משוואות לוגריתמיות

בדף זה נלמד משוואות לוגריתמיות עם ln.
נחלק את הלימוד לשני שלבים, כאשר השלב הראשון שימושי הרבה יותר.

1. פתרון משוואות בסיסיות – שימושי מאוד.
2. טכניקות נוספות – כמו הוצאת גורם משותף ובניית משוואה ריבועית. שימושי פחות.

בנוסף באתר ניתן ללמוד לפתור משוואות לוגריתמיות שכוללות את הפונקציה log ולא רק ln.
עושים זאת בדף משוואות לוגריתמיות חלק שני.

הערה
לפני שאתם פותרים משוואה לוגריתמית עליכם למצוא את תחום ההגדרה.
במידה והייתם צריכים למצוא את x, אז בסוף התרגיל עליכם לבדוק אם הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

סרטון הסבר

1.כיצד לפתור משוואות לן בסיסיות

במשוואה  ln x = y יש שני משתנים (x,y).

אם נדע אחד מיהם נוכל למצוא את השני.

דרך הפתרון
1.אם נדע את x נשתמש במחשבון ונפתור.

2.אם נדע את y נשתמש בכך ששתי המשוואות הבאות הן משוואות זהות.
ln x = y
e^y = x

נציב את ערך ה y הידוע לנו במשוואה השנייה ונפתור.

דוגמה 1 (ידוע x)
עבור המשוואה ln (x + 3) = y
מצאו את הערך המתאים עבור x = 4.

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > -3

נפתר את המשוואה:
ln (x + 3) = y
ln (4 + 3) = y
ln 7 = y

נשתמש במחשבון.

1.94 = y

כאשר ידוע y וחסר x נשתמש במשוואה e^x = y

דוגמה 2 (ידוע y)

במשוואה ln (2x – 1) = y
מצאו את הערך המתאים עבור y = 2.

פתרון

תחום ההגדרה הוא:
x > 0.5

נפתר את המשוואה:

המשוואה ln (2x – 1) = y
זהה למשוואה
e^y = 2x – 1

נציב y = 2

e² = 2x – 1
7.38 = 2x – 1
8.38 = 2x
4.19 = x

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

דוגמה 3
חשבו את ערך הפונקציה

f(x) = – ln (x – 6) – 2x

כאשר x = 10

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 6

נפתר את המשוואה:

f(10) = – ln (10 – 6) – 2* 10
– ln 4 – 20 =
– 1.38 – 20 = -21.38

(10,  – 21.38)
.היא נקודה על הפונקציה

דוגמה 4
חשבו את ערך הפונקציה

  f(x) = -4ln² (x²)

כאשר x = -5

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:

  f(-5) = -4ln² ((-5)²) =
-4ln² (25) =
-4* (3.2188)² =
-4 * 10.36 = – 41.44

דוגמה 5

ln x – 4 = 0

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x > 0

נפתר את המשוואה:
ln x – 4 = 0
ln x = 4
x = e⁴

דוגמה 6

3ln (x + 7) = 6

פתרון

תחום ההגדרה הוא:
x > -7

נפתר את המשוואה:

קודם נחלק במקדם של הלן
3ln (x + 7) = 6  / :3
ln (x + 7) = 2

ועכשיו נשתמש בהגדרת הלן.
x + 7 = e²
x = e² – 7
x = 7.38 – 7 = 0.38

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

דוגמה 7

ln(x² + 8x – 19) = 0

פתרון
תחום ההגדרה מתקבל על ידי פתרון האי שוויון הריבועי:
x² + 8x – 19 > 0
הפתרון הוא:
x > 1.9 או   x < -9.9

נשתמש בהגדרת הלוגריתם ונקבל:

x² + 8x – 19 = e⁰
x² + 8x – 19 = 1
x² + 8x – 20 = 0
x² + 10x – 2x – 20 = 0
x(x + 10) – 2(x + 10) = 0
x – 2) (x + 10) = 0)
x = 2  או  x = -10

שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה.

תרגילים במשוואות לוגריתמיות בסיסיות

תרגיל 1
ln x = y וגם x = 4.
מה ערך ה y?

תרגיל 2
ln (x² – x) = y  וגם   x = 3
מה ערך ה y?

תרגיל 3
חשבו את ערך הפונקציה
f(x) = 2ln x
כאשר x = 3

תרגיל 4
ln x = y  וגם y = 3.
מצאו את x.

תרגיל 5
ln (x + 1) = y  וגם y = 2.
מצאו את x.

פתרונות

תרגיל 1
עבור המשוואה
ln x = y
ידוע כי x = 4.
מה ערך ה y?

תרגיל 2
עבור המשוואה
ln (x² – x) = y
מצאו את הערך המתאים עבור x = 3

תרגיל 4
עבור המשוואה
ln x = y
ידוע כי y = 3.
מצאו את x.

תרגיל 5
עבור המשוואה
ln (x + 1) = y
ידוע כי y = 2.
מצאו את x.

2.פתרון משוואות בעזרת הוצאת גורם משותף או בניית משוואה ריבועית

דוגמה 1: הוצאת גורם משותף

2xln x + ln x = 0

דוגמה 2

(x - 1) * ln (x - e) = 0

דוגמה 3: הפיכה למשוואה ריבועית.

ln²x - 6lnx - 7 = 0

נספח

סיכום הטכניקות לפתרון משוואות לוגריתמיות

משוואה	דרך פתרון
ln x - 4 = 0	הגדרת הלוגריתם
3ln (x + 7) = 6	הגדרת הלוגריתם
ln(x² + 8x - 19) = 0	הגדרת הלוגריתם ומשוואה ריבועית
2xln x + ln x = 0	הוצאת גורם משותף
(x - 1) * ln (x - e) = 0	מכפלת איברים השווה ל- 0.
ln²x - 6lnx - 7 = 0	הגדרה: ln x = t ומשוואה ריבועית

מדוע משתמשים במשוואה e^y = x

כאשר x הוא המשתנה אנו נקבל שהמשתנה נמצא בתוך פונקציה:
למשל אם y = 2 אז נקבל

ln x = 2

הפונקציה מפריעה לנו לפתור את השאלה, כמו שבעבר את המשוואה

sin x = 0.6

פתרנו בדרך מיוחדת ולא כמשוואה עם נעלם אחד.

במשוואות לוגריתמיות הדרך שלנו ליצור משוואה שבה המשתנה לא נמצא בתוך הפונקציה הלוגריתמית היא לפתור את המשוואה:

e^y = x

במקום את המשוואה:
ln x = y.

לצורת פתרון זו אנו נזקקים רק כאשר x הוא הנעלם.
כאשר y הוא הנעלם אז המשתנה לא נמצא בתוך פונקציית הלן ולכן אין צורך להשתמש בכלל זה.

עוד באתר:

• פונקציית לן.
• משוואות לוגריתמיות חלק שני.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.