משוואות לוגריתמיות

בדף זה נלמד משוואות לוגריתמיות עם ln.
נחלק את הלימוד לשני שלבים, כאשר השלב הראשון שימושי הרבה יותר.

  1. פתרון משוואות בסיסיות – שימושי מאוד.
  2. טכניקות נוספות – כמו הוצאת גורם משותף ובניית משוואה ריבועית. שימושי פחות.

בנוסף באתר ניתן ללמוד לפתור משוואות לוגריתמיות שכוללות את הפונקציה log ולא רק ln.
עושים זאת בדף משוואות לוגריתמיות חלק שני.

הערה
לפני שאתם פותרים משוואה לוגריתמית עליכם למצוא את תחום ההגדרה.
במידה והייתם צריכים למצוא את x, אז בסוף התרגיל עליכם לבדוק אם הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

1.כיצד לפתור משוואות לן בסיסיות

במשוואה  ln x = y יש שני משתנים (x,y).

אם נדע אחד מיהם נוכל למצוא את השני.

דרך הפתרון
1.אם נדע את x נשתמש במחשבון ונפתור.

2.אם נדע את y נשתמש בכך ששתי המשוואות הבאות הן משוואות זהות.
ln x = y
ey = x

נציב את ערך ה y הידוע לנו במשוואה השנייה ונפתור.

דוגמה 1 (ידוע x)
עבור המשוואה ln (x + 3) = y
מצאו את הערך המתאים עבור x = 4.

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > -3

נפתר את המשוואה:
ln (x + 3) = y
ln (4 + 3) = y
ln 7 = y

נשתמש במחשבון.

1.94 = y

כאשר ידוע y וחסר x נשתמש במשוואה ex = y

דוגמה 2 (ידוע y)

במשוואה ln (2x – 1) = y
מצאו את הערך המתאים עבור y = 2.

פתרון

תחום ההגדרה הוא:
x > 0.5

נפתר את המשוואה:

המשוואה ln (2x – 1) = y
זהה למשוואה
ey = 2x – 1

נציב y = 2

e2 = 2x – 1
7.38 = 2x – 1
8.38 = 2x
4.19 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

דוגמה 3
חשבו את ערך הפונקציה

f(x) = – ln (x – 6) – 2x

כאשר x = 10

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 6

נפתר את המשוואה:

f(10) = – ln (10 – 6) – 2* 10
– ln 4 – 20 =
– 1.38 – 20 = -21.38

(10,  – 21.38)
.היא נקודה על הפונקציה

דוגמה 4
חשבו את ערך הפונקציה

  f(x) = -4ln² (x²)

כאשר x = -5

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:

  f(-5) = -4ln² ((-5)²) =
-4ln² (25) =
-4* (3.2188)² =
-4 * 10.36 = – 41.44

דוגמה 5

ln x – 4 = 0

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:
ln x – 4 = 0
ln x = 4
x = e4

דוגמה 6

3ln (x + 7) = 6

פתרון

תחום ההגדרה הוא:
x > -7

נפתר את המשוואה:

קודם נחלק במקדם של הלן
3ln (x + 7) = 6  / :3
ln (x + 7) = 2

ועכשיו נשתמש בהגדרת הלן.
x + 7 = e²
x = e² – 7
x = 7.38 – 7 = 0.38

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

דוגמה 7

ln(x² + 8x – 19) = 0

פתרון
תחום ההגדרה מתקבל על ידי פתרון האי שוויון הריבועי:
x² + 8x – 19 > 0
הפתרון הוא:
x > 1.9 או   x < -9.9

נשתמש בהגדרת הלוגריתם ונקבל:

x² + 8x – 19 = e0
x² + 8x – 19 = 1
x² + 8x – 20 = 0
x² + 10x – 2x – 20 = 0
x(x + 10) – 2(x + 10) = 0
x – 2) (x + 10) = 0)
x = 2  או  x = -10

שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.

תרגילים במשוואות לוגריתמיות בסיסיות

תרגיל 1
ln x = y וגם x = 4.
מה ערך ה y?

תרגיל 2
ln (x² – x) = y  וגם   x = 3
מה ערך ה y?

תרגיל 3
חשבו את ערך הפונקציה
f(x) = 2ln x
כאשר x = 3

תרגיל 4
ln x = y  וגם y = 3.
מצאו את x.

תרגיל 5
ln (x + 1) = y  וגם y = 2.
מצאו את x.

פתרונות

תרגיל 1
עבור המשוואה
ln x = y
ידוע כי x = 4.
מה ערך ה y?

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:
ln x = y
נציב x = 4
ln 4 = y

נפתור בעזרת מחשבון:
1.38 = y

המשמעות של התוצאה הזו היא שהנקודה
(4,  1.38)
נמצאת על גרף הפונקציה
f(x) = ln x

תרגיל 2
עבור המשוואה
ln (x² – x) = y
מצאו את הערך המתאים עבור x = 3

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0  או   x > 1

נפתור את המשוואה:
נציב x = 3.
ln (x² – 3) = y
ln 6 = y

בעזרת מחשבון נמצא:
1.79 = y

המשמעות הגרפית של התוצאה שלנו היא שהנקודה
(1.79  ,3).
נמצאת על גרף הפונקציה:
(f(x) = ln (x² – x

שרטוט הפונקציה (f(x) = ln (x² - x והנקודה שעליה.
שרטוט הפונקציה (f(x) = ln (x² – x והנקודה שעליה.

תרגיל 3
חשבו את ערך הפונקציה
f(x) = 2ln x
כאשר x = 3

פתרון
f(3) = 2ln 3
2 * 1.098 = 2.197

(3,  2.197)
היא נקודה על הפונקציה

תרגיל 4
עבור המשוואה
ln x = y
ידוע כי y = 3.
מצאו את x.

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:
ln x = 3
יכול להיכתב גם:

e= x
e³ = 2.718³ = x
20.08 = x

המשמעות הגרפית של החישוב שביצענו היא שהנקודה:
(3,  20.08)
נמצאת על גרף הפונקציה f(x) = ln x.

גרף הפונקציה f(x) = ln x והנקודה (3, 20.08) שעליו.
גרף הפונקציה f(x) = ln x והנקודה (3, 20.08) שעליו.

תרגיל 5
עבור המשוואה
ln (x + 1) = y
ידוע כי y = 2.
מצאו את x.

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > – 1

נפתור את המשוואה:
נציב y= 2.
ln (x + 1) = 2

ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:

e² = x + 1
2.718² =7.38 =  x + 1
6.38 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

המשמעות הגרפית של מה שמצאנו היא שהנקודה
(2,  6.38)
נמצאת על גרף הפונקציה (f(x) = ln (x +1

כאשר y ידוע נשתמש במשוואה:

ey = x

2.פתרון משוואות בעזרת הוצאת גורם משותף או בניית משוואה ריבועית

דוגמה 1: הוצאת גורם משותף

2xln x + ln x = 0

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

2xln x + ln x = 0
ln x * (2x + 1) = 0

אפשרות ראשונה
ln x = 0
x = e0 = 1

פתרון זה נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה.

אפשרות שנייה
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -0.5

פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה ולכן נפסל.

דוגמה 2

(x – 1) * ln (x – e) = 0

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > e

נפתור את המשוואה:

אפשרות ראשונה
x – 1 = 0
x = 1

פתרון זה לא נמצא בתחום ההגדרה ולכן נפסל.

אפשרות שנייה
ln (x – e) = 0
x – e = e0
x = 1 + e

פתרון זה שייך לתחום ההגדרה.

דוגמה 3: הפיכה למשוואה ריבועית.

ln²x – 6lnx – 7 = 0

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

נגדיר
ln x = t

נציב במשוואה המקורית ונקבל:

t² – 6t – 7 = 0
t² + t – 7t – 7 = 0
t(t + 1) – 7(t + 1) = 0
t – 7) (t +1) = 0)
t = 7   או t = -1

נציב בחזרה ln x = t

ln x = -1
x = e-1

אפשרות שנייה
ln x = 7
x = e7

הערה
שימו לב כי את המשוואה הבאה לא ניתן להפוך למשוואה ריבועית:

ln(x²) – 6lnx – 7 = 0

כי lnx קיים רק באיבר האמצעי.

שימו לב כי:
ln (x²) = ln (x * x)

לעומת:
ln² x = ln x * lnx

במקרה ונקבל משוואה כזו:

ln(x²) – 6lnx – 7 = 0

נשתמש בחוק הלוגריתם הבא:

ln xn = n*ln x

ואז נקבל:

ln(x²) – 6lnx – 7 = 0
2lnx – 6lnx – 7 = 0
-4ln x  = 7
ln x = – 1.75

נספח

סיכום הטכניקות לפתרון משוואות לוגריתמיות
משוואהדרך פתרון
ln x – 4 = 0הגדרת הלוגריתם
3ln (x + 7) = 6הגדרת הלוגריתם
ln(x² + 8x – 19) = 0הגדרת הלוגריתם ומשוואה ריבועית
2xln x + ln x = 0הוצאת גורם משותף
(x – 1) * ln (x – e) = 0גורם משותף
ln²x – 6lnx – 7 = 0הגדרה: ln x = t
מדוע משתמשים במשוואה ex = y

כאשר x הוא המשתנה אנו נקבל שהמשתנה נמצא בתוך פונקציה:
למשל אם y = 2 אז נקבל

ln x = 2

הפונקציה מפריעה לנו לפתור את השאלה, כמו שבעבר את המשוואה

sin x = 0.6

פתרנו בדרך מיוחדת ולא כמשוואה עם נעלם אחד.

במשוואות לוגריתמיות הדרך שלנו ליצור משוואה שבה המשתנה לא נמצא בתוך הפונקציה הלוגריתמית היא לפתור את המשוואה:

ey = x

במקום את המשוואה:
ln x = y.

לצורת פתרון זו אנו נזקקים רק כאשר x הוא הנעלם.
כאשר y הוא הנעלם אז המשתנה לא נמצא בתוך פונקציית הלן ולכן אין צורך להשתמש בכלל זה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “משוואות לוגריתמיות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.