משוואות לוגריתמיות

תחום ההגדרה x > 0.

על פי ההגדרה של log המשוואה שקולה ל:

x = e²

תחום ההגדרה x > 0.

כפי שאם היינו מקבלים את המשוואה:

x² = 9

אז הפתרונות היו:

x = 3  או   x = -3

אז במקרה של המשוואה שלנו נכתוב:

ln² x = 9

ln x = 3  או  ln x = -3

נמשיך ונפתור על פי הגדרת הפונקציה ln.

הפתרון הראשון

ln x = 3

e³ = x

הפתרון השני

ln x = -3

e^-3 = x

תחום ההגדרה הוא:

3x – 1 > 0

3x > 1

x > 0.333

פתרון

4ln (3x – 1) = 4

נחלק את המשוואה ב 4 שהוא המקדם של לן.

ln (3x – 1) = 1

על פי הגדרת הפונקציה ln  נכתוב:

3x – 1 = e¹

3x = e + 1

3x = 3.718

x = 1.239

תחום הגדרה x > 0.

במקרה זה החזקה היא על ה x ולא על ה ln.

לכן הפתרון הוא:

x² = e

x = √e  או   x = -√e

הפתרון השלילי נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.

תשובה:  x = √e.

תחום הגדרה x > 0.

אם היינו מקבלים את המשוואה:

x³ – x² = 0

אז היינו מוצאים גורם משותף כדי לפתור/

כך:

x² (x – 1) = 0

אז את אותו דבר נעשה במשוואה הנוכחית:

ln ³ x – ln ² x = 0

ln ² x(ln x – 1) = 0

ומכך נובעים שני פתרונות.

פתרון ראשון

ln ² x = 0

(נוציא שורש לשני צדדי המשוואה)

ln x= 0

x = e⁰ = 1

פתרון שני

ln x – 1 = 0

ln x = 1

x = e¹ = e

תשובה:

x = 1  או   x = e

תחום הגדרה x > 0.

נוציא ln x כגורם משותף.

2x * lnx + 4lnx = 0

ln x (2x + 4) = 0

אפשרות ראשונה

ln x = 0

x = e⁰ = 1

אפשרות שנייה

2x + 4 = 0

2x = 4

x = -2

פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.

תשובה:  x = 1

תחום הגדרה x > 0

בניגוד לדוגמה הקודמת שיכולנו לפתור על ידי גורם משותף, הפעם לא ניתן.

מה שנעשה זה לפתור את המשוואה כמשוואה ריבועית.

ln ² x + 5ln x = – 6

ln ² x + 5ln x + 6 = 0

נגדיר:

ln x = t

נקבל את המשוואה הריבועית.

t² + 5t + 6 = 0

הפתרונות הם:

t = -2  או  t = -3.

נעבור למשוואות הכוללות את ln.

פתרון ראשון

ln x = -2

x = e^-2

פתרון שני

ln x = -3

x = e^-3

שני הפתרונות חיוביים ולכן שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.

תחום ההגדרה מתקבל על ידי פתרון האי שוויון הריבועי:

x² + 8x – 19 > 0

הפתרון הוא:

x > 1.9 או   x < -9.9

נשתמש בהגדרת הלוגריתם ונקבל:

x² + 8x – 19 = e⁰
x² + 8x – 19 = 1
x² + 8x – 20 = 0

פתרונות המשוואה הם:

x = 2  או  x = -10

שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.

תחום ההגדרה הוא:
x < 0  או   x > 1

נפתור את המשוואה:
נציב x = 3.
ln (x² – 3) = y
ln 6 = y

בעזרת מחשבון נמצא:
1.79 = y

המשמעות הגרפית של התוצאה שלנו היא שהנקודה
(1.79  ,3).
נמצאת על גרף הפונקציה:
(f(x) = ln (x² – x

תרגיל 10
חשבו את ערך הפונקציה
f(x) = 2ln x
כאשר x = 3

f(3) = 2ln 3
2 * 1.098 = 2.197

(3,  2.197)
היא נקודה על הפונקציה

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

אפשרות ראשונה
x – 1 = 0
x = 1

פתרון זה לא נמצא בתחום ההגדרה ולכן נפסל.

אפשרות שנייה
lnx  = 0
x  = e⁰
x = 1

פתרון זה שייך לתחום ההגדרה.

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

2xln x + ln x = 0
ln x * (2x + 1) = 0

אפשרות ראשונה
ln x = 0
x = e⁰ = 1

פתרון זה נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה.

אפשרות שנייה
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -0.5

פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה ולכן נפסל.

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

נגדיר
ln x = t

נציב במשוואה המקורית ונקבל:

t² – 6t – 7 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הן:

t = 7   או t = -1

נציב בחזרה ln x = t

אפשרות ראשונה

ln x = -1
x = e^-1

אפשרות שנייה
ln x = 7
x = e⁷

תחום ההגדרה הוא:
x > -3

נפתר את המשוואה:
ln (x + 3) = y
ln (4 + 3) = y
ln 7 = y

נשתמש במחשבון.

1.94 = y

כאשר ידוע y וחסר x נשתמש במשוואה e^x = y

תחום ההגדרה הוא:
x > 0.5

נפתר את המשוואה:

המשוואה ln (2x – 1) = y
זהה למשוואה
e^y = 2x – 1

נציב y = 2

e² = 2x – 1
7.38 = 2x – 1
8.38 = 2x
4.19 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

תחום ההגדרה הוא:
x > 6

נפתר את המשוואה:

f(10) = – ln (10 – 6) – 2* 10
– ln 4 – 20 =
– 1.38 – 20 = -21.38

(10,  – 21.38)
.היא נקודה על הפונקציה

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:

  f(-5) = -4ln² ((-5)²) =
-4ln² (25) =
-4* (3.2188)² =
-4 * 10.36 = – 41.44

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:
ln x – 4 = 0
ln x = 4
x = e⁴

תחום ההגדרה הוא:
x > -7

נפתר את המשוואה:

קודם נחלק במקדם של הלן
3ln (x + 7) = 6  / :3
ln (x + 7) = 2

ועכשיו נשתמש בהגדרת הלן.
x + 7 = e²
x = e² – 7
x = 7.38 – 7 = 0.38

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

תחום ההגדרה הוא:
x > – 1

נפתור את המשוואה:
נציב y= 2.
ln (x + 1) = 2

ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:

e² = x + 1
2.718² =7.38 =  x + 1
6.38 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

המשמעות הגרפית של מה שמצאנו היא שהנקודה
(2,  6.38)
נמצאת על גרף הפונקציה (f(x) = ln (x +1

כאשר y ידוע נשתמש במשוואה:

e^y = x