לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

משוואות לוגריתמיות

בדף זה נלמד משוואות לוגריתמיות בסיסיות עם ln.

בנוסף באתר ניתן ללמוד לפתור משוואות לוגריתמיות שכוללות את הפונקציה log ולא רק ln.

עושים זאת בדף משוואות לוגריתמיות חלק שני.

הערה
לפני שאתם פותרים משוואה לוגריתמית עליכם למצוא את תחום ההגדרה.
במידה והייתם צריכים למצוא את x, אז בסוף התרגיל עליכם לבדוק אם הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

סרטון 

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.כיצד לפתור משוואות לן בסיסיות

הגדרת הלן / לוג

ln, log אלו הן פונקציות, ולפונקציות יש הגדרות למה הן עושות.

למשל פונקציית הסינוס מוגדרת כניצב שמול הזווית חלקי הייתר.

ואם אנו מקבלים פונקציה לוגריתמית כזו:

logab = c

אז ההגדרה שלה אומרת שהמשוואה השקולה היא:

ac = b

ואם המשוואה היא:

ln x = 10

אז המשוואה השקולה היא:

e10 = x

כיצד לפתור משוואות

נבדיל בין שני סוגים של משוואות עם ln

1.כאשר בתוך ה ln יש מספר

למשל:

ln 4 = x

במקרה זה ניחשב במחשבון למה שווה ln 4 :

ln 4 = 1.39

ונפתור כך:

ln 4 = x

1.39 = x

כאשר בתוך ה ln  יש משתנה

כאשר ה x נמצא בתוך הלן, למשל:

ln x = 3

אנו צריכים להוציא את ה x "מתוך הלן".

נתקלנו בכך גם בעבר במשוואות טריגונמטריות כמו:

sin (x + 10) = 0.5

וגם ידענו ש x מייצג זווית חדה.

השתמשנו במחשבון על מנת "להוציא" את המשתנה מתוך הפונקציה sin ולכתוב את המשוואה ללא הפונקציה כך:

x + 10 = 30

אז גם כאשר נקבל משוואה הכוללת משתנה בתוך הפונקציה log, ln אז נעשה פעולה על מנת לכתוב את המשוואה ללא הפונקציה.

והדרך שלנו להגיע לכך היא להשתמש בהגדרת ה ln שאומרת שאם המשוואה היא:

ln x = 3

אז משוואה שקולה לה היא:

e = x

ובכך מצאנו את x כי e הוא מספר

e= 20.09 = x

דוגמאות

דוגמה 1

מצאו את x

ln x = 2

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה x > 0.

על פי ההגדרה של log המשוואה שקולה ל:

x = e²

דוגמה 2

ln² x = 9

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה x > 0.

כפי שאם היינו מקבלים את המשוואה:

x² = 9

אז הפתרונות היו:

x = 3  או   x = -3

אז במקרה של המשוואה שלנו נכתוב:

ln² x = 9

ln x = 3  או  ln x = -3

נמשיך ונפתור על פי הגדרת הפונקציה ln.

הפתרון הראשון

ln x = 3

e³ = x

הפתרון השני

ln x = -3

e-3 = x

דוגמה 3

4ln (3x – 1) = 4

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:

3x – 1 > 0

3x > 1

x > 0.333

פתרון

4ln (3x – 1) = 4

נחלק את המשוואה ב 4 שהוא המקדם של לן.

ln (3x – 1) = 1

על פי הגדרת הפונקציה ln  נכתוב:

3x – 1 = e1

3x = e – 1 = 2.718 – 1

3x = 1.718

x = 0.57

דוגמה 4

ln (x²) = 1

פתרון התרגיל

תחום הגדרה x > 0.

במקרה זה החזקה היא על ה x ולא על ה ln.

לכן הפתרון הוא:

x² = e

x = √e  או   x = -√e

הפתרון השלילי נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.

תשובה:  x = √e.

דוגמה 5

ln 3 x – ln 2 x = 0

פתרון התרגיל

תחום הגדרה x > 0.

אם היינו מקבלים את המשוואה:

x3 – x2 = 0

אז היינו מוצאים גורם משותף כדי לפתור/

כך:

x2 (x – 1) = 0

אז את אותו דבר נעשה במשוואה הנוכחית:

ln 3 x – ln 2 x = 0

ln 2 x(ln x – 1) = 0

ומכך נובעים שני פתרונות.

פתרון ראשון

ln 2 x = 0

(נוציא שורש לשני צדדי המשוואה)

ln x= 0

x = e0 = 1

פתרון שני

ln x – 1 = 0

ln x = 1

x = e1 = e

תשובה:

x = 1  או   x = e

דוגמה 6 

2x * lnx + 4lnx = 0

פתרון התרגיל

תחום הגדרה x > 0.

נוציא ln x כגורם משותף.

2x * lnx + 4lnx = 0

ln x (2x + 4) = 0

אפשרות ראשונה

ln x = 0

x = e0 = 1

אפשרות שנייה

2x + 4 = 0

2x = 4

x = -2

פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.

תשובה:  x = 1

דוגמה 7

ln 3 x + 5ln 2 x = – 6

פתרון התרגיל

תחום הגדרה x > 0

בניגוד לדוגמה הקודמת שיכולנו לפתור על ידי גורם משותף, הפעם לא ניתן.

מה שנעשה זה לפתור את המשוואה כמשוואה ריבועית.

ln 2 x + 5ln x = – 6

ln 2 x + 5ln x + 6 = 0

נגדיר:

ln x = t

נקבל את המשוואה הריבועית.

t2 + 5t + 6 = 0

הפתרונות הם:

t = -2  או  t = -3.

נעבור למשוואות הכוללות את ln.

פתרון ראשון

ln x = -2

x = e-2

פתרון שני

ln x = -3

x = e-3

שני הפתרונות חיוביים ולכן שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.

דוגמה 8

ln(x² + 8x – 19) = 0

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה מתקבל על ידי פתרון האי שוויון הריבועי:

x² + 8x – 19 > 0

הפתרון הוא:

x > 1.9 או   x < -9.9

נשתמש בהגדרת הלוגריתם ונקבל:

x² + 8x – 19 = e0
x² + 8x – 19 = 1
x² + 8x – 20 = 0

פתרונות המשוואה הם:

x = 2  או  x = -10

שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.

דוגמה 9
עבור המשוואה
ln (x² – x) = y
מצאו את הערך המתאים עבור x = 3

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0  או   x > 1

נפתור את המשוואה:
נציב x = 3.
ln (x² – 3) = y
ln 6 = y

בעזרת מחשבון נמצא:
1.79 = y

המשמעות הגרפית של התוצאה שלנו היא שהנקודה
(1.79  ,3).
נמצאת על גרף הפונקציה:
(f(x) = ln (x² – x

שרטוט הפונקציה (f(x) = ln (x² - x והנקודה שעליה.
שרטוט הפונקציה (f(x) = ln (x² – x והנקודה שעליה.

תרגיל 10
חשבו את ערך הפונקציה
f(x) = 2ln x
כאשר x = 3

פתרון התרגיל

f(3) = 2ln 3
2 * 1.098 = 2.197

(3,  2.197)
היא נקודה על הפונקציה

הערה

שימו לב כי את המשוואה הבאה לא ניתן להפוך למשוואה ריבועית:

ln(x²) - 6lnx - 7 = 0

כי lnx קיים רק באיבר האמצעי.

שימו לב כי:

ln (x²) = ln (x * x)

לעומת:

ln² x = ln x * lnx

סיכום הטכניקות לפתרון משוואות לוגריתמיות
משוואה דרך פתרון
ln x - 4 = 0 הגדרת הלוגריתם
3ln (x + 7) = 6 הגדרת הלוגריתם
ln(x² + 8x - 19) = 0 הגדרת הלוגריתם ומשוואה ריבועית
2x * ln x + ln x = 0 הוצאת גורם משותף
(x - 1) * ln (x ) = 0 מכפלת איברים השווה ל- 0.
ln²x - 6lnx - 7 = 0 הגדרה: ln x = t ומשוואה ריבועית

 

תרגילים

תרגיל 1

(x - 1) * ln (x) = 0

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

אפשרות ראשונה
x – 1 = 0
x = 1

פתרון זה לא נמצא בתחום ההגדרה ולכן נפסל.

אפשרות שנייה
lnx  = 0
x  = e0
x = 1

פתרון זה שייך לתחום ההגדרה.

תרגיל 2

2xln x + ln x = 0

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

2xln x + ln x = 0
ln x * (2x + 1) = 0

אפשרות ראשונה
ln x = 0
x = e0 = 1

פתרון זה נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה.

אפשרות שנייה
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -0.5

פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה ולכן נפסל.

תרגיל 3

ln²x - 6lnx - 7 = 0

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתור את המשוואה:

נגדיר
ln x = t

נציב במשוואה המקורית ונקבל:

t² – 6t – 7 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הן:

t = 7   או t = -1

נציב בחזרה ln x = t

אפשרות ראשונה

ln x = -1
x = e-1

אפשרות שנייה
ln x = 7
x = e7

עוד באתר:

תרגילים נוספים

אלו תרגילים שנכתבו בעבר והוצאו ממרכז הדף בגלל שנכתבו תרגילים חדשים וטובים יותר.

תרגיל 1 
עבור המשוואה ln (x + 3) = y
מצאו את הערך המתאים עבור x = 4.

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > -3

נפתר את המשוואה:
ln (x + 3) = y
ln (4 + 3) = y
ln 7 = y

נשתמש במחשבון.

1.94 = y

כאשר ידוע y וחסר x נשתמש במשוואה ex = y

תרגיל 2 

במשוואה ln (2x - 1) = y
מצאו את הערך המתאים עבור y = 2.

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0.5

נפתר את המשוואה:

המשוואה ln (2x – 1) = y
זהה למשוואה
ey = 2x – 1

נציב y = 2

e2 = 2x – 1
7.38 = 2x – 1
8.38 = 2x
4.19 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

תרגיל 3
חשבו את ערך הפונקציה

f(x) = - ln (x - 6) - 2x

כאשר x = 10

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 6

נפתר את המשוואה:

f(10) = – ln (10 – 6) – 2* 10
– ln 4 – 20 =
– 1.38 – 20 = -21.38

(10,  – 21.38)
.היא נקודה על הפונקציה

תרגיל 4
חשבו את ערך הפונקציה

  f(x) = -4ln² (x²)

כאשר x = -5

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:

  f(-5) = -4ln² ((-5)²) =
-4ln² (25) =
-4* (3.2188)² =
-4 * 10.36 = – 41.44

תרגיל 5

ln x - 4 = 0

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:
ln x – 4 = 0
ln x = 4
x = e4

תרגיל 6

3ln (x + 7) = 6

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > -7

נפתר את המשוואה:

קודם נחלק במקדם של הלן
3ln (x + 7) = 6  / :3
ln (x + 7) = 2

ועכשיו נשתמש בהגדרת הלן.
x + 7 = e²
x = e² – 7
x = 7.38 – 7 = 0.38

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

תרגיל 7
עבור המשוואה
ln (x + 1) = y
ידוע כי y = 2.
מצאו את x.

פתרון התרגיל

תחום ההגדרה הוא:
x > – 1

נפתור את המשוואה:
נציב y= 2.
ln (x + 1) = 2

ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:

e² = x + 1
2.718² =7.38 =  x + 1
6.38 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

המשמעות הגרפית של מה שמצאנו היא שהנקודה
(2,  6.38)
נמצאת על גרף הפונקציה (f(x) = ln (x +1

כאשר y ידוע נשתמש במשוואה:

ey = x

 

6 מחשבות על “משוואות לוגריתמיות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אשמח לקישורית ללמוד יסודי וברור למבחן של קמאטק בנושא זה ושורשים
    תודה!!!!!!