5
וגם ידענו ש x מייצג זווית חדה.
השתמשנו במחשבון על מנת “להוציא” את המשתנה מתוך הפונקציה sin ולכתוב את המשוואה ללא הפונקציה כך:
x + 10 = 30
אז גם כאשר נקבל משוואה הכוללת משתנה בתוך הפונקציה log, ln אז נעשה פעולה על מנת לכתוב את המשוואה ללא הפונקציה.
והדרך שלנו להגיע לכך היא להשתמש בהגדרת ה ln שאומרת שאם המשוואה היא:
ln x = 3
אז משוואה שקולה לה היא:
e3 = x
ובכך מצאנו את x כי e3 הוא מספר
e3 = 20.09 = x
דוגמאות
דוגמה 1
מצאו את x
ln x = 2
פתרון התרגיל
תחום ההגדרה x > 0.
על פי ההגדרה של log המשוואה שקולה ל:
x = e²
דוגמה 2
ln² x = 9
פתרון התרגיל
תחום ההגדרה x > 0.
כפי שאם היינו מקבלים את המשוואה:
x² = 9
אז הפתרונות היו:
x = 3 או x = -3
אז במקרה של המשוואה שלנו נכתוב:
ln² x = 9
ln x = 3 או ln x = -3
נמשיך ונפתור על פי הגדרת הפונקציה ln.
הפתרון הראשון
ln x = 3
e³ = x
הפתרון השני
ln x = -3
e-3 = x
דוגמה 3
4ln (3x – 1) = 4
פתרון התרגיל
תחום ההגדרה הוא:
3x – 1 > 0
3x > 1
x > 0.333
פתרון
4ln (3x – 1) = 4
נחלק את המשוואה ב 4 שהוא המקדם של לן.
ln (3x – 1) = 1
על פי הגדרת הפונקציה ln נכתוב:
3x – 1 = e1
3x = e + 1
3x = 3.718
x = 1.239
דוגמה 4
ln (x²) = 1
פתרון התרגיל
תחום הגדרה x > 0.
במקרה זה החזקה היא על ה x ולא על ה ln.
לכן הפתרון הוא:
x² = e
x = √e או x = -√e
הפתרון השלילי נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.
תשובה: x = √e.
דוגמה 5
ln 3 x – ln 2 x = 0
פתרון התרגיל
תחום הגדרה x > 0.
אם היינו מקבלים את המשוואה:
x3 – x2 = 0
אז היינו מוצאים גורם משותף כדי לפתור/
כך:
x2 (x – 1) = 0
אז את אותו דבר נעשה במשוואה הנוכחית:
ln 3 x – ln 2 x = 0
ln 2 x(ln x – 1) = 0
ומכך נובעים שני פתרונות.
פתרון ראשון
ln 2 x = 0
(נוציא שורש לשני צדדי המשוואה)
ln x= 0
x = e0 = 1
פתרון שני
ln x – 1 = 0
ln x = 1
x = e1 = e
תשובה:
x = 1 או x = e
דוגמה 6
2x * lnx + 4lnx = 0
פתרון התרגיל
תחום הגדרה x > 0.
נוציא ln x כגורם משותף.
2x * lnx + 4lnx = 0
ln x (2x + 4) = 0
אפשרות ראשונה
ln x = 0
x = e0 = 1
אפשרות שנייה
2x + 4 = 0
2x = 4
x = -2
פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.
תשובה: x = 1
דוגמה 7
ln 3 x + 5ln 2 x = – 6
פתרון התרגיל
תחום הגדרה x > 0
בניגוד לדוגמה הקודמת שיכולנו לפתור על ידי גורם משותף, הפעם לא ניתן.
מה שנעשה זה לפתור את המשוואה כמשוואה ריבועית.
ln 2 x + 5lnx = – 6
ln 2 x + 5lnx + 6 = 0
נגדיר:
ln x = t
נקבל את המשוואה הריבועית.
t2 + 5t + 6 = 0
הפתרונות הם:
t = -2 או t = -3.
נעבור למשוואות הכוללות את ln.
פתרון ראשון
ln x = -2
x = e-2
פתרון שני
ln x = -3
x = e-3
שני הפתרונות חיוביים ולכן שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.
בדוגמא 9 תחום ההגדרה כתוב לא נכון –
צל איקס *קטן* מאפס
או גדול מאחת
נכון, תודה.
אשמח לקישורית ללמוד יסודי וברור למבחן של קמאטק בנושא זה ושורשים
תודה!!!!!!
שלום
אין הכנה ספציפית למבחן זה, יש חומר לימוד בנושא בהתאם לבית ספר
https://www.m-math.co.il/algebra/equations/logarithmic-equation-2/
https://www.m-math.co.il/algebra/square-roots-rules/
היי יש לי את התרגיל x בחזקת log3 בחזקת (x-1) כול זה שווה ל9 איך אני פותרת אותו ?
שלום
אפשר לכתוב את 9 כ log3 עם חזקה ואז להשוות חזקות.
אני ניסיתי להפוך את 9 logx בחזקת 9 ועשיתי כלל ויצא לי 2 חלקי log3 בחזקת x זה נכון?
אני חושב שאני לא מבין את התרגיל שלך.
להערכתי פעלת לפי כלל 3 בדף זה:
https://www.m-math.co.il/algebra/equations/logarithmic-equation-2/
בדקי אם פעלת נכון.